Les monômes et les polynômes constituent l'une des structures fondamentales de l'algèbre élémentaire. Ils permettent de décrire des relations numériques, des formules géométriques, des équations et des modèles qui apparaissent dans pratiquement tous les domaines des mathématiques. En comprendre la structure avec précision ne se réduit pas à l'apprentissage de techniques de calcul : c'est saisir comment se construisent les expressions algébriques et quelles règles régissent leurs transformations.
Du point de vue mathématique, les polynômes représentent des combinaisons finies de puissances entières non négatives de variables, tandis que les monômes en constituent les « briques élémentaires » à partir desquelles ces combinaisons sont formées. Les opérations sur les monômes et les polynômes découlent directement des propriétés des puissances et de la distributivité du produit par rapport à la somme.
Un traitement rigoureux exige une attention particulière aux définitions : toute expression littérale n'est pas nécessairement un monôme ou un polynôme, et de nombreuses règles opératoires ne sont valables que sous des hypothèses précises sur les exposants et les variables en jeu.
Sommaire
- Définition d'un Monôme
- Coefficient, Partie Littérale et Degré
- Monômes Semblables
- Opérations sur les Monômes
- Définition d'un Polynôme
- Degré d'un Polynôme
- Opérations sur les Polynômes
- Identités Remarquables et Structure Algébrique
- Valeur Numérique d'un Polynôme
- Racines d'un Polynôme
- Règle de Ruffini
- Représentation Graphique
Définition d'un Monôme
Un monôme est une expression de la forme :
\[ a x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}, \]
où :
- \( a \in \mathbb{R} \) est un nombre réel appelé coefficient ;
- \( x_1, x_2, \dots, x_n \) sont des variables ;
- \( \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n \in \mathbb{N} \) sont des exposants entiers non négatifs.
La condition que les exposants appartiennent à \( \mathbb{N} \) est essentielle. Des expressions telles que :
\[ x^{-1}, \qquad \sqrt{x}, \qquad x^{1/2} \]
ne sont pas des monômes, leurs exposants étant négatifs ou fractionnaires.
Un nombre réel sans variable est également un monôme : par exemple,
\[ 7 = 7x^0. \]
Le monôme de coefficient nul est appelé monôme nul. Comme :
\[ 0 \cdot x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}=0, \]
tous les monômes de coefficient nul représentent la même expression nulle.
Coefficient, Partie Littérale et Degré
Dans le monôme :
\[ -5x^2y^3, \]
le nombre \( -5 \) est le coefficient, tandis que :
\[ x^2y^3 \]
constitue la partie littérale.
Le degré par rapport à une variable est l'exposant avec lequel cette variable figure dans le monôme. Dans l'exemple précédent :
- le degré par rapport à \( x \) est \( 2 \) ;
- le degré par rapport à \( y \) est \( 3 \).
Le degré total d'un monôme non nul est la somme de tous ses exposants :
\[ 2+3=5. \]
Ainsi :
\[ -5x^2y^3 \]
est un monôme de degré \( 5 \).
Le degré du monôme nul est généralement laissé indéfini, car le monôme nul peut s'écrire formellement avec n'importe quel ensemble d'exposants.
Monômes Semblables
Deux monômes sont dits semblables s'ils ont la même partie littérale, c'est-à-dire si leurs variables y figurent avec les mêmes exposants.
Par exemple :
\[ 3x^2y \qquad \text{et} \qquad -7x^2y \]
sont des monômes semblables, alors que :
\[ 3x^2y \qquad \text{et} \qquad 3xy^2 \]
ne le sont pas.
Cette notion est fondamentale car seuls des monômes semblables peuvent être additionnés directement :
\[ 3x^2y-7x^2y=(3-7)x^2y=-4x^2y. \]
Si les monômes ne sont pas semblables, leur somme ne peut pas être simplifiée :
\[ x^2+x \]
n'est pas un monôme.
Opérations sur les Monômes
Les opérations sur les monômes découlent directement des propriétés des puissances.
