Les systèmes d'équations du second degré sont des systèmes dans lesquels au moins une équation contient des termes du second degré, tels que \(x^2\), \(y^2\) ou des produits entre inconnues comme \(xy\).
Contrairement aux systèmes linéaires, ces systèmes décrivent des relations non linéaires entre les variables et peuvent donc admettre un nombre très varié de solutions : aucune solution, une seule solution ou plusieurs solutions réelles.
La résolution requiert en général une combinaison de techniques algébriques et d'observations géométriques. En particulier, il est indispensable de savoir :
- exprimer une variable en fonction de l'autre ;
- effectuer correctement les substitutions dans les équations ;
- résoudre des équations du second degré ;
- utiliser les identités remarquables ;
- interpréter géométriquement le système.
Du point de vue géométrique, résoudre un système revient à déterminer les points communs aux courbes représentées par les équations du système.
Sommaire
- Définition de système du second degré
- Interprétation géométrique
- Méthode de substitution
- Méthode par comparaison
- Systèmes avec des cercles
- Systèmes symétriques
- Utilisation des identités remarquables
- Nombre de solutions
- Vérification des solutions
- Erreurs les plus fréquentes
Définition de système du second degré
On dit qu'un système est du second degré lorsqu'au moins une de ses équations contient des termes de degré \(2\).
Voici quelques exemples :
\[ \begin{cases} y=x^2,\\ y=2x+1, \end{cases} \]
ou encore :
\[ \begin{cases} x^2+y^2=25,\\ x+y=7, \end{cases} \]
ou bien :
\[ \begin{cases} x^2-y^2=5,\\ xy=6. \end{cases} \]
Les inconnues du système sont généralement au nombre de deux, notées \(x\) et \(y\), mais la méthode s'étend également à des systèmes comportant davantage de variables.
Un couple \((x,y)\) est solution du système s'il vérifie simultanément toutes les équations.
Interprétation géométrique
Chaque équation du système représente une courbe dans le plan cartésien.
Par exemple :
- une équation linéaire représente une droite ;
- une équation de la forme \(y=ax^2+bx+c\) représente une parabole ;
- une équation de la forme \(x^2+y^2=r^2\) représente un cercle.
Résoudre un système revient donc à déterminer les points d'intersection des courbes associées à ses équations.
Considérons par exemple :
\[ \begin{cases} y=x^2,\\ y=x+2. \end{cases} \]
La première équation représente une parabole, tandis que la seconde représente une droite.
Les solutions du système correspondent aux points d'intersection de la droite et de la parabole.
D'un point de vue géométrique, plusieurs cas peuvent se présenter :
- aucun point d'intersection ;
- un seul point d'intersection ;
- deux points d'intersection ou davantage.
Méthode de substitution
La méthode la plus importante pour résoudre un système du second degré est la méthode de substitution.
Le principe consiste à :
- exprimer une variable à partir d'une équation ;
- la substituer dans l'autre équation ;
- obtenir une équation à une seule inconnue ;
- résoudre cette équation ;
- en déduire la valeur de l'autre inconnue.
Voyons un exemple complet.
Résoudre :
\[ \begin{cases} y=x^2,\\ y=x+2. \end{cases} \]
Puisque les deux équations expriment \(y\), on égalise leurs membres droits :
\[ x^2=x+2. \]
On ramène tout au membre gauche :
\[ x^2-x-2=0. \]
On factorise :
\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1). \]
Donc :
\[ x=2 \qquad \text{ou} \qquad x=-1. \]
On calcule ensuite \(y\) :
\[ y=x+2. \]
Pour \(x=2\), on obtient :
\[ y=4. \]
Pour \(x=-1\), on obtient :
\[ y=1. \]
L'ensemble des solutions est donc :
\[ S=\{(-1,1),(2,4)\}. \]
Méthode par comparaison
Lorsque les deux équations expriment la même variable, il est souvent commode d'utiliser la méthode par comparaison.
Considérons :
\[ \begin{cases} y=x^2-1,\\ y=2x+2. \end{cases} \]
Puisque les deux expressions sont égales à \(y\), on peut écrire :
\[ x^2-1=2x+2. \]
On obtient ainsi une équation du second degré à une seule inconnue.
En pratique, la méthode par comparaison n'est qu'un cas particulier de la méthode de substitution.
Systèmes avec des cercles
De nombreux systèmes du second degré font intervenir des cercles.
L'équation :
\[ x^2+y^2=r^2 \]
représente un cercle de centre l'origine et de rayon \(r\).
Par exemple :
\[ x^2+y^2=25 \]
représente un cercle de rayon \(5\).
Si le système contient également une droite, comme :
\[ \begin{cases} x^2+y^2=25,\\ x+y=7, \end{cases} \]
alors les solutions du système correspondent aux points d'intersection de la droite et du cercle.
En exprimant :
\[ y=7-x \]
et en substituant dans la première équation, on obtient :
\[ x^2+(7-x)^2=25. \]
La résolution du système se ramène ainsi à celle d'une équation du second degré.
Systèmes symétriques
Certains systèmes sont dits symétriques car ils contiennent des expressions qui restent inchangées lorsqu'on permute \(x\) et \(y\).
Par exemple :
\[ x+y, \qquad xy, \qquad x^2+y^2. \]
Considérons le système :
\[ \begin{cases} x^2+y^2=5,\\ xy=2. \end{cases} \]
Dans ce type de situation, il est souvent judicieux de recourir aux identités remarquables.
Utilisation des identités remarquables
Une identité fondamentale est :
\[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2. \]
En l'appliquant au système précédent, on obtient :
\[ (x+y)^2=5+2\cdot 2=9. \]
Donc :
\[ x+y=3 \qquad \text{ou} \qquad x+y=-3. \]
Le système se ramène ainsi à des cas plus simples à traiter.
Dans d'autres problèmes, on peut également faire appel à :
\[ (x-y)^2=x^2-2xy+y^2, \]
ou encore :
\[ x^2-y^2=(x-y)(x+y). \]
Reconnaître ces structures permet souvent de simplifier considérablement les calculs.
Nombre de solutions
Un système du second degré peut admettre :
- aucune solution ;
- une seule solution ;
- deux solutions ;
- quatre solutions.
Par exemple :
\[ \begin{cases} x^2+y^2=1,\\ x+y=3 \end{cases} \]
n'admet aucune solution réelle.
En effet, la substitution conduit à une équation du second degré dont le discriminant est négatif.
Géométriquement, cela signifie que la droite ne coupe pas le cercle.
Vérification des solutions
Dans les systèmes du second degré, il est indispensable de vérifier systématiquement les solutions trouvées.
La vérification consiste à substituer chaque couple dans les équations initiales du système.
Considérons par exemple le couple :
\[ (3,4) \]
dans le système :
\[ \begin{cases} x^2+y^2=25,\\ x+y=7. \end{cases} \]
Vérifions :
\[ 3^2+4^2=9+16=25, \]
et de plus :
\[ 3+4=7. \]
Le couple satisfait bien les deux équations et constitue donc une solution du système.
Erreurs les plus fréquentes
Parmi les erreurs les plus courantes dans la résolution des systèmes du second degré, on trouve :
- des erreurs de signe lors des substitutions ;
- un développement incorrect des identités remarquables ;
- l'oubli de certaines solutions ;
- l'absence de vérification des couples obtenus ;
- des erreurs dans la factorisation des trinômes.
Il convient donc de procéder avec méthode, en détaillant toutes les étapes essentielles et en évitant les transformations effectuées de tête.
Dans les systèmes du second degré, une simple erreur algébrique peut compromettre entièrement le résultat final.