Dans ce recueil, on propose 20 exercices résolus sur les inéquations polynomiales de degré supérieur, classés par ordre de difficulté croissante. Chaque exercice montre comment factoriser le polynôme, déterminer les racines, étudier le signe des facteurs et obtenir correctement l'ensemble des solutions.
Le principe fondamental est toujours le même : une inéquation polynomiale se résout en étudiant le signe du polynôme. Lorsque le polynôme est factorisé, le signe global s'obtient en combinant le signe de chacun des facteurs.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre l'inéquation :
\[ x^3-x>0 \]
Solution
\[ x\in(-1,0)\cup(1,+\infty) \]
Résolution
On factorise le polynôme en mettant \(x\) en facteur :
\[ x^3-x=x(x^2-1) \]
La différence de deux carrés \(x^2-1\) se factorise en :
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]
L'inéquation devient alors :
\[ x(x-1)(x+1)>0 \]
Les racines sont :
\[ x=-1,\qquad x=0,\qquad x=1 \]
Ces valeurs partagent la droite réelle en intervalles :
\[ (-\infty,-1),\quad (-1,0),\quad (0,1),\quad (1,+\infty) \]
Étudions le signe du produit \(x(x-1)(x+1)\) :
| Intervalle | Signe du produit |
|---|---|
| \((-\infty,-1)\) | \(-\) |
| \((-1,0)\) | \(+\) |
| \((0,1)\) | \(-\) |
| \((1,+\infty)\) | \(+\) |
L'inéquation requiert que le produit soit strictement positif, c'est-à-dire :
\[ x(x-1)(x+1)>0 \]
On sélectionne donc les intervalles où le signe est positif. Puisque l'inéquation est stricte, les zéros ne sont pas inclus.
La solution est :
\[ x\in(-1,0)\cup(1,+\infty) \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre l'inéquation :
\[ x^3-4x\leq 0 \]
Solution
\[ x\in(-\infty,-2]\cup[0,2] \]
Résolution
On met \(x\) en facteur :
\[ x^3-4x=x(x^2-4) \]
On factorise la différence de deux carrés :
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
On obtient :
\[ x(x-2)(x+2)\leq 0 \]
Les racines sont :
\[ x=-2,\qquad x=0,\qquad x=2 \]
Étudions le signe du produit dans les quatre intervalles délimités par les racines.
| Intervalle | Signe |
|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | \(-\) |
| \((-2,0)\) | \(+\) |
| \((0,2)\) | \(-\) |
| \((2,+\infty)\) | \(+\) |
L'inéquation requiert :
\[ x(x-2)(x+2)\leq 0 \]
On retient donc les intervalles où le produit est négatif ou nul.
Puisque l'inéquation comporte le symbole \(\leq\), on inclut également les zéros.
La solution est :
\[ x\in(-\infty,-2]\cup[0,2] \]
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre l'inéquation :
\[ x^3-9x\geq 0 \]
Solution
\[ x\in[-3,0]\cup[3,+\infty) \]
Résolution
On met \(x\) en facteur :
\[ x^3-9x=x(x^2-9) \]
On factorise :
\[ x^2-9=(x-3)(x+3) \]
L'inéquation devient :
\[ x(x-3)(x+3)\geq 0 \]
Les racines sont :
\[ -3,\qquad 0,\qquad 3 \]
Toutes les racines étant simples, le signe change à chacune d'elles.
| Intervalle | Signe |
|---|---|
| \((-\infty,-3)\) | \(-\) |
| \((-3,0)\) | \(+\) |
| \((0,3)\) | \(-\) |
| \((3,+\infty)\) | \(+\) |
L'inéquation requiert un signe positif ou nul.