Soient :
\[ ax^\alpha y^\beta \qquad \text{et} \qquad bx^\gamma y^\delta. \]
Leur produit est :
\[ (ax^\alpha y^\beta)(bx^\gamma y^\delta) = ab\,x^{\alpha+\gamma}y^{\beta+\delta}. \]
Cette règle découle de l'identité :
\[ x^\alpha x^\gamma=x^{\alpha+\gamma}. \]
Par exemple :
\[ (2x^2y)(-3xy^4) = -6x^3y^5. \]
Pour le quotient :
\[ \frac{ax^\alpha}{bx^\beta} = \frac{a}{b}x^{\alpha-\beta}, \qquad b\neq0. \]
Cependant, pour que le résultat soit encore un monôme, il faut que :
\[ \alpha-\beta \ge 0. \]
En effet :
\[ \frac{x^2}{x^5}=x^{-3} \]
n'est pas un monôme.
Définition d'un Polynôme
Un polynôme est une somme finie de monômes.
En une variable, un polynôme est de la forme :
\[ P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, \]
où :
- \( a_0,a_1,\dots,a_n \in \mathbb{R} \) ;
- \( n \in \mathbb{N} \) ;
- \( a_n\neq0 \).
Le coefficient \( a_n \) est appelé coefficient dominant, tandis que \( a_0 \) est le terme constant.
Par exemple :
\[ P(x)=2x^3-5x+1 \]
est un polynôme de degré trois.
Ne sont en revanche pas des polynômes :
\[ \frac{1}{x}, \qquad \sqrt{x}, \qquad x^\pi, \qquad 2^x, \]
car ils font apparaître des exposants négatifs, fractionnaires ou irrationnels, ou encore une variable en exposant.
Degré d'un Polynôme
Le degré d'un polynôme non nul est le degré maximal de ses monômes, après réduction des termes semblables.
Par exemple :
\[ P(x)=4x^5-2x^3+x-7 \]
est de degré \( 5 \).
Le polynôme :
\[ x^3-2x^3+x \]
se réduit à :
\[ -x^3+x, \]
et est donc encore de degré \( 3 \).
Le polynôme nul est le polynôme dont tous les coefficients sont nuls :
\[ 0. \]
Son degré est généralement laissé indéfini ; dans certains traitements avancés, on pose par convention :
\[ \deg(0)=-\infty. \]
Opérations sur les Polynômes
La somme de deux polynômes s'obtient en additionnant les termes semblables.
Par exemple :
\[ (2x^2+3x-1)+(x^2-5x+4) \]
devient :
\[ 3x^2-2x+3. \]
Le produit repose quant à lui sur la propriété distributive :
\[ a(b+c)=ab+ac. \]
Par exemple :
\[ (x+2)(x+5) \]
se développe comme :
\[ x(x+5)+2(x+5), \]
soit :
\[ x^2+5x+2x+10=x^2+7x+10. \]
Le produit de deux polynômes est encore un polynôme, car les sommes et les produits de monômes à exposants entiers non négatifs produisent à nouveau des monômes du même type.
Identités Remarquables et Structure Algébrique
Certains produits de polynômes apparaissent si fréquemment qu'ils prennent des formes canoniques appelées identités remarquables.
Par exemple :
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, \]
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, \]
\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \]
Ces identités ne sont pas des formules arbitraires : elles découlent directement de la propriété distributive du produit par rapport à la somme.
Par exemple :
\[ (a+b)^2=(a+b)(a+b) \]
donne :
\[ a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2. \]
Valeur Numérique d'un Polynôme
Tout polynôme définit naturellement une fonction.
Par exemple :
\[ P(x)=x^2-3x+2 \]
associe à tout nombre réel \( x \) la valeur :
\[ x^2-3x+2. \]
Calculer la valeur numérique d'un polynôme revient à substituer la variable par un nombre réel.
Par exemple :
\[ P(4)=4^2-3\cdot4+2=16-12+2=6. \]
Les polynômes ne faisant intervenir que des sommes et des produits, ils sont définis pour tout nombre réel.
