Les inéquations rationnelles sont des inéquations dans lesquelles l'inconnue figure au dénominateur d'une fraction algébrique. Leur résolution repose presque entièrement sur l'étude du signe : il ne suffit pas de déterminer quand une expression s'annule, il faut également établir sur quels intervalles numérateur et dénominateur ont des signes identiques ou opposés.
Sommaire
- Principe fondamental de l'étude du signe
- Conditions d'existence
- Points critiques et subdivision de la droite réelle
- Construction du tableau de signes
- Multiplicité des racines
- Exemple entièrement résolu
- Erreurs les plus fréquentes
Principe fondamental de l'étude du signe
Considérons une inéquation de la forme :
\[ \frac{P(x)}{Q(x)} > 0 \]
Le signe de la fraction dépend simultanément du signe du numérateur et de celui du dénominateur.
Une fraction est positive lorsque numérateur et dénominateur ont le même signe ; elle est négative lorsque leurs signes sont opposés.
En termes d'équivalence :
\[ \frac{P(x)}{Q(x)}>0 \]
lorsque :
\[ \begin{cases} P(x)>0 \\ Q(x)>0 \end{cases} \quad \text{ou} \quad \begin{cases} P(x)<0 \\ Q(x)<0 \end{cases} \]
De même :
\[ \frac{P(x)}{Q(x)}<0 \]
lorsque les signes sont de sens contraire.
Toute la théorie des inéquations rationnelles découle précisément de cette observation.
Conditions d'existence
Avant d'étudier le signe de la fraction, on doit déterminer pour quelles valeurs l'expression est définie.
Puisqu'une fraction ne peut avoir un dénominateur nul, on doit toujours imposer :
\[ Q(x)\neq0 \]
Les valeurs qui annulent le dénominateur sont appelées :
- valeurs interdites ;
- valeurs exclues ;
- conditions d'existence.
Ces valeurs ne peuvent en aucun cas appartenir à la solution finale, même si des simplifications semblent les faire disparaître.
Par exemple :
\[ \frac{x^2-4}{x-2} \]
peut s'écrire :
\[ \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2 \]
mais la valeur :
\[ x=2 \]
reste néanmoins exclue, car elle annulait le dénominateur de l'expression initiale.
Points critiques et subdivision de la droite réelle
Les valeurs susceptibles de provoquer un changement de signe sont appelées points critiques.
Ils comprennent :
- les zéros du numérateur ;
- les zéros du dénominateur.
Considérons par exemple :
\[ \frac{(x-1)(x+2)}{x-3} \]
Les points critiques sont :
\[ -2,\quad1,\quad3 \]
Ces valeurs subdivisent la droite réelle en intervalles :
\[ (-\infty,-2),\quad(-2,1),\quad(1,3),\quad(3,+\infty) \]
Sur chacun de ces intervalles, le signe des facteurs reste constant. Un polynôme ne peut en effet changer de signe qu'en passant par l'un de ses zéros.
Construction du tableau de signes
Le tableau de signes s'obtient directement à partir de la factorisation de la fraction.
On commence par décomposer numérateur et dénominateur en facteurs irréductibles. On identifie ensuite tous les points critiques et on les place sur la droite réelle par ordre croissant.
On étudie alors le signe de chaque facteur sur les intervalles délimités par ces points critiques.
Considérons :
\[ \frac{(x-1)(x+2)}{x-3}>0 \]
| Intervalle | \((-\infty,-2)\) | \((-2,1)\) | \((1,3)\) | \((3,+\infty)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x+2\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x-1\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x-3\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| Fraction | \(-\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) |
Une fois le signe de chaque facteur connu, le comportement de la fraction s'en déduit immédiatement : un produit de facteurs de même signe est positif, un produit de facteurs de signes opposés est négatif.
Puisque l'inéquation exige :
\[ \frac{(x-1)(x+2)}{x-3}>0 \]
on retient les intervalles pour lesquels la dernière ligne est positive :
\[ (-2,1)\cup(3,+\infty) \]
Multiplicité des racines
Lorsqu'un facteur apparaît élevé à une puissance, le comportement du signe dépend de la multiplicité de la racine.
Si la multiplicité est impaire, le facteur traverse effectivement la racine et change de signe.
Par exemple :
\[ (x-1)^3 \]
est négatif pour :
\[ x<1 \]
et positif pour :
\[ x>1 \]
Une multiplicité paire, en revanche, n'entraîne aucun changement de signe.
En effet :
\[ (x-1)^2\geq0 \]
pour toute valeur réelle de \(x\).