On inclut donc les zéros et on retient les intervalles positifs :
\[ x\in[-3,0]\cup[3,+\infty) \]
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre l'inéquation :
\[ x^3+2x^2-3x<0 \]
Solution
\[ x\in(-\infty,-3)\cup(0,1) \]
Résolution
On met \(x\) en facteur :
\[ x^3+2x^2-3x=x(x^2+2x-3) \]
On factorise le trinôme :
\[ x^2+2x-3=(x+3)(x-1) \]
Donc :
\[ x(x+3)(x-1)<0 \]
Les racines sont :
\[ x=-3,\qquad x=0,\qquad x=1 \]
Étudions le signe :
| Intervalle | Signe |
|---|---|
| \((-\infty,-3)\) | \(-\) |
| \((-3,0)\) | \(+\) |
| \((0,1)\) | \(-\) |
| \((1,+\infty)\) | \(+\) |
L'inéquation requiert que le produit soit strictement négatif.
Puisque le symbole est \(<\), les zéros ne sont pas inclus.
La solution est :
\[ x\in(-\infty,-3)\cup(0,1) \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre l'inéquation :
\[ x^4-5x^2+4\leq 0 \]
Solution
\[ x\in[-2,-1]\cup[1,2] \]
Résolution
L'inéquation ne contient que des puissances paires de \(x\). Posons :
\[ t=x^2 \]
On obtient :
\[ t^2-5t+4\leq 0 \]
On factorise le trinôme :
\[ t^2-5t+4=(t-1)(t-4) \]
Donc :
\[ (t-1)(t-4)\leq 0 \]
Le produit est inférieur ou égal à zéro lorsque :
\[ 1\leq t\leq 4 \]
Puisque \(t=x^2\), on doit résoudre :
\[ 1\leq x^2\leq 4 \]
Cette double inéquation équivaut à :
\[ |x|\geq 1 \qquad \text{et} \qquad |x|\leq 2 \]
Par conséquent :
\[ x\in[-2,-1]\cup[1,2] \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre l'inéquation :
\[ x^4-1>0 \]
Solution
\[ x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty) \]
Résolution
On factorise le polynôme comme une différence de deux carrés :
\[ x^4-1=(x^2-1)(x^2+1) \]
On factorise encore :
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]
Donc :
\[ x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1) \]
On remarque que :
\[ x^2+1>0 \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]
Ainsi, le signe du produit ne dépend que de :
\[ (x-1)(x+1) \]
L'inéquation est donc équivalente à :
\[ (x-1)(x+1)>0 \]
Le produit est positif en dehors des racines \(-1\) et \(1\) :
\[ x<-1 \qquad \text{ou} \qquad x>1 \]
Puisque l'inéquation est stricte, les zéros ne sont pas inclus.
La solution est :
\[ x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty) \]
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre l'inéquation :
\[ (x-2)^2(x+1)<0 \]
Solution
\[ x\in(-\infty,-1) \]
Résolution
Le polynôme est déjà écrit sous forme factorisée :
\[ (x-2)^2(x+1)<0 \]
Les racines sont :
\[ x=2 \qquad \text{et} \qquad x=-1 \]
La racine \(x=2\) est de multiplicité \(2\), elle n'entraîne donc pas de changement de signe.
Le facteur \((x-2)^2\) est toujours positif ou nul et s'annule uniquement en \(x=2\).
Pour \(x\neq 2\), ce facteur est strictement positif. Ainsi, en dehors de \(x=2\), le signe du produit est déterminé par le facteur :
\[ x+1 \]
On a :
\[ x+1<0 \iff x<-1 \]
De plus, puisque l'inéquation est stricte, les zéros ne sont pas inclus.
La solution est :
\[ x\in(-\infty,-1) \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre l'inéquation :
\[ (x+2)^2(x-3)\geq 0 \]
Solution
\[ x\in\{-2\}\cup[3,+\infty) \]
Résolution
L'inéquation est :
\[ (x+2)^2(x-3)\geq 0 \]
Les racines sont :
\[ x=-2 \qquad \text{et} \qquad x=3 \]
Le facteur \((x+2)^2\) est un carré, donc :
\[ (x+2)^2\geq 0 \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]
Il s'annule uniquement en \(x=-2\) et est strictement positif pour tout \(x\neq -2\).
Pour \(x\neq -2\), le signe du produit dépend donc du facteur :
\[ x-3 \]
On a :
\[ x-3\geq 0 \iff x\geq 3 \]
De plus, le produit s'annule également en \(x=-2\). Puisque l'inéquation comporte le symbole \(\geq\), cette valeur doit être incluse.
