La règle de Ruffini est un procédé qui permet de diviser rapidement un polynôme par un binôme de degré un de la forme \(x-a\). À première vue, on pourrait n'y voir qu'un algorithme de calcul raccourci, mais sa portée est bien plus profonde : elle constitue une forme condensée de la division euclidienne de polynômes et, en même temps, un outil qui relie la valeur d'un polynôme en un point, le reste de la division et la présence de facteurs linéaires.
C'est précisément pour cette raison que la règle de Ruffini ne doit pas être étudiée comme une simple technique mécanique. Elle permet de saisir concrètement trois idées fondamentales de l'algèbre : la division de polynômes, le théorème du reste et le théorème du facteur.
- Division d'un polynôme par \(x-a\)
- Idée fondamentale de la règle de Ruffini
- Énoncé de la règle de Ruffini
- Exemple d'application de la règle de Ruffini
- Démonstration de la règle de Ruffini
- Théorème du reste
- Théorème du facteur
- Utilisation de la règle de Ruffini pour factoriser un polynôme
- Le cas des coefficients nuls
- Règle de Ruffini et racines rationnelles
- Ruffini ne trouve pas toutes les racines
- Division par \(ax+b\)
- Exemple avec un diviseur non unitaire
Division d'un polynôme par \(x-a\)
Soit \(P(x)\) un polynôme à coefficients réels, ou plus généralement à coefficients dans un corps, et soit \(a\) un nombre fixé. Diviser \(P(x)\) par \(x-a\) revient à chercher un polynôme \(Q(x)\) et une constante \(r\) tels que
\[ P(x)=(x-a)Q(x)+r. \]
Puisque \(x-a\) est de degré \(1\), le reste doit être de degré strictement inférieur à \(1\), donc nécessairement une constante. La règle de Ruffini permet de déterminer efficacement le quotient \(Q(x)\) et le reste \(r\) sans avoir à effectuer à chaque fois la division euclidienne complète, dès lors que le diviseur est un binôme unitaire de degré un.
Idée fondamentale de la règle de Ruffini
Considérons un polynôme de degré \(n\) :
\[ P(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_1x+c_0, \]
avec \(c_n\neq 0\). En divisant \(P(x)\) par \(x-a\), le quotient est de degré \(n-1\). Écrivons-le sous la forme
\[ Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0. \]
En substituant cette expression de \(Q(x)\) dans la relation \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\) et en développant le produit, on obtient :
\[ \begin{aligned} P(x)= {} & b_{n-1}x^n+(b_{n-2}-ab_{n-1})x^{n-1} \\ & +(b_{n-3}-ab_{n-2})x^{n-2}+\cdots \\ & +(b_0-ab_1)x+(r-ab_0). \end{aligned} \]
En identifiant les coefficients avec ceux de \(P(x)\), on obtient le système de relations de récurrence
\[ \begin{cases} b_{n-1}=c_n,\\ b_{n-2}=c_{n-1}+ab_{n-1},\\ b_{n-3}=c_{n-2}+ab_{n-2},\\ \quad \vdots\\ b_0=c_1+ab_1,\\ r=c_0+ab_0. \end{cases} \]
Ces relations constituent le cœur de la règle de Ruffini. Le procédé consiste à abaisser le premier coefficient, puis à multiplier chaque coefficient obtenu par \(a\) et à additionner le résultat au coefficient suivant.
Énoncé de la règle de Ruffini
Soit \(P(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_1x+c_0\) un polynôme de degré \(n\). Pour diviser \(P(x)\) par \(x-a\), on dispose les coefficients \(c_n,\ c_{n-1},\ \ldots,\ c_1,\ c_0\) dans l'ordre et l'on construit la suite
\[ \begin{cases} b_{n-1}=c_n,\\ b_{k-1}=c_k+ab_k \quad \text{pour } k=n-1,n-2,\ldots,1,\\ r=c_0+ab_0. \end{cases} \]
On a alors \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\), où
\[ Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0. \]
Le nombre \(r\) est le reste de la division.
Exemple d'application de la règle de Ruffini
Divisons \(P(x)=2x^3-3x^2+4x-5\) par \(x-2\). Ici \(a=2\) et les coefficients du polynôme sont \(2,\ -3,\ 4,\ -5\). En appliquant la règle :
\[ \begin{array}{c|rrrr} 2 & 2 & -3 & 4 & -5\\ & & 4 & 2 & 12\\ \hline & 2 & 1 & 6 & 7 \end{array} \]
Les trois premiers nombres de la dernière ligne sont les coefficients du quotient, et le dernier est le reste. Ainsi \(Q(x)=2x^2+x+6\) et \(r=7\), c'est-à-dire
\[ 2x^3-3x^2+4x-5=(x-2)(2x^2+x+6)+7. \]
Démonstration de la règle de Ruffini
La règle de Ruffini n'est pas un artifice de calcul : c'est la forme abrégée de l'identification des coefficients dans la division \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\).
