La valeur absolue est l'un des concepts fondamentaux de l'algèbre et de l'analyse mathématique. À première vue, elle peut sembler n'être qu'une opération qui « supprime le signe moins » d'un nombre ; en réalité, sa signification est plus profonde : la valeur absolue mesure une distance.
Cette idée est essentielle. Lorsque nous écrivons \(|x|\), nous ne modifions pas simplement le signe de \(x\) : nous indiquons à quelle distance \(x\) se trouve de \(0\) sur la droite réelle. C'est pourquoi la valeur absolue est toujours un nombre positif ou nul.
Sommaire
- Définition de la valeur absolue
- Signification géométrique de la valeur absolue
- Premiers exemples
- Propriétés fondamentales
- Valeur absolue d'un produit
- Valeur absolue d'un quotient
- Valeur absolue et puissances
- Distance entre deux nombres réels
- Inégalité triangulaire
- Erreurs à éviter
Définition de la valeur absolue
Soit \(x\) un nombre réel. La valeur absolue de \(x\), notée \(|x|\), est définie de la façon suivante :
\[ |x|= \begin{cases} x & \text{si } x\geq 0,\\ -x & \text{si } x<0. \end{cases} \]
Cette définition mérite d'être lue attentivement. Si \(x\) est positif ou nul, sa valeur absolue coïncide avec \(x\). En revanche, si \(x\) est négatif, sa valeur absolue est \(-x\).
L'expression \(-x\), dans le second cas, ne signifie pas que le résultat est négatif. En effet, si \(x<0\), alors \(-x>0\). Par exemple, pour \(x=-5\) :
\[ -x=-(-5)=5. \]
La valeur absolue renvoie donc toujours un nombre supérieur ou égal à zéro.
Signification géométrique de la valeur absolue
La signification la plus importante de la valeur absolue est géométrique : \(|x|\) représente la distance du nombre \(x\) à \(0\) sur la droite réelle.
Par exemple, le nombre \(4\) est à \(4\) unités de \(0\), donc :
\[ |4|=4. \]
Le nombre \(-4\) est lui aussi à \(4\) unités de \(0\), donc :
\[ |-4|=4. \]
Cela explique pourquoi deux nombres opposés ont la même valeur absolue : ils se trouvent à égale distance de \(0\), mais de part et d'autre de l'origine sur la droite réelle.
De manière générale :
\[ |x|=|-x|. \]
Premiers exemples
Calculons quelques valeurs absolues.
Pour \(x=7\), \(x\) est positif, donc :
\[ |7|=7. \]
Pour \(x=-7\), \(x\) est négatif, donc :
\[ |-7|=-(-7)=7. \]
Pour \(x=0\) :
\[ |0|=0. \]
La valeur absolue de \(0\) est \(0\), car \(0\) est à distance nulle de lui-même.
Propriétés fondamentales
Plusieurs propriétés fondamentales découlent directement de la définition.
Pour tout nombre réel \(x\), on a :
\[ |x|\geq 0. \]
Cette propriété traduit le fait qu'une distance ne peut pas être négative.
De plus :
\[ |x|=0 \quad \Longleftrightarrow \quad x=0. \]
En effet, le seul nombre à distance nulle de \(0\) est \(0\) lui-même.
Une autre propriété importante est :
\[ |x|=|-x|. \]
Les nombres \(x\) et \(-x\) sont symétriques par rapport à l'origine et se trouvent donc à égale distance de \(0\).
Valeur absolue d'un produit
La valeur absolue d'un produit est égale au produit des valeurs absolues :
\[ |xy|=|x|\cdot |y|. \]
Cette propriété est valable pour tout couple de nombres réels \(x\) et \(y\).
Par exemple :
\[ |-3\cdot 5|=|-15|=15. \]
D'autre part :
\[ |-3|\cdot |5|=3\cdot 5=15. \]
Les deux résultats coïncident.
La raison en est que la valeur absolue fait abstraction du sens sur la droite réelle et ne retient que la grandeur de la quantité. Dans un produit, les signes peuvent modifier le signe du résultat final, mais non sa grandeur.
Valeur absolue d'un quotient
Si \(y\neq 0\), alors :
\[ \left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|}. \]
La condition \(y\neq 0\) est indispensable, puisqu'on ne peut pas diviser par zéro.
