Nous proposons un recueil de 20 exercices corrigés sur les intervalles et les voisinages, conçus pour comprendre de façon rigoureuse et progressive la structure des principales parties de la droite réelle.
Les exercices portent sur les intervalles ouverts, fermés et semi-ouverts, les demi-droites, l'appartenance à un intervalle, l'écriture en notation ensembliste et de premières interprétations géométriques sur la droite réelle.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Écrire en notation ensembliste l'intervalle :
\[ (2,7) \]
Résultat
\[ (2,7)=\{x\in\mathbb{R}\mid 2<x<7\} \]
Résolution
L'intervalle :
\[ (2,7) \]
est un intervalle ouvert.
Les parenthèses indiquent que les bornes \(2\) et \(7\) n'appartiennent pas à l'intervalle.
Donc :
\[ 2\notin(2,7), \qquad 7\notin(2,7). \]
En revanche, l'intervalle contient tous les nombres réels strictement compris entre \(2\) et \(7\).
Dire qu'un nombre réel \(x\) appartient à \((2,7)\) revient donc à imposer simultanément les deux conditions :
\[ x>2 \]
et
\[ x<7. \]
En écrivant ces deux conditions de manière condensée, on obtient :
\[ 2<x<7 \]
Par conséquent :
\[ (2,7)=\{x\in\mathbb{R}\mid 2<x<7\} \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Écrire en notation ensembliste l'intervalle :
\[ [-3,5] \]
Résultat
\[ [-3,5]=\{x\in\mathbb{R}\mid -3\leq x\leq 5\} \]
Résolution
L'intervalle :
\[ [-3,5] \]
est un intervalle fermé.
Les crochets indiquent que les deux bornes appartiennent à l'intervalle.
Donc :
\[ -3\in[-3,5], \qquad 5\in[-3,5]. \]
Outre les bornes, l'intervalle contient tous les nombres réels compris entre \(-3\) et \(5\).
Un nombre réel \(x\) appartient donc à \([-3,5]\) s'il est supérieur ou égal à \(-3\) et inférieur ou égal à \(5\).
En symboles :
\[ -3\leq x\leq 5 \]
Par conséquent :
\[ [-3,5]=\{x\in\mathbb{R}\mid -3\leq x\leq 5\} \]
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Écrire sous forme d'intervalle l'ensemble :
\[ \{x\in\mathbb{R}\mid 1\leq x<6\}. \]
Résultat
\[ [1,6) \qquad \text{ou} \qquad [1,6[ \]
Résolution
Considérons l'ensemble :
\[ \{x\in\mathbb{R}\mid 1\leq x<6\} \]
La condition :
\[ 1\leq x \]
signifie que \(x\) peut être égal à \(1\) ou supérieur à \(1\).
La borne de gauche \(1\) appartient donc à l'ensemble.
C'est pourquoi, à gauche, on emploie le crochet :
\[ [1,\ldots \]
La condition :
\[ x<6 \]
signifie, en revanche, que \(x\) doit être strictement inférieur à \(6\).
Le nombre \(6\) n'appartient donc pas à l'ensemble.
C'est pourquoi, à droite, on emploie la parenthèse :
\[ \ldots,6) \]
Ainsi, l'ensemble donné est :
\[ [1,6) \]
Avec la notation alternative, très répandue en analyse, le même intervalle s'écrit :
\[ [1,6[ \]
Exercice 4 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si le nombre \(4\) appartient à l'intervalle :
\[ (4,9] \]
Résultat
\[ 4\notin(4,9] \]
Résolution
L'intervalle :
\[ (4,9] \]
est semi-ouvert.
La parenthèse à gauche indique que la borne de gauche \(4\) n'appartient pas à l'intervalle.
Le crochet à droite indique, quant à lui, que la borne de droite \(9\) appartient à l'intervalle.
En notation ensembliste :
\[ (4,9]=\{x\in\mathbb{R}\mid 4<x\leq 9\}. \]
Pour vérifier si \(4\) appartient à l'intervalle, on substitue \(x=4\) dans la condition :
\[ 4<x\leq 9. \]
On obtient :
\[ 4<4\leq 9. \]
L'inégalité :
\[ 4<4 \]
est fausse, car aucun nombre réel n'est strictement inférieur à lui-même.
