Ce recueil propose 20 exercices corrigés sur les monômes et les polynômes, ordonnés selon une progression qui suit pas à pas la théorie. Nous commencerons par la reconnaissance des monômes et par leur réduction sous forme normale ; nous étudierons ensuite le coefficient, la partie littérale, le degré et les opérations fondamentales. Nous passerons enfin à la structure des polynômes, à leur classification, aux opérations et au calcul de la valeur numérique.
Chaque exercice est accompagné d'une résolution complète, dans laquelle les règles employées sont justifiées et les conditions nécessaires à leur application précisées. Le but n'est pas seulement d'obtenir le résultat correct, mais de comprendre la structure des expressions et la signification de chaque étape.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si l'expression
\[ 5x^2y^3 \]
est un monôme.
Résultat
Oui, l'expression est un monôme.
Résolution
Un monôme est une expression algébrique constituée du produit d'un coefficient numérique et, le cas échéant, de puissances de variables à exposants entiers positifs ou nuls.
Dans l'expression
\[ 5x^2y^3 \]
le facteur numérique est \(5\), tandis que la partie littérale est
\[ x^2y^3. \]
La variable \(x\) figure avec l'exposant \(2\), tandis que la variable \(y\) figure avec l'exposant \(3\). Ces deux exposants sont des entiers positifs ou nuls.
De plus, les variables ne figurent ni au dénominateur, ni sous un radical, ni à l'exposant d'autres puissances. L'expression possède donc exactement la structure exigée par la définition d'un monôme.
Par conséquent,
\[ 5x^2y^3 \]
est un monôme de coefficient \(5\) et de partie littérale \(x^2y^3\).
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si l'expression
\[ \frac{3}{x} \]
est un monôme.
Résultat
Non, l'expression n'est pas un monôme.
Résolution
Dans un monôme, les variables ne peuvent figurer que comme bases de puissances à exposants entiers positifs ou nuls.
Dans l'expression
\[ \frac{3}{x} \]
la variable \(x\) figure au dénominateur. Pour \(x\neq0\), l'expression peut être réécrite à l'aide d'un exposant négatif :
\[ \frac{3}{x}=3x^{-1}. \]
L'exposant de \(x\) est donc \(-1\), qui est un entier négatif et n'appartient pas à l'ensemble
\[ \mathbb{N}_0=\{0,1,2,3,\dots\}. \]
La présence de la variable au dénominateur ou, de manière équivalente, d'un exposant négatif, empêche donc l'expression d'être un monôme.
Par conséquent,
\[ \frac{3}{x} \]
n'est pas un monôme.
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Réduire sous forme normale le monôme
\[ 2x^2\cdot(-3)y\cdot x^4y^2. \]
Résultat
\[ -6x^6y^3 \]
Résolution
Un monôme est écrit sous forme normale lorsque tous les facteurs numériques ont été multipliés entre eux et que chaque variable ne figure qu'une seule fois, élevée à son propre exposant.
Dans l'expression
\[ 2x^2\cdot(-3)y\cdot x^4y^2 \]
les facteurs numériques sont \(2\) et \(-3\). Leur produit vaut
\[ 2\cdot(-3)=-6. \]
Passons maintenant à la partie littérale. La variable \(x\) figure dans les puissances
\[ x^2 \qquad\text{et}\qquad x^4. \]
En appliquant la règle du produit de puissances de même base,
\[ x^m x^n=x^{m+n}, \]
nous obtenons
\[ x^2x^4=x^{2+4}=x^6. \]
La variable \(y\) figure une première fois sans exposant écrit et une seconde fois dans la puissance \(y^2\). Puisque
\[ y=y^1, \]
on a
\[ y\cdot y^2=y^{1+2}=y^3. \]
En réunissant le coefficient et la partie littérale, nous obtenons
\[ 2x^2\cdot(-3)y\cdot x^4y^2 = -6x^6y^3. \]
Le monôme est désormais écrit sous forme normale : son coefficient est \(-6\) et chaque variable ne figure qu'une seule fois.
Exercice 4 — niveau ★☆☆☆☆
Dans le monôme
\[ -\frac{5}{2}a^3b^2 \]
identifier le coefficient et la partie littérale.
Résultat
Le coefficient est
\[ -\frac{5}{2}, \]
tandis que la partie littérale est
\[ a^3b^2. \]
Résolution
Dans un monôme non nul écrit sous forme normale, on distingue deux composantes : le facteur numérique, signe compris, porte le nom de coefficient ; le produit des puissances des variables constitue en revanche la partie littérale.
Considérons le monôme
\[ -\frac{5}{2}a^3b^2. \]
Son facteur numérique est
\[ -\frac{5}{2}. \]
Le signe moins appartient au coefficient et ne doit pas en être séparé. Le coefficient du monôme est donc
\[ -\frac{5}{2}. \]
Les facteurs littéraux sont en revanche
\[ a^3 \qquad\text{et}\qquad b^2. \]
Leur produit forme la partie littérale :
\[ a^3b^2. \]
Ainsi, dans le monôme
\[ -\frac{5}{2}a^3b^2 \]
le coefficient est \(\displaystyle -\frac{5}{2}\), tandis que la partie littérale est \(a^3b^2\).
