En combinant nombres et variables selon des règles bien définies, on obtient des expressions algébriques dotées d'une structure précise. Parmi les formes les plus simples et les plus importantes figurent les monômes, constitués du produit d'un coefficient numérique et, le cas échéant, de puissances de variables à exposants entiers positifs ou nuls.
De la somme algébrique d'un nombre fini de monômes naissent les polynômes. Leur structure conserve les propriétés fondamentales des monômes, tout en permettant de représenter des expressions plus élaborées et de développer une grande partie du calcul algébrique.
Pour bien comprendre les monômes et les polynômes, il ne suffit pas d'appliquer des règles opératoires : il faut en reconnaître la forme, en distinguer les éléments, en déterminer le degré et établir à quelles conditions les opérations produisent encore des expressions de même nature. À partir des définitions, nous construirons donc progressivement toute la théorie fondamentale.
Sommaire
- Définition d'un Monôme
- Forme Normale, Coefficient et Partie Littérale
- Degré d'un Monôme
- Monômes Égaux, Semblables et Opposés
- Opérations sur les Monômes
- Définition d'un Polynôme
- Termes, Coefficients et Forme Réduite
- Degré et Classification des Polynômes
- Opérations sur les Polynômes
- Valeur Numérique d'un Polynôme
Définition d'un Monôme
Un monôme dans les variables \(x_1,x_2,\dots,x_n\) est une expression algébrique constituée du produit d'un coefficient numérique et, le cas échéant, de puissances des variables à exposants entiers positifs ou nuls.
Une fois réduit à sa forme normale, un monôme peut s'écrire
\[ a x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}, \]
où \(a\) est un nombre réel, appelé coefficient, où \(x_1,x_2,\dots,x_n\) sont les variables et où les exposants \(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\) sont des entiers positifs ou nuls, c'est-à-dire des éléments de l'ensemble
\[ \mathbb{N}_0=\{0,1,2,3,\dots\}. \]
Sont des monômes, par exemple,
\[ 5x^2y^3,\qquad -\frac{3}{4}ab^2,\qquad x^4,\qquad -7. \]
Dans le monôme \(x^4\), le coefficient \(1\) n'est pas écrit ; de même, dans le monôme \(-x^4\), le coefficient vaut \(-1\).
Un monôme n'est pas nécessairement écrit d'emblée sous forme normale. Considérons, par exemple,
\[ 2x\cdot 3xy^2. \]
En multipliant les facteurs numériques et en regroupant les puissances d'une même variable, on obtient
\[ 2x\cdot 3xy^2=6x^2y^2. \]
L'expression donnée représente donc bien un monôme, car elle est formée exclusivement de produits de facteurs numériques et de puissances de variables à exposants entiers positifs ou nuls.
Tout nombre réel est également un monôme. Un nombre réel non nul est appelé monôme constant, puisqu'il ne contient aucune variable, tandis que le nombre \(0\) porte le nom de monôme nul.
La condition imposée aux exposants est essentielle. Ne sont pas des monômes, par exemple,
\[ \frac{1}{x},\qquad x^{-2},\qquad \sqrt{x},\qquad x^{\frac{3}{2}},\qquad 2^x. \]
En effet, dans les deux premières expressions la variable figure avec un exposant négatif ; dans les deux suivantes, avec un exposant non entier ; dans la dernière, elle apparaît en exposant et non comme base d'une puissance.
En particulier, dans la forme d'un monôme, une variable ne peut figurer ni au dénominateur, ni sous un radical, ni en exposant. Un dénominateur purement numérique est en revanche admis, car il peut être incorporé au coefficient. Par exemple,
\[ \frac{x^2y}{3}=\frac{1}{3}x^2y \]
est un monôme.
Toutes les expressions algébriques ne sont pas des monômes. L'expression
\[ 3x^2y+1 \]
est une somme de deux monômes non semblables et ne peut donc être réduite à un monôme unique. Il s'agit en réalité d'un polynôme, comme nous le verrons dans les sections suivantes.
Forme Normale, Coefficient et Partie Littérale
Un monôme est écrit sous forme normale lorsque tous ses facteurs numériques ont été multipliés entre eux et que chaque variable ne figure qu'une seule fois, élevée à son propre exposant.
Pour obtenir la forme normale, on fait appel à la commutativité et à l'associativité de la multiplication, ainsi qu'à la règle du produit de puissances de même base :
\[ x^m x^n=x^{m+n}. \]
Considérons le monôme
\[ 2x^2\cdot(-3)y\cdot x^4y^2. \]
En multipliant les facteurs numériques et en additionnant les exposants des puissances de même base, nous obtenons
\[ 2\cdot(-3)\cdot x^{2+4}y^{1+2}=-6x^6y^3. \]
La forme normale du monôme donné est par conséquent
\[ -6x^6y^3. \]
L'ordre des facteurs littéraux ne modifie pas le monôme, la multiplication étant commutative. Les expressions
\[ 3x^2y,\qquad 3yx^2,\qquad 3xyx \]
représentent donc un seul et même monôme. Les deux premières sont déjà écrites sous forme normale, tandis que la troisième ne l'est pas, car la variable \(x\) figure dans deux facteurs distincts. Afin d'uniformiser l'écriture, on range généralement les variables par ordre alphabétique.
