Identités Remarquables : Formules, Explication et Exercices Résolus

Les identités remarquables sont des identités algébriques qui permettent de développer rapidement certains produits de polynômes, sans avoir à effectuer à chaque fois tous les calculs terme à terme. Leur importance ne se limite cependant pas à leur aspect pratique : ce sont des outils fondamentaux pour simplifier des expressions, factoriser des polynômes et reconnaître des structures récurrentes en algèbre. Les étudier avec soin, c'est apprendre à voir la forme derrière les symboles.

Sommaire

• Que sont les identités remarquables
• Carré d'un binôme
• Carré d'un trinôme
• Produit d'une somme par une différence
• Cube d'un binôme
• Somme et différence de cubes
• Lecture inverse : factoriser à l'aide des identités remarquables
• Erreurs fréquentes
• Méthode générale de résolution
• Remarques
• Exercices résolus

Une identité algébrique est une égalité vraie pour toutes les valeurs des variables concernées. Ce n'est pas une équation à résoudre, ni une formule valable seulement dans certains cas : c'est une loi universelle, une propriété structurelle de l'algèbre.

Les identités remarquables sont des identités de cette nature, portant sur des produits de polynômes particulièrement fréquents. Leur importance est double : elles permettent de développer rapidement certaines expressions, mais — ce qui est encore plus précieux — elles permettent de reconnaître des structures cachées et de factoriser des polynômes qui semblent à première vue irréductibles.

Une seule mise en garde avant de commencer : chacune des formules qui suivent ne doit pas être mémorisée mécaniquement, mais comprise. Une formule comprise ne s'oublie pas. Une formule simplement apprise par cœur trahit toujours au moment où l'on en a besoin.

Soient \(a\) et \(b\) deux expressions algébriques quelconques. Alors :

\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. \]

Démonstration. Par définition de la puissance, \((a+b)^2 = (a+b)(a+b)\). En appliquant la propriété distributive de la multiplication par rapport à l'addition, d'abord sur le facteur de gauche, puis sur celui de droite :

\[ (a+b)(a+b) = a(a+b) + b(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2. \]

La multiplication d'expressions algébriques étant commutative, on a \(ab = ba\), d'où \(ab + ba = 2ab\). Par conséquent :

\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. \quad \square \]

Interprétation géométrique. Lorsque \(a\) et \(b\) sont des longueurs positives, la formule prend un sens visuel immédiat. Un carré de côté \(a+b\) peut être subdivisé en quatre régions : un carré de côté \(a\), un carré de côté \(b\), et deux rectangles de dimensions \(a \times b\). L'aire totale est donc \(a^2 + 2ab + b^2\). Cette lecture géométrique explique pourquoi le terme \(2ab\) ne peut en aucun cas être omis : il représente précisément ces deux rectangles intermédiaires.

Pour le carré d'une différence, il suffit de remplacer \(b\) par \(-b\) dans l'identité que l'on vient de démontrer :

\[ (a-b)^2 = \bigl(a+(-b)\bigr)^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. \]

La structure est identique ; seul le signe du terme croisé change. Dans les deux cas, le résultat est un trinôme carré parfait : la somme des carrés des deux termes, augmentée ou diminuée de leur double produit.

Remarque. Du carré d'une différence découle immédiatement une inégalité importante : puisque \((a-b)^2 \geq 0\) pour tout \(a, b \in \mathbb{R}\), on a toujours \[ a^2 + b^2 \geq 2ab, \] avec égalité si et seulement si \(a = b\). C'est l'une des façons les plus élégantes d'établir l'inégalité arithmético-géométrique pour deux termes.

Le carré d'un trinôme prolonge naturellement le cas précédent. Soient \(a\), \(b\), \(c\) trois expressions algébriques. Alors :

\[ (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc. \]

Démonstration. On pose \(s = a + b\), de sorte que \((a+b+c)^2 = (s+c)^2\). En appliquant le carré d'un binôme déjà démontré :

\[ (s+c)^2 = s^2 + 2sc + c^2. \]

On développe ensuite \(s^2 = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) et \(2sc = 2(a+b)c = 2ac + 2bc\). En substituant :

\[ (a+b+c)^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc. \quad \square \]

Structure de la formule. Le résultat est la somme des carrés de chaque terme, augmentée du double produit de chaque paire de termes distincts. Cette loi se généralise : le carré d'une somme de \(n\) termes contient les \(n\) carrés et tous les \(\binom{n}{2}\) doubles produits croisés.

