Ensembles de Nombres : Naturels, Entiers, Rationnels, Irrationnels et Réels

Intuitivement, un ensemble peut être conçu comme une collection d'objets bien déterminés, appelés éléments. Dans un exposé élémentaire, cela signifie qu'il doit être clair, sans ambiguïté, qu'un objet appartient ou n'appartient pas à l'ensemble.

Lorsque les éléments considérés sont des nombres, on parle d'ensemble de nombres. Parmi les ensembles de nombres fondamentaux figurent les entiers naturels, les entiers relatifs, les nombres rationnels et les nombres réels. Les nombres irrationnels constituent, quant à eux, la partie des nombres réels qui n'appartient pas aux rationnels.

Leur introduction obéit à un critère précis : chaque extension permet de résoudre des problèmes qui, dans l'ensemble précédent, n'ont pas toujours de solution. Les entiers naturels permettent de compter ; les entiers relatifs rendent possible la soustraction sans sortir de l'ensemble ; les nombres rationnels permettent de représenter des rapports entre entiers ; les nombres réels réunissent en un seul ensemble les nombres rationnels et les nombres irrationnels.

Les ensembles de nombres fondamentaux sont reliés par la chaîne d'inclusions suivante :

\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]

Cette relation signifie que tout entier naturel est aussi un entier relatif, tout entier relatif est aussi un nombre rationnel et tout nombre rationnel est aussi un nombre réel. Étudier les ensembles de nombres, c'est donc comprendre comment les nombres sont organisés, quelles propriétés ils possèdent et quelles opérations sont possibles dans chaque ensemble.

Sommaire

• Pourquoi introduit-on de nouveaux ensembles de nombres
• Les entiers naturels \(\mathbb{N}\)
• Les entiers relatifs \(\mathbb{Z}\)
• Les nombres rationnels \(\mathbb{Q}\)
• Les nombres irrationnels
• Les nombres réels \(\mathbb{R}\)
• Relations entre les ensembles de nombres
• Représentation décimale des nombres réels
• Schéma récapitulatif

Pour comprendre le rôle des ensembles de nombres, il ne suffit pas de les énumérer : il faut saisir quel besoin mathématique conduit à les introduire. Le point central est qu'un ensemble peut convenir à certaines opérations, mais non à d'autres.

Une propriété importante est la stabilité par une opération. Un ensemble de nombres est stable par une opération donnée si, en appliquant cette opération à des éléments de l'ensemble, le résultat appartient encore au même ensemble.

Par exemple, les entiers naturels sont stables par l'addition et la multiplication. En effet,

\[ 3+5=8 \]

et

\[ 3\cdot 5=15. \]

Dans les deux cas, le résultat est encore un entier naturel.

La soustraction, en revanche, n'est pas toujours possible en restant dans les entiers naturels. En effet,

\[ 3-5=-2, \]

mais \(-2\) n'appartient pas à \(\mathbb{N}\). Pour rendre la soustraction possible de manière plus générale, on introduit alors les entiers relatifs.

Les entiers relatifs permettent d'effectuer additions, soustractions et multiplications sans sortir de l'ensemble, mais ils ne sont pas stables par la division. Par exemple, l'équation

\[ 2x=1 \]

n'a pas de solution entière, car sa solution est

\[ x=\frac{1}{2}. \]

Pour représenter des rapports de ce type, on introduit les nombres rationnels, c'est-à-dire les nombres qui peuvent s'écrire comme fraction de deux entiers dont le dénominateur est non nul.

Cependant, les nombres rationnels eux-mêmes ne décrivent pas toutes les grandeurs mathématiques. La diagonale d'un carré de côté \(1\), par exemple, mesure \(\sqrt{2}\), et ce nombre ne peut s'écrire comme rapport de deux entiers. Pour inclure également des grandeurs de ce type, on passe à l'ensemble des nombres réels.

Le parcours fondamental est donc

\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]

Chaque extension contient la précédente et permet d'aborder des problèmes qui, auparavant, n'avaient pas toujours de solution. C'est pourquoi les ensembles de nombres doivent être étudiés de façon progressive : chacun naît d'un besoin précis et possède ses propres propriétés.

Les entiers naturels sont les nombres utilisés pour compter et ordonner. Ils servent, par exemple, à indiquer combien d'unités contient une certaine quantité ou quelle position occupe un élément dans une suite ordonnée.

