Les inégalités exponentielles sont des inégalités dans lesquelles l'inconnue apparaît en exposant. Elles constituent l'une des applications fondamentales des propriétés des fonctions exponentielles et exigent une attention particulière à l'étude de la monotonie.
La forme la plus simple est :
\[ a^{f(x)} \gtrless a^{g(x)}, \qquad a>0,\ a\neq 1. \]
Dans ce cas, le comportement de l'inégalité dépend entièrement de la base \(a\) :
- si \(a>1\), la fonction exponentielle est strictement croissante ;
- si \(0<a<1\), la fonction exponentielle est strictement décroissante.
Il en résulte que :
\[ a^{u}>a^{v} \iff u>v \qquad \text{si } a>1, \]
tandis que :
\[ a^{u}>a^{v} \iff u<v \qquad \text{si } 0<a<1. \]
C'est le principe central de toute la théorie des inégalités exponentielles.
Sommaire
- Définition d'une inégalité exponentielle
- Monotonie de la fonction exponentielle
- Inégalités élémentaires de même base
- Cas \(a>1\)
- Cas \(0<a<1\)
- Réduction à une base commune
- Inégalités se ramenant à une seule exponentielle
- Méthode de substitution
- Inégalités exponentielles fractionnaires
- Systèmes d'inégalités exponentielles
- Exemples résolus
Définition d'une inégalité exponentielle
Une inégalité exponentielle est une inégalité dans laquelle l'inconnue figure en exposant d'au moins une puissance.
Exemples :
\[ 2^x>8, \]
\[ 3^{2x-1}\le 9, \]
\[ \left(\frac12\right)^{x+1}>4. \]
Toutes les inégalités exponentielles ne se résolvent pas de la même façon. Dans certains cas, il suffit de comparer les exposants ; dans d'autres, il est nécessaire d'effectuer des transformations algébriques, des mises en facteur ou des substitutions.
Monotonie de la fonction exponentielle
Considérons la fonction :
\[ f(x)=a^x, \qquad a>0,\ a\neq 1. \]
Elle est :
- croissante si \(a>1\) ;
- décroissante si \(0<a<1\).
Ce résultat est fondamental, car il permet de passer d'une inégalité exponentielle à une inégalité portant sur les exposants.
En effet :
\[ a^{u(x)} \gtrless a^{v(x)} \]
est équivalent à :
\[ u(x)\gtrless v(x) \]
si \(a>1\), tandis que le sens de l'inégalité s'inverse si \(0<a<1\).
Inégalités élémentaires de même base
Considérons :
\[ 5^{2x-1}>5^3. \]
Puisque la base est supérieure à \(1\), on peut comparer directement les exposants :
\[ 2x-1>3. \]
En résolvant :
\[ 2x>4 \]
\[ x>2. \]
Donc :
\[ S=(2,+\infty). \]
Cas \(a>1\)
Si la base est supérieure à \(1\), la fonction exponentielle préserve l'ordre :
\[ a^u>a^v \iff u>v. \]
Exemple :
\[ 3^{x+2}\le 3^{2x-1}. \]
On compare les exposants :
\[ x+2\le 2x-1. \]
D'où :
\[ 3\le x. \]
L'ensemble des solutions est :
\[ S=[3,+\infty). \]
Cas \(0<a<1\)
Si :
\[ 0<a<1, \]
la fonction est décroissante et le sens de l'inégalité s'inverse.
Par exemple :
\[ \left(\frac12\right)^{x-1}>\left(\frac12\right)^{2x+3}. \]
Puisque :
\[ 0<\frac12<1, \]
il faut inverser le sens de l'inégalité :
\[ x-1<2x+3. \]
D'où :
\[ -4<x. \]
Ainsi :
\[ S=(-4,+\infty). \]
Réduction à une base commune
Les bases sont souvent différentes mais réductibles à une base commune.
Considérons :
\[ 8^x>2^{x+1}. \]
On observe que :
\[ 8=2^3. \]
Donc :
\[ (2^3)^x>2^{x+1}. \]
En appliquant la propriété :
\[ (a^m)^n=a^{mn}, \]
on obtient :
\[ 2^{3x}>2^{x+1}. \]
Puisque \(2>1\) :
\[ 3x>x+1. \]
D'où :
\[ 2x>1 \]
\[ x>\frac12. \]
Inégalités se ramenant à une seule exponentielle
Il est parfois nécessaire de transformer l'expression avant de pouvoir appliquer la monotonie.