Dans un monôme non nul écrit sous forme normale, le facteur numérique, signe compris, porte le nom de coefficient ; le produit des puissances des variables constitue quant à lui la partie littérale.
Dans le monôme
\[ -6x^6y^3 \]
le coefficient vaut \(-6\), tandis que la partie littérale est
\[ x^6y^3. \]
Lorsque le coefficient vaut \(1\), on l'omet ; lorsqu'il vaut \(-1\), on n'écrit que le signe moins :
\[ x^2y=1\cdot x^2y, \qquad -x^2y=-1\cdot x^2y. \]
Un monôme constant non nul a pour coefficient le nombre lui-même et pour partie littérale le facteur \(1\). Dans le monôme
\[ -7, \]
par exemple, le coefficient vaut \(-7\) et la partie littérale vaut \(1\).
Les variables d'exposant \(0\) ne sont pas mentionnées dans la forme normale, puisqu'elles correspondent au facteur multiplicatif \(1\). Ne figurent donc dans la partie littérale que les variables dont l'exposant est strictement positif.
Considérons enfin
\[ -\frac{2}{3}x\cdot 9xy^2. \]
La réduction à la forme normale conduit à
\[ -\frac{2}{3}\cdot 9\cdot x^2y^2=-6x^2y^2. \]
Un ordre étant fixé pour les variables, tout monôme non nul possède une unique forme normale. Cette unicité permet de comparer immédiatement deux monômes et sera fondamentale pour définir les monômes égaux, semblables et opposés.
Le monôme nul constitue un cas particulier. Tout produit dont le coefficient est \(0\) représente en effet la même expression nulle :
\[ 0x^2y=0a^5b^3=0. \]
C'est pourquoi on l'écrit simplement \(0\), sans lui attribuer de partie littérale déterminée.
Degré d'un Monôme
Les exposants qui figurent dans la partie littérale d'un monôme en décrivent le degré. Cette notion permet de mesurer combien de fois, globalement ou relativement à une variable donnée, les facteurs littéraux interviennent dans le produit.
Considérons le monôme non nul
\[ -5x^2y^3z. \]
Le degré par rapport à une variable est l'exposant avec lequel cette variable figure dans la forme normale du monôme. Ainsi, le monôme précédent est de degré \(2\) par rapport à \(x\), de degré \(3\) par rapport à \(y\) et de degré \(1\) par rapport à \(z\).
Si une variable ne figure pas dans la partie littérale, son exposant est considéré comme égal à \(0\). Le même monôme est donc de degré \(0\) par rapport à la variable \(t\), par exemple.
Le degré total, ou simplement le degré, d'un monôme non nul est la somme des exposants de toutes les variables présentes dans sa forme normale.
Dans notre exemple, on a
\[ 2+3+1=6. \]
Le monôme
\[ -5x^2y^3z \]
est donc un monôme de degré total \(6\).
Le coefficient n'a aucune incidence sur le degré. Les monômes
\[ 4x^2y^3,\qquad -7x^2y^3,\qquad \frac{1}{2}x^2y^3 \]
sont tous de degré total \(5\), car ils possèdent la même partie littérale.
L'ordre dans lequel les variables sont écrites est lui aussi sans importance. Par exemple,
\[ 3a^2bc^4 \]
est de degré \(2\) par rapport à \(a\), de degré \(1\) par rapport à \(b\), de degré \(4\) par rapport à \(c\), et de degré total
\[ 2+1+4=7. \]
Un monôme constant non nul a une partie littérale égale à \(1\) et ne contient aucune variable d'exposant strictement positif. Son degré vaut par conséquent \(0\). Par exemple,
\[ \deg(-8)=0. \]
Le monôme nul représente en revanche un cas particulier. Comme on peut formellement l'écrire en lui attribuant n'importe quelle partie littérale,
\[ 0=0x=0x^2y^5=0a^{10}b, \]
il n'est pas possible de lui associer un degré déterminé. C'est pourquoi, en algèbre élémentaire, le degré du monôme nul est laissé non défini.
La distinction entre degré par rapport à une variable et degré total devient particulièrement importante lorsque plusieurs variables sont en présence. Dans le monôme
\[ 2x^4y^2, \]
le degré par rapport à \(x\) vaut \(4\), le degré par rapport à \(y\) vaut \(2\), tandis que le degré total vaut \(6\). Ces trois renseignements ne doivent donc pas être confondus.