Exercice 5 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer le degré par rapport à chaque variable ainsi que le degré total du monôme
\[ -7x^3y^2z. \]
Résultat
Le degré par rapport à \(x\) est \(3\), le degré par rapport à \(y\) est \(2\) et le degré par rapport à \(z\) est \(1\).
Le degré total du monôme est
\[ 6. \]
Résolution
Le degré par rapport à une variable est l'exposant avec lequel cette variable figure dans la forme normale du monôme.
Considérons
\[ -7x^3y^2z. \]
La variable \(x\) figure dans la puissance \(x^3\). Le degré par rapport à \(x\) est donc
\[ 3. \]
La variable \(y\) figure dans la puissance \(y^2\). Le degré par rapport à \(y\) vaut par conséquent
\[ 2. \]
La variable \(z\) figure sans exposant écrit. Dans ce cas, l'exposant est implicitement égal à \(1\), puisque
\[ z=z^1. \]
Le degré par rapport à \(z\) est ainsi
\[ 1. \]
Le degré total d'un monôme non nul s'obtient en additionnant les exposants de toutes les variables présentes dans sa partie littérale.
Dans notre cas, on a
\[ 3+2+1=6. \]
Le coefficient \(-7\) n'intervient pas dans le degré, car celui-ci ne dépend que des exposants de la partie littérale.
Par conséquent, le monôme
\[ -7x^3y^2z \]
est de degré \(3\) par rapport à \(x\), de degré \(2\) par rapport à \(y\), de degré \(1\) par rapport à \(z\), et son degré total vaut \(6\).
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Considérer les monômes
\[ A=2x^2\cdot 3y,\qquad B=6yx^2,\qquad C=-6x^2y,\qquad D=4xy^2. \]
Déterminer quels monômes sont égaux, lesquels sont semblables et lesquels sont opposés.
Résultat
Les monômes \(A\) et \(B\) sont égaux.
Les monômes \(A\), \(B\) et \(C\) sont semblables.
Les monômes \(A\) et \(C\), de même que \(B\) et \(C\), sont opposés.
Le monôme \(D\) n'est semblable à aucun des autres.
Résolution
Pour comparer correctement des monômes, il faut avant tout les écrire sous forme normale. On peut ainsi reconnaître immédiatement le coefficient et la partie littérale de chacun d'eux.
Le premier monôme est
\[ A=2x^2\cdot 3y. \]
En multipliant les coefficients numériques, on obtient
\[ 2\cdot 3=6, \]
tandis que la partie littérale est déjà constituée du produit \(x^2y\). Par conséquent,
\[ A=6x^2y. \]
Le deuxième monôme est
\[ B=6yx^2. \]
L'ordre des facteurs littéraux ne modifie pas le produit, car la multiplication est commutative. En disposant les variables par ordre alphabétique, on obtient
\[ B=6x^2y. \]
Les monômes \(A\) et \(B\) ont donc le même coefficient et la même partie littérale. Ils sont par conséquent égaux.
Le troisième monôme est
\[ C=-6x^2y. \]
Sa partie littérale est encore
\[ x^2y, \]
tandis que son coefficient vaut \(-6\). Puisque \(A\), \(B\) et \(C\) possèdent la même partie littérale, ils sont semblables.
Deux monômes semblables sont dits opposés lorsque leurs coefficients sont opposés. Les coefficients de \(A\) et \(C\) valent respectivement \(6\) et \(-6\) ; il en va de même pour \(B\) et \(C\). Par conséquent,
\[ A+C=6x^2y-6x^2y=0 \]
et
\[ B+C=6x^2y-6x^2y=0. \]
Ainsi \(A\) et \(C\) sont opposés, de même que \(B\) et \(C\).
Considérons enfin
\[ D=4xy^2. \]
Sa partie littérale est
\[ xy^2, \]
laquelle diffère de \(x^2y\). Le monôme \(D\) n'est donc semblable ni à \(A\), ni à \(B\), ni à \(C\).
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Réduire la somme algébrique de monômes suivante :
\[ 7x^2y-3x^2y+5xy^2-2xy^2. \]
Résultat
\[ 4x^2y+3xy^2 \]
Résolution
Dans l'addition et la soustraction de monômes, seuls les termes semblables, c'est-à-dire les monômes possédant la même partie littérale, peuvent être réunis directement.
