Les ensembles sont partout autour de nous : l'ensemble des élèves de ta classe, l'ensemble des chansons de ta liste de lecture préférée, l'ensemble des nombres pairs. Mais que se passe-t-il quand ces ensembles se « rencontrent » ?
Les nombres sont le langage universel des mathématiques. Du simple comptage d'objets aux équations les plus complexes de la physique moderne, les nombres nous accompagnent dans chaque aspect de la vie quotidienne et de la recherche scientifique.
Une inéquation du second degré est une expression algébrique qui établit une relation d'ordre entre deux termes contenant une variable du second degré. Elle peut s'écrire sous la forme :
Ce tableau rassemble les règles fondamentales de dérivation.
Le cercle est le lieu géométrique des points du plan qui sont à une distance constante d'un point fixe, appelé centre. Cette distance constante prend le nom de rayon.
La parabole est le lieu géométrique des points du plan pour lesquels la distance à un point fixe (foyer) est égale à la distance à une droite fixe (directrice).
L'étude des positions relatives de deux droites est l'un des sujets fondamentaux de la géométrie analytique plane.
La projection d'un point sur une droite constitue l'un des concepts fondamentaux de la géométrie analytique.
Une inéquation du premier degré est une expression algébrique qui établit une relation d'ordre entre deux termes contenant une variable linéaire. Elle peut s'écrire sous la forme :
\[ a x + b \leq 0 \quad \text{ou} \quad a x + b \geq 0 \]
L'inégalité de Bernoulli, énoncée par le mathématicien suisse Jacob Bernoulli en 1689, est d'une importance fondamentale car elle permet d'établir des majorations et des minorations pour les fonctions exponentielles et polynomiales.
Les suites numériques et les limites de suites sont des concepts fondamentaux en analyse mathématique.
Le théorème de Stolz-Cesàro fournit un outil utile pour calculer la limite d'un quotient de suites. Il est particulièrement utile lorsque le dénominateur tend vers l'infini et que le calcul de la limite n'est pas immédiat.
Le théorème de Cauchy est un résultat fondamental qui étend le théorème de Lagrange en introduisant une relation entre deux fonctions.
Dans cette page nous verrons comment calculer la dérivée du logarithme de base \( b > 0 \) en utilisant deux formes équivalentes pour exprimer le taux d'accroissement : pour \( h \to 0 \) et pour \( x \to x_0 \) :
Les suites monotones (qu'elles soient croissantes ou décroissantes) jouissent d'une propriété très importante : elles admettent toujours une limite, finie ou infinie.
En analyse mathématique, une suite est une loi qui associe à chaque nombre naturel \( n \in \mathbb{N} \) un élément \( a_n \) appartenant à un ensemble \( X \).
Le Théorème de Lagrange, connu également sous le nom de théorème des accroissements finis, est un résultat fondamental en analyse mathématique.
Le Théorème de Rolle est un résultat fondamental applicable aux fonctions continues et dérivables.
Le Théorème de Weierstrass énonce qu'une fonction continue définie sur un intervalle fermé et borné atteint nécessairement une valeur maximale et une valeur minimale.
Pour comprendre en profondeur les propriétés des logarithmes, nous commencerons par leur définition.
Voyons comment calculer la dérivée des fonctions sinus et cosinus, en utilisant la limite du quotient différentiel et les identités trigonométriques fondamentales.
Le mode est l'une des mesures de tendance centrale les plus simples et utiles pour comprendre la distribution d'un ensemble de données. Il représente la valeur qui apparaît avec la plus grande fréquence dans un jeu de données.
La moyenne arithmétique, aussi appelée simplement moyenne, est une des mesures de tendance centrale les plus utilisées en statistique.
Dans cette page nous verrons comment calculer la dérivée du logarithme naturel en utilisant deux formes équivalentes pour exprimer le taux d'accroissement : pour \( h \to 0 \) et pour \( x \to x_0 \). Formellement, comme :
Les opérations sur les limites sont d'une importance fondamentale car elles nous permettent de calculer la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient en la déduisant directement des limites des
Commençons par la dérivée de la tangente \( f(x) = \tan(x) \). La limite du taux d'accroissement est
Nous avons déjà calculé quelques dérivées de fonctions élémentaires au moyen de la limite du taux d'accroissement de la fonction \(f(x)\).
Dans cette page nous verrons comment calculer la dérivée de la fonction puissance en utilisant deux formes équivalentes pour exprimer le taux d'accroissement : pour \( h \to 0 \) et pour \( x \to x_0 \). Formellement, comme :
Dans cette page nous verrons comment calculer la dérivée de la fonction exponentielle en utilisant deux formes équivalentes pour exprimer le taux d'accroissement : pour \( h \to 0 \) et pour \( x \to x_0 \). Formellement, comme :
Le théorème de conservation du signe pour les suites énonce que si une suite réelle \( a_n \) converge vers une limite \( L \neq 0 \), il existe un rang \( N \) au-delà duquel tous les termes de la suite ont le même signe que \( L \).
Une équation est du second degré si et seulement si elle peut s'écrire sous la forme suivante :
\[ a x ^ 2 + b x + c = 0 \quad , \quad a \neq 0 \]
Le théorème de conservation du signe pour les fonctions énonce que, si une fonction réelle \( f \) admet une limite \( L \neq 0 \) pour \( x \to x_0 \), il existe un voisinage de \( x_0 \) tel que la fonction \( f(x) \) conserve le même signe que \( L
Une équation du premier degré est un polynôme du premier degré égalé à zéro. En général, une équation est du premier degré si elle peut être écrite sous la forme canonique :
\[ ax + b = 0 \quad \text{avec} \quad a \neq 0 \]
Soit \( a \neq 0 \) et soit \( n \in \mathbb{N} \). La puissance \( n \)-ième de \( a \), notée par le symbole \( a^n \), est définie comme le produit de \( a \) par lui-même \( n \) fois. En formules, ce produit s'exprime comme :
Les fonctions paires et fonctions impaires se distinguent par leurs symétries : les fonctions paires sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées, tandis que les fonctions impaires le sont par rapport à l'origin
Dans cette section, nous examinerons les étapes permettant de calculer la variance d'une variable aléatoire qui suit une distribution Gamma.
Une fonction est une relation entre deux ensembles, qui associe à chaque élément du premier ensemble (appelé domaine) un unique élément du second ensemble (appelé codomaine).
La droite est un concept primitif de la géométrie euclidienne, c'est-à-dire non définissable en termes plus élémentaires, mais admis comme entité fondamentale.
L'ellipse est le lieu géométrique des points du plan pour lesquels la somme des distances à deux points fixes, appelés foyers, est constante.