Borne Supérieure et Borne Inférieure : Définition, Propriétés et Exemples

La borne supérieure et la borne inférieure généralisent les notions de maximum et de minimum d'un ensemble et permettent de décrire de manière rigoureuse le comportement des ensembles bornés.

À la différence du maximum et du minimum, la borne supérieure et la borne inférieure peuvent exister même lorsque les valeurs extrêmes correspondantes n'appartiennent pas à l'ensemble.

Dans les sections suivantes, nous introduirons les définitions de majorant, de minorant, de borne supérieure et de borne inférieure, nous en étudierons les principales propriétés et nous analyserons plusieurs exemples significatifs.

Sommaire

• Majorants et minorants
• Borne supérieure
• Borne inférieure
• Unicité de la borne supérieure et de la borne inférieure
• Caractérisation de la borne supérieure
• Caractérisation de la borne inférieure
• Relation avec le maximum et le minimum
• Exemples
• Complétude des nombres réels

Pour introduire les notions de borne supérieure et de borne inférieure, il faut partir de deux notions fondamentales : celles de majorant et de minorant.

Soit \(A\subseteq\mathbb{R}\) un ensemble non vide.

Définition. Un nombre réel \(M\) est appelé majorant de \(A\) si :

\[ x\leq M \qquad \forall x\in A. \]

Autrement dit, un majorant est un nombre supérieur ou égal à tous les éléments de l'ensemble.

De même, un nombre réel \(m\) est appelé minorant de \(A\) si :

\[ m\leq x \qquad \forall x\in A. \]

Un minorant est donc un nombre inférieur ou égal à tous les éléments de l'ensemble.

Exemple 1. Considérons l'intervalle \( A=(1,5). \)

Puisque tout élément est inférieur à \(5\), le nombre \(5\) est un majorant de \(A\). Les nombres \(6\), \(10\), \(100\) et, plus généralement, tous les nombres réels supérieurs ou égaux à \(5\) sont eux aussi des majorants de l'ensemble.

De même, le nombre \(1\) est un minorant de \(A\). Le sont également \(0\), \(-3\), \(-100\) et, plus généralement, tous les nombres réels inférieurs ou égaux à \(1\).

Nous observons ainsi qu'un même ensemble peut posséder une infinité de majorants et une infinité de minorants.

Ensembles majorés et minorés

Définition. Un ensemble qui possède au moins un majorant est dit majoré, tandis qu'un ensemble qui possède au moins un minorant est dit minoré.

Si un ensemble est à la fois majoré et minoré, il est dit simplement borné.

Il importe d'observer que le terme borné n'a aucun lien avec la notion de limite d'une suite ou d'une fonction. Dire qu'un ensemble est borné signifie simplement que tous ses éléments sont compris entre un minorant et un majorant convenables.

Exemple 2. L'intervalle

\[ (1,5) \]

est majoré et minoré. Par exemple, \(5\) est un majorant et \(1\) est un minorant.

Exemple 3. L'ensemble \( [0,+\infty) \) est minoré mais non majoré. En effet, \(0\) est un minorant, tandis qu'il n'existe aucun nombre réel qui soit supérieur ou égal à tous les éléments de l'ensemble.

Exemple 4. L'ensemble \( \mathbb{R} \) n'est ni majoré ni minoré.

Les notions de majorant et de minorant constituent le point de départ pour introduire la borne supérieure et la borne inférieure, qui seront définies dans les sections suivantes.

Soit \(A\subseteq\mathbb{R}\) un ensemble non vide et majoré. L'ensemble de ses majorants est donc non vide, et parmi eux il en existe un privilégié : le plus petit.

Définition. On appelle borne supérieure de \(A\), et l'on note \(\sup A\), le plus petit des majorants de \(A\).

De manière équivalente, un nombre réel \(s\) est la borne supérieure de \(A\) s'il satisfait aux deux conditions suivantes :

• \(s\) est un majorant de \(A\), c'est-à-dire \(x\leq s\) pour tout \(x\in A\) ;
• si \(M\) est un majorant de \(A\), alors \(s\leq M\).

La première condition affirme que \(s\) « se situe au-dessus » de tous les éléments de \(A\) ; la seconde, qu'aucun nombre plus petit que \(s\) ne jouit de la même propriété.