Nous adoptons la convention selon laquelle zéro appartient à l'ensemble des entiers naturels :

\[ \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}. \]

Si l'on veut désigner uniquement les entiers naturels strictement positifs, c'est-à-dire sans zéro, on peut employer la notation

\[ \mathbb{N}^{*}=\{1,2,3,\dots\}. \]

L'ensemble des entiers naturels est infini et ordonné. En effet, ses éléments peuvent être disposés selon l'ordre naturel

\[ 0<1<2<3<\dots \]

et, étant donné un entier naturel \(n\), le nombre \(n+1\) est encore un entier naturel. Le nombre \(n+1\) est appelé successeur de \(n\).

Les entiers naturels sont stables par l'addition et la multiplication. Cela signifie que, si \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels, alors \(a+b\) et \(a\cdot b\) sont eux aussi des entiers naturels :

\[ a,b\in\mathbb{N} \quad\Longrightarrow\quad a+b\in\mathbb{N} \quad\text{et}\quad a\cdot b\in\mathbb{N}. \]

Par exemple,

\[ 4+7=11 \quad\text{et}\quad 4\cdot 7=28. \]

Dans les deux cas, le résultat appartient encore à \(\mathbb{N}\).

Toutes les opérations, cependant, ne sont pas toujours possibles au sein des entiers naturels. La soustraction peut conduire à un résultat qui n'appartient pas à \(\mathbb{N}\). Par exemple,

\[ 3-5=-2. \]

Comme \(-2\) n'est pas un entier naturel, l'ensemble \(\mathbb{N}\) n'est pas stable par la soustraction.

Cette observation met en évidence la première limite des entiers naturels : ils conviennent pour représenter des quantités entières positives ou nulles, mais ne suffisent pas lorsqu'il faut décrire des différences qui peuvent être négatives. C'est pour cette raison que l'on introduit l'ensemble des entiers relatifs.

Les entiers relatifs naissent du besoin d'effectuer des soustractions qui, dans les entiers naturels, ne sont pas toujours possibles. Par exemple, la soustraction \(3-5\) n'a pas de résultat appartenant à \(\mathbb{N}\), car elle donne un nombre négatif.

L'ensemble des entiers relatifs se note \(\mathbb{Z}\) et est formé des entiers naturels et de leurs opposés :

\[ \mathbb{Z}=\{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}. \]

Comme tout entier naturel est aussi un entier relatif, on a l'inclusion

\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}. \]

L'ensemble \(\mathbb{Z}\) est infini aussi bien vers la droite que vers la gauche. En effet, ses éléments peuvent être ordonnés de la manière suivante :

\[ \dots<-3<-2<-1<0<1<2<3<\dots \]

À la différence de \(\mathbb{N}\), l'ensemble des entiers relatifs n'a pas de plus petit élément : étant donné un entier relatif quelconque, il existe toujours un entier relatif plus petit.

La propriété fondamentale des entiers relatifs est l'existence de l'opposé. Si \(a\) est un entier relatif, alors \(-a\) est aussi un entier relatif, et l'on a

\[ a+(-a)=0. \]

Grâce aux opposés, la soustraction entre entiers relatifs est toujours possible. En effet, soustraire un nombre revient à ajouter son opposé :

\[ a-b=a+(-b). \]

Par exemple,

\[ 3-5=3+(-5)=-2. \]

Le résultat appartient à \(\mathbb{Z}\), de sorte que l'ensemble des entiers relatifs est stable par la soustraction.

De plus, les entiers relatifs sont également stables par l'addition et la multiplication. Si \(a\) et \(b\) sont des entiers relatifs, alors

\[ a+b\in\mathbb{Z} \quad\text{et}\quad a\cdot b\in\mathbb{Z}. \]

Par exemple,

\[ (-4)+7=3 \quad\text{et}\quad (-4)\cdot 7=-28. \]

Dans les deux cas, le résultat est encore un entier relatif.

Toutefois, les entiers relatifs ne sont pas stables par la division. Par exemple,

\[ 1:2=\frac{1}{2}, \]

mais \(\displaystyle \frac{1}{2}\) n'est pas un entier relatif. De manière équivalente, l'équation

\[ 2x=1 \]

n'a pas de solution dans \(\mathbb{Z}\).

Cela montre la limite des entiers relatifs : ils permettent d'effectuer additions, soustractions et multiplications sans sortir de l'ensemble, mais ne suffisent pas pour représenter tous les rapports entre nombres. C'est pour cette raison que l'on introduit les nombres rationnels.

Les nombres rationnels naissent du besoin de représenter des rapports entre entiers relatifs. En effet, bien que dans les entiers relatifs l'addition, la soustraction et la multiplication soient toujours possibles, la division ne produit pas toujours un entier relatif.

