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Les inéquations à valeur absolue sont des inéquations dans lesquelles l'inconnue apparaît à l'intérieur d'une ou plusieurs valeurs absolues. Pour les résoudre correctement, il ne suffit pas d'appliquer des règles mécaniques : il faut comprendre la signification de la valeur absolue et transformer chaque inéquation en une forme équivalente sans valeur absolue.
Rappelons tout d'abord la définition de valeur absolue :
\[ |x|= \begin{cases} x, & \text{si } x\ge 0,\\ -x, & \text{si } x<0. \end{cases} \]
Cette définition indique que la valeur absolue d'un nombre réel est toujours positive ou nulle :
\[ |x|\ge 0 \qquad \text{pour tout } x\in\mathbb{R}. \]
De plus :
\[ |x|=0 \iff x=0. \]
Sommaire
- Signification géométrique de la valeur absolue
- Inéquations du type \(|A(x)|<k\)
- Inéquations du type \(|A(x)|\le k\)
- Inéquations du type \(|A(x)|>k\)
- Inéquations du type \(|A(x)|\ge k\)
- Cas où le second membre est négatif
- Méthode de la définition
- Inéquations avec plusieurs valeurs absolues
- Exemples résolus
Signification géométrique de la valeur absolue
La valeur absolue possède une signification géométrique fondamentale : elle représente une distance sur la droite réelle.
En particulier, \(|x|\) représente la distance du point \(x\) à l'origine :
\[ |x|=d(x,0). \]
Plus généralement, l'expression :
\[ |x-a| \]
représente la distance entre \(x\) et \(a\) :
\[ |x-a|=d(x,a). \]
Par exemple, l'inéquation :
\[ |x-3|<2 \]
signifie que la distance entre \(x\) et \(3\) doit être inférieure à \(2\). Ainsi, \(x\) doit se trouver entre \(3-2\) et \(3+2\), c'est-à-dire :
\[ 1<x<5 \]
Cette interprétation est très utile, car elle permet de comprendre immédiatement la différence entre les inéquations du type « inférieur à » et celles du type « supérieur à ».
Inéquations du type \(|A(x)|<k\)
Considérons une inéquation de la forme :
\[ |A(x)|<k \]
On suppose dans un premier temps que :
\[ k>0 \]
Dire que \(|A(x)|<k\) revient à dire que \(A(x)\) doit se trouver à une distance inférieure à \(k\) de \(0\). Donc \(A(x)\) doit être compris entre \(-k\) et \(k\) :
\[ |A(x)|<k \iff -k<A(x)<k \]
Ainsi, une inéquation à valeur absolue strictement inférieure à un nombre positif se ramène à une double inégalité.
Exemple. Résolvons :
\[ |2x-3|<5 \]
Puisque le second membre est positif, on écrit :
\[ -5<2x-3<5 \]
On ajoute \(3\) à tous les membres :
\[ -2<2x<8 \]
On divise par \(2\) :
\[ -1<x<4 \]
L'ensemble des solutions est donc :
\[ S=(-1,4) \]
Inéquations du type \(|A(x)|\le k\)
Si le symbole est \(\le\), le raisonnement est identique. Pour \(k>0\), on a :
\[ |A(x)|\le k \iff -k\le A(x)\le k. \]
Dans ce cas, les bornes sont incluses, car l'inéquation admet aussi le cas où la valeur absolue est exactement égale à \(k\).
Exemple. Résolvons :
\[ |x-4|\le 2. \]
On écrit l'inéquation équivalente :
\[ -2\le x-4\le 2. \]
On ajoute \(4\) :
\[ 2\le x\le 6. \]
Donc :
\[ S=[2,6]. \]
Inéquations du type \(|A(x)|>k\)
Considérons maintenant une inéquation de la forme :
\[ |A(x)|>k, \]
avec :
\[ k>0. \]
Dire que \(|A(x)|>k\) revient à dire que \(A(x)\) doit se trouver à une distance supérieure à \(k\) de \(0\). Donc \(A(x)\) doit être inférieur à \(-k\) ou supérieur à \(k\) :
\[ |A(x)|>k \iff A(x)<-k \quad \text{ou} \quad A(x)>k. \]
Contrairement au cas précédent, on n'obtient pas une double inégalité, mais la réunion de deux conditions alternatives.
Exemple. Résolvons :
\[ |3x+1|>7. \]
On écrit :
\[ 3x+1<-7 \quad \text{ou} \quad 3x+1>7. \]
On résout la première inéquation :
\[ 3x<-8 \iff x<-\frac{8}{3}. \]
On résout la seconde :
\[ 3x>6 \iff x>2. \]
Par conséquent :
\[ S=\left(-\infty,-\frac{8}{3}\right)\cup(2,+\infty). \]
Inéquations du type \(|A(x)|\ge k\)
Si le symbole est \(\ge\), pour \(k>0\) on a :
\[ |A(x)|\ge k \iff A(x)\le -k \quad \text{ou} \quad A(x)\ge k. \]
Les bornes sont incluses car la valeur absolue peut être égale à \(k\).
