Une collection complète de 20 exercices résolus sur les ensembles de nombres : naturels, entiers, rationnels, irrationnels et réels. Chaque exercice montre comment reconnaître correctement les ensembles d'appartenance d'un nombre, en expliquant le raisonnement étape par étape.
Rappelons la chaîne fondamentale :
\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]
De plus, l'ensemble des nombres irrationnels est :
\[ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Classer le nombre :
\[ 7 \]
Résultat
\[ 7 \in \mathbb{N},\quad 7 \in \mathbb{Z},\quad 7 \in \mathbb{Q},\quad 7 \in \mathbb{R} \]
Résolution
Analyse du nombre
Le nombre \(7\) est un entier positif. Puisqu'il appartient à l'ensemble des nombres naturels, on a :
\[ 7 \in \mathbb{N} \]
Appartenance aux ensembles plus grands
Tout nombre naturel est aussi un nombre entier, donc :
\[ 7 \in \mathbb{Z} \]
De plus, tout entier peut s'écrire comme une fraction de dénominateur \(1\) :
\[ 7=\frac{7}{1} \]
Ainsi \(7\) est également rationnel :
\[ 7 \in \mathbb{Q} \]
Enfin, tout nombre rationnel est un nombre réel :
\[ 7 \in \mathbb{R} \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Classer le nombre :
\[ -3 \]
Résultat
\[ -3 \in \mathbb{Z},\quad -3 \in \mathbb{Q},\quad -3 \in \mathbb{R} \]
\[ -3 \notin \mathbb{N} \]
Résolution
Exclusion des nombres naturels
Le nombre \(-3\) est négatif. Les entiers naturels sont les nombres utilisés pour compter :
\[ \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\} \]
Par conséquent :
\[ -3 \notin \mathbb{N} \]
Appartenance aux entiers
L'ensemble des entiers contient les nombres naturels, leurs opposés et zéro :
\[ \mathbb{Z}=\{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\} \]
Donc :
\[ -3 \in \mathbb{Z} \]
Appartenance aux rationnels et aux réels
Puisque :
\[ -3=\frac{-3}{1} \]
le nombre \(-3\) est rationnel. Il est donc également réel.
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Classer le nombre :
\[ \frac{5}{2} \]
Résultat
\[ \frac{5}{2} \in \mathbb{Q},\quad \frac{5}{2} \in \mathbb{R} \]
\[ \frac{5}{2} \notin \mathbb{N},\quad \frac{5}{2} \notin \mathbb{Z} \]
Résolution
Vérification de la forme rationnelle
Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme :
\[ \frac{a}{b},\quad a,b\in\mathbb{Z},\quad b\neq 0 \]
Le nombre donné est déjà écrit comme rapport de deux entiers :
\[ \frac{5}{2} \]
donc :
\[ \frac{5}{2}\in\mathbb{Q} \]
Exclusion des naturels et des entiers
En calculant la valeur décimale :
\[ \frac{5}{2}=2{,}5 \]
Le nombre n'est pas entier, il ne peut donc être ni naturel ni entier.
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
Classer le nombre :
\[ \sqrt{2} \]
Résultat
\[ \sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Résolution
Analyse de la racine
Le nombre \(\sqrt{2}\) est la racine carrée de \(2\). Comme \(2\) n'est pas un carré parfait, sa racine n'est pas un entier.
Nature irrationnelle
Le nombre \(\sqrt{2}\) est un exemple classique de nombre irrationnel : il ne peut pas s'écrire comme rapport de deux entiers.
Son développement décimal est infini et non périodique :
\[ \sqrt{2}=1{,}4142135\dots \]
Donc :
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb{Q} \]
Cependant \(\sqrt{2}\) est un nombre réel, par conséquent :
\[ \sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Classer le nombre :
\[ 0 \]
Résultat
\[ 0\in\mathbb{N},\quad 0\in\mathbb{Z},\quad 0\in\mathbb{Q},\quad 0\in\mathbb{R} \]
Résolution
Le rôle du zéro
Dans la convention la plus courante adoptée dans l'enseignement français, zéro appartient à l'ensemble des nombres naturels :
\[ 0\in\mathbb{N} \]
Appartenance aux autres ensembles
Zéro est aussi un nombre entier :
\[ 0\in\mathbb{Z} \]
De plus, il peut s'écrire comme une fraction :
\[ 0=\frac{0}{1} \]
il est donc rationnel :
\[ 0\in\mathbb{Q} \]
Étant rationnel, il est aussi réel.