Par exemple, l'équation

\[ 2x=1 \]

n'a pas de solution dans \(\mathbb{Z}\), car sa solution est

\[ x=\frac{1}{2}. \]

Pour inclure des nombres de ce type, on introduit l'ensemble des nombres rationnels, noté \(\mathbb{Q}\).

Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire comme rapport de deux entiers relatifs, le dénominateur étant non nul. En symboles,

\[ \mathbb{Q}= \left\{ \frac{p}{q}:p,q\in\mathbb{Z},\ q\neq 0 \right\}. \]

La condition \(q\neq 0\) est nécessaire, car la division par zéro n'est pas définie.

Sont des nombres rationnels, par exemple,

\[ \frac{1}{2}, \qquad -\frac{3}{5}, \qquad \frac{7}{4}, \qquad 0. \]

Tout entier relatif est lui aussi rationnel, car il peut s'écrire comme fraction de dénominateur égal à \(1\). Par exemple,

\[ 5=\frac{5}{1}, \qquad -3=\frac{-3}{1}, \qquad 0=\frac{0}{1}. \]

Par conséquent, on a l'inclusion

\[ \mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}. \]

Un même nombre rationnel peut être représenté par des fractions différentes. Par exemple,

\[ \frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}. \]

Ces fractions sont différentes, mais représentent le même nombre rationnel. En général, en multipliant le numérateur et le dénominateur par un même entier non nul, ou en les divisant tous deux par un même diviseur commun non nul, le nombre rationnel représenté ne change pas.

L'ensemble des nombres rationnels est stable par l'addition, la soustraction et la multiplication. Il est en outre stable par la division, à condition que le diviseur soit non nul. Si \(a,b\in\mathbb{Q}\) et \(b\neq 0\), alors

\[ a+b\in\mathbb{Q}, \qquad a-b\in\mathbb{Q}, \qquad a\cdot b\in\mathbb{Q}, \qquad \frac{a}{b}\in\mathbb{Q}. \]

Par exemple,

\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6} \]

et

\[ \frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{6}. \]

Dans les deux cas, le résultat est encore un nombre rationnel.

Toutefois, les nombres rationnels ne suffisent pas pour représenter toutes les grandeurs qui apparaissent en mathématiques. Il existe en effet des nombres qui ne peuvent s'écrire comme rapport de deux entiers. Un exemple fondamental est \(\sqrt{2}\), qui représente la longueur de la diagonale d'un carré de côté \(1\).

Cela montre la limite des nombres rationnels : ils permettent de représenter tous les rapports entre entiers, mais non toutes les grandeurs géométriques et numériques. Pour décrire ces nouveaux nombres, il faut introduire les nombres irrationnels.

Les nombres rationnels permettent de représenter tous les rapports entre entiers relatifs, mais ils n'épuisent pas tous les nombres qui apparaissent en mathématiques. Il existe en effet des grandeurs qui ne peuvent être exprimées au moyen d'une fraction à numérateur et dénominateur entiers.

Un exemple fondamental est donné par \(\sqrt{2}\). Ce nombre représente la longueur de la diagonale d'un carré de côté \(1\). En effet, d'après le théorème de Pythagore, si \(d\) désigne la diagonale, alors

\[ d^2=1^2+1^2=2, \]

d'où

\[ d=\sqrt{2}. \]

Le nombre \(\sqrt{2}\), cependant, n'est pas rationnel. Démontrons-le par l'absurde.

Supposons que \(\sqrt{2}\) soit rationnel. Alors il existerait deux entiers relatifs \(p\) et \(q\), avec \(q\neq 0\), tels que

\[ \sqrt{2}=\frac{p}{q}. \]

Nous pouvons en outre supposer que la fraction est irréductible, c'est-à-dire que \(p\) et \(q\) n'ont pas de diviseurs communs autres que \(1\) et \(-1\).

En élevant au carré les deux membres, nous obtenons

\[ 2=\frac{p^2}{q^2}, \]

d'où

\[ p^2=2q^2. \]

Donc \(p^2\) est pair. Comme le carré d'un entier impair est impair, \(p\) doit lui aussi être pair. Il existe alors un entier \(k\) tel que

\[ p=2k. \]

En substituant dans l'égalité \(p^2=2q^2\), on obtient

\[ (2k)^2=2q^2, \]

c'est-à-dire

\[ 4k^2=2q^2. \]

En divisant par \(2\), il s'ensuit que

\[ q^2=2k^2. \]

Par conséquent, \(q^2\) est pair. De nouveau, comme le carré d'un entier impair est impair, \(q\) doit lui aussi être pair.