Monômes Égaux, Semblables et Opposés
Pour comparer correctement deux monômes, il faut les écrire au préalable sous forme normale. C'est seulement ainsi que l'on peut reconnaître d'emblée le coefficient et la partie littérale de chacun.
Deux monômes non nuls sont dits égaux lorsque, une fois réduits à leur forme normale, ils possèdent le même coefficient et la même partie littérale.
Considérons, par exemple,
\[ 2x^2\cdot 3y \qquad\text{et}\qquad 6yx^2. \]
En réduisant les deux monômes à leur forme normale, on obtient
\[ 2x^2\cdot 3y=6x^2y, \qquad 6yx^2=6x^2y. \]
Les deux monômes sont donc égaux, bien qu'ils aient été écrits différemment au départ.
Deux monômes non nuls sont dits en revanche semblables lorsqu'ils possèdent la même partie littérale, quels que soient leurs coefficients respectifs.
Les monômes
\[ 3x^2y,\qquad -7x^2y,\qquad \frac{1}{2}x^2y \]
sont semblables, car ils ont tous pour partie littérale
\[ x^2y. \]
Ne sont en revanche pas semblables les monômes
\[ 3x^2y \qquad\text{et}\qquad 3xy^2, \]
puisque les variables \(x\) et \(y\) y figurent avec des exposants différents.
Deux monômes égaux sont nécessairement semblables, mais deux monômes semblables ne sont pas nécessairement égaux. Pour qu'ils soient égaux, il faut en effet que la partie littérale et le coefficient coïncident à la fois.
Deux monômes non nuls sont dits opposés lorsqu'ils ont la même partie littérale et des coefficients opposés.
Par exemple,
\[ 5a^2b^3 \qquad\text{et}\qquad -5a^2b^3 \]
sont des monômes opposés. Leur somme est égale au monôme nul :
\[ 5a^2b^3-5a^2b^3=0. \]
Plus généralement, si
\[ M=ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}, \]
le monôme opposé de \(M\) est
\[ -M=-ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}. \]
Le monôme nul constitue une fois encore un cas particulier. Il n'est égal qu'à lui-même et il est aussi son propre opposé, puisque
\[ -0=0. \]
On ne lui attribue en revanche aucune partie littérale déterminée ; c'est pourquoi, lorsqu'on parle de monômes semblables, on considère ordinairement des monômes non nuls.
La similitude entre monômes est fondamentale dans les opérations algébriques : au sein d'une somme algébrique, seuls les monômes semblables peuvent être regroupés directement en un terme unique. Par exemple,
\[ 3x^2y-7x^2y=-4x^2y, \]
alors que dans l'expression
\[ 3x^2y-7xy^2 \]
les deux termes demeurent distincts, car ils ne sont pas semblables.
Opérations sur les Monômes
Les opérations sur les monômes reposent sur les propriétés des nombres réels, de la multiplication et des puissances. Avant d'effectuer un calcul quelconque, il convient de réduire les monômes à leur forme normale, de manière à en reconnaître immédiatement le coefficient et la partie littérale.
Addition et Soustraction
Dans l'addition et dans la soustraction, les monômes semblables peuvent être regroupés en un monôme unique, car ils possèdent la même partie littérale.
On additionne alors algébriquement les coefficients et l'on conserve la partie littérale inchangée :
\[ ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} + bx_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} = (a+b)x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}. \]
Par exemple,
\[ 7x^2y-3x^2y=(7-3)x^2y=4x^2y. \]
De même,
\[ -5a^3b+2a^3b=(-5+2)a^3b=-3a^3b. \]
Si la somme des coefficients est nulle, le résultat est le monôme nul :
\[ 4x^2y-4x^2y=0. \]
Lorsque deux monômes non nuls ne sont pas semblables, leur somme reste une expression algébrique parfaitement définie, mais les deux termes ne peuvent être regroupés en un monôme unique. Par exemple,
\[ 3x^2y+5xy^2 \]
n'est pas un monôme, car les parties littérales \(x^2y\) et \(xy^2\) sont différentes.
Multiplication
Le produit de deux monômes est toujours un monôme. Pour le calculer, on multiplie les coefficients et l'on additionne les exposants des puissances de même base.
Si
\[ M=ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} \qquad\text{et}\qquad N=bx_1^{\beta_1}\cdots x_n^{\beta_n}, \]
alors
\[ MN = abx_1^{\alpha_1+\beta_1}\cdots x_n^{\alpha_n+\beta_n}. \]
Considérons, par exemple,
\[ (2x^2y)(-3xy^4). \]
En multipliant les coefficients et en appliquant la règle du produit de puissances de même base, nous obtenons
\[ (2x^2y)(-3xy^4) = -6x^{2+1}y^{1+4} = -6x^3y^5. \]
Si les deux monômes sont non nuls, le degré du produit est égal à la somme de leurs degrés :
\[ \deg(MN)=\deg(M)+\deg(N). \]
Dans l'exemple précédent, les deux facteurs sont respectivement de degré \(3\) et de degré \(5\), tandis que le produit est de degré
\[ 3+5=8. \]
Puissance
Pour élever un monôme à un exposant entier strictement positif, on élève le coefficient à cet exposant et l'on multiplie chaque exposant de la partie littérale par l'exposant de la puissance.