Considérons l'expression
\[ 7x^2y-3x^2y+5xy^2-2xy^2. \]
Les monômes
\[ 7x^2y \qquad\text{et}\qquad -3x^2y \]
sont semblables, car ils possèdent tous deux la partie littérale
\[ x^2y. \]
On additionne donc algébriquement leurs coefficients respectifs :
\[ 7-3=4. \]
On obtient par conséquent
\[ 7x^2y-3x^2y=4x^2y. \]
Les monômes
\[ 5xy^2 \qquad\text{et}\qquad -2xy^2 \]
sont eux aussi semblables, car ils ont tous deux pour partie littérale
\[ xy^2. \]
En additionnant les coefficients, on a
\[ 5-2=3, \]
et donc
\[ 5xy^2-2xy^2=3xy^2. \]
En réunissant les résultats obtenus,
\[ 7x^2y-3x^2y+5xy^2-2xy^2 = 4x^2y+3xy^2. \]
Les monômes \(4x^2y\) et \(3xy^2\) ne sont pas semblables, car leurs parties littérales diffèrent. Ils ne peuvent donc pas être réunis davantage.
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Calculer le produit
\[ (2x^3y)(-5x^2y^4). \]
Résultat
\[ -10x^5y^5 \]
Résolution
Le produit de deux monômes est toujours un monôme. Pour le calculer, on multiplie les coefficients numériques et l'on additionne les exposants des puissances de même base.
Considérons
\[ (2x^3y)(-5x^2y^4). \]
Les coefficients numériques sont \(2\) et \(-5\). Leur produit vaut
\[ 2\cdot(-5)=-10. \]
Pour la variable \(x\), on a
\[ x^3\cdot x^2. \]
En appliquant la règle du produit de puissances de même base,
\[ x^m x^n=x^{m+n}, \]
nous obtenons
\[ x^3\cdot x^2=x^{3+2}=x^5. \]
Pour la variable \(y\), en revanche, on a
\[ y\cdot y^4. \]
Puisque \(y=y^1\),
\[ y\cdot y^4=y^{1+4}=y^5. \]
En réunissant le coefficient et la partie littérale, on obtient
\[ (2x^3y)(-5x^2y^4) = -10x^5y^5. \]
Le résultat est déjà écrit sous forme normale.
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
Calculer la puissance
\[ \left(-2x^3y^2\right)^3. \]
Résultat
\[ -8x^9y^6 \]
Résolution
Pour élever un monôme à un exposant entier strictement positif, on élève le coefficient à cet exposant et l'on multiplie chaque exposant de la partie littérale par l'exposant de la puissance.
Considérons
\[ \left(-2x^3y^2\right)^3. \]
La puissance porte sur le monôme tout entier. Nous pouvons donc écrire
\[ \left(-2x^3y^2\right)^3 = (-2)^3\left(x^3\right)^3\left(y^2\right)^3. \]
Calculons avant tout la puissance du coefficient :
\[ (-2)^3=-8. \]
Le résultat est négatif parce que le coefficient est négatif et que l'exposant \(3\) est impair.
Pour la variable \(x\), on applique la règle de la puissance d'une puissance :
\[ \left(x^m\right)^n=x^{mn}. \]
Par conséquent,
\[ \left(x^3\right)^3=x^{3\cdot3}=x^9. \]
De même, pour la variable \(y\), on a
\[ \left(y^2\right)^3=y^{2\cdot3}=y^6. \]
En réunissant le coefficient et la partie littérale, nous obtenons
\[ \left(-2x^3y^2\right)^3 = -8x^9y^6. \]
Le résultat est déjà écrit sous forme normale.
Exercice 10 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si le monôme
\[ 12x^5y^3 \]
est divisible par le monôme
\[ 3x^2y \]
et, dans l'affirmative, déterminer le monôme quotient.
Résultat
Le monôme \(12x^5y^3\) est divisible par \(3x^2y\).
Le monôme quotient est
\[ 4x^3y^2. \]
Résolution
Un monôme \(M\) est divisible par un monôme non nul \(N\) lorsqu'il existe un monôme \(Q\) tel que
\[ M=NQ. \]
Pour que le quotient soit encore un monôme, l'exposant de chaque variable dans le dividende doit être supérieur ou égal à l'exposant correspondant dans le diviseur.
Dans notre cas, le dividende est
\[ 12x^5y^3, \]
tandis que le diviseur est
\[ 3x^2y. \]
Comparons avant tout les exposants de la variable \(x\). Dans le dividende, l'exposant vaut \(5\), tandis que dans le diviseur il vaut \(2\). Puisque
\[ 5\geq2, \]
la condition requise est satisfaite.
Pour la variable \(y\), l'exposant vaut \(3\) dans le dividende et \(1\) dans le diviseur, car \(y=y^1\). Dans ce cas également
\[ 3\geq1. \]
Le monôme \(12x^5y^3\) est donc divisible par \(3x^2y\).
Pour déterminer le quotient, on divise les coefficients :
\[ \frac{12}{3}=4, \]
et l'on soustrait les exposants des puissances de même base :
\[ x^{5-2}=x^3 \]
et
\[ y^{3-1}=y^2. \]
Le monôme quotient est par conséquent
\[ Q=4x^3y^2. \]
Vérifions le résultat en multipliant le diviseur par le quotient :
\[ (3x^2y)(4x^3y^2) = 12x^{2+3}y^{1+2} = 12x^5y^3. \]
Le produit coïncide avec le dividende : la division a donc été effectuée correctement.