Nous avons ainsi obtenu que \(p\) et \(q\) sont tous deux pairs. Cela est impossible, car nous avions choisi la fraction \(\displaystyle \frac{p}{q}\) irréductible. La contradiction montre que \(\sqrt{2}\) n'est pas rationnel :

\[ \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}. \]

Les nombres tels que \(\sqrt{2}\), c'est-à-dire les nombres qui ne peuvent s'écrire comme rapport de deux entiers, sont appelés nombres irrationnels.

Dans le contexte des nombres réels, l'ensemble des nombres irrationnels se note

\[ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \]

Sont des nombres irrationnels, par exemple,

\[ \sqrt{2}, \qquad \sqrt{3}, \qquad \pi. \]

Les nombres irrationnels montrent que les nombres rationnels ne sont pas suffisants pour décrire toutes les grandeurs géométriques et numériques. C'est pour cette raison qu'il est nécessaire de considérer un ensemble plus vaste, capable de contenir à la fois les nombres rationnels et les irrationnels : l'ensemble des nombres réels.

L'ensemble des nombres réels contient tous les nombres rationnels et tous les nombres irrationnels. Il se note par le symbole \(\mathbb{R}\).

En particulier, tout nombre rationnel est aussi réel, de sorte que

\[ \mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]

Sont en revanche réels mais non rationnels des nombres tels que

\[ \sqrt{2},\qquad \sqrt{3},\qquad \pi. \]

Nous pouvons donc distinguer les nombres réels en deux classes :

• les nombres rationnels, qui peuvent s'écrire comme fraction de deux entiers dont le dénominateur est non nul ;
• les nombres irrationnels, qui ne peuvent s'écrire sous cette forme.

En symboles, l'ensemble des nombres irrationnels se note

\[ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \]

Par conséquent, les nombres réels sont formés de la réunion des nombres rationnels et des nombres irrationnels :

\[ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}). \]

De plus, un nombre réel ne peut être à la fois rationnel et irrationnel. En effet, les deux ensembles n'ont pas d'éléments communs :

\[ \mathbb{Q}\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=\varnothing. \]

Les nombres réels peuvent être représentés sur la droite numérique. Sur cette droite se placent les entiers naturels, les entiers relatifs, les rationnels et aussi les irrationnels.

Par exemple, les nombres

\[ -2,\qquad 0,\qquad \frac{1}{2},\qquad \sqrt{2},\qquad 3 \]

sont tous des nombres réels et peuvent être ordonnés sur la droite numérique.

L'ensemble \(\mathbb{R}\) permet donc de travailler dans un cadre unique avec des entiers, des fractions, des nombres décimaux finis, des nombres décimaux périodiques et des nombres décimaux infinis non périodiques.

En ce sens, les nombres réels constituent l'ensemble de nombres le plus vaste parmi ceux étudiés dans cette introduction :

\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]

Après avoir introduit les principaux ensembles de nombres, nous pouvons décrire plus précisément les relations qui les relient.

Dire qu'un ensemble est contenu dans un autre signifie que tout élément du premier ensemble est aussi élément du second. Par exemple, tout entier naturel est aussi un entier relatif ; ainsi, l'ensemble des entiers naturels est contenu dans l'ensemble des entiers relatifs :

\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}. \]

De la même manière, tout entier relatif est aussi un nombre rationnel, car il peut s'écrire comme fraction de dénominateur \(1\). En effet, si \(n\in\mathbb{Z}\), alors

\[ n=\frac{n}{1}. \]

C'est pourquoi on a l'inclusion

\[ \mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}. \]

Enfin, tout nombre rationnel est aussi un nombre réel, de sorte que

\[ \mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]

En réunissant ces relations, nous obtenons la chaîne fondamentale des ensembles de nombres :

\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]

Cette chaîne se lit de gauche à droite : en passant d'un ensemble au suivant, on ne perd pas les nombres déjà introduits, mais on en ajoute de nouveaux.

Par exemple :

• \(5\) est un entier naturel, de sorte qu'il est aussi entier relatif, rationnel et réel ;
• \(-3\) est un entier relatif, de sorte qu'il est aussi rationnel et réel, mais il n'est pas naturel ;
• \(\displaystyle \frac{2}{5}\) est un nombre rationnel et réel, mais il n'est pas entier ;
• \(\sqrt{2}\) est un nombre réel, mais il n'est pas rationnel.

