La rationalisation du dénominateur est une technique fondamentale d’algèbre qui permet d’éliminer les radicaux des dénominateurs des fractions. Dans cette série, tu trouveras des exercices corrigés pas à pas, classés par difficulté croissante.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \]
Résultat
\[ \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Résolution
On multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{2}\) :
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
\[ \frac{3}{\sqrt{5}} \]
Résultat
\[ \frac{3\sqrt{5}}{5} \]
Résolution
On multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{5}\) :
\[ \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \]
Exercice 3 — niveau ★★☆☆☆
\[ \frac{2}{3\sqrt{7}} \]
Résultat
\[ \frac{2\sqrt{7}}{21} \]
Résolution
On multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{7}\) :
\[ \frac{2}{3\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{3 \cdot 7} = \frac{2\sqrt{7}}{21} \]
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
\[ \frac{1}{\sqrt{2}+1} \]
Résultat
\[ \sqrt{2}-1 \]
Résolution
On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué \(\sqrt{2}-1\) :
\[ \frac{1}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1 \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
\[ \frac{1}{\sqrt{5}-2} \]
Résultat
\[ \sqrt{5}+2 \]
Résolution
On multiplie par le conjugué \(\sqrt{5}+2\) :
\[ \frac{1}{\sqrt{5}-2} \cdot \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2 \]
Exercice 6 — niveau ★★★☆☆
\[ \frac{2}{\sqrt{3}-1} \]
Résultat
\[ \sqrt{3}+1 \]
Résolution
On multiplie par le conjugué \(\sqrt{3}+1\) :
\[ \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \sqrt{3}+1 \]
Exercice 7 — niveau ★★★☆☆
\[ \frac{4}{2+\sqrt{3}} \]
Résultat
\[ 8-4\sqrt{3} \]
Résolution
On multiplie par le conjugué \(2-\sqrt{3}\) :
\[ \frac{4(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{8-4\sqrt{3}}{4-3} = 8-4\sqrt{3} \]
Exercice 8 — niveau ★★★☆☆
\[ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}} \]
Résultat
\[ \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3} \]
Résolution
On multiplie par le conjugué \(\sqrt{5}-\sqrt{2}\) :
\[ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3} \]
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
\[ \frac{2}{\sqrt{7}+3} \]
Résultat
\[ 3-\sqrt{7} \]
Résolution
On multiplie par le conjugué \(\sqrt{7}-3\) :
\[ \frac{2(\sqrt{7}-3)}{(\sqrt{7}+3)(\sqrt{7}-3)} = \frac{2(\sqrt{7}-3)}{7-9} = 3-\sqrt{7} \]
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
\[ \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}} \]
Résultat
\[ \frac{2+\sqrt{2}}{2} \]
Résolution
On multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{2}\) :
\[ \frac{(\sqrt{2}+1)\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{2+\sqrt{2}}{2} \]
Exercice 11 — niveau ★★★★☆
\[ \frac{3}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} \]
Résultat
\[ -3(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \]
Résolution
On multiplie par le conjugué \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) :
\[ \frac{3(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})} = \frac{3(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{2-3} = -3(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \]
Exercice 12 — niveau ★★★★☆
\[ \frac{5}{2-\sqrt{5}} \]
Résultat
\[ -10-5\sqrt{5} \]
Résolution
On multiplie par le conjugué \(2+\sqrt{5}\) :
\[ \frac{5(2+\sqrt{5})}{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})} = \frac{10+5\sqrt{5}}{4-5} = -10-5\sqrt{5} \]
Exercice 13 — niveau ★★★★☆
\[ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1} \]
Résultat
\[ \frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} \]
Résolution
On commence par rationaliser par rapport au groupe \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\), en multipliant par \(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1\) :
\[ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}\cdot\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}-1}{4+2\sqrt{6}} \]
Puis on rationalise le nouveau dénominateur en multipliant par le conjugué \(4-2\sqrt{6}\). En développant et en simplifiant, on obtient :
\[ \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1)(4-2\sqrt{6})}{(4+2\sqrt{6})(4-2\sqrt{6})}=\frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} \]
Exercice 14 — niveau ★★★★★
\[ \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}} \]
Résultat
\[ \frac{-3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{30}}{12} \]
Résolution
On multiplie par le conjugué partiel \(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}\) :
\[ \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{6+2\sqrt{15}} \]
On rationalise maintenant le nouveau dénominateur en multipliant par \(6-2\sqrt{15}\). En développant et en simplifiant, on obtient :
\[ \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2})(6-2\sqrt{15})}{(6+2\sqrt{15})(6-2\sqrt{15})}=\frac{-3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{30}}{12} \]
Exercice 15 — niveau ★★★☆☆
\[ \frac{2}{\sqrt{x}+1} \]
Résultat
\[ \frac{2(\sqrt{x}-1)}{x-1} \]
Résolution
Conditions : l’expression est définie pour \(x\geq 0,\ x\neq1\).
On multiplie par le conjugué \(\sqrt{x}-1\) :
\[ \frac{2(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} = \frac{2(\sqrt{x}-1)}{x-1} \]
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
\[ \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2} \]
Résultat
\[ \frac{x+4\sqrt{x}+4}{x-4} \]
Résolution
Conditions : l’expression est définie pour \(x\geq0,\ x\neq4\).
On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué \(\sqrt{x}+2\) :
\[ \frac{(\sqrt{x}+2)^2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \frac{x+4\sqrt{x}+4}{x-4} \]
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
\[ \frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}} \]
Résultat
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x} \]
Résolution
Conditions : l’expression est définie pour \(x\geq0\).
On multiplie par le conjugué \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\) :
\[ \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} = \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{(x+1)-x} = \sqrt{x+1}+\sqrt{x} \]
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
\[ \frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}} \]
Résultat
\[ \sqrt{x+2}-\sqrt{x+1} \]
Résolution
Conditions : l’expression est définie pour \(x\geq-1\).
On multiplie par le conjugué \(\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}\) :
\[ \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}}{(\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1})(\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1})} = \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}}{(x+2)-(x+1)} = \sqrt{x+2}-\sqrt{x+1} \]
Exercice 19 — niveau ★★★★★
\[ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}} \]
Résultat
\[ \frac{x+2-2\sqrt{2x}}{x-2} \]
Résolution
Conditions : l’expression est définie pour \(x\geq0,\ x\neq2\).
On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué \(\sqrt{x}-\sqrt{2}\) :
\[ \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{x}+\sqrt{2})(\sqrt{x}-\sqrt{2})} = \frac{x-2\sqrt{2x}+2}{x-2} \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
\[ \frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{x-1}} \]
Résultat
\[ \sqrt{x}+\sqrt{x-1} \]
Résolution
Conditions : l’expression est définie pour \(x\geq1\).
On multiplie par le conjugué \(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}\) :
\[ \frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}{(\sqrt{x}-\sqrt{x-1})(\sqrt{x}+\sqrt{x-1})} = \frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}{x-(x-1)} = \sqrt{x}+\sqrt{x-1} \]