Exercice 11 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si l'expression
\[ 3x^2y-5xy^3+7 \]
est un polynôme.
Résultat
Oui, l'expression est un polynôme en les variables \(x\) et \(y\).
Résolution
Un polynôme est une somme algébrique finie de monômes en les mêmes variables.
Considérons l'expression
\[ 3x^2y-5xy^3+7. \]
Pour déterminer s'il s'agit d'un polynôme, nous devons vérifier que chacun de ses termes est un monôme.
Le premier terme est
\[ 3x^2y. \]
Son coefficient vaut \(3\), tandis que les variables \(x\) et \(y\) figurent respectivement avec les exposants \(2\) et \(1\). Ces deux exposants sont des entiers positifs ou nuls : \(3x^2y\) est donc un monôme.
Le deuxième terme est
\[ -5xy^3. \]
Son coefficient vaut \(-5\), tandis que \(x\) figure avec l'exposant \(1\) et \(y\) avec l'exposant \(3\). Ce terme est donc lui aussi un monôme.
Le troisième terme est le nombre réel
\[ 7. \]
Tout nombre réel est un monôme constant ; par conséquent, \(7\) est également un monôme.
L'expression donnée est donc une somme algébrique finie de trois monômes :
\[ 3x^2y,\qquad -5xy^3,\qquad 7. \]
Par conséquent,
\[ 3x^2y-5xy^3+7 \]
est un polynôme en les variables \(x\) et \(y\).
Exercice 12 — niveau ★★☆☆☆
Considérer le polynôme
\[ P(x,y)=4x^3y-2xy^2+5x-7. \]
Identifier ses termes, leurs coefficients respectifs et le terme constant.
Résultat
Les termes du polynôme sont
\[ 4x^3y,\qquad -2xy^2,\qquad 5x,\qquad -7. \]
Leurs coefficients respectifs sont
\[ 4,\qquad -2,\qquad 5,\qquad -7. \]
Le terme constant est
\[ -7. \]
Résolution
Les monômes qui composent un polynôme portent le nom de termes du polynôme.
Considérons
\[ P(x,y)=4x^3y-2xy^2+5x-7. \]
Le polynôme est formé de quatre monômes, séparés par les signes \(+\) et \(-\). Ses termes sont donc
\[ 4x^3y,\qquad -2xy^2,\qquad 5x,\qquad -7. \]
Le signe de chaque terme est compris dans le coefficient correspondant.
Dans le terme
\[ 4x^3y \]
le coefficient est \(4\), tandis que la partie littérale est \(x^3y\).
Dans le terme
\[ -2xy^2 \]
le coefficient est \(-2\), tandis que la partie littérale est \(xy^2\).
Dans le terme
\[ 5x \]
le coefficient est \(5\), tandis que la partie littérale est \(x\).
Le dernier terme est
\[ -7. \]
Il s'agit d'un monôme constant : son coefficient vaut \(-7\) et sa partie littérale vaut \(1\).
Le terme d'un polynôme qui ne contient aucune variable porte le nom de terme constant. Dans le polynôme donné, le terme constant est par conséquent
\[ -7. \]
En conclusion, les coefficients des quatre termes valent respectivement
\[ 4,\qquad -2,\qquad 5,\qquad -7, \]
tandis que le terme constant vaut \(-7\).
Exercice 13 — niveau ★★☆☆☆
Réduire le polynôme
\[ 3x^2-5x+7+2x^2+4x-1. \]
Résultat
\[ 5x^2-x+6 \]
Résolution
Un polynôme est écrit sous forme réduite lorsque tous ses termes sont des monômes sous forme normale et qu'il n'y figure pas deux termes semblables.
Réduire un polynôme revient donc à identifier les termes semblables et à les réunir en additionnant algébriquement leurs coefficients respectifs.
Considérons le polynôme
\[ 3x^2-5x+7+2x^2+4x-1. \]
Les termes
\[ 3x^2 \qquad\text{et}\qquad 2x^2 \]
sont semblables, car ils possèdent tous deux la partie littérale \(x^2\). En additionnant les coefficients, on obtient
\[ 3+2=5, \]
et donc
\[ 3x^2+2x^2=5x^2. \]
Les termes
\[ -5x \qquad\text{et}\qquad 4x \]
sont eux aussi semblables, car ils possèdent tous deux la partie littérale \(x\). En additionnant algébriquement les coefficients, on a
\[ -5+4=-1. \]
Par conséquent,
\[ -5x+4x=-x. \]
Enfin, les termes constants
\[ 7 \qquad\text{et}\qquad -1 \]
sont des monômes semblables, puisqu'ils ont tous deux pour partie littérale \(1\). Leur somme vaut
\[ 7-1=6. \]
En réunissant les résultats obtenus, on a
\[ 3x^2-5x+7+2x^2+4x-1 = 5x^2-x+6. \]
Dans le polynôme obtenu, il ne figure aucun terme semblable et chaque terme est déjà écrit sous forme normale. Le polynôme est donc sous forme réduite.