La solution est :
\[ x\in\{-2\}\cup[3,+\infty) \]
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
Résoudre l'inéquation :
\[ x^4-6x^2+8>0 \]
Solution
\[ x\in(-\infty,-2)\cup(-\sqrt{2},\sqrt{2})\cup(2,+\infty) \]
Résolution
L'inéquation ne contient que des puissances paires de \(x\). Posons :
\[ t=x^2 \]
On obtient :
\[ t^2-6t+8>0 \]
On factorise le trinôme :
\[ t^2-6t+8=(t-2)(t-4) \]
Donc :
\[ (t-2)(t-4)>0 \]
Le produit est positif en dehors des racines \(2\) et \(4\), donc :
\[ t<2 \qquad \text{ou} \qquad t>4 \]
Puisque \(t=x^2\), on doit résoudre :
\[ x^2<2 \qquad \text{ou} \qquad x^2>4 \]
La première inéquation donne :
\[ -\sqrt{2}<x<\sqrt{2} \]
La seconde inéquation donne :
\[ x<-2 \qquad \text{ou} \qquad x>2 \]
En réunissant les résultats, on obtient :
\[ x\in(-\infty,-2)\cup(-\sqrt{2},\sqrt{2})\cup(2,+\infty) \]
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
Résoudre l'inéquation :
\[ x^4-10x^2+9\geq 0 \]
Solution
\[ x\in(-\infty,-3]\cup[-1,1]\cup[3,+\infty) \]
Résolution
Posons :
\[ t=x^2 \]
L'inéquation devient :
\[ t^2-10t+9\geq 0 \]
On factorise le trinôme :
\[ t^2-10t+9=(t-1)(t-9) \]
Donc :
\[ (t-1)(t-9)\geq 0 \]
Le produit est positif ou nul lorsque :
\[ t\leq 1 \qquad \text{ou} \qquad t\geq 9 \]
Puisque \(t=x^2\), on obtient :
\[ x^2\leq 1 \qquad \text{ou} \qquad x^2\geq 9 \]
On résout :
\[ x^2\leq 1 \iff -1\leq x\leq 1 \]
et :
\[ x^2\geq 9 \iff x\leq -3 \quad \text{ou} \quad x\geq 3 \]
La solution est donc :
\[ x\in(-\infty,-3]\cup[-1,1]\cup[3,+\infty) \]
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Résoudre l'inéquation :
\[ x^3-3x^2-4x+12\geq 0 \]
Solution
\[ x\in[-2,2]\cup[3,+\infty) \]
Résolution
On factorise par regroupement :
\[ x^3-3x^2-4x+12=x^2(x-3)-4(x-3) \]
On met en facteur \(x-3\) :
\[ x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x^2-4) \]
On factorise la différence de deux carrés :
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
L'inéquation devient alors :
\[ (x-3)(x-2)(x+2)\geq 0 \]
Les racines sont :
\[ x=-2,\qquad x=2,\qquad x=3 \]
Étudions le signe du produit.
| Intervalle | Signe |
|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | \(-\) |
| \((-2,2)\) | \(+\) |
| \((2,3)\) | \(-\) |
| \((3,+\infty)\) | \(+\) |
L'inéquation requiert un signe positif ou nul. Puisque le symbole est \(\geq\), on inclut également les zéros.
La solution est :
\[ x\in[-2,2]\cup[3,+\infty) \]
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Résoudre l'inéquation :
\[ x^3+3x^2-4\leq 0 \]
Solution
\[ x\in(-\infty,1] \]
Résolution
Cherchons une racine entière du polynôme :
\[ P(x)=x^3+3x^2-4 \]
Vérifions \(x=1\) :
\[ P(1)=1+3-4=0 \]
Ainsi, \(x=1\) est une racine et \(x-1\) est un facteur du polynôme.