L'existence de la borne supérieure pour tout ensemble non vide et majoré n'est nullement évidente : elle est garantie par une propriété fondamentale des nombres réels, l'axiome de la borne supérieure, que nous discuterons dans la dernière section.

Exemple 5. Reprenons l'intervalle :

\[ A=(1,5). \]

Ses majorants sont exactement les nombres réels supérieurs ou égaux à \(5\), c'est-à-dire l'ensemble \([5,+\infty)\). Le plus petit d'entre eux est \(5\), de sorte que :

\[ \sup A=5. \]

Remarquons que \(5\notin A\) : la borne supérieure n'appartient pas nécessairement à l'ensemble.

On introduit la borne inférieure de manière parfaitement symétrique. Soit \(A\subseteq\mathbb{R}\) un ensemble non vide et minoré : l'ensemble de ses minorants est non vide et contient un élément privilégié, le plus grand.

Définition. On appelle borne inférieure de \(A\), et l'on note \(\inf A\), le plus grand des minorants de \(A\).

De manière équivalente, un nombre réel \(i\) est la borne inférieure de \(A\) s'il satisfait aux deux conditions suivantes :

• \(i\) est un minorant de \(A\), c'est-à-dire \(i\leq x\) pour tout \(x\in A\) ;
• si \(m\) est un minorant de \(A\), alors \(m\leq i\).

Là encore, l'existence de la borne inférieure pour tout ensemble non vide et minoré découle de l'axiome de la borne supérieure.

Exemple 6. Considérons de nouveau :

\[ A=(1,5). \]

Ses minorants sont exactement les nombres réels inférieurs ou égaux à \(1\), c'est-à-dire l'ensemble \((-\infty,1]\). Le plus grand d'entre eux est \(1\), de sorte que :

\[ \inf A=1. \]

Comme pour la borne supérieure, nous observons que \(1\notin A\).

Remarque (ensembles non bornés). Les définitions précédentes concernent les ensembles majorés ou minorés. Afin de traiter également de manière uniforme le cas non borné, on adopte souvent la convention suivante : si \(A\) n'est pas majoré, on pose

\[ \sup A=+\infty, \]

tandis que si \(A\) n'est pas minoré, on pose

\[ \inf A=-\infty. \]

Les symboles \(+\infty\) et \(-\infty\) ne sont pas des nombres réels : l'égalité \(\sup A=+\infty\) n'est qu'une manière concise d'affirmer que \(A\) ne possède aucun majorant. Avec cette convention, tout sous-ensemble non vide de \(\mathbb{R}\) se trouve doté d'une borne supérieure et d'une borne inférieure, finies ou infinies. Par exemple, \(\sup\mathbb{R}=+\infty\) et \(\inf\mathbb{R}=-\infty\), tandis que pour l'ensemble \([0,+\infty)\) on a \(\inf=0\) et \(\sup=+\infty\).

Lorsqu'elles existent, la borne supérieure et la borne inférieure d'un ensemble sont uniques.

Proposition. Si un ensemble \(A\subseteq\mathbb{R}\) possède une borne supérieure, alors celle-ci est unique.

Démonstration. Supposons que \(s_1\) et \(s_2\) soient deux bornes supérieures de \(A\).

Puisque \(s_1\) est une borne supérieure, tout majorant de \(A\) est supérieur ou égal à \(s_1\). En particulier, \(s_2\) étant un majorant de \(A\), on a :

\[ s_1\leq s_2. \]

De même, puisque \(s_2\) est une borne supérieure et que \(s_1\) est un majorant de \(A\), il vient :

\[ s_2\leq s_1. \]

Des deux inégalités on déduit :

\[ s_1=s_2. \]

Par conséquent, la borne supérieure est unique.

Par un raisonnement tout à fait analogue, on démontre que la borne inférieure, lorsqu'elle existe, est elle aussi unique.

Monotonie par rapport à l'inclusion

Une autre propriété utile concerne le comportement de ces bornes lorsqu'un ensemble est agrandi : ajouter des éléments ne peut que faire croître (ou laisser inchangée) la borne supérieure et faire décroître (ou laisser inchangée) la borne inférieure.