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
Réduire le polynôme et en déterminer le degré :
\[ P(x)=3x^4-2x^3+x^2-3x^4+5x^3-4. \]
Résultat
La forme réduite du polynôme est
\[ P(x)=3x^3+x^2-4. \]
Le degré du polynôme est
\[ 3. \]
Résolution
Le degré d'un polynôme non nul est le plus grand degré total des monômes présents dans sa forme réduite.
Il ne suffit donc pas d'observer l'exposant le plus élevé de l'écriture initiale : avant de déterminer le degré, il faut réduire le polynôme en réunissant les éventuels termes semblables.
Considérons
\[ P(x)=3x^4-2x^3+x^2-3x^4+5x^3-4. \]
Les termes
\[ 3x^4 \qquad\text{et}\qquad -3x^4 \]
sont semblables. En additionnant leurs coefficients, on obtient
\[ 3-3=0. \]
Les deux termes de degré quatre s'annulent donc :
\[ 3x^4-3x^4=0. \]
Les termes
\[ -2x^3 \qquad\text{et}\qquad 5x^3 \]
sont eux aussi semblables. En additionnant algébriquement les coefficients, on a
\[ -2+5=3, \]
et donc
\[ -2x^3+5x^3=3x^3. \]
Les termes \(x^2\) et \(-4\) n'ont aucun terme semblable avec lequel être réunis et demeurent donc inchangés.
La forme réduite du polynôme est par conséquent
\[ P(x)=3x^3+x^2-4. \]
Les termes non nuls de la forme réduite sont respectivement de degré
\[ 3,\qquad 2,\qquad 0. \]
Le degré maximal vaut \(3\). Par conséquent,
\[ \deg(P)=3. \]
Bien que des termes de degré quatre figurassent dans l'écriture initiale, ils se sont annulés au cours de la réduction. Le degré du polynôme vaut donc \(3\), et non \(4\).
Exercice 15 — niveau ★★★☆☆
Réduire, lorsque cela est nécessaire, les polynômes suivants et les classer selon le nombre de termes :
\[ A(x)=4x^3, \]
\[ B(x)=x^2-1, \]
\[ C(x)=x^2+3x-2x+1, \]
\[ D(x)=5x^2-5x^2. \]
Résultat
\(A(x)\) est un monôme.
\(B(x)\) est un binôme.
\(C(x)\) se réduit à
\[ x^2+x+1 \]
et est donc un trinôme.
\(D(x)\) se réduit au polynôme nul et n'est pas classé selon le nombre de termes.
Résolution
Pour classer un polynôme selon le nombre de termes, il faut considérer sa forme réduite.
Un polynôme non nul formé d'un seul terme est un monôme ; s'il possède deux termes, c'est un binôme ; s'il en possède trois, c'est un trinôme.
Considérons avant tout
\[ A(x)=4x^3. \]
Le polynôme est déjà écrit sous forme réduite et n'est formé que d'un seul terme non nul :
\[ 4x^3. \]
Par conséquent, \(A(x)\) est un monôme.
Passons maintenant au polynôme
\[ B(x)=x^2-1. \]
Ses termes sont
\[ x^2 \qquad\text{et}\qquad -1. \]
Ces deux termes ne sont pas semblables et ne peuvent donc pas être réunis. Le polynôme est déjà sous forme réduite et possède deux termes.
Par conséquent, \(B(x)\) est un binôme.
Considérons ensuite
\[ C(x)=x^2+3x-2x+1. \]
Avant de le classer, nous devons réunir les termes semblables. Les termes
\[ 3x \qquad\text{et}\qquad -2x \]
ont la même partie littérale \(x\). En additionnant les coefficients, on obtient
\[ 3-2=1, \]
et donc
\[ 3x-2x=x. \]
La forme réduite de \(C(x)\) est par conséquent
\[ C(x)=x^2+x+1. \]
Ses termes sont
\[ x^2,\qquad x,\qquad 1. \]
Puisque le polynôme possède trois termes, \(C(x)\) est un trinôme.
Considérons enfin
\[ D(x)=5x^2-5x^2. \]
Les deux termes sont opposés et leur somme est nulle :
\[ 5x^2-5x^2=0. \]
Par conséquent,
\[ D(x)=0. \]
Le résultat est le polynôme nul. Sous sa forme réduite, il ne possède aucun terme non nul et constitue donc un cas particulier : il n'est classé ni comme monôme, ni comme binôme, ni comme trinôme selon le nombre de termes.
Exercice 16 — niveau ★★★☆☆
Considérer les polynômes
\[ A(x)=x^4-3x^3+2x^2+x-5, \]
\[ B(x)=2x^4+3x-1, \]
\[ C(x)=-4+x-2x^3+3x^4. \]
Déterminer, pour chaque polynôme, s'il est ordonné, complet et unitaire.