Parmi toutes les identités remarquables, celle-ci est peut-être la plus surprenante lors d'une première rencontre :

\[ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2. \]

Démonstration. En appliquant la propriété distributive au facteur de gauche :

\[ (a+b)(a-b) = a(a-b) + b(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2. \]

Par la propriété commutative de la multiplication, \(ba = ab\), donc \(-ab + ba = 0\). Il reste :

\[ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2. \quad \square \]

L'annulation des termes croisés n'est pas une heureuse coïncidence : elle est la conséquence directe du fait que les deux facteurs ne diffèrent que par le signe du second terme. La structure est parfaitement symétrique, et c'est cette symétrie qui produit la simplification.

Interprétation géométrique. Supposons \(a > b > 0\). La différence \(a^2 - b^2\) représente l'aire d'un carré de côté \(a\) dont on soustrait un carré de côté \(b\), soit une sorte de cadre carré. Cette figure peut être découpée et réassemblée pour former un rectangle de dimensions \((a+b) \times (a-b)\), comme l'affirme l'identité.

Remarque. Cette formule se révèle très utile dans les calculs numériques. Par exemple : \[ 999 \times 1001 = (1000 - 1)(1000 + 1) = 1000^2 - 1 = 999\,999. \] Elle permet également de rationaliser un dénominateur irrationnel en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué de l'expression : \[ \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1. \]

En élevant un binôme à la troisième puissance, on obtient :

\[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3. \]

Démonstration. Par définition de la puissance, \((a+b)^3 = (a+b)^2 \cdot (a+b)\). En substituant le carré déjà démontré :

\[ (a+b)^3 = (a^2 + 2ab + b^2)(a+b). \]

En appliquant la propriété distributive :

\[ = a^2(a+b) + 2ab(a+b) + b^2(a+b) = a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3. \]

En regroupant les termes semblables :

\[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3. \quad \square \]

Pour le cube d'une différence, on substitue \(b\) par \(-b\) :

\[ (a-b)^3 = a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3. \]

Les signes alternent selon le schéma \(+, -, +, -\), car les puissances impaires de \(-b\) sont négatives et les puissances paires sont positives.

Remarque. Les coefficients \(1, 3, 3, 1\) ne sont pas arbitraires : ce sont les coefficients binomiaux \(\binom{3}{0}, \binom{3}{1}, \binom{3}{2}, \binom{3}{3}\), c'est-à-dire les nombres de la quatrième ligne du triangle de Pascal. Ce lien n'est pas un détail ornemental : il exprime une loi générale appelée formule du binôme de Newton, qui décrit le développement de \((a+b)^n\) pour tout exposant entier positif ou nul \(n\).

Les identités suivantes permettent de factoriser des expressions qui ne sont ni des carrés ni des cubes de binômes, mais qui possèdent leur propre structure :

\[ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2), \] \[ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2). \]

Démonstration de la différence de cubes. Il s'agit de vérifier que les deux membres sont égaux. En appliquant la propriété distributive au membre de droite :

\[ (a-b)(a^2+ab+b^2) = a(a^2+ab+b^2) - b(a^2+ab+b^2) \] \[ = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3. \]

Les termes \(a^2b\) et \(-a^2b\) s'annulent, de même que \(ab^2\) et \(-ab^2\). Il reste :

\[ (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3. \quad \square \]

La somme de cubes se démontre de façon tout à fait analogue, ou bien en substituant \(b\) par \(-b\) dans l'identité que l'on vient d'établir.

Mise en garde essentielle. Ces identités ne doivent pas être confondues avec le cube d'un binôme :

\[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \neq a^3 + b^3. \]

La somme \(a^3 + b^3\) est certes factorisable, mais le second facteur \(a^2 - ab + b^2\) est irréductible sur \(\mathbb{R}\) : son discriminant en \(a\) vaut \(b^2 - 4b^2 = -3b^2 < 0\) pour tout \(b \neq 0\), ce qui garantit qu'il n'admet aucune racine réelle.

Les identités remarquables sont des outils à double sens. Lues de gauche à droite, elles permettent de développer ; lues de droite à gauche, elles permettent de factoriser. Cette seconde lecture est souvent la plus importante.