Proposition. Soient \(A,B\subseteq\mathbb{R}\) non vides avec \(A\subseteq B\). Si \(B\) est majoré, alors \(A\) l'est aussi, et

\[ \sup A\leq\sup B. \]

De même, si \(B\) est minoré, alors \(A\) l'est aussi, et

\[ \inf A\geq\inf B. \]

Démonstration. Supposons \(B\) majoré et posons \(s=\sup B\). Pour tout \(x\in A\) on a \(x\in B\), puisque \(A\subseteq B\), et donc \(x\leq s\). Ainsi \(s\) est un majorant de \(A\) : en particulier, \(A\) est majoré et admet une borne supérieure. Comme \(\sup A\) est le plus petit des majorants de \(A\) et que \(s\) en est un, il vient :

\[ \sup A\leq s=\sup B. \]

Le cas de la borne inférieure est tout à fait analogue. En posant \(i=\inf B\), on a \(i\leq x\) pour tout \(x\in B\), et donc pour tout \(x\in A\) ; par conséquent, \(i\) est un minorant de \(A\) et \(\inf A\) existe. Comme \(\inf A\) est le plus grand des minorants de \(A\) et que \(i\) en est un, on obtient \(\inf A\geq i=\inf B\).

Remarque. En adoptant la convention introduite dans la section précédente, les inégalités \(\sup A\leq\sup B\) et \(\inf A\geq\inf B\) restent valables pour tout couple d'ensembles non vides avec \(A\subseteq B\), même non bornés.

La définition de la borne supérieure affirme que \(\sup A\) est le plus petit de tous les majorants de \(A\). Vérifier directement cette propriété exigerait, en principe, de comparer \(s\) à la totalité des majorants de l'ensemble.

Il existe toutefois une caractérisation bien plus maniable, qui permet de reconnaître une borne supérieure en n'examinant que les éléments de \(A\).

Proposition. Soit \(A\subseteq\mathbb{R}\) un ensemble non vide et majoré, et soit \(s\in\mathbb{R}\). Alors :

\[ s=\sup A \]

si et seulement si les deux conditions suivantes sont toutes deux vérifiées :

• \(x\leq s\) pour tout \(x\in A\) ;
• pour tout \(\varepsilon>0\) il existe un élément \(x\in A\) tel que \[ s-\varepsilon<x. \]

La première condition affirme que \(s\) est un majorant de \(A\).

La seconde condition garantit en revanche qu'aucun nombre strictement inférieur à \(s\) ne peut être un majorant de l'ensemble.

En effet, \(\varepsilon>0\) étant fixé arbitrairement, il existe toujours un élément de \(A\) strictement supérieur à \(s-\varepsilon\). Par conséquent, \(s-\varepsilon\) ne peut être un majorant de \(A\).

On comprend l'équivalence en observant le sens des deux conditions. Si la première était vérifiée mais non la seconde, il existerait un \(\varepsilon>0\) tel qu'aucun élément de \(A\) ne dépasse \(s-\varepsilon\) : alors \(s-\varepsilon\) serait à son tour un majorant, strictement inférieur à \(s\), et donc \(s\) ne pourrait être le plus petit des majorants. Réciproquement, si les deux conditions sont vérifiées, \(s\) est un majorant et aucun nombre plus petit que \(s\) ne l'est : \(s\) est donc le minimum des majorants, c'est-à-dire \(\sup A\).

Exemple 7. Considérons l'intervalle :

\[ A=(1,5). \]

Vérifions, au moyen de la caractérisation, que :

\[ \sup A=5. \]

Première condition. Tout élément de \(A\) satisfait \(x<5\), et donc, a fortiori, \(x\leq 5\). Ainsi \(5\) est un majorant de \(A\).

Seconde condition. Soit \(\varepsilon>0\). Nous devons exhiber un élément de \(A\) supérieur à \(5-\varepsilon\).

Si \(\varepsilon\geq 4\), alors :

\[ 5-\varepsilon\leq 1, \]

et donc tout élément de \(A\) est déjà supérieur à \(5-\varepsilon\) : la condition est trivialement satisfaite.

Si, en revanche, \(0<\varepsilon<4\), considérons le nombre :

\[ x=5-\frac{\varepsilon}{2}. \]

Puisque \(0<\dfrac{\varepsilon}{2}<2\), on a :

\[ 3<x<5, \]

et donc \(x\in(1,5)=A\). De plus, \(\dfrac{\varepsilon}{2}<\varepsilon\) entraîne :

\[ 5-\varepsilon<x. \]

Dans les deux cas, nous avons trouvé un élément de \(A\) supérieur à \(5-\varepsilon\). La seconde condition est donc vérifiée pour tout \(\varepsilon>0\).