D'après le théorème de la division euclidienne des polynômes, il existe un unique quotient \(Q(x)\) et un unique reste \(r\) tels que \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\). Le diviseur étant de degré \(1\), le quotient est de degré \(n-1\). Posons donc
\[ Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0. \]
En développant \((x-a)Q(x)\) :
\[ \begin{aligned} (x-a)Q(x) ={}& xQ(x)-aQ(x)\\ ={}& b_{n-1}x^n+b_{n-2}x^{n-1}+\cdots+b_1x^2+b_0x\\ &-ab_{n-1}x^{n-1}-ab_{n-2}x^{n-2}-\cdots-ab_1x-ab_0. \end{aligned} \]
En ajoutant le reste \(r\), on obtient
\[ \begin{aligned} P(x)= {} & b_{n-1}x^n+(b_{n-2}-ab_{n-1})x^{n-1}\\ & +(b_{n-3}-ab_{n-2})x^{n-2}+\cdots\\ & +(b_0-ab_1)x+(r-ab_0). \end{aligned} \]
Deux polynômes étant égaux si et seulement si tous leurs coefficients correspondants sont égaux, en comparant avec \(P(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_0\) on obtient :
\[ \begin{cases} c_n=b_{n-1},\\ c_{n-1}=b_{n-2}-ab_{n-1},\\ c_{n-2}=b_{n-3}-ab_{n-2},\\ \quad \vdots\\ c_1=b_0-ab_1,\\ c_0=r-ab_0. \end{cases} \]
En résolvant par rapport aux \(b_k\), on retrouve précisément les relations de récurrence de la règle de Ruffini.
Théorème du reste
Le théorème du reste affirme que le reste de la division de \(P(x)\) par \(x-a\) est égal à \(P(a)\).
Démonstration. À partir de \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\), en substituant \(x=a\) on obtient \(P(a)=(a-a)Q(a)+r=r\). Le reste coïncide donc avec la valeur du polynôme au point \(a\).
Théorème du facteur
Du théorème du reste se déduit immédiatement le théorème du facteur : \(x-a\) divise \(P(x)\) si et seulement si \(P(a)=0\).
\[ x-a \text{ divise } P(x) \quad \Longleftrightarrow \quad P(a)=0. \]
Démonstration. De \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\) et du théorème du reste, on sait que \(r=P(a)\). Si \(x-a\) divise \(P(x)\), alors \(r=0\), d'où \(P(a)=0\). Réciproquement, si \(P(a)=0\), alors \(r=0\) et donc \(P(x)=(x-a)Q(x)\), ce qui signifie que \(x-a\) est un facteur de \(P(x)\). Les deux implications établissent l'équivalence.
Utilisation de la règle de Ruffini pour factoriser un polynôme
L'une des principales applications de la règle de Ruffini est la factorisation des polynômes. Si l'on trouve un nombre \(a\) tel que \(P(a)=0\), alors d'après le théorème du facteur \(x-a\) divise \(P(x)\). La règle de Ruffini permet ensuite d'obtenir le quotient, c'est-à-dire le facteur complémentaire dans la factorisation.
Considérons \(P(x)=x^3-4x^2+x+6\). En testant \(x=2\) :
\[ P(2)=8-16+2+6=0. \]
Donc \(x-2\) est un facteur. Appliquons la règle de Ruffini :
\[ \begin{array}{c|rrrr} 2 & 1 & -4 & 1 & 6\\ & & 2 & -4 & -6\\ \hline & 1 & -2 & -3 & 0 \end{array} \]
On obtient \(P(x)=(x-2)(x^2-2x-3)\). Puisque \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\), la factorisation complète est
\[ x^3-4x^2+x+6=(x-2)(x-3)(x+1). \]
Le cas des coefficients nuls
Lorsqu'on applique la règle de Ruffini, il est indispensable d'écrire tous les coefficients du polynôme, y compris ceux des termes absents. Un terme manquant correspond à un coefficient nul.
Considérons le polynôme \(P(x)=x^4-3x^2+2x-1\), dans lequel le terme de degré \(3\) est absent. Pour appliquer correctement la règle de Ruffini, il faut écrire
\[ P(x)=x^4+0x^3-3x^2+2x-1, \]
avec la liste de coefficients \(1,\ 0,\ -3,\ 2,\ -1\). Omettre le zéro reviendrait à décaler la position des coefficients suivants et à obtenir un résultat erroné.
Règle de Ruffini et racines rationnelles
En pratique, la règle de Ruffini est souvent utilisée conjointement avec la recherche systématique des racines rationnelles d'un polynôme. Lorsqu'un polynôme est à coefficients entiers, ses éventuelles racines rationnelles ne sont pas quelconques : elles sont contraintes par les coefficients du polynôme lui-même.