Pour les utiliser en sens inverse, il faut entraîner la reconnaissance des structures. Les indices à repérer sont les suivants :

• Trinôme carré parfait : trois termes, dont deux sont des carrés parfaits à coefficient positif, et le troisième est le double produit de leurs racines respectives. Par exemple \(9x^2 - 12x + 4 = (3x-2)^2\).
• Différence de deux carrés : deux termes, tous deux des carrés parfaits, de signes opposés. Par exemple \(25x^2 - 49 = (5x+7)(5x-7)\).
• Somme ou différence de cubes : deux termes qui sont des cubes parfaits, avec le signe approprié. Par exemple \(8x^3 + 27 = (2x)^3 + 3^3 = (2x+3)(4x^2 - 6x + 9)\).

Exemple. Factoriser \(x^4 - 16\).

On reconnaît une différence de deux carrés avec \(a = x^2\) et \(b = 4\) : \[ x^4 - 16 = (x^2+4)(x^2-4). \] Mais \(x^2 - 4\) est encore une différence de deux carrés : \[ x^2 - 4 = (x+2)(x-2). \] Le facteur \(x^2 + 4\) ne se factorise pas davantage sur \(\mathbb{R}\). La factorisation complète est : \[ x^4 - 16 = (x^2+4)(x+2)(x-2). \]

Cet exemple illustre un principe général : la factorisation doit être appliquée de manière itérative, jusqu'à ce que chaque facteur soit irréductible.

L'erreur la plus fréquente, et la plus grave, consiste à omettre les termes croisés.

\[ (a+b)^2 \neq a^2 + b^2. \]

Cette égalité n'est vraie que si \(ab = 0\), c'est-à-dire si l'un au moins des deux termes est nul. Dans tous les autres cas, elle est fausse, et cette erreur est étonnamment persistante, même chez des élèves qui maîtrisent par ailleurs l'algèbre.

De même :

\[ (a-b)^2 \neq a^2 - b^2 \qquad \text{(ceci est en réalité } (a+b)(a-b)\text{)}, \] \[ (a+b)^3 \neq a^3 + b^3 \qquad \text{(ceci est en réalité la somme de cubes)}. \]

Une seconde erreur concerne les signes dans le cube d'une différence. Les coefficients corrects de \((a-b)^3\) sont \(+1, -3, +3, -1\), et non \(+1, -3, -3, -1\). L'alternance régulière des signes est une conséquence directe de la substitution \(b \mapsto -b\) et ne doit pas être négligée.

Lorsqu'on aborde un exercice sur les identités remarquables, il est conseillé de procéder avec méthode :

1. Identifier la structure. L'expression ressemble-t-elle au carré d'un binôme ? À une différence de deux carrés ? À un cube ? À une somme ou différence de cubes ? Il faut souvent réécrire les termes sous forme de puissances explicites pour rendre la structure visible (par exemple \(4x^2 = (2x)^2\), ou encore \(27y^3 = (3y)^3\)).
2. Identifier \(a\) et \(b\). Une fois le type d'identité reconnu, préciser explicitement quelles expressions jouent le rôle de \(a\) et de \(b\) (et de \(c\), dans le cas du trinôme).
3. Appliquer la formule. Substituer \(a\) et \(b\) dans l'identité choisie, en respectant soigneusement les signes et les exposants.
4. Simplifier. Calculer les puissances et les produits numériques, regrouper les termes semblables.
5. Vérifier. S'assurer que le résultat a la structure attendue : dans le carré, le terme croisé doit être présent ; dans le cube, les coefficients doivent être \(1, 3, 3, 1\) ; dans la différence de deux carrés, il ne doit y avoir aucun terme croisé.

Le triangle de Pascal. Les coefficients des puissances d'un binôme ne sont pas arbitraires. Pour tout exposant \(n\), les coefficients de \((a+b)^n\) sont les nombres de la \((n+1)\)-ième ligne du triangle de Pascal :

\[ \begin{array}{c} n=0: \quad 1 \\ n=1: \quad 1 \quad 1 \\ n=2: \quad 1 \quad 2 \quad 1 \\ n=3: \quad 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\ n=4: \quad 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \end{array} \]

Chaque nombre est la somme des deux nombres situés immédiatement au-dessus de lui. Cette structure est au cœur de la formule du binôme de Newton, l'une des identités les plus puissantes de la combinatoire algébrique.

La différence de deux carrés dans la rationalisation. L'une des applications les plus élégantes du produit d'une somme par une différence se rencontre dans la simplification d'expressions irrationnelles. Pour éliminer une racine du dénominateur, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur, en exploitant l'identité \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\). On transforme ainsi la racine en un nombre rationnel, ce qui simplifie considérablement le calcul.

Exercice 1. Développer \((x+5)^2\).