Les nombres irrationnels méritent une attention particulière. Ils ne forment pas un ensemble situé entre \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\), mais constituent la partie des nombres réels qui n'appartient pas à \(\mathbb{Q}\).

En symboles, l'ensemble des nombres irrationnels est

\[ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \]

Tout nombre réel est donc rationnel ou irrationnel. Les deux possibilités s'excluent mutuellement :

\[ \mathbb{Q}\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=\varnothing. \]

De plus, leur réunion redonne l'ensemble tout entier des nombres réels :

\[ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}). \]

En conclusion, les ensembles de nombres ne sont pas séparés les uns des autres de façon indépendante : ils sont organisés selon des relations d'inclusion. Comprendre ces relations permet de déterminer avec précision à quels ensembles appartient un nombre et quelles propriétés peuvent être utilisées lorsqu'on travaille avec lui.

Tout nombre réel peut s'écrire sous forme décimale. La représentation décimale décrit un nombre au moyen d'une partie entière et d'une partie décimale, séparées par la virgule.

Par exemple,

\[ \frac{1}{2}=0{,}5, \qquad \frac{1}{4}=0{,}25, \qquad \frac{1}{3}=0{,}333\dots \]

La forme décimale permet de distinguer aisément les nombres rationnels des nombres irrationnels.

Nombres décimaux finis

Un nombre décimal est dit fini si, après la virgule, il a un nombre fini de chiffres. Par exemple,

\[ 0{,}5, \qquad 1{,}25, \qquad -3{,}75 \]

sont des nombres décimaux finis.

Tout nombre décimal fini est rationnel, car il peut s'écrire comme fraction dont le dénominateur est une puissance de \(10\). En effet,

\[ 0{,}5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}, \qquad 1{,}25=\frac{125}{100}=\frac{5}{4}. \]

Nombres décimaux périodiques

Un nombre décimal est dit périodique si, à partir d'un certain rang, un chiffre ou un groupe de chiffres se répète indéfiniment.

Par exemple,

\[ 0{,}333\dots \]

est périodique, car le chiffre \(3\) se répète sans fin. De même,

\[ 1{,}272727\dots \]

est périodique, car le groupe de chiffres \(27\) se répète indéfiniment.

Les nombres décimaux périodiques sont rationnels. Par exemple,

\[ 0{,}333\dots=\frac{1}{3}, \qquad 1{,}272727\dots=\frac{14}{11}. \]

En général, un nombre est rationnel si et seulement si sa représentation décimale est finie ou périodique.

Nombres décimaux infinis non périodiques

Un nombre décimal est dit infini non périodique s'il a une infinité de chiffres après la virgule et si, à partir d'aucun rang, sa partie décimale ne devient périodique.

Les nombres décimaux infinis non périodiques sont irrationnels. Par exemple,

\[ \sqrt{2}=1{,}414213562\dots \]

et

\[ \pi=3{,}141592653\dots \]

sont des nombres irrationnels : leur représentation décimale ne se termine pas et ne devient pas périodique.

Nous pouvons donc résumer la situation de la manière suivante :

• les nombres décimaux finis sont rationnels ;
• les nombres décimaux périodiques sont rationnels ;
• les nombres décimaux infinis non périodiques sont irrationnels.

Cette distinction est très utile pour reconnaître la nature d'un nombre. Par exemple,

\[ 0{,}75=\frac{3}{4} \]

est rationnel, tandis que

\[ \sqrt{3}=1{,}732050807\dots \]

est irrationnel.

Certains nombres réels admettent deux représentations décimales. Par exemple,

\[ 1=0{,}999\dots \]

Cette particularité ne change pas la classification précédente, mais elle montre que l'écriture décimale doit être interprétée avec attention.

Résumons à présent les caractéristiques principales des ensembles de nombres étudiés.

Les inclusions fondamentales entre les ensembles de nombres sont :

\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]

Cela signifie que tout entier naturel est aussi entier relatif, tout entier relatif est aussi rationnel et tout nombre rationnel est aussi réel.

Les nombres irrationnels, en revanche, n'appartiennent pas à \(\mathbb{Q}\), mais appartiennent à \(\mathbb{R}\). En symboles :

\[ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) \quad\text{et}\quad \mathbb{Q}\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=\varnothing. \]

Les ensembles de nombres permettent donc d'organiser les nombres de façon progressive. Chaque extension conserve les nombres déjà introduits et rend possible la représentation de nouvelles quantités ou l'exécution d'opérations qui, auparavant, n'étaient pas toujours possibles.