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Classer le nombre :
\[ -\frac{7}{4} \]
Résultat
\[ -\frac{7}{4}\in\mathbb{Q},\quad -\frac{7}{4}\in\mathbb{R} \]
Résolution
Forme fractionnaire
Le nombre donné est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers :
\[ -\frac{7}{4} \]
Comme le dénominateur est non nul, le nombre est rationnel :
\[ -\frac{7}{4}\in\mathbb{Q} \]
Pourquoi ce nombre n'est pas entier
En calculant la valeur décimale :
\[ -\frac{7}{4}=-1{,}75 \]
Le nombre n'est pas entier, il n'appartient donc pas à \(\mathbb{Z}\) et, par conséquent, pas davantage à \(\mathbb{N}\).
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Classer le nombre :
\[ \pi \]
Résultat
\[ \pi\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Résolution
Nature du nombre \(\pi\)
Le nombre \(\pi\) est un nombre réel fondamental en géométrie, défini comme le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre.
Irrationalité
Le nombre \(\pi\) ne peut pas s'écrire comme rapport de deux entiers. Son développement décimal est infini et non périodique :
\[ \pi=3{,}14159265\dots \]
Donc :
\[ \pi\notin\mathbb{Q} \]
Puisque \(\pi\) appartient à la droite réelle, on conclut :
\[ \pi\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Classer le nombre :
\[ \sqrt{16} \]
Résultat
\[ \sqrt{16}=4 \]
\[ 4\in\mathbb{N},\quad 4\in\mathbb{Z},\quad 4\in\mathbb{Q},\quad 4\in\mathbb{R} \]
Résolution
Calcul de la racine
Avant de classer le nombre, il convient de le simplifier :
\[ \sqrt{16}=4 \]
En effet :
\[ 4^2=16 \]
Classification
Puisque \(4\) est un nombre naturel, il appartient aussi aux ensembles suivants :
\[ 4\in\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \]
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
Classer le nombre :
\[ 0{,}\overline{3} \]
Résultat
\[ 0{,}\overline{3}\in\mathbb{Q},\quad 0{,}\overline{3}\in\mathbb{R} \]
Résolution
Nombre décimal périodique
Le nombre \(0{,}\overline{3}\) est un nombre décimal périodique, car le chiffre \(3\) se répète indéfiniment :
\[ 0{,}\overline{3}=0{,}3333\dots \]
Conversion en fraction
Tout nombre décimal fini ou périodique est rationnel. Dans ce cas :
\[ 0{,}\overline{3}=\frac{1}{3} \]
Par conséquent :
\[ 0{,}\overline{3}\in\mathbb{Q} \]
Étant rationnel, il appartient aussi à \(\mathbb{R}\).
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
Classer le nombre :
\[ 3+\sqrt{2} \]
Résultat
\[ 3+\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Résolution
Analyse des termes
Le nombre \(3\) est rationnel, en effet :
\[ 3=\frac{3}{1} \]
Le nombre \(\sqrt{2}\), quant à lui, est irrationnel :
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb{Q} \]
Somme d'un rationnel et d'un irrationnel
La somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est toujours irrationnelle.
En effet, si \(3+\sqrt{2}\) était rationnel, en soustrayant le rationnel \(3\) on obtiendrait :
\[ (3+\sqrt{2})-3=\sqrt{2} \]
ce qui signifierait que \(\sqrt{2}\) est rationnel, ce qui est faux.
Donc :
\[ 3+\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Classer le nombre :
\[ 2+\frac{1}{2} \]
Résultat
\[ 2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} \]
\[ \frac{5}{2}\in\mathbb{Q},\quad \frac{5}{2}\in\mathbb{R} \]
Résolution
Addition des termes
Écrivons \(2\) comme une fraction de dénominateur \(2\) :
\[ 2=\frac{4}{2} \]
Donc :
\[ 2+\frac{1}{2}=\frac{4}{2}+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} \]
Classification
Le nombre \(\frac{5}{2}\) est une fraction d'entiers dont le dénominateur est non nul. Donc :
\[ \frac{5}{2}\in\mathbb{Q} \]
Ce n'est cependant pas un entier, car :
\[ \frac{5}{2}=2{,}5 \]
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Classer le nombre :
\[ \sqrt{18} \]
Résultat
\[ \sqrt{18}=3\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{18}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Résolution
Simplification de la racine
Décomposons \(18\) en faisant apparaître un carré parfait :
\[ 18=9\cdot 2 \]
Alors :
\[ \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}=3\sqrt{2} \]
Classification
Le nombre \(\sqrt{2}\) est irrationnel. En le multipliant par le rationnel non nul \(3\), on obtient encore un nombre irrationnel.