Par exemple :
\[ 2^{x+1}-2^x>4. \]
On met \(2^x\) en facteur :
\[ 2^x(2-1)>4, \]
c'est-à-dire :
\[ 2^x>4. \]
Puisque :
\[ 4=2^2, \]
on obtient :
\[ 2^x>2^2. \]
Donc :
\[ x>2. \]
Méthode de substitution
Certaines inégalités exponentielles se ramènent à une forme polynomiale après une substitution appropriée.
Considérons :
\[ 2^{2x}-5\cdot 2^x+6>0. \]
On pose :
\[ t=2^x. \]
Puisque toute exponentielle est strictement positive :
\[ t>0. \]
De plus :
\[ 2^{2x}=(2^x)^2=t^2. \]
L'inégalité devient :
\[ t^2-5t+6>0. \]
On factorise :
\[ (t-2)(t-3)>0. \]
L'étude du signe donne :
\[ t<2 \quad \text{ou} \quad t>3. \]
En revenant à l'inconnue :
\[ 2^x<2 \quad \text{ou} \quad 2^x>3. \]
La première condition donne :
\[ x<1. \]
La seconde :
\[ x>\log_2 3. \]
Par conséquent :
\[ S=(-\infty,1)\cup(\log_2 3,+\infty). \]
Inégalités exponentielles fractionnaires
Des expressions rationnelles contenant des exponentielles peuvent également se présenter.
Exemple :
\[ \frac{2^x-1}{2^x+3}>0. \]
On pose :
\[ t=2^x, \qquad t>0. \]
On obtient :
\[ \frac{t-1}{t+3}>0. \]
Puisque :
\[ t+3>0 \]
pour tout \(t>0\), il suffit d'imposer :
\[ t-1>0. \]
Soit :
\[ t>1. \]
En revenant à l'inconnue :
\[ 2^x>1. \]
Puisque :
\[ 1=2^0, \]
on conclut :
\[ x>0. \]
Systèmes d'inégalités exponentielles
Les inégalités exponentielles peuvent figurer au sein de systèmes.
Par exemple :
\[ \begin{cases} 2^x>4 \\ 3^x\le 27 \end{cases} \]
La première inégalité donne :
\[ x>2. \]
La seconde :
\[ x\le 3. \]
L'intersection de ces deux ensembles donne :
\[ S=(2,3]. \]
Exemples résolus
Exemple 1
Résoudre :
\[ 4^x\ge 16. \]
On écrit tout en base \(2\) :
\[ 4=2^2, \qquad 16=2^4. \]
Donc :
\[ 2^{2x}\ge 2^4. \]
Puisque \(2>1\) :
\[ 2x\ge 4. \]
D'où :
\[ x\ge 2. \]
Ainsi :
\[ S=[2,+\infty). \]
Exemple 2
Résoudre :
\[ \left(\frac13\right)^{2x-1}<27. \]
On écrit tout en base \(3\) :
\[ \left(\frac13\right)^{2x-1}=3^{-(2x-1)}, \qquad 27=3^3. \]
On obtient :
\[ 3^{-2x+1}<3^3. \]
Puisque la base \(3\) est supérieure à \(1\) :
\[ -2x+1<3. \]
D'où :
\[ -2x<2 \]
\[ x>-1. \]
Donc :
\[ S=(-1,+\infty). \]
Exemple 3
Résoudre :
\[ 3^{2x}-10\cdot 3^x+9\le 0. \]
On pose :
\[ t=3^x, \qquad t>0. \]
On obtient :
\[ t^2-10t+9\le 0. \]
On factorise :
\[ (t-1)(t-9)\le 0. \]
L'étude du signe donne :
\[ 1\le t\le 9. \]
En revenant à l'exponentielle :
\[ 1\le 3^x\le 9, \]
c'est-à-dire :
\[ 3^0\le 3^x\le 3^2. \]
Puisque \(3>1\) :
\[ 0\le x\le 2. \]
Par conséquent :
\[ S=[0,2]. \]
Les inégalités exponentielles se résolvent donc en exploitant les propriétés fondamentales de la fonction exponentielle : monotonie, comparaison des bases, transformations algébriques et substitutions. Comprendre le comportement de la base est le point essentiel pour éviter toute erreur de sens et construire une résolution rigoureuse et correcte.