Si
\[ M=ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} \]
et si \(m\) est un entier strictement positif, alors
\[ M^m = a^m x_1^{m\alpha_1}\cdots x_n^{m\alpha_n}. \]
Par exemple,
\[ \left(-2x^3y^2\right)^3 = (-2)^3x^{3\cdot3}y^{2\cdot3} = -8x^9y^6. \]
Le signe du résultat dépend du signe du coefficient et de la parité de l'exposant. Si le coefficient est non nul, une puissance d'exposant pair a un coefficient positif, tandis qu'une puissance d'exposant impair conserve le signe du coefficient initial. Si le monôme est nul, chacune de ses puissances d'exposant entier strictement positif reste égale à \(0\).
Si le monôme est non nul, le degré de sa puissance est égal au produit du degré du monôme par l'exposant :
\[ \deg(M^m)=m\deg(M). \]
Pour tout monôme non nul, on pose en outre
\[ M^0=1. \]
Le cas \(0^0\), en revanche, n'est pas défini.
Division
La division de monômes ne produit pas toujours un monôme. Étant donné deux monômes non nuls
\[ M=ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} \]
et
\[ N=bx_1^{\beta_1}\cdots x_n^{\beta_n}, \qquad b\neq0, \]
on dit que \(M\) est divisible par \(N\) lorsqu'il existe un monôme \(Q\) tel que
\[ M=NQ. \]
Pour qu'un tel monôme existe, l'exposant de chaque variable dans le dividende doit être supérieur ou égal à l'exposant correspondant dans le diviseur. On doit donc avoir
\[ \alpha_1\geq\beta_1,\qquad \alpha_2\geq\beta_2,\qquad \dots,\qquad \alpha_n\geq\beta_n. \]
Lorsque ces conditions sont remplies, le monôme quotient est
\[ Q=\frac{a}{b}x_1^{\alpha_1-\beta_1}\cdots x_n^{\alpha_n-\beta_n}. \]
Par exemple, le monôme \(12x^5y^3\) est divisible par \(3x^2y\), car le monôme quotient est
\[ 4x^{5-2}y^{3-1}=4x^3y^2, \]
et l'on a bien
\[ (3x^2y)(4x^3y^2)=12x^5y^3. \]
Le monôme \(6x^2y\) n'est en revanche pas divisible par \(3x^4\), car le calcul des exposants exigerait
\[ x^{2-4}=x^{-2}, \]
qui ne saurait figurer dans la partie littérale d'un monôme.
Le monôme nul est divisible par tout monôme non nul et a pour quotient le monôme nul. La division par le monôme nul n'est jamais définie.
Si \(M\) et \(N\) sont des monômes non nuls et si \(M\) est divisible par \(N\), le degré du quotient est donné par la différence de leurs degrés :
\[ \deg(Q)=\deg(M)-\deg(N). \]
L'addition, la soustraction, la multiplication, l'élévation à une puissance et la division ne se comportent donc pas de la même manière. Dans l'addition et dans la soustraction, seuls les monômes semblables peuvent être regroupés directement ; le produit et toute puissance d'exposant entier strictement positif sont encore des monômes ; la puissance d'exposant \(0\) n'est définie que pour les monômes non nuls ; enfin, un monôme non nul n'est divisible par un autre monôme non nul que si tous les exposants du dividende sont supérieurs ou égaux aux exposants correspondants du diviseur.
Définition d'un Polynôme
Un polynôme dans les variables \(x_1,x_2,\dots,x_n\) est une somme algébrique finie de monômes dans ces mêmes variables.
Sous forme générale, un polynôme peut donc s'écrire
\[ P(x_1,x_2,\dots,x_n)=M_1+M_2+\cdots+M_k, \]
où \(M_1,M_2,\dots,M_k\) sont des monômes et où \(k\) est un entier strictement positif.
Sont des polynômes, par exemple,
\[ 3x^2y-5xy^3+7, \qquad a^4-2a^2b+b^2, \qquad 4x^3-x+1. \]
Chacune des expressions précédentes est formée d'un nombre fini de monômes reliés par les signes \(+\) et \(-\). La soustraction n'appelle pas de définition distincte, puisque soustraire un monôme revient à ajouter son opposé :
\[ 3x^2-5x=3x^2+(-5x). \]
Tout monôme non nul est donc aussi un polynôme formé d'un seul terme. En particulier,
\[ 6x^3y^2\qquad\text{et}\qquad -4 \]
sont des polynômes. Le monôme nul représente lui aussi un polynôme, appelé polynôme nul ; sous sa forme réduite, il ne possède aucun terme non nul.