Résultat
\(A(x)\) est ordonné suivant les puissances décroissantes de \(x\), complet et unitaire.
\(B(x)\) est ordonné suivant les puissances décroissantes de \(x\), incomplet et non unitaire.
\(C(x)\) est ordonné suivant les puissances croissantes de \(x\), incomplet et non unitaire.
Résolution
Un polynôme à une variable est dit ordonné lorsque ses termes sont disposés suivant les puissances croissantes ou décroissantes de la variable.
Un polynôme de degré \(n\) est dit complet lorsqu'il contient, avec des coefficients non nuls, toutes les puissances de la variable depuis \(n\) jusqu'à \(0\).
Enfin, un polynôme non nul à une variable est dit unitaire lorsque son coefficient dominant est égal à \(1\).
Considérons avant tout
\[ A(x)=x^4-3x^3+2x^2+x-5. \]
Les exposants de \(x\) figurent dans l'ordre
\[ 4,\qquad 3,\qquad 2,\qquad 1,\qquad 0. \]
Ils sont disposés par ordre décroissant. Le polynôme est donc ordonné suivant les puissances décroissantes de \(x\).
Le degré de \(A(x)\) vaut \(4\). Toutes les puissances depuis \(4\) jusqu'à \(0\) sont présentes :
\[ x^4,\qquad x^3,\qquad x^2,\qquad x,\qquad x^0. \]
Tous les coefficients correspondants sont différents de zéro. Par conséquent, \(A(x)\) est complet.
Le terme dominant est
\[ x^4, \]
dont le coefficient vaut \(1\). Par conséquent, \(A(x)\) est également unitaire.
Considérons maintenant
\[ B(x)=2x^4+3x-1. \]
Les exposants des puissances présentes sont
\[ 4,\qquad 1,\qquad 0. \]
Ils sont disposés par ordre décroissant : le polynôme est donc ordonné suivant les puissances décroissantes de \(x\).
Le degré de \(B(x)\) vaut \(4\), mais il n'y figure aucun terme en \(x^3\) ni en \(x^2\). Les coefficients de ces puissances sont implicitement nuls.
Par conséquent, \(B(x)\) est incomplet.
Le terme dominant est
\[ 2x^4, \]
et le coefficient dominant vaut \(2\), et non \(1\). Par conséquent, \(B(x)\) n'est pas unitaire.
Considérons enfin
\[ C(x)=-4+x-2x^3+3x^4. \]
Les exposants des puissances présentes sont
\[ 0,\qquad 1,\qquad 3,\qquad 4. \]
Ils sont disposés par ordre croissant. Par conséquent, \(C(x)\) est ordonné suivant les puissances croissantes de \(x\).
Le degré du polynôme vaut \(4\), mais il n'y figure aucun terme en \(x^2\). Le coefficient de \(x^2\) est donc implicitement égal à \(0\).
Par conséquent, \(C(x)\) est incomplet.
Pour déterminer si le polynôme est unitaire, il faut identifier le coefficient du terme de plus haut degré. Le terme dominant est
\[ 3x^4, \]
et le coefficient dominant vaut \(3\). Par conséquent, \(C(x)\) n'est pas unitaire.
Exercice 17 — niveau ★★★☆☆
Déterminer lesquels des polynômes suivants sont homogènes et, dans l'affirmative, en déterminer le degré :
\[ A(x,y)=3x^3-2x^2y+5xy^2-y^3, \]
\[ B(x,y)=x^2+xy+y, \]
\[ C(a,b,c)=2a^2b-3abc+4b^2c. \]
Résultat
\(A(x,y)\) est un polynôme homogène de degré \(3\).
\(B(x,y)\) n'est pas un polynôme homogène.
\(C(a,b,c)\) est un polynôme homogène de degré \(3\).
Résolution
Un polynôme non nul à plusieurs variables est dit homogène lorsque tous ses termes ont le même degré total.
Pour déterminer si un polynôme est homogène, nous devons donc calculer le degré total de chacun de ses termes. Le degré total d'un monôme s'obtient en additionnant les exposants de toutes les variables présentes dans sa partie littérale.
Considérons avant tout
\[ A(x,y)=3x^3-2x^2y+5xy^2-y^3. \]
Le premier terme est
\[ 3x^3. \]
La variable \(x\) figure avec l'exposant \(3\), tandis que \(y\) ne figure pas et a donc l'exposant \(0\). Le degré total du terme vaut
\[ 3+0=3. \]
Le deuxième terme est
\[ -2x^2y. \]
Les exposants de \(x\) et de \(y\) valent respectivement \(2\) et \(1\). Le degré total vaut donc
\[ 2+1=3. \]
Le troisième terme est
\[ 5xy^2. \]
Dans ce cas, les exposants valent \(1\) et \(2\) ; le degré total vaut donc
\[ 1+2=3. \]
Le dernier terme est
\[ -y^3. \]
La variable \(x\) ne figure pas et a l'exposant \(0\), tandis que \(y\) a l'exposant \(3\). Le degré total vaut ainsi
\[ 0+3=3. \]
Tous les termes de \(A(x,y)\) ont pour degré total \(3\). Par conséquent, \(A(x,y)\) est un polynôme homogène de degré \(3\).