Géométriquement, une racine de multiplicité impaire correspond à un croisement de l'axe des abscisses, tandis qu'une racine de multiplicité paire correspond à un simple contact avec cet axe.
Exemple complet guidé
Résolvons l'inéquation :
\[ \frac{x^2-4x}{x+2}\geq0 \]
L'objectif est de déterminer pour quelles valeurs de \(x\) la fraction est positive ou nulle.
Pour cela, on procède ainsi :
- factoriser le numérateur ;
- établir les conditions d'existence ;
- identifier les points critiques ;
- construire le tableau de signes.
Factorisation
Le numérateur admet le facteur commun \(x\) :
\[ x^2-4x=x(x-4) \]
L'inéquation devient alors :
\[ \frac{x(x-4)}{x+2}\geq0 \]
Sous cette forme, le signe de la fraction peut être étudié séparément sur chaque facteur :
\[ x,\qquad x-4,\qquad x+2 \]
Conditions d'existence
Le dénominateur ne doit pas s'annuler :
\[ x+2\neq0 \]
donc :
\[ x\neq-2 \]
Cette valeur devra être exclue de la solution finale, quel que soit le signe de la fraction.
Points critiques
Les points critiques sont les valeurs qui annulent le numérateur ou le dénominateur.
Ici :
\[ x=0,\qquad x=4,\qquad x=-2 \]
Classés par ordre croissant sur la droite réelle, on obtient :
\[ -2,\quad0,\quad4 \]
Ces points subdivisent la droite réelle en intervalles :
\[ (-\infty,-2),\quad(-2,0),\quad(0,4),\quad(4,+\infty) \]
Sur chacun de ces intervalles, le signe de chaque facteur reste constant.
Étude du signe
Analysons maintenant le comportement des facteurs.
Le facteur :
\[ x \]
est négatif pour \(x<0\) et positif pour \(x>0\).
Le facteur :
\[ x-4 \]
est négatif pour \(x<4\) et positif pour \(x>4\).
Enfin :
\[ x+2 \]
est négatif pour \(x<-2\) et positif pour \(x>-2\).
On reporte tout cela dans le tableau de signes :
| Intervalle | \((-\infty,-2)\) | \((-2,0)\) | \((0,4)\) | \((4,+\infty)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x-4\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(x+2\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| Fraction | \(-\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) |
La dernière ligne s'obtient en multipliant les signes des facteurs.
Par exemple, sur l'intervalle :
\[ (-2,0) \]
on a :
\[ (-)\cdot(-)\cdot(+)=+ \]
donc la fraction est positive.
Sur les intervalles :
\[ (-\infty,-2) \quad\text{et}\quad (0,4) \]
le produit des signes est en revanche négatif.
Détermination de la solution
L'inéquation exige :
\[ \frac{x(x-4)}{x+2}\geq0 \]
On retient donc les intervalles sur lesquels la fraction est positive ou nulle.
D'après le tableau, on obtient :
\[ (-2,0) \quad\text{et}\quad (4,+\infty) \]
Puisque l'inéquation est large (symbole :
\[ \geq \]
), on inclut également les zéros du numérateur :
\[ x=0,\qquad x=4 \]
La valeur :
\[ x=-2 \]
reste exclue, car elle annule le dénominateur.
La solution finale est donc :
\[ (-2,0]\cup[4,+\infty) \]
Erreurs les plus fréquentes
Oublier les conditions d'existence
C'est l'erreur la plus répandue. Les zéros du dénominateur doivent toujours être exclus.
Inverser le sens de l'inéquation de façon incorrecte
On ne peut pas multiplier une inéquation par une expression contenant l'inconnue sans connaître le signe de cette expression.
Supprimer les valeurs exclues lors de la simplification
Même après avoir simplifié des facteurs communs, les valeurs qui annulaient le dénominateur initial demeurent interdites.
Oublier les zéros du numérateur
Pour les inéquations avec :
\[ \geq \quad\text{ou}\quad \leq \]
les zéros du numérateur doivent être inclus lorsqu'ils sont admissibles.
Les inéquations rationnelles illustrent avec beaucoup de clarté comment le comportement d'une fonction rationnelle dépend de la répartition de ses zéros et de ses points de non-définition.
L'étude du signe transforme ainsi un problème en apparence complexe en une analyse méthodique des intervalles de la droite réelle.
Une factorisation rigoureuse, associée à un tableau de signes construit avec soin, permet d'aborder même les inéquations les plus élaborées de façon systématique, élégante et sûre.