Exemple. Résolvons :
\[ |2x+5|\ge 1. \]
On écrit :
\[ 2x+5\le -1 \quad \text{ou} \quad 2x+5\ge 1. \]
Première inéquation :
\[ 2x\le -6 \iff x\le -3. \]
Deuxième inéquation :
\[ 2x\ge -4 \iff x\ge -2. \]
Donc :
\[ S=(-\infty,-3]\cup[-2,+\infty). \]
Cas où le second membre est négatif
La valeur absolue est toujours positive ou nulle. Aussi, lorsque le second membre est négatif, il convient de raisonner avec attention.
Si \(k<0\), alors :
\[ |A(x)|<k \]
n'a aucune solution, car un nombre positif ou nul ne peut pas être inférieur à un nombre négatif.
Donc :
\[ |A(x)|<k, \quad k<0 \implies S=\varnothing \]
De même :
\[ |A(x)|\le k, \quad k<0 \implies S=\varnothing \]
En revanche, si \(k<0\), l'inéquation :
\[ |A(x)|>k \]
est vérifiée pour toutes les valeurs pour lesquelles \(A(x)\) est définie, car la valeur absolue est toujours au moins égale à \(0\), et donc nécessairement supérieure à un nombre négatif.
Donc :
\[ |A(x)|>k, \quad k<0 \implies S=D \]
où \(D\) est le domaine de l'expression \(A(x)\).
De même :
\[ |A(x)|\ge k, \quad k<0 \implies S=D \]
Exemples
L'inéquation :
\[ |x-1|<-3 \]
n'a aucune solution :
\[ S=\varnothing \]
En revanche :
\[ |2x+1|>-5 \]
est vérifiée pour tout nombre réel :
\[ S=\mathbb{R} \]
Méthode de la définition
Lorsque l'inéquation contient une seule valeur absolue linéaire, on peut souvent appliquer directement les règles exposées ci-dessus. Cependant, en présence d'expressions plus complexes ou de plusieurs valeurs absolues, il est généralement plus sûr de recourir directement à la définition.
La définition générale est :
\[ |A(x)|= \begin{cases} A(x), & \text{si } A(x)\ge 0,\\ -A(x), & \text{si } A(x)<0. \end{cases} \]
Cela signifie que, pour lever la valeur absolue, il faut savoir où l'expression placée sous le signe valeur absolue est positive ou négative.
Par exemple, considérons :
\[ |x-2|. \]
L'expression s'annule pour :
\[ x-2=0 \iff x=2. \]
Donc :
\[ |x-2|= \begin{cases} -(x-2), & \text{si } x<2,\\ x-2, & \text{si } x\ge 2. \end{cases} \]
c'est-à-dire :
\[ |x-2|= \begin{cases} -x+2, & \text{si } x<2,\\ x-2, & \text{si } x\ge 2. \end{cases} \]
Inéquations avec plusieurs valeurs absolues
Lorsque plusieurs valeurs absolues apparaissent, il faut identifier tous les points où les expressions à l’intérieur des valeurs absolues s'annulent. Ces points divisent la droite réelle en intervalles. Sur chacun d'eux, chaque expression garde un signe constant, ce qui permet de lever correctement chaque valeur absolue.
La démarche générale est la suivante :
- on pose égales à zéro les expressions à l’intérieur des valeurs absolues ;
- on ordonne les points obtenus sur la droite réelle ;
- on étudie l'inéquation séparément sur chaque intervalle ;
- on lève chaque valeur absolue en utilisant le signe de l'expression correspondante ;
- on résout l'inéquation obtenue ;
- on intersecte le résultat avec l'intervalle considéré ;
- on réunit toutes les solutions partielles.
Cette méthode est plus longue, mais elle est aussi la plus générale et réduit au minimum le risque d'erreurs.