Dans le cas d'une seule variable \(x\), un polynôme peut s'écrire sous la forme
\[ P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, \]
où \(a_0,a_1,\dots,a_n\) sont des nombres réels et où les exposants de \(x\) sont des entiers positifs ou nuls.
Il n'est pas nécessaire que tous les coefficients soient non nuls. Par exemple,
\[ P(x)=2x^5-3x^2+1 \]
peut également s'écrire
\[ P(x)=1+0x-3x^2+0x^3+0x^4+2x^5. \]
Les termes dont le coefficient est nul sont normalement omis, car ils ne contribuent pas à la valeur de l'expression.
Le mot finie est essentiel. Une expression contenant une somme infinie de puissances, telle que
\[ 1+x+x^2+x^3+\cdots, \]
n'est pas un polynôme, puisqu'elle possède une infinité de termes.
Les conditions déjà rencontrées pour les monômes restent elles aussi valables. Ne sont pas des polynômes, par exemple,
\[ \frac{1}{x}+2, \qquad \sqrt{x}+x, \qquad x^{\frac{3}{2}}-1, \qquad 2^x+x. \]
Dans ces expressions, la variable figure respectivement avec un exposant négatif, sous un radical, avec un exposant non entier, ou encore en exposant d'une puissance.
Il importe d'observer qu'un polynôme peut se présenter sous des formes apparemment différentes. Par exemple,
\[ 2x^2+3x-x^2-5x+4 \]
est un polynôme, mais il contient des termes que l'on peut regrouper. Après addition des monômes semblables, il devient
\[ x^2-2x+4. \]
Les deux expressions représentent le même polynôme. La seconde est écrite sous forme réduite, notion que nous approfondirons dans la section suivante.
Termes, Coefficients et Forme Réduite
Les monômes qui composent un polynôme portent le nom de termes du polynôme. Considérons, par exemple,
\[ P(x,y)=4x^3y-2xy^2+5x-7. \]
Ses termes sont
\[ 4x^3y,\qquad -2xy^2,\qquad 5x,\qquad -7. \]
Le signe de chaque terme est inclus dans le coefficient correspondant. Dans le polynôme précédent, les coefficients sont donc respectivement
\[ 4,\qquad -2,\qquad 5,\qquad -7. \]
Le terme dépourvu de variables porte le nom de terme constant. Dans l'exemple considéré, le terme constant vaut \(-7\). Si un polynôme ne contient aucun terme constant, celui-ci est égal à \(0\).
Un polynôme peut contenir des termes semblables, c'est-à-dire des monômes ayant la même partie littérale. Ces termes peuvent alors être regroupés en additionnant algébriquement leurs coefficients respectifs.
Considérons le polynôme
\[ 3x^2y-5xy^2+4x^2y+2xy^2-7. \]
Les termes \(3x^2y\) et \(4x^2y\) sont semblables, de même que les termes \(-5xy^2\) et \(2xy^2\). En les regroupant, on obtient
\[ (3+4)x^2y+(-5+2)xy^2-7, \]
et par conséquent
\[ 7x^2y-3xy^2-7. \]
Un polynôme est dit écrit sous forme réduite lorsque tous ses termes sont des monômes sous forme normale et qu'il n'y figure pas deux termes semblables.
Réduire un polynôme signifie donc réduire d'abord chacun de ses termes à sa forme normale, puis regrouper les termes semblables. Les termes dont le coefficient se trouve être \(0\) sont supprimés.
Par exemple,
\[ 2x\cdot 3xy-4x^2y+x^2y+5 \]
devient d'abord
\[ 6x^2y-4x^2y+x^2y+5, \]
puis
\[ (6-4+1)x^2y+5=3x^2y+5. \]
La forme réduite permet de reconnaître immédiatement la structure effective d'un polynôme. Deux expressions apparemment différentes représentent en effet le même polynôme lorsque, une fois réduites, elles présentent les mêmes termes affectés des mêmes coefficients.
Par exemple,
\[ 2x^2+3x-x^2-5x+4 \]
et
\[ x^2-2x+4 \]
représentent le même polynôme, puisque la première expression se réduit à la seconde.
Dans le cas d'un polynôme à une seule variable,
\[ P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, \]
le nombre \(a_k\) est le coefficient de \(x^k\). Si \(a_k\neq0\), le monôme \(a_kx^k\) est un terme du polynôme et son degré vaut \(k\) ; si en revanche \(a_k=0\), le terme correspondant est omis dans l'écriture.