Racines d'un Polynôme
Une racine d'un polynôme \( P(x) \) est un nombre réel \( x_0 \) tel que :
\[ P(x_0)=0. \]
Déterminer les racines d'un polynôme revient à résoudre une équation polynomiale.
Par exemple :
\[ x^2-5x+6=0 \]
se factorise comme :
\[ (x-2)(x-3)=0, \]
et admet donc les racines :
\[ x=2 \qquad \text{et} \qquad x=3. \]
Pour un polynôme à coefficients entiers et de coefficient dominant \( 1 \) (polynôme unitaire), les éventuelles racines entières sont à chercher exclusivement parmi les diviseurs du terme constant \( a_0 \). Ce critère ramène la recherche à un nombre fini de candidats, que l'on peut tester par substitution directe.
Les racines d'un polynôme correspondent géométriquement aux points d'intersection de sa courbe représentative avec l'axe des abscisses.
Règle de Ruffini
La règle de Ruffini est un algorithme permettant de diviser un polynôme \( P(x) \) par un binôme de la forme \( (x - r) \) de manière rapide et systématique, en n'utilisant que les coefficients de \( P(x) \).
Le fondement théorique en est le théorème du reste : en divisant \( P(x) \) par \( (x-r) \), on obtient
\[ P(x) = (x-r)\,Q(x) + R, \]
où \( Q(x) \) est le quotient et \( R \) est un reste constant. En substituant \( x = r \), on obtient immédiatement :
\[ P(r) = R. \]
Il en découle le théorème du facteur : \( (x-r) \) divise \( P(x) \) sans reste si et seulement si \( r \) est une racine de \( P(x) \), c'est-à-dire \( P(r) = 0 \).
Procédé. Étant donné le polynôme
\[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \]
on dispose les coefficients en ligne et on effectue le calcul de la manière suivante :
\[ \begin{array}{c|cccc} r & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_0 \\ & & r\,b_n & \cdots & r\,b_1 \\ \hline & b_n & b_{n-1} & \cdots & R \end{array} \]
où \( b_n = a_n \) et, pour \( k = n-1, \dots, 0 \) :
\[ b_k = a_k + r\,b_{k+1}. \]
Les valeurs \( b_n, b_{n-1}, \dots, b_1 \) sont les coefficients du polynôme quotient \( Q(x) \) de degré \( n-1 \) ; la dernière valeur \( R \) est le reste, qui coïncide avec \( P(r) \).
Exemple. On souhaite diviser
\[ P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \]
par \( (x-1) \), afin de vérifier si \( r = 1 \) est une racine.
\[ \begin{array}{c|cccc} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]
Le reste est \( 0 \), donc \( x = 1 \) est bien une racine et l'on a :
\[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x^2-5x+6). \]
Le polynôme quotient \( x^2 - 5x + 6 \) peut encore se factoriser en \( (x-2)(x-3) \), ce qui donne la factorisation complète :
\[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3). \]
La règle de Ruffini est donc particulièrement efficace combinée au critère des diviseurs du terme constant : on identifie les candidats parmi les diviseurs de \( a_0 \), on les teste par substitution, et pour chaque racine trouvée on abaisse le degré du polynôme au moyen de la règle de Ruffini, en répétant le processus jusqu'à obtenir la factorisation complète.
Représentation Graphique
Les monômes et les polynômes peuvent être vus comme des fonctions réelles d'une variable réelle, et leur étude graphique permet de dégager de nombreuses propriétés qualitatives.
Le graphe du monôme :
\[ y=x^2 \]
est une parabole d'axe vertical :
tandis que :
\[ y=x^3 \]
produit une courbe à symétrie centrale par rapport à l'origine :
Le comportement global d'un polynôme dépend essentiellement :
- de son degré ;
- du signe de son coefficient dominant.
Ainsi, un polynôme de degré pair à coefficient dominant positif tend vers \(+\infty\) à la fois lorsque \(x\to +\infty\) et lorsque \(x\to -\infty\).
Les polynômes constituent de plus une classe de fonctions particulièrement importante : ils sont définis et continus sur tout \( \mathbb{R} \), sans présenter ni discontinuité ni singularité.