Les deux conditions étant satisfaites, nous concluons que :

\[ \sup A=5, \]

bien que \(5\notin A\). Cet exemple met en lumière la nature de la borne supérieure : une valeur dont les éléments de l'ensemble peuvent s'approcher autant que l'on veut, sans qu'elle doive nécessairement appartenir à l'ensemble.

De manière analogue à la borne supérieure, la borne inférieure admet elle aussi une caractérisation équivalente, particulièrement utile dans les applications.

Proposition. Soit \(A\subseteq\mathbb{R}\) un ensemble non vide et minoré, et soit \(i\in\mathbb{R}\). Alors :

\[ i=\inf A \]

si et seulement si les deux conditions suivantes sont toutes deux vérifiées :

• \(i\leq x\) pour tout \(x\in A\) ;
• pour tout \(\varepsilon>0\) il existe un élément \(x\in A\) tel que \[ x<i+\varepsilon. \]

La première condition affirme que \(i\) est un minorant de \(A\).

La seconde condition garantit en revanche qu'aucun nombre strictement supérieur à \(i\) ne peut être un minorant de l'ensemble.

En effet, \(\varepsilon>0\) étant fixé arbitrairement, il existe toujours un élément de \(A\) strictement inférieur à \(i+\varepsilon\). Par conséquent, \(i+\varepsilon\) ne peut être un minorant de \(A\).

On comprend l'équivalence en observant le sens des deux conditions. Si la première était vérifiée mais non la seconde, il existerait un \(\varepsilon>0\) tel que :

\[ x\geq i+\varepsilon \qquad \forall x\in A. \]

Dans ce cas, \(i+\varepsilon\) serait un minorant de \(A\) strictement supérieur à \(i\), en contradiction avec le fait que \(i\) soit le plus grand des minorants.

Réciproquement, si les deux conditions sont vérifiées, \(i\) est un minorant et aucun nombre supérieur à \(i\) n'est un minorant. Par conséquent, \(i\) coïncide avec le plus grand des minorants, c'est-à-dire avec la borne inférieure de \(A\).

Exemple 8. Considérons l'intervalle :

\[ A=(1,5). \]

Vérifions, au moyen de la caractérisation précédente, que :

\[ \inf A=1. \]

Première condition. Tout élément de \(A\) satisfait \(1<x\), et donc, a fortiori, \(1\leq x\). Il s'ensuit que \(1\) est un minorant de \(A\).

Seconde condition. Soit \(\varepsilon>0\).

Si \(\varepsilon\geq 4\), alors :

\[ 1+\varepsilon\geq 5, \]

et donc tout élément de \(A\) est inférieur à \(1+\varepsilon\).

Si, en revanche, \(0<\varepsilon<4\), considérons :

\[ x=1+\frac{\varepsilon}{2}. \]

Puisque :

\[ 0<\frac{\varepsilon}{2}<2, \]

on obtient :

\[ 1<x<3<5. \]

Par conséquent :

\[ x\in(1,5)=A. \]

De plus :

\[ x=1+\frac{\varepsilon}{2} < 1+\varepsilon. \]

Dans les deux cas, il existe un élément de \(A\) inférieur à \(1+\varepsilon\). La seconde condition est donc vérifiée.

Les deux conditions étant satisfaites, nous concluons que :

\[ \inf(1,5)=1. \]

Remarque. Puisque :

\[ 1\notin(1,5), \]

la borne inférieure n'est pas nécessairement un élément de l'ensemble.

La borne supérieure et la borne inférieure sont étroitement liées au maximum et au minimum, dont elles constituent une généralisation. La différence essentielle est unique : le maximum et le minimum doivent appartenir à l'ensemble, tandis que la borne supérieure et la borne inférieure, non.

Proposition. Soit \(A\subseteq\mathbb{R}\) non vide et majoré. Alors \(A\) possède un maximum si et seulement si :

\[ \sup A\in A, \]

et, dans ce cas :

\[ \max A=\sup A. \]

Démonstration. Supposons d'abord que \(A\) possède un maximum et posons \(m=\max A\).