Par conséquent, \(4\) ne vérifie pas la condition d'appartenance.
Ainsi :
\[ 4\notin(4,9] \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Écrire en notation ensembliste la demi-droite :
\[ [-2,+\infty) \]
Résultat
\[ [-2,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq -2\} \]
Résolution
L'intervalle :
\[ [-2,+\infty) \]
est une demi-droite illimitée vers la droite.
Cela signifie qu'elle contient tous les nombres réels supérieurs ou égaux à \(-2\).
Le crochet placé en \(-2\) indique que cette borne finie appartient à l'intervalle.
Donc :
\[ -2\in[-2,+\infty) \]
Le symbole \(+\infty\), en revanche, ne représente pas un nombre réel.
C'est pourquoi \(+\infty\) ne peut pas être inclus dans l'intervalle au moyen d'un crochet.
La condition d'appartenance est donc :
\[ x\geq -2 \]
Par conséquent :
\[ [-2,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq -2\} \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer le centre, l'amplitude et le rayon de l'intervalle :
\[ [3,11] \]
Résultat
\[ \text{centre}=7,\qquad \text{amplitude}=8,\qquad \text{rayon}=4 \]
Résolution
Considérons l'intervalle :
\[ [3,11]. \]
Ses bornes sont :
\[ a=3,\qquad b=11. \]
L'amplitude, aussi appelée longueur de l'intervalle, est la distance entre la borne supérieure et la borne inférieure.
Donc :
\[ b-a=11-3=8. \]
Ainsi :
\[ \text{amplitude}=8. \]
Le centre de l'intervalle est le milieu des bornes.
Il se calcule au moyen de la formule :
\[ \frac{a+b}{2}. \]
En substituant \(a=3\) et \(b=11\), on obtient :
\[ \frac{3+11}{2}=\frac{14}{2}=7. \]
Donc :
\[ \text{centre}=7. \]
Le rayon est la distance entre le centre et l'une des deux bornes.
De manière équivalente, c'est la moitié de l'amplitude :
\[ \frac{b-a}{2}. \]
Donc :
\[ \frac{11-3}{2}=\frac{8}{2}=4. \]
Ainsi :
\[ \text{rayon}=4. \]
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Écrire sous forme d'intervalle l'ensemble des nombres réels qui vérifient :
\[ |x-2|<5 \]
Résultat
\[ (-3,7) \qquad \text{ou} \qquad ]-3,7[ \]
Résolution
L'expression :
\[ |x-2| \]
représente la distance entre le nombre réel \(x\) et le point \(2\) de la droite réelle.
L'inéquation :
\[ |x-2|<5 \]
signifie donc que \(x\) doit se trouver à une distance inférieure à \(5\) du point \(2\).
En termes de voisinage ouvert, on cherche tous les points du voisinage de centre \(2\) et de rayon \(5\).
On utilise la propriété :
\[ |A|<r \iff -r<A<r, \qquad r>0. \]
Dans notre cas :
\[ A=x-2,\qquad r=5. \]
Donc :
\[ -5<x-2<5. \]
On ajoute \(2\) à tous les membres de l'encadrement :
\[ -5+2<x-2+2<5+2. \]
On obtient :
\[ -3<x<7. \]
L'ensemble des solutions est donc l'intervalle ouvert :
\[ (-3,7) \]
Avec la notation alternative :
\[ ]-3,7[ \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Écrire sous forme d'intervalle l'ensemble des nombres réels qui vérifient :
\[ |x+1|\leq 4 \]
Résultat
\[ [-5,3] \]
Résolution
La quantité :
\[ |x+1| \]
peut se réécrire sous la forme :
\[ |x-(-1)|. \]
Elle représente donc la distance entre \(x\) et le point \(-1\).
L'inéquation :
\[ |x+1|\leq 4 \]
signifie que la distance entre \(x\) et \(-1\) doit être inférieure ou égale à \(4\).