Par exemple, dans le polynôme
\[ P(x)=3x^4-2x+1, \]
les coefficients de \(x^3\) et de \(x^2\) sont tous deux nuls. Le polynôme peut en effet s'écrire aussi sous la forme
\[ P(x)=3x^4+0x^3+0x^2-2x+1. \]
Les termes à coefficient nul sont normalement omis, mais les considérer comme implicitement présents permet de comparer plus aisément des polynômes différents et d'effectuer les opérations entre eux de façon ordonnée.
Degré et Classification des Polynômes
Degré d'un Polynôme
Le degré d'un polynôme non nul est le plus grand des degrés totaux des monômes qui figurent dans sa forme réduite.
Il est donc nécessaire de réduire le polynôme avant d'en déterminer le degré, car l'addition de termes semblables peut modifier ou supprimer les termes de plus haut degré.
Considérons, par exemple,
\[ P(x)=x^3-x^3+2x+1. \]
Les deux termes du troisième degré s'annulent et le polynôme se réduit à
\[ P(x)=2x+1. \]
Son degré vaut donc \(1\), et non \(3\).
Dans le cas d'un polynôme à une seule variable écrit sous la forme réduite
\[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \qquad a_n\neq0, \]
le degré est le plus grand exposant avec lequel figure la variable \(x\) :
\[ \deg(P)=n. \]
Le coefficient \(a_n\) porte le nom de coefficient dominant, tandis que le terme \(a_nx^n\) est appelé terme dominant.
Par exemple, dans le polynôme
\[ P(x)=-3x^5+2x^2-x+4, \]
le degré vaut \(5\), le coefficient dominant vaut \(-3\) et le terme dominant est \(-3x^5\).
Un polynôme constant non nul est de degré \(0\). Par exemple,
\[ \deg(7)=0. \]
Le polynôme nul constitue en revanche un cas particulier. Comme on peut l'écrire en lui attribuant des termes de n'importe quel degré,
\[ 0=0x=0x^2=0x^{10}, \]
son degré est laissé non défini en algèbre élémentaire.
Pour un polynôme à plusieurs variables, on peut considérer également le degré par rapport à une variable donnée, défini comme le plus grand exposant avec lequel cette variable figure dans les termes non nuls de la forme réduite.
Considérons le polynôme
\[ P(x,y)=3x^2y-5xy^3+7. \]
Les trois termes sont respectivement de degré total \(3\), \(4\) et \(0\). Le degré total du polynôme vaut donc
\[ \deg(P)=4. \]
Le degré par rapport à \(x\) vaut quant à lui \(2\), tandis que le degré par rapport à \(y\) vaut \(3\).
Classification selon le Nombre de Termes
Une fois un polynôme non nul réduit, on peut le classer selon le nombre de ses termes.
Un polynôme formé d'un seul terme non nul est un monôme ; un polynôme formé de deux termes est un binôme ; un polynôme formé de trois termes est un trinôme.
Par exemple,
\[ 4x^3,\qquad x^2-1,\qquad x^2+3x+2 \]
sont respectivement un monôme, un binôme et un trinôme.
Le polynôme nul constitue un cas particulier : il coïncide avec le monôme nul, mais sous sa forme réduite il ne possède aucun terme non nul et n'est pas classé selon le nombre de termes.
Cette classification doit elle aussi être effectuée après réduction. L'expression
\[ x^2+3x-2x+1 \]
contient initialement quatre termes, mais elle se réduit à
\[ x^2+x+1, \]
et il s'agit donc d'un trinôme.
Polynômes Ordonnés et Complets
Un polynôme à une variable est dit ordonné lorsque ses termes sont rangés suivant les puissances croissantes ou décroissantes de la variable.
Le polynôme
\[ 3x^4-2x^3+x-5 \]
est ordonné suivant les puissances décroissantes de \(x\), tandis que
\[ -5+x-2x^3+3x^4 \]
est ordonné suivant les puissances croissantes.
Un polynôme de degré \(n\) est dit complet par rapport à la variable \(x\) lorsqu'il contient, avec des coefficients non nuls, toutes les puissances de \(x\) depuis \(n\) jusqu'à \(0\).
Par exemple,
\[ 2x^4-x^3+3x^2+x-5 \]
est un polynôme complet du quatrième degré, car il contient les puissances
\[ x^4,\qquad x^3,\qquad x^2,\qquad x,\qquad x^0. \]
Le polynôme
\[ 2x^4+3x-5 \]
est en revanche incomplet, puisqu'il ne contient aucun terme en \(x^3\) ni en \(x^2\). Les coefficients correspondant à ces puissances sont implicitement égaux à \(0\).
Polynômes Homogènes
Un polynôme non nul à plusieurs variables est dit homogène lorsque tous ses termes ont le même degré total.
Par exemple,
\[ P(x,y)=3x^3-2x^2y+5xy^2-y^3 \]
est homogène de degré \(3\), car chaque terme est de degré total \(3\).