En divisant \(x^3+3x^2+0x-4\) par \(x-1\), on obtient :
\[ x^3+3x^2-4=(x-1)(x^2+4x+4) \]
Le trinôme se factorise en carré parfait :
\[ x^2+4x+4=(x+2)^2 \]
Ainsi :
\[ x^3+3x^2-4=(x-1)(x+2)^2 \]
L'inéquation devient :
\[ (x-1)(x+2)^2\leq 0 \]
Le facteur \((x+2)^2\) est toujours positif ou nul et s'annule uniquement en \(x=-2\).
Pour \(x\neq -2\), le signe du produit est déterminé par le facteur \(x-1\).
On a :
\[ x-1\leq 0 \iff x\leq 1 \]
Il convient toutefois de raisonner avec soin : pour \(x<1\), le facteur \(x-1\) est négatif, tandis que \((x+2)^2\) est positif, sauf en \(x=-2\), où le produit est nul.
De plus, en \(x=1\), le produit est nul.
L'inéquation est donc vérifiée pour toute valeur \(x\leq 1\).
La solution est :
\[ x\in(-\infty,1] \]
Exercice 13 — niveau ★★★★☆
Résoudre l'inéquation :
\[ x^4-2x^3-x^2+2x\geq 0 \]
Solution
\[ x\in(-\infty,-1]\cup[0,1]\cup[2,+\infty) \]
Résolution
On factorise en mettant \(x\) en facteur :
\[ x^4-2x^3-x^2+2x=x(x^3-2x^2-x+2) \]
On factorise le polynôme du troisième degré par regroupement :
\[ x^3-2x^2-x+2=x^2(x-2)-1(x-2) \]
En mettant \(x-2\) en facteur, on obtient :
\[ x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x^2-1) \]
On factorise :
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]
Donc :
\[ x^4-2x^3-x^2+2x=x(x-2)(x-1)(x+1) \]
L'inéquation devient :
\[ x(x-2)(x-1)(x+1)\geq 0 \]
Les racines sont :
\[ -1,\qquad 0,\qquad 1,\qquad 2 \]
Étudions le signe du produit.
| Intervalle | Signe |
|---|---|
| \((-\infty,-1)\) | \(+\) |
| \((-1,0)\) | \(-\) |
| \((0,1)\) | \(+\) |
| \((1,2)\) | \(-\) |
| \((2,+\infty)\) | \(+\) |
Attention : le signe indiqué dans le tableau doit être vérifié à l'aide d'une valeur test. Par exemple, pour \(x=3\), tous les facteurs sont positifs, donc le signe sur le dernier intervalle est positif. Puisque toutes les racines sont simples, le signe change à chacune d'elles.
L'inéquation requiert :
\[ x(x-2)(x-1)(x+1)\geq 0 \]
On retient donc les intervalles où le signe est positif ou nul.
La solution est :
\[ x\in(-\infty,-1]\cup[0,1]\cup[2,+\infty) \]
Exercice 14 — niveau ★★★★☆
Résoudre l'inéquation :
\[ x^5-x^4-4x^3+4x^2<0 \]
Solution
\[ x\in(-\infty,-2)\cup(1,2) \]
Résolution
On met \(x^2\) en facteur :
\[ x^5-x^4-4x^3+4x^2=x^2(x^3-x^2-4x+4) \]
On factorise le polynôme entre parenthèses par regroupement :
\[ x^3-x^2-4x+4=x^2(x-1)-4(x-1) \]
En mettant \(x-1\) en facteur, on obtient :
\[ x^3-x^2-4x+4=(x-1)(x^2-4) \]
On factorise la différence de deux carrés :
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Donc :
\[ x^5-x^4-4x^3+4x^2=x^2(x-1)(x-2)(x+2) \]
L'inéquation devient :
\[ x^2(x-1)(x-2)(x+2)<0 \]
Les racines sont :
\[ -2,\qquad 0,\qquad 1,\qquad 2 \]
La valeur \(x=0\) est de multiplicité \(2\), car elle provient du facteur \(x^2\). Le signe ne change donc pas en \(x=0\).
Les autres racines sont de multiplicité impaire, donc le signe change en chacune d'elles.