Par définition du maximum, \(m\in A\) et \(x\leq m\) pour tout \(x\in A\), de sorte que \(m\) est un majorant de \(A\). De plus, si \(M\) est un majorant quelconque de \(A\), alors \(M\geq x\) pour tout \(x\in A\) et, en particulier, \(m\in A\) entraîne :

\[ M\geq m. \]

Ainsi \(m\) est le plus petit des majorants, c'est-à-dire \(m=\sup A\) ; en particulier, \(\sup A=m\in A\).

Réciproquement, supposons que \(\sup A\in A\) et posons \(s=\sup A\). Alors \(s\) est un majorant, de sorte que \(x\leq s\) pour tout \(x\in A\) ; de plus, \(s\in A\). Par définition, \(s\) est donc le maximum de \(A\), et \(\max A=s=\sup A\).

De manière tout à fait analogue, on démontre que \(A\), non vide et minoré, possède un minimum si et seulement si \(\inf A\in A\), et, dans ce cas :

\[ \min A=\inf A. \]

En résumé : la borne supérieure existe toujours (pour un ensemble non vide et majoré), tandis que le maximum n'existe que lorsque la borne supérieure appartient à l'ensemble. Il en va de même, symétriquement, pour la borne inférieure et le minimum.

Exemple 9. Pour l'intervalle fermé :

\[ A=[1,5], \]

on a \(\sup A=5\) et \(\inf A=1\) ; puisque \(5\in A\) et \(1\in A\), les deux bornes appartiennent à l'ensemble et, par conséquent :

\[ \max A=5,\qquad \min A=1. \]

Pour l'intervalle ouvert :

\[ A=(1,5), \]

on a encore \(\sup A=5\) et \(\inf A=1\), mais désormais \(5\notin A\) et \(1\notin A\) : l'ensemble ne possède ni maximum ni minimum, bien qu'il soit doté d'une borne supérieure et d'une borne inférieure.

Appliquons les définitions et les résultats précédents à quelques ensembles remarquables, en déterminant pour chacun sa borne supérieure, sa borne inférieure et, le cas échéant, son maximum et son minimum.

Exemple 10. \[ A=[-2,3). \]

La borne inférieure est \(-2\), qui appartient à l'ensemble ; par conséquent :

\[ \inf A=\min A=-2. \]

La borne supérieure est \(3\), qui, en revanche, n'appartient pas à l'ensemble :

\[ \sup A=3, \]

tandis que le maximum n'existe pas.

Exemple 11. \[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb{N},\ n\geq 1\right\}. \]

Les éléments sont \(1,\ \frac12,\ \frac13,\ldots\) La plus grande valeur est \(1\), obtenue pour \(n=1\), et elle appartient à l'ensemble :

\[ \sup A=\max A=1. \]

Les éléments décroissent en s'approchant de \(0\) sans jamais l'atteindre. Le nombre \(0\) est un minorant et, pour tout \(\varepsilon>0\), en choisissant \(n\) tel que \(\frac1n<\varepsilon\) on obtient un élément inférieur à \(0+\varepsilon\). Par conséquent :

\[ \inf A=0, \]

tandis que le minimum n'existe pas, puisque \(0\notin A\).

Exemple 12. \[ A=\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb{N},\ n\geq 1\right\}. \]

Puisque \(\frac{n}{n+1}=1-\frac1{n+1}\), la suite est croissante. Le premier élément, pour \(n=1\), est \(\frac12\), et il appartient à l'ensemble :

\[ \inf A=\min A=\frac12. \]

Les éléments croissent en s'approchant de \(1\) sans jamais l'atteindre, de sorte que :

\[ \sup A=1, \]

tandis que le maximum n'existe pas, puisque \(1\notin A\).

Exemple 13. \[ A=\left\{(-1)^n+\frac1n:n\in\mathbb{N},\ n\geq 1\right\}. \]

Il convient de distinguer les termes d'indice pair et impair.