Par conséquent :
\[ 3\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Classer le nombre :
\[ \frac{\sqrt{4}}{2} \]
Résultat
\[ \frac{\sqrt{4}}{2}=1 \]
\[ 1\in\mathbb{N},\quad 1\in\mathbb{Z},\quad 1\in\mathbb{Q},\quad 1\in\mathbb{R} \]
Résolution
Calcul de la racine
Calculons d'abord la racine carrée :
\[ \sqrt{4}=2 \]
En substituant :
\[ \frac{\sqrt{4}}{2}=\frac{2}{2}=1 \]
Classification
Le nombre \(1\) est naturel. Il appartient par conséquent aussi aux entiers, aux rationnels et aux réels :
\[ 1\in\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \]
Exercice 14 — niveau ★★★★☆
Classer le nombre :
\[ \sqrt{5}+\sqrt{3} \]
Résultat
\[ \sqrt{5}+\sqrt{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Résolution
Analyse des radicaux
Les nombres \(5\) et \(3\) ne sont pas des carrés parfaits, donc :
\[ \sqrt{5}\notin\mathbb{Q},\quad \sqrt{3}\notin\mathbb{Q} \]
Attention : la somme de deux irrationnels peut être rationnelle
Il faut souligner un point délicat : le fait que \(\sqrt{5}\) et \(\sqrt{3}\) soient tous deux irrationnels ne suffit pas pour conclure que leur somme est irrationnelle. Il suffit de penser au contre-exemple :
\[ (1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=2\in\mathbb{Q} \]
Pour démontrer que \(\sqrt{5}+\sqrt{3}\) est irrationnel, un raisonnement par l'absurde est nécessaire.
Démonstration par l'absurde
Supposons, par l'absurde, qu'il existe un nombre rationnel \(q\in\mathbb{Q}\) tel que :
\[ \sqrt{5}+\sqrt{3}=q \]
En élevant les deux membres au carré :
\[ \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2=q^2 \]
En développant le membre gauche :
\[ 5+2\sqrt{15}+3=q^2 \]
c'est-à-dire :
\[ 8+2\sqrt{15}=q^2 \]
En isolant le radical :
\[ \sqrt{15}=\frac{q^2-8}{2} \]
Le membre droit est un nombre rationnel, car il est obtenu à partir de \(q\in\mathbb{Q}\) par des opérations qui restent dans \(\mathbb{Q}\). Ainsi \(\sqrt{15}\) devrait être rationnel.
Irrationalité de \(\sqrt{15}\)
Or \(15\) n'est pas un carré parfait, donc :
\[ \sqrt{15}\notin\mathbb{Q} \]
On aboutit à une contradiction : l'hypothèse initiale est fausse.
Conclusion
Par conséquent :
\[ \sqrt{5}+\sqrt{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
Classer le nombre :
\[ \left(\sqrt{2}\right)^2 \]
Résultat
\[ \left(\sqrt{2}\right)^2=2 \]
\[ 2\in\mathbb{N},\quad 2\in\mathbb{Z},\quad 2\in\mathbb{Q},\quad 2\in\mathbb{R} \]
Résolution
Simplification de l'expression
Pour tout réel non négatif \(a\), on a :
\[ \left(\sqrt{a}\right)^2=a \]
En appliquant cette propriété avec \(a=2\) :
\[ \left(\sqrt{2}\right)^2=2 \]
Classification
Bien que \(\sqrt{2}\) soit irrationnel, son carré est le nombre naturel \(2\). Le résultat appartient donc à tous les ensembles :
\[ 2\in\mathbb{N},\quad 2\in\mathbb{Z},\quad 2\in\mathbb{Q},\quad 2\in\mathbb{R} \]
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
Classer le nombre :
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \]
Résultat
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Résolution
Rationalisation utile à l'analyse
Rationalisons le dénominateur :
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \]
Classification
Le nombre \(\sqrt{2}\) est irrationnel. En divisant un irrationnel par le rationnel non nul \(2\), on obtient encore un nombre irrationnel.