Étudions le signe du produit. Puisque \(x=0\) est de multiplicité paire, le signe ne change pas en \(0\). En revanche, le signe change en chacune des racines simples \(-2\), \(1\) et \(2\).
| Intervalle | Signe |
|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | \(-\) |
| \((-2,0)\) | \(+\) |
| \((0,1)\) | \(+\) |
| \((1,2)\) | \(-\) |
| \((2,+\infty)\) | \(+\) |
L'inéquation requiert un signe strictement négatif. Puisque le symbole est \(<\), les zéros ne sont pas inclus.
La solution est :
\[ x\in(-\infty,-2)\cup(1,2) \]
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
Résoudre l'inéquation :
\[ (x-1)^3(x+2)^2\leq 0 \]
Solution
\[ x\in(-\infty,1] \]
Résolution
L'inéquation est déjà écrite sous forme d'un produit de facteurs :
\[ (x-1)^3(x+2)^2\leq 0 \]
Les racines sont :
\[ x=1,\qquad x=-2 \]
La racine \(x=1\) est de multiplicité \(3\), donc de multiplicité impaire, et le signe change en la traversant.
La racine \(x=-2\) est de multiplicité \(2\), donc de multiplicité paire, et le signe ne change pas en la traversant.
On remarque également que :
\[ (x+2)^2\geq 0 \]
pour tout \(x\in\mathbb{R}\). Pour \(x\neq -2\), ce facteur est strictement positif. Ainsi, en dehors de la racine \(x=-2\), le signe du produit est déterminé par le facteur :
\[ (x-1)^3 \]
Puisqu'une puissance impaire conserve le signe de la base, on a :
\[ (x-1)^3<0 \iff x<1 \]
De plus, le produit s'annule en \(x=-2\) et en \(x=1\). Puisque l'inéquation comporte le symbole \(\leq\), on inclut ces zéros.
La solution est donc :
\[ x\in(-\infty,1] \]
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
Résoudre l'inéquation :
\[ x^6-7x^3+6>0 \]
Solution
\[ x\in(-\infty,1)\cup(\sqrt[3]{6},+\infty) \]
Résolution
Le polynôme contient les puissances \(x^6\) et \(x^3\). Posons :
\[ t=x^3 \]
Alors :
\[ x^6=(x^3)^2=t^2 \]
L'inéquation devient :
\[ t^2-7t+6>0 \]
On factorise le trinôme :
\[ t^2-7t+6=(t-1)(t-6) \]
Donc :
\[ (t-1)(t-6)>0 \]
Le produit est positif lorsque les deux facteurs ont le même signe, c'est-à-dire :
\[ t<1 \qquad \text{ou} \qquad t>6 \]
En revenant à la variable \(x\), on obtient :
\[ x^3<1 \qquad \text{ou} \qquad x^3>6 \]
La fonction \(x\mapsto x^3\) étant strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), on peut extraire la racine cubique sans changer le sens des inéquations :
\[ x<1 \qquad \text{ou} \qquad x>\sqrt[3]{6} \]
Puisque l'inéquation est stricte, les bornes ne sont pas incluses.
La solution est :
\[ x\in(-\infty,1)\cup(\sqrt[3]{6},+\infty) \]
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Résoudre l'inéquation :
\[ x^4-16x^2<0 \]
Solution
\[ x\in(-4,0)\cup(0,4) \]
Résolution
On met \(x^2\) en facteur :
\[ x^4-16x^2=x^2(x^2-16) \]
On factorise la différence de deux carrés :
\[ x^2-16=(x-4)(x+4) \]
L'inéquation devient :
\[ x^2(x-4)(x+4)<0 \]
Les racines sont :
\[ x=-4,\qquad x=0,\qquad x=4 \]
La valeur \(x=0\) est une racine de multiplicité \(2\), car elle provient du facteur \(x^2\). Le signe ne change donc pas en \(x=0\).
De plus :
\[ x^2\geq 0 \]
pour tout \(x\in\mathbb{R}\), et est strictement positif pour \(x\neq 0\). En dehors de \(x=0\), le signe du produit dépend donc de :
\[ (x-4)(x+4) \]
Le produit \((x-4)(x+4)\) est négatif entre les deux racines :
\[ -4<x<4 \]
Il faut cependant exclure \(x=0\), car en ce point le produit initial est nul, or l'inéquation requiert une valeur strictement négative.