Exemples résolus
Exemple 1. Résoudre :
\[ |x+3|<4 \]
Puisque le second membre est positif, on écrit :
\[ -4<x+3<4 \]
On soustrait \(3\) :
\[ -7<x<1 \]
Donc :
\[ S=(-7,1) \]
Exemple 2. Résoudre :
\[ |2x-1|\ge 5 \]
Le second membre étant positif, on obtient :
\[ 2x-1\le -5 \quad \text{ou} \quad 2x-1\ge 5 \]
On résout la première inéquation :
\[ 2x\le -4 \iff x\le -2 \]
On résout la seconde :
\[ 2x\ge 6 \iff x\ge 3 \]
Par conséquent :
\[ S=(-\infty,-2]\cup[3,+\infty) \]
Exemple 3. Résoudre :
\[ |3x+2|\le 1 \]
On écrit :
\[ -1\le 3x+2\le 1 \]
On soustrait \(2\) :
\[ -3\le 3x\le -1 \]
On divise par \(3\) :
\[ -1\le x\le -\frac{1}{3} \]
Donc :
\[ S=\left[-1,-\frac{1}{3}\right] \]
Exemple 4. Résoudre :
\[ |x-5|>2 \]
On écrit :
\[ x-5<-2 \quad \text{ou} \quad x-5>2 \]
On résout :
\[ x<3 \quad \text{ou} \quad x>7 \]
Donc :
\[ S=(-\infty,3)\cup(7,+\infty) \]
Exemple 5. Résoudre :
\[ |x+1|+|x-2|\le 4 \]
Les expressions à l’intérieur des valeurs absolues sont :
\[ x+1, \qquad x-2 \]
On cherche les points où elles s'annulent :
\[ x+1=0 \iff x=-1, \qquad x-2=0 \iff x=2 \]
Les points critiques sont donc :
\[ -1, \qquad 2 \]
Ils divisent la droite réelle en trois intervalles :
\[ (-\infty,-1), \qquad [-1,2), \qquad [2,+\infty) \]
Premier cas : \(x<-1\)
Si \(x<-1\), alors :
\[ x+1<0, \qquad x-2<0 \]
Donc :
\[ |x+1|=-(x+1)=-x-1, \qquad |x-2|=-(x-2)=-x+2 \]
L'inéquation devient :
\[ -x-1-x+2\le 4 \]
On simplifie :
\[ -2x+1\le 4 \]
On soustrait \(1\) :
\[ -2x\le 3 \]
En divisant par \(-2\), le sens de l'inégalité s'inverse :
\[ x\ge -\frac{3}{2} \]
On intersecte avec la condition du cas \(x<-1\) :
\[ -\frac{3}{2}\le x<-1 \]
Deuxième cas : \(-1\le x<2\)
Si \(-1\le x<2\), alors :
\[ x+1\ge 0, \qquad x-2<0 \]
Donc :
\[ |x+1|=x+1, \qquad |x-2|=-(x-2)=-x+2 \]
L'inéquation devient :
\[ x+1-x+2\le 4 \]
c'est-à-dire :
\[ 3\le 4 \]
Cette inégalité est toujours vraie, donc tout l'intervalle considéré est solution :
\[ -1\le x<2 \]
Troisième cas : \(x\ge 2\)
Si \(x\ge 2\), alors :
\[ x+1>0, \qquad x-2\ge 0 \]
Donc :
\[ |x+1|=x+1, \qquad |x-2|=x-2 \]
L'inéquation devient :
\[ x+1+x-2\le 4 \]
On simplifie :
\[ 2x-1\le 4 \]
On ajoute \(1\) :
\[ 2x\le 5 \]
On divise par \(2\) :
\[ x\le \frac{5}{2} \]
On intersecte avec la condition du cas \(x\ge 2\) :
\[ 2\le x\le \frac{5}{2} \]
En réunissant les solutions des trois cas, on obtient :
\[ S= \left[-\frac{3}{2},-1\right) \cup [-1,2) \cup \left[2,\frac{5}{2}\right] \]
Ces intervalles étant consécutifs, on peut écrire plus simplement :
\[ S=\left[-\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right] \]
Récapitulatif
Pour \(k>0\), les équivalences suivantes sont vérifiées :
\[ |A(x)|<k \iff -k<A(x)<k \]
\[ |A(x)|\le k \iff -k\le A(x)\le k \]
\[ |A(x)|>k \iff A(x)<-k \quad \text{ou} \quad A(x)>k \]
\[ |A(x)|\ge k \iff A(x)\le -k \quad \text{ou} \quad A(x)\ge k \]
Si en revanche \(k<0\), il faut rappeler que :
\[ |A(x)|\ge 0 \]
Par conséquent :
\[ |A(x)|<k \quad \text{et} \quad |A(x)|\le k \]
n'ont aucune solution, tandis que :
\[ |A(x)|>k \quad \text{et} \quad |A(x)|\ge k \]
sont vérifiées pour toutes les valeurs appartenant au domaine de l'expression.
Les inéquations à valeur absolue reposent sur une idée simple mais fondamentale : la valeur absolue mesure une distance. C'est pourquoi les inéquations du type \(|A(x)|<k\) ou \(|A(x)|\le k\) expriment une condition de proximité, tandis que les inéquations du type \(|A(x)|>k\) ou \(|A(x)|\ge k\) expriment une condition d'éloignement.
Dans les cas les plus simples, on applique directement les équivalences fondamentales. Dans les cas plus complexes, notamment lorsque plusieurs valeurs absolues apparaissent, la méthode la plus sûre consiste à utiliser la définition de la valeur absolue, en divisant la droite réelle en intervalles déterminés par les zéros des expressions placées sous les signes valeur absolue.