Solution. Avec \(a = x\) et \(b = 5\) : \[ (x+5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25. \]

Exercice 2. Développer \((3x-2)^2\).

Solution. Avec \(a = 3x\) et \(b = 2\) : \[ (3x-2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4. \]

Exercice 3. Développer \((2x+7)(2x-7)\).

Solution. On reconnaît le produit d'une somme par une différence avec \(a = 2x\) et \(b = 7\) : \[ (2x+7)(2x-7) = (2x)^2 - 7^2 = 4x^2 - 49. \]

Exercice 4. Développer \((2x^2 - 3y)^3\).

Solution. On reconnaît le cube d'une différence avec \(a = 2x^2\) et \(b = 3y\). On calcule les quatre termes séparément : \[ a^3 = (2x^2)^3 = 8x^6, \] \[ 3a^2b = 3 \cdot (2x^2)^2 \cdot 3y = 3 \cdot 4x^4 \cdot 3y = 36x^4y, \] \[ 3ab^2 = 3 \cdot 2x^2 \cdot (3y)^2 = 3 \cdot 2x^2 \cdot 9y^2 = 54x^2y^2, \] \[ b^3 = (3y)^3 = 27y^3. \] En appliquant la formule \((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\) : \[ (2x^2-3y)^3 = 8x^6 - 36x^4y + 54x^2y^2 - 27y^3. \]

Exercice 5. Factoriser complètement \(x^4 - 81\).

Solution. On écrit \(x^4 = (x^2)^2\) et \(81 = 9^2\), reconnaissant une différence de deux carrés avec \(a = x^2\) et \(b = 9\) : \[ x^4 - 81 = (x^2+9)(x^2-9). \] Le facteur \(x^2 - 9 = x^2 - 3^2\) est encore une différence de deux carrés : \[ x^2 - 9 = (x+3)(x-3). \] Le facteur \(x^2 + 9\) ne se factorise pas davantage sur \(\mathbb{R}\), car il n'admet aucune racine réelle. La factorisation complète est : \[ x^4 - 81 = (x^2+9)(x+3)(x-3). \]

Exercice 6. Factoriser \(8x^3 - 125\).

Solution. On réécrit les deux termes comme des cubes parfaits : \(8x^3 = (2x)^3\) et \(125 = 5^3\). On reconnaît une différence de cubes avec \(a = 2x\) et \(b = 5\) : \[ 8x^3 - 125 = (2x-5)\bigl((2x)^2 + (2x)(5) + 5^2\bigr) = (2x-5)(4x^2+10x+25). \] Le trinôme \(4x^2 + 10x + 25\) est irréductible sur \(\mathbb{R}\) : son discriminant vaut \(\Delta = 100 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 100 - 400 = -300 < 0\).

Exercice 7. Simplifier l'expression : \[ \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}, \qquad h \neq 0. \]

Solution. On développe le carré au numérateur en appliquant la formule \((x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2\) : \[ (x+h)^2 - x^2 = x^2 + 2xh + h^2 - x^2 = 2xh + h^2. \] On factorise \(h\) au numérateur : \[ 2xh + h^2 = h(2x+h). \] Puisque \(h \neq 0\), on peut simplifier : \[ \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h. \] Cette expression n'est pas qu'un simple exercice algébrique : le rapport de départ est le taux d'accroissement de la fonction \(f(x) = x^2\), dont la limite quand \(h \to 0\) donne la dérivée \(f'(x) = 2x\). Les identités remarquables apparaissent donc dès les premiers pas du calcul différentiel.

Exercice 8. Démontrer que pour tout entier \(n\), la différence \((n+1)^2 - (n-1)^2\) est toujours un multiple de \(4\), et déterminer lequel.

Solution. On développe les deux carrés à l'aide des formules connues : \[ (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1, \] \[ (n-1)^2 = n^2 - 2n + 1. \] En soustrayant : \[ (n+1)^2 - (n-1)^2 = (n^2 + 2n + 1) - (n^2 - 2n + 1) = 4n. \] Le résultat est \(4n\), qui est toujours un multiple de \(4\) pour tout \(n \in \mathbb{Z}\). On pouvait également reconnaître directement une différence de deux carrés : \[ (n+1)^2 - (n-1)^2 = \bigl((n+1)+(n-1)\bigr)\bigl((n+1)-(n-1)\bigr) = 2n \cdot 2 = 4n. \] Les deux approches mènent au même résultat, mais la seconde est plus rapide et montre à quel point savoir reconnaître les structures est un atout précieux.