Donc :
\[ \frac{\sqrt{2}}{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
et par conséquent :
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Classer le nombre :
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2} \]
Résultat
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Résolution
Simplification du premier radical
Décomposons \(8\) :
\[ 8=4\cdot 2 \]
Donc :
\[ \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2} \]
Réduction de l'expression
En substituant dans l'expression initiale :
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2} \]
Classification
Puisque \(\sqrt{2}\) est irrationnel, l'expression donnée est elle aussi irrationnelle :
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercice 18 — niveau ★★★★★
Classer le nombre :
\[ \frac{3+\sqrt{2}}{3} \]
Résultat
\[ \frac{3+\sqrt{2}}{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Résolution
Séparation de la fraction
Séparons les deux termes au numérateur :
\[ \frac{3+\sqrt{2}}{3}=\frac{3}{3}+\frac{\sqrt{2}}{3} \]
donc :
\[ \frac{3+\sqrt{2}}{3}=1+\frac{\sqrt{2}}{3} \]
Nature du terme \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)
Montrons que \(\frac{\sqrt{2}}{3}\) est irrationnel. Supposons par l'absurde qu'il soit rationnel, c'est-à-dire qu'il existe \(q\in\mathbb{Q}\) tel que :
\[ \frac{\sqrt{2}}{3}=q \]
En multipliant les deux membres par \(3\) :
\[ \sqrt{2}=3q \]
Or le produit de deux nombres rationnels est rationnel, donc \(3q\in\mathbb{Q}\). On aurait alors \(\sqrt{2}\in\mathbb{Q}\), ce qui est absurde. Par conséquent :
\[ \frac{\sqrt{2}}{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Somme d'un rationnel et d'un irrationnel
Comme démontré dans l'Exercice 10, la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est toujours irrationnelle.
Puisque \(1\in\mathbb{Q}\) et \(\frac{\sqrt{2}}{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\), on conclut :
\[ 1+\frac{\sqrt{2}}{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
et donc :
\[ \frac{3+\sqrt{2}}{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercice 19 — niveau ★★★★★
Classer le nombre :
\[ \sqrt{2}\cdot\sqrt{8} \]
Résultat
\[ \sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=4 \]
\[ 4\in\mathbb{N},\quad 4\in\mathbb{Z},\quad 4\in\mathbb{Q},\quad 4\in\mathbb{R} \]
Résolution
Produit de radicaux
Comme les radicandes sont positifs ou nuls, on peut utiliser la propriété :
\[ \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab} \]
Donc :
\[ \sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16} \]
et :
\[ \sqrt{16}=4 \]
Remarque importante
Bien que les facteurs \(\sqrt{2}\) et \(\sqrt{8}\) soient tous deux irrationnels, leur produit peut être rationnel. Dans ce cas, le résultat est même un nombre naturel.
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Classer le nombre :
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]
Résultat
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=1+\frac{\sqrt{6}}{2} \]
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Résolution
Séparation de la fraction
Divisons chaque terme du numérateur par le dénominateur :
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]
Le premier terme vaut :
\[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1 \]
donc :
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=1+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]
Rationalisation
Rationalisons le second terme :
\[ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \]
Par conséquent :
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=1+\frac{\sqrt{6}}{2} \]
Classification finale
Le nombre \(\sqrt{6}\) est irrationnel, car \(6\) n'est pas un carré parfait. Par conséquent, \(\frac{\sqrt{6}}{2}\) est lui aussi irrationnel.
La somme du rationnel \(1\) et de l'irrationnel \(\frac{\sqrt{6}}{2}\) est irrationnelle.
Donc :
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Pour classer correctement un nombre, il convient toujours de procéder dans l'ordre suivant :
- simplifier l'expression, si possible ;
- vérifier si le résultat est naturel ;
- vérifier s'il est entier ;
- vérifier s'il peut s'écrire comme une fraction ;
- s'il n'est pas rationnel mais appartient à la droite réelle, le classer comme irrationnel.
La relation fondamentale entre les ensembles de nombres est :
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \]
tandis que les nombres irrationnels sont exactement tous les nombres réels qui ne sont pas rationnels :
\[ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]