Considérons maintenant
\[ B(x,y)=x^2+xy+y. \]
Le terme \(x^2\) a pour degré total
\[ 2. \]
Le terme \(xy\) a pour degré total
\[ 1+1=2. \]
Le terme \(y\), en revanche, a pour degré total
\[ 1. \]
Les termes n'ont pas tous le même degré total. Par conséquent, \(B(x,y)\) n'est pas un polynôme homogène.
Considérons enfin
\[ C(a,b,c)=2a^2b-3abc+4b^2c. \]
Le terme
\[ 2a^2b \]
a pour degré total
\[ 2+1+0=3. \]
Le terme
\[ -3abc \]
a pour degré total
\[ 1+1+1=3. \]
Le terme
\[ 4b^2c \]
a pour degré total
\[ 0+2+1=3. \]
Dans ce cas également, tous les termes ont le même degré total. Par conséquent, \(C(a,b,c)\) est un polynôme homogène de degré \(3\).
Exercice 18 — niveau ★★★☆☆
Considérer les polynômes
\[ P(x)=3x^3-2x^2+5x-1 \]
et
\[ Q(x)=-x^3+4x^2-3x+6. \]
Calculer
\[ P(x)+Q(x) \]
et
\[ P(x)-Q(x). \]
Résultat
La somme vaut
\[ P(x)+Q(x)=2x^3+2x^2+2x+5. \]
La différence vaut
\[ P(x)-Q(x)=4x^3-6x^2+8x-7. \]
Résolution
Pour additionner ou soustraire deux polynômes, on réunit les termes semblables, c'est-à-dire les termes contenant la même puissance de la variable.
Considérons avant tout la somme
\[ P(x)+Q(x). \]
En substituant les expressions des deux polynômes, nous obtenons
\[ P(x)+Q(x) = (3x^3-2x^2+5x-1)+(-x^3+4x^2-3x+6). \]
Les parenthèses peuvent être supprimées sans modifier les signes des termes, car le signe \(+\) figure entre les deux polynômes :
\[ P(x)+Q(x) = 3x^3-2x^2+5x-1-x^3+4x^2-3x+6. \]
Réunissons maintenant les termes semblables.
Les termes de degré trois sont
\[ 3x^3 \qquad\text{et}\qquad -x^3. \]
En additionnant les coefficients, on a
\[ 3-1=2, \]
et donc
\[ 3x^3-x^3=2x^3. \]
Les termes de degré deux sont
\[ -2x^2 \qquad\text{et}\qquad 4x^2. \]
En additionnant les coefficients, on obtient
\[ -2+4=2, \]
d'où
\[ -2x^2+4x^2=2x^2. \]
Les termes de degré un sont
\[ 5x \qquad\text{et}\qquad -3x. \]
Leur somme vaut
\[ 5x-3x=2x. \]
Enfin, les termes constants sont
\[ -1 \qquad\text{et}\qquad 6. \]
On a
\[ -1+6=5. \]
Par conséquent,
\[ P(x)+Q(x)=2x^3+2x^2+2x+5. \]
Calculons maintenant la différence
\[ P(x)-Q(x). \]
En substituant les expressions des deux polynômes, nous obtenons
\[ P(x)-Q(x) = (3x^3-2x^2+5x-1)-(-x^3+4x^2-3x+6). \]
Soustraire un polynôme revient à additionner son opposé. Le signe moins placé devant la seconde parenthèse change donc le signe de chaque terme de \(Q(x)\) :
\[ -Q(x)=x^3-4x^2+3x-6. \]
Par conséquent,
\[ P(x)-Q(x) = 3x^3-2x^2+5x-1+x^3-4x^2+3x-6. \]
Réunissons de nouveau les termes semblables.
Pour les termes de degré trois, on a
\[ 3x^3+x^3=4x^3. \]
Pour les termes de degré deux,
\[ -2x^2-4x^2=-6x^2. \]
Pour les termes de degré un,
\[ 5x+3x=8x. \]
Enfin, pour les termes constants,
\[ -1-6=-7. \]
Par conséquent,
\[ P(x)-Q(x)=4x^3-6x^2+8x-7. \]
Aucun des deux résultats ne comporte de termes semblables : les polynômes obtenus sont donc déjà écrits sous forme réduite.
Exercice 19 — niveau ★★★★☆
Considérer les polynômes
\[ P(x)=2x-3 \]
et
\[ Q(x)=x^2+4x+1. \]
Calculer
\[ P(x)Q(x) \]
et
\[ P(x)^2. \]
Résultat
Le produit des deux polynômes vaut
\[ P(x)Q(x)=2x^3+5x^2-10x-3. \]
Le carré de \(P(x)\) vaut
\[ P(x)^2=4x^2-12x+9. \]
Résolution
Le produit de deux polynômes se calcule en appliquant la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition : chaque terme du premier polynôme doit être multiplié par chaque terme du second.