Pour \(n\) pair, l'élément vaut \(1+\frac1n\) ; ces termes décroissent et le plus grand est obtenu pour \(n=2\) :

\[ 1+\frac12=\frac32. \]

Tous les autres éléments de l'ensemble sont inférieurs à \(\frac32\), qui appartient à \(A\). Par conséquent :

\[ \sup A=\max A=\frac32. \]

Pour \(n\) impair, l'élément vaut \(-1+\frac1n\) ; ces termes décroissent en s'approchant de \(-1\) sans jamais l'atteindre. Le nombre \(-1\) est un minorant de \(A\) et, pour tout \(\varepsilon>0\), en choisissant un \(n\) impair tel que \(\frac1n<\varepsilon\) on obtient un élément inférieur à \(-1+\varepsilon\). Par conséquent :

\[ \inf A=-1, \]

tandis que le minimum n'existe pas, puisqu'aucun élément de l'ensemble n'est égal à \(-1\).

Nous avons affirmé à plusieurs reprises que tout ensemble non vide et majoré possède une borne supérieure. Cette propriété n'est pas une conséquence des règles algébriques ni de la relation d'ordre : c'est une propriété structurelle des nombres réels, prise comme axiome.

Axiome de la borne supérieure. Tout sous-ensemble de \(\mathbb{R}\) non vide et majoré admet une borne supérieure dans \(\mathbb{R}\).

De cet axiome on déduit immédiatement la propriété symétrique pour la borne inférieure : tout sous-ensemble de \(\mathbb{R}\) non vide et minoré admet une borne inférieure dans \(\mathbb{R}\). Il suffit d'observer qu'en posant \(-A=\{-x:x\in A\}\), on a :

\[ \inf A=-\sup(-A). \]

L'importance de l'axiome de la borne supérieure apparaît clairement lorsqu'on compare \(\mathbb{R}\) au corps des nombres rationnels \(\mathbb{Q}\), qui ne jouit pas de cette propriété.

Un ensemble rationnel dépourvu de borne supérieure dans \(\mathbb{Q}\)

Considérons le sous-ensemble de \(\mathbb{Q}\) :

\[ B=\left\{x\in\mathbb{Q}:x>0,\ x^2<2\right\}. \]

L'ensemble \(B\) est non vide, puisque \(1\in B\), et il est majoré dans \(\mathbb{Q}\) : si \(x\in B\), alors \(x^2<2<4\), d'où \(x<2\), et donc \(2\) est un majorant.

Montrons cependant que \(B\) ne possède pas de borne supérieure au sein de \(\mathbb{Q}\). Supposons par l'absurde qu'il existe \(s\in\mathbb{Q}\) tel que \(s=\sup B\) ; puisque \(\sqrt2\) n'est pas rationnel, on doit avoir \(s^2\neq 2\), donc \(s^2<2\) ou bien \(s^2>2\).

Si \(s^2<2\), choisissons un rationnel \(h\) tel que \(0<h<1\) et :

\[ h<\frac{2-s^2}{2s+1}. \]

Alors, en utilisant \(h^2<h\) :

\[ (s+h)^2=s^2+2sh+h^2<s^2+h(2s+1)<s^2+(2-s^2)=2, \]

de sorte que \(s+h\in B\) et \(s+h>s\) : ceci contredit le fait que \(s\) soit un majorant.

Si, en revanche, \(s^2>2\), choisissons un rationnel \(h\) tel que :

\[ 0<h<\frac{s^2-2}{2s}. \]

Alors :

\[ (s-h)^2=s^2-2sh+h^2>s^2-2sh>s^2-(s^2-2)=2. \]

Il s'ensuit que \(s-h\) est encore un majorant de \(B\) (tout élément \(x\in B\) satisfait \(x^2<2<(s-h)^2\), d'où \(x<s-h\)), mais \(s-h<s\) : ceci contredit le fait que \(s\) soit le plus petit des majorants.

Dans les deux cas, on aboutit à une contradiction. Par conséquent, \(B\) n'admet pas de borne supérieure dans \(\mathbb{Q}\).

Dans l'ensemble des nombres réels, en revanche, la borne supérieure existe, et elle vaut :

\[ \sup B=\sqrt2. \]

Cet exemple montre que \(\mathbb{Q}\) présente des « trous » : il existe des ensembles rationnels majorés qui s'accumulent autour d'une valeur sans que cette valeur appartienne à \(\mathbb{Q}\). L'axiome de la borne supérieure affirme précisément que, dans \(\mathbb{R}\), ces trous n'existent pas : les nombres réels forment un continu sans lacunes.

C'est cette propriété qui rend possible le développement rigoureux des notions de limite, de continuité, de dérivée et d'intégrale, qui constituent le fondement de l'analyse mathématique.