Le polynôme
\[ Q(x,y)=x^2+xy+y \]
n'est en revanche pas homogène : les deux premiers termes sont de degré \(2\), tandis que le terme \(y\) est de degré \(1\).
Polynômes Unitaires
Un polynôme non nul à une variable est dit unitaire lorsque son coefficient dominant est égal à \(1\).
Le polynôme
\[ x^4-3x^2+2x-1 \]
est unitaire, tandis que
\[ 2x^4-3x^2+2x-1 \]
ne l'est pas, car son coefficient dominant vaut \(2\).
Le degré, le nombre de termes, l'ordre des termes, le caractère complet, l'homogénéité et le caractère unitaire décrivent des aspects différents de la structure d'un polynôme. Un même polynôme peut donc relever simultanément de plusieurs catégories : il peut, par exemple, être un trinôme, ordonné, incomplet et unitaire.
Opérations sur les Polynômes
La somme, la différence et le produit de deux polynômes sont encore des polynômes. Par conséquent, toute puissance d'un polynôme à exposant entier strictement positif est elle aussi un polynôme. On dit dès lors que l'ensemble des polynômes est stable par addition, soustraction et multiplication.
Avant d'effectuer les calculs, il convient de réduire chaque polynôme et, dans le cas de polynômes à une seule variable, d'en ranger les termes suivant les puissances croissantes ou décroissantes de la variable.
Addition
Pour additionner deux polynômes, on regroupe les termes semblables en additionnant algébriquement leurs coefficients respectifs.
Considérons
\[ P(x)=3x^3-2x^2+5x-1 \]
et
\[ Q(x)=-x^3+4x^2-3x+6. \]
En rangeant les termes semblables dans le même ordre, nous obtenons
\[ \begin{aligned} P(x)+Q(x) &=(3x^3-2x^2+5x-1)+(-x^3+4x^2-3x+6)\\ &=(3-1)x^3+(-2+4)x^2+(5-3)x+(-1+6)\\ &=2x^3+2x^2+2x+5. \end{aligned} \]
L'addition peut également s'effectuer en disposant les polynômes verticalement, en prenant soin de placer dans une même colonne les termes ayant la même partie littérale.
Pour deux polynômes non nuls \(P\) et \(Q\), le degré de la somme vérifie
\[ \deg(P+Q)\leq\max\{\deg(P),\deg(Q)\}, \]
pourvu que \(P+Q\) ne soit pas le polynôme nul.
Le degré de la somme peut être inférieur au plus grand des degrés des deux polynômes lorsque leurs termes de plus haut degré s'annulent. Par exemple,
\[ (2x^3+x)+(-2x^3+4)=x+4. \]
Les deux polynômes sont de degré \(3\), tandis que leur somme est de degré \(1\).
Soustraction
Soustraire un polynôme signifie ajouter son opposé. L'opposé d'un polynôme s'obtient en changeant le signe de tous ses termes.
Si
\[ Q(x)=x^2-3x+5, \]
alors
\[ -Q(x)=-x^2+3x-5. \]
Considérons maintenant
\[ P(x)=4x^2+x-2. \]
La différence \(P(x)-Q(x)\) vaut
\[ \begin{aligned} P(x)-Q(x) &=(4x^2+x-2)-(x^2-3x+5)\\ &=4x^2+x-2-x^2+3x-5\\ &=3x^2+4x-7. \end{aligned} \]
Les parenthèses sont essentielles : le signe moins placé devant un polynôme change le signe de chacun des termes qu'il renferme.
Multiplication
Le produit de deux polynômes se calcule en appliquant de façon répétée la distributivité : chaque terme du premier polynôme doit être multiplié par chaque terme du second.
Considérons
\[ P(x)=2x-3 \qquad\text{et}\qquad Q(x)=x^2+4x+1. \]
On a
\[ \begin{aligned} P(x)Q(x) &=(2x-3)(x^2+4x+1)\\ &=2x(x^2+4x+1)-3(x^2+4x+1)\\ &=2x^3+8x^2+2x-3x^2-12x-3\\ &=2x^3+5x^2-10x-3. \end{aligned} \]
Une fois la distributivité appliquée, le résultat doit être réduit en regroupant les éventuels termes semblables.
Le produit de deux polynômes non nuls n'est jamais le polynôme nul. De plus, son degré est égal à la somme des degrés des facteurs :
\[ \deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q). \]
Dans l'exemple précédent,
\[ \deg(P)=1, \qquad \deg(Q)=2, \]
et l'on a bien
\[ \deg(PQ)=1+2=3. \]
Cette propriété découle du fait que le terme dominant du produit s'obtient en multipliant les termes dominants des deux facteurs. Si
\[ P(x)=a_nx^n+\cdots \qquad\text{et}\qquad Q(x)=b_mx^m+\cdots, \]
avec \(a_n\neq0\) et \(b_m\neq0\), le terme dominant du produit est
\[ a_nb_mx^{n+m}. \]
Le produit \(a_nb_m\) de deux nombres réels non nuls étant lui-même non nul, le degré du produit vaut \(n+m\).