Plus précisément, si \(P(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_0\) est à coefficients entiers et si \(\dfrac{p}{q}\), sous forme irréductible, est une racine rationnelle de \(P(x)\), alors \(p\) divise le terme constant \(c_0\) et \(q\) divise le coefficient dominant \(c_n\). Dans le cas unitaire (\(c_n=1\), polynôme unitaire), toute racine rationnelle est nécessairement un diviseur entier du terme constant.
Démonstration (Théorème des racines rationnelles). Supposons que \(P\!\left(\dfrac{p}{q}\right)=0\), avec \(p\) et \(q\) entiers premiers entre eux et \(q\neq 0\). Alors
\[ c_n\left(\frac{p}{q}\right)^n+c_{n-1}\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}+\cdots+c_1\frac{p}{q}+c_0=0. \]
En multipliant par \(q^n\) :
\[ c_np^n+c_{n-1}p^{n-1}q+\cdots+c_1pq^{n-1}+c_0q^n=0. \]
En passant \(c_0q^n\) au second membre, le membre de gauche est divisible par \(p\), donc \(c_0q^n\) l'est aussi. Comme \(p\) et \(q^n\) sont premiers entre eux, on conclut que \(p\mid c_0\). De façon analogue, en isolant \(c_np^n\), on obtient que \(q\mid c_n\).
Exemple complet (Factorisation par la règle de Ruffini). Factorisons \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\). Le polynôme étant unitaire, les racines entières éventuelles sont des diviseurs du terme constant \(-6\) :
\[ \pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6. \]
On calcule \(P(1)=1-6+11-6=0\), donc \(x-1\) est un facteur. Appliquons la règle de Ruffini :
\[ \begin{array}{c|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6\\ & & 1 & -5 & 6\\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]
On obtient \(P(x)=(x-1)(x^2-5x+6)\). Puisque \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), la factorisation complète est
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3). \]
Ruffini ne trouve pas toutes les racines
Il importe de dissiper une confusion fréquente : la règle de Ruffini n'est pas une méthode universelle pour trouver toutes les racines d'un polynôme. Elle permet de diviser un polynôme par un binôme de la forme \(x-a\) et de le factoriser lorsqu'on connaît une racine \(a\), mais elle ne fournit aucun moyen automatique pour localiser des racines irrationnelles ou complexes.
Si un polynôme ne possède pas de racines rationnelles, la recherche systématique parmi les diviseurs du terme constant ne donne aucun résultat. Par exemple, \(x^2+1\) n'a pas de racines réelles et ne peut pas se décomposer en facteurs linéaires réels.
Division par \(ax+b\)
La règle de Ruffini s'applique à la division par un binôme unitaire \(x-a\). Un binôme général \(ax+b\) avec \(a\neq 0\) peut toujours se réécrire sous la forme
\[ ax+b=a\!\left(x-\left(-\frac{b}{a}\right)\right), \]
qui s’annule pour \(x=-\dfrac{b}{a}\). Pour vérifier si \(ax+b\) divise \(P(x)\), il suffit donc de tester si \(P\!\left(-\dfrac{b}{a}\right)=0\).
Il convient cependant de garder à l'esprit que diviser par \(ax+b\) n'est pas la même chose que diviser par \(x+\dfrac{b}{a}\), ces deux diviseurs différant d'un facteur constant \(a\). La racine est la même, mais le quotient change en conséquence.
Exemple avec un diviseur non unitaire
Divisons \(P(x)=2x^2-3x-2\) par \(2x+1\). Le diviseur s'annule en \(x=-\dfrac{1}{2}\). Vérifions :
\[ P\!\left(-\frac{1}{2}\right)=2\cdot\frac{1}{4}-3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)-2=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-2=0. \]
Donc \(2x+1\) divise \(P(x)\), et en effet \(2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)\). Pour appliquer la règle de Ruffini, on travaille avec le binôme unitaire \(x+\dfrac{1}{2}\) : le quotient obtenu diffère de celui que l'on aurait en divisant par \(2x+1\), mais la vérification de la divisibilité s'effectue au même point \(x=-\dfrac{1}{2}\).
La règle de Ruffini est bien plus qu'un raccourci de calcul. Elle découle directement de la division euclidienne des polynômes et condense sous forme opératoire l'identification des coefficients lors de la division par un binôme de degré un.
Sa portée théorique se révèle surtout à travers le théorème du reste et le théorème du facteur. Diviser un polynôme par \(x-a\), calculer \(P(a)\), déterminer si \(a\) est une racine et vérifier si \(x-a\) est un facteur sont autant de facettes d'une même structure algébrique.
C'est pourquoi la règle de Ruffini ne doit pas se réduire à un tableau à compléter, mais se comprendre comme un pont entre le calcul et la théorie : d'un côté elle simplifie la division des polynômes ; de l'autre elle permet de lire la factorisation d'un polynôme à travers ses racines.