Par exemple :
\[ \left|\frac{-6}{2}\right|=|-3|=3. \]
D'autre part :
\[ \frac{|-6|}{|2|}=\frac{6}{2}=3. \]
Là encore, les deux résultats coïncident.
Valeur absolue et puissances
Une propriété très utile concerne le carré :
\[ |x|^2=x^2. \]
En effet, si \(x\geq 0\), alors \(|x|=x\), donc \(|x|^2=x^2\). Si \(x<0\), alors \(|x|=-x\), et donc :
\[ |x|^2=(-x)^2=x^2. \]
De cette propriété découle également :
\[ |x|=\sqrt{x^2}. \]
Cette formule est très importante, mais doit être interprétée avec soin. La racine carrée principale est toujours positive ou nulle, si bien que \(\sqrt{x^2}\) n'est pas égal à \(x\) pour tout \(x\), mais à \(|x|\).
Par exemple :
\[ \sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3, \]
alors que :
\[ -3\neq 3. \]
On a donc :
\[ \sqrt{x^2}=|x|, \]
et non simplement \(x\).
Distance entre deux nombres réels
La valeur absolue permet d'exprimer la distance entre deux nombres réels. Si \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels, la distance entre \(a\) et \(b\) est :
\[ |a-b|. \]
On peut également écrire :
\[ |b-a|. \]
Ces deux expressions sont égales, car :
\[ |a-b|=|-(b-a)|=|b-a|. \]
Par exemple, la distance entre \(2\) et \(7\) est :
\[ |7-2|=|5|=5. \]
La distance entre \(-3\) et \(4\) est :
\[ |4-(-3)|=|7|=7. \]
Cette interprétation est fondamentale pour bien comprendre les équations, les inéquations et les fonctions faisant intervenir la valeur absolue.
Inégalité triangulaire
L'une des propriétés les plus importantes de la valeur absolue est l'inégalité triangulaire :
\[ |x+y|\leq |x|+|y|. \]
Cette inégalité affirme que la valeur absolue d'une somme ne dépasse pas la somme des valeurs absolues.
D'un point de vue géométrique, cela signifie que la distance parcourue en allant directement d'un point à un autre ne peut pas être supérieure à la distance parcourue en passant par un point intermédiaire.
Par exemple :
\[ |3+(-5)|=|-2|=2. \]
Tandis que :
\[ |3|+|-5|=3+5=8. \]
On a donc bien :
\[ |3+(-5)|\leq |3|+|-5|. \]
Soit :
\[ 2\leq 8. \]
L'égalité a lieu lorsque \(x\) et \(y\) sont de même signe, ou lorsque l'un des deux au moins est nul.
Erreurs à éviter
La première erreur consiste à croire que la valeur absolue rend toujours positif ce qu'elle contient. Il est plus rigoureux de dire que la valeur absolue renvoie un nombre positif ou nul.
En effet :
\[ |0|=0, \]
et \(0\) n'est pas positif : il est nul.
La deuxième erreur consiste à écrire :
\[ \sqrt{x^2}=x. \]
Cette égalité n'est pas vraie pour tout nombre réel. La forme correcte est :
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
La troisième erreur consiste à distribuer la valeur absolue sur une somme. En général :
\[ |x+y|\neq |x|+|y|. \]
Par exemple :
\[ |2+(-2)|=|0|=0, \]
alors que :
\[ |2|+|-2|=2+2=4. \]
On a donc :
\[ |2+(-2)|\neq |2|+|-2|. \]
La valeur absolue n'est pas simplement un procédé pour éliminer le signe moins. C'est un outil qui permet de mesurer des distances, de contrôler des grandeurs et de décrire rigoureusement de nombreuses propriétés des nombres réels.
Sa définition par cas montre que le comportement de \(|x|\) dépend du signe de \(x\), tandis que sa signification géométrique explique pourquoi le résultat est toujours positif ou nul.
Bien maîtriser la valeur absolue est indispensable pour aborder les équations et les inéquations avec des valeurs absolues, les fonctions définies par morceaux, les intervalles sur la droite réelle, et de nombreux autres sujets de l'algèbre et de l'analyse mathématique.