La solution est :
\[ x\in(-4,0)\cup(0,4) \]
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Résoudre l'inéquation :
\[ (x^2-3x+2)(x^2+2x+5)\geq 0 \]
Solution
\[ x\in(-\infty,1]\cup[2,+\infty) \]
Résolution
Étudions séparément les deux facteurs :
\[ x^2-3x+2 \qquad \text{et} \qquad x^2+2x+5 \]
Le premier trinôme se factorise aisément :
\[ x^2-3x+2=(x-1)(x-2) \]
Considérons maintenant le second trinôme :
\[ x^2+2x+5 \]
Calculons son discriminant :
\[ \Delta=2^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16 \]
Le discriminant est négatif et le coefficient de \(x^2\) est positif. Par conséquent :
\[ x^2+2x+5>0 \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]
L'inéquation est donc équivalente à :
\[ (x-1)(x-2)\geq 0 \]
Le produit de deux facteurs linéaires est positif ou nul en dehors des racines :
\[ x\leq 1 \qquad \text{ou} \qquad x\geq 2 \]
Puisque le symbole est \(\geq\), on inclut également les zéros.
La solution est :
\[ x\in(-\infty,1]\cup[2,+\infty) \]
Exercice 19 — niveau ★★★★★
Résoudre l'inéquation :
\[ x^5-5x^4+6x^3\leq 0 \]
Solution
\[ x\in(-\infty,0]\cup[2,3] \]
Résolution
On met \(x^3\) en facteur :
\[ x^5-5x^4+6x^3=x^3(x^2-5x+6) \]
On factorise le trinôme :
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Donc :
\[ x^5-5x^4+6x^3=x^3(x-2)(x-3) \]
L'inéquation devient :
\[ x^3(x-2)(x-3)\leq 0 \]
Les racines sont :
\[ x=0,\qquad x=2,\qquad x=3 \]
La racine \(x=0\) est de multiplicité \(3\), donc de multiplicité impaire, et le signe change en la traversant.
Les racines \(x=2\) et \(x=3\) sont également simples, donc le signe change en chacune d'elles.
Étudions le signe sur les différents intervalles :
| Intervalle | Signe |
|---|---|
| \((-\infty,0)\) | \(-\) |
| \((0,2)\) | \(+\) |
| \((2,3)\) | \(-\) |
| \((3,+\infty)\) | \(+\) |
L'inéquation requiert :
\[ x^3(x-2)(x-3)\leq 0 \]
On retient donc les intervalles où le produit est négatif ou nul.
Puisque le symbole est \(\leq\), on inclut également les zéros.
La solution est :
\[ x\in(-\infty,0]\cup[2,3] \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Résoudre l'inéquation :
\[ x^4-3x^3-4x^2+12x\leq 0 \]
Solution
\[ x\in[-2,0]\cup[2,3] \]
Résolution
On met \(x\) en facteur :
\[ x^4-3x^3-4x^2+12x=x(x^3-3x^2-4x+12) \]
On factorise le polynôme du troisième degré par regroupement :
\[ x^3-3x^2-4x+12=x^2(x-3)-4(x-3) \]
On met en facteur \(x-3\) :
\[ x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x^2-4) \]
On factorise la différence de deux carrés :
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Donc :
\[ x^4-3x^3-4x^2+12x=x(x-3)(x-2)(x+2) \]
L'inéquation devient :
\[ x(x-3)(x-2)(x+2)\leq 0 \]
Les racines sont :
\[ x=-2,\qquad x=0,\qquad x=2,\qquad x=3 \]
Toutes les racines sont simples, donc le signe change à chacune d'elles.
Étudions le signe du produit :
| Intervalle | Signe |
|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | \(+\) |
| \((-2,0)\) | \(-\) |
| \((0,2)\) | \(+\) |
| \((2,3)\) | \(-\) |
| \((3,+\infty)\) | \(+\) |
L'inéquation requiert un signe négatif ou nul.
Puisque le symbole est \(\leq\), on inclut également les zéros.
La solution est :
\[ x\in[-2,0]\cup[2,3] \]