Puissance
Élever un polynôme à un exposant entier strictement positif signifie former le produit d'autant de facteurs égaux à ce polynôme que l'indique l'exposant.
Par exemple,
\[ P(x)^3=P(x)\cdot P(x)\cdot P(x). \]
Considérons le polynôme
\[ P(x)=x+2. \]
Sa puissance seconde vaut
\[ \begin{aligned} P(x)^2 &=(x+2)(x+2)\\ &=x^2+2x+2x+4\\ &=x^2+4x+4. \end{aligned} \]
Le calcul a été mené en appliquant la distributivité. Les formules connues sous le nom d'identités remarquables permettent d'abréger certains développements récurrents, mais elles découlent toujours de cette même propriété.
Si \(P\) est un polynôme non nul et si \(m\) est un entier strictement positif, alors
\[ \deg(P^m)=m\deg(P). \]
En effet, \(P^m\) est le produit de \(m\) facteurs tous égaux à \(P\), et le degré du produit est la somme des degrés de chacun des facteurs.
Pour tout polynôme non nul, on pose en outre
\[ P(x)^0=1. \]
Le cas où le polynôme est nul et l'exposant vaut \(0\) n'est pas défini.
Les opérations que nous venons d'étudier montrent que l'addition, la soustraction et la multiplication produisent toujours des polynômes ; il en va de même des puissances à exposant entier strictement positif. Pour tout polynôme non nul, la puissance d'exposant \(0\) est également définie, tandis que la division exige des conditions supplémentaires et sera traitée à part.
Valeur Numérique d'un Polynôme
La valeur numérique d'un polynôme s'obtient en substituant à ses variables des valeurs numériques données et en effectuant les opérations indiquées.
Considérons, par exemple, le polynôme
\[ P(x)=2x^3-5x+1. \]
En attribuant à la variable \(x\) la valeur \(2\), on obtient
\[ P(2)=2\cdot 2^3-5\cdot 2+1. \]
En effectuant les calculs,
\[ P(2)=2\cdot 8-10+1=16-10+1=7. \]
On dit par conséquent que la valeur numérique de \(P(x)\) pour \(x=2\) vaut \(7\).
L'écriture \(P(2)\) désigne le nombre obtenu en substituant \(2\) à chaque occurrence de la variable \(x\). Plus généralement, si
\[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \]
alors, un nombre réel \(c\) étant donné, on a
\[ P(c)=a_nc^n+a_{n-1}c^{n-1}+\cdots+a_1c+a_0. \]
Lorsque la valeur attribuée à la variable est négative, il importe de la placer entre parenthèses avant de l'élever à une puissance. Considérons, par exemple,
\[ Q(x)=x^3-2x^2+4. \]
Pour \(x=-2\), on obtient
\[ Q(-2)=(-2)^3-2(-2)^2+4. \]
Par conséquent,
\[ Q(-2)=-8-2\cdot 4+4=-8-8+4=-12. \]
Les parenthèses permettent de distinguer correctement la puissance du nombre négatif de l'opposé d'une puissance. En effet,
\[ (-2)^2=4, \qquad -2^2=-4. \]
La valeur numérique peut également être calculée pour des polynômes à plusieurs variables. Considérons
\[ P(x,y)=3x^2y-2xy^2+5. \]
Pour \(x=2\) et \(y=-1\), on a
\[ P(2,-1)=3\cdot 2^2\cdot(-1)-2\cdot 2\cdot(-1)^2+5. \]
En menant les calculs,
\[ P(2,-1)=3\cdot 4\cdot(-1)-4+5=-12-4+5=-11. \]
En général, si \(P(x_1,x_2,\dots,x_n)\) est un polynôme à \(n\) variables, sa valeur numérique pour \(x_1=c_1,x_2=c_2,\dots,x_n=c_n\) se note
\[ P(c_1,c_2,\dots,c_n) \]
et s'obtient en substituant, pour chaque \(i=1,2,\dots,n\), le nombre \(c_i\) à la variable \(x_i\).
Un polynôme ne contenant que des sommes, des différences, des produits et des puissances à exposant entier positif ou nul, sa valeur numérique est définie pour tout choix réel des variables.
À tout polynôme à une variable on peut donc associer une fonction qui, à chaque nombre réel \(x\), fait correspondre la valeur \(P(x)\) :
\[ x\longmapsto P(x). \]
Le polynôme et la fonction polynomiale qui lui est associée sont des objets étroitement liés, mais qu'il ne faut pas confondre : le premier est un objet algébrique représenté par une expression formelle, tandis que la seconde est la fonction qui associe à chaque valeur de la variable la valeur numérique correspondante du polynôme.