Considérons avant tout
\[ P(x)Q(x)=(2x-3)(x^2+4x+1). \]
Le premier polynôme est formé des termes \(2x\) et \(-3\). Multiplions chacun d'eux par le polynôme \(Q(x)\) tout entier :
\[ (2x-3)(x^2+4x+1) = 2x(x^2+4x+1)-3(x^2+4x+1). \]
Développons le premier produit :
\[ 2x(x^2+4x+1) = 2x\cdot x^2+2x\cdot4x+2x\cdot1. \]
En calculant chaque terme, nous obtenons
\[ 2x\cdot x^2=2x^3, \]
\[ 2x\cdot4x=8x^2 \]
et
\[ 2x\cdot1=2x. \]
Par conséquent,
\[ 2x(x^2+4x+1)=2x^3+8x^2+2x. \]
Développons maintenant le second produit :
\[ -3(x^2+4x+1) = -3\cdot x^2-3\cdot4x-3\cdot1. \]
On obtient
\[ -3(x^2+4x+1)=-3x^2-12x-3. \]
En réunissant les deux développements, nous avons
\[ P(x)Q(x) = 2x^3+8x^2+2x-3x^2-12x-3. \]
Les termes
\[ 8x^2 \qquad\text{et}\qquad -3x^2 \]
sont semblables. En additionnant les coefficients, on a
\[ 8-3=5, \]
et donc
\[ 8x^2-3x^2=5x^2. \]
Les termes
\[ 2x \qquad\text{et}\qquad -12x \]
sont eux aussi semblables. Leur somme vaut
\[ 2x-12x=-10x. \]
Le produit réduit est par conséquent
\[ P(x)Q(x)=2x^3+5x^2-10x-3. \]
Calculons maintenant la puissance seconde de \(P(x)\) :
\[ P(x)^2=(2x-3)^2. \]
Élever un polynôme au carré revient à le multiplier par lui-même :
\[ P(x)^2=(2x-3)(2x-3). \]
Appliquons de nouveau la distributivité :
\[ (2x-3)(2x-3) = 2x(2x-3)-3(2x-3). \]
En développant le premier produit, on obtient
\[ 2x(2x-3)=2x\cdot2x-2x\cdot3=4x^2-6x. \]
En développant le second produit, on a
\[ -3(2x-3)=-6x+9. \]
En réunissant les résultats,
\[ P(x)^2=4x^2-6x-6x+9. \]
Les termes \(-6x\) et \(-6x\) sont semblables et leur somme vaut
\[ -6x-6x=-12x. \]
Par conséquent,
\[ P(x)^2=4x^2-12x+9. \]
Dans les deux calculs, le résultat est encore un polynôme, comme le garantit la stabilité de l'ensemble des polynômes pour la multiplication.
Exercice 20 — niveau ★★★★☆
Considérer le polynôme
\[ P(x,y)=3x^2y-2xy^2+5. \]
En calculer la valeur numérique pour
\[ x=2 \qquad\text{et}\qquad y=-1. \]
Résultat
\[ P(2,-1)=-11 \]
Résolution
Calculer la valeur numérique d'un polynôme revient à substituer à chaque variable la valeur donnée et à effectuer les opérations indiquées.
Le polynôme est
\[ P(x,y)=3x^2y-2xy^2+5. \]
Nous devons substituer
\[ x=2 \qquad\text{et}\qquad y=-1. \]
L'écriture
\[ P(2,-1) \]
désigne donc le nombre obtenu en substituant \(2\) à chaque occurrence de \(x\) et \(-1\) à chaque occurrence de \(y\).
En effectuant les substitutions, on obtient
\[ P(2,-1) = 3\cdot 2^2\cdot(-1) - 2\cdot2\cdot(-1)^2 + 5. \]
La valeur négative attribuée à \(y\) a été placée entre parenthèses. Cette étape est essentielle, surtout lorsque le nombre doit être élevé à une puissance.
Calculons avant tout les puissances :
\[ 2^2=4 \]
et
\[ (-1)^2=1. \]
La seconde puissance est positive parce que le produit de deux nombres négatifs est positif :
\[ (-1)^2=(-1)(-1)=1. \]
En substituant les valeurs des puissances, nous obtenons
\[ P(2,-1) = 3\cdot4\cdot(-1) - 2\cdot2\cdot1 + 5. \]
Calculons maintenant le premier produit :
\[ 3\cdot4\cdot(-1)=12\cdot(-1)=-12. \]
Le second produit vaut
\[ 2\cdot2\cdot1=4. \]
Par conséquent,
\[ P(2,-1)=-12-4+5. \]
En effectuant enfin l'addition algébrique,
\[ -12-4=-16 \]
et
\[ -16+5=-11. \]
La valeur numérique demandée est donc
\[ P(2,-1)=-11. \]