Comme le symbole \(\leq\) apparaît, les bornes de l'intervalle seront incluses.
On utilise la propriété :
\[ |A|\leq r \iff -r\leq A\leq r, \qquad r>0. \]
Dans notre cas :
\[ A=x+1,\qquad r=4. \]
On obtient :
\[ -4\leq x+1\leq 4. \]
On soustrait \(1\) à tous les membres :
\[ -4-1\leq x+1-1\leq 4-1. \]
Donc :
\[ -5\leq x\leq 3. \]
Sous forme d'intervalle :
\[ [-5,3]. \]
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
Déterminer :
\[ [1,8]\cap(3,10) \]
Résultat
\[ (3,8] \qquad \text{ou} \qquad ]3,8] \]
Résolution
L'intersection de deux ensembles contient exactement les éléments qui appartiennent simultanément aux deux ensembles.
Considérons le premier intervalle :
\[ [1,8] \]
Il contient tous les nombres réels \(x\) tels que :
\[ 1\leq x\leq 8. \]
Considérons maintenant le second intervalle :
\[ (3,10). \]
Il contient tous les nombres réels \(x\) tels que :
\[ 3<x<10. \]
Pour appartenir à l'intersection, un nombre réel doit vérifier les deux conditions.
Il faut donc imposer simultanément :
\[ 1\leq x\leq 8 \]
et :
\[ 3<x<10. \]
La contrainte la plus forte à gauche est :
\[ x>3. \]
En effet, si \(x>3\), alors automatiquement \(x\geq1\).
La contrainte la plus forte à droite est :
\[ x\leq8. \]
En effet, si \(x\leq8\), alors automatiquement \(x<10\).
On obtient ainsi :
\[ 3<x\leq8. \]
Par conséquent :
\[ [1,8]\cap(3,10)=(3,8] \]
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
Déterminer :
\[ [0,4]\cup(4,9) \]
Résultat
\[ [0,9) \qquad \text{ou} \qquad [0,9[ \]
Résolution
La réunion de deux ensembles contient tous les éléments qui appartiennent à au moins l'un des deux ensembles.
Le premier intervalle est :
\[ [0,4]. \]
Il contient tous les nombres réels compris entre \(0\) et \(4\), bornes incluses.
En particulier :
\[ 4\in[0,4]. \]
Le second intervalle est :
\[ (4,9). \]
Il contient tous les nombres réels strictement compris entre \(4\) et \(9\).
En particulier, le nombre \(4\) n'appartient pas au second intervalle, mais il appartient au premier.
Aucun trou ne se forme donc au point \(4\).
La réunion contient :
- tous les nombres de \(0\) à \(4\), \(4\) compris ;
- tous les nombres supérieurs à \(4\) et inférieurs à \(9\).
Au total, elle contient tous les nombres réels \(x\) tels que :
\[ 0\leq x<9. \]
Ainsi :
\[ [0,4]\cup(4,9)=[0,9) \]
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Déterminer si l'ensemble :
\[ [0,2)\cup(2,5] \]
est un intervalle.
Résultat
L'ensemble n'est pas un intervalle.
Résolution
Rappelons qu'une partie \(I\subseteq\mathbb{R}\) est un intervalle si, quels que soient deux de ses éléments, elle contient aussi tous les nombres réels compris entre eux.
Considérons l'ensemble :
\[ [0,2)\cup(2,5]. \]
Le premier intervalle :
\[ [0,2) \]
contient tous les nombres réels \(x\) tels que :
\[ 0\leq x<2. \]
Le second intervalle :
\[ (2,5] \]
contient tous les nombres réels \(x\) tels que :
\[ 2<x\leq5. \]
Observons à présent le point \(2\).
Il n'appartient pas au premier intervalle, car celui-ci exclut sa borne de droite :
\[ 2\notin[0,2). \]
De plus, il n'appartient pas au second intervalle, car celui-ci exclut sa borne de gauche :
\[ 2\notin(2,5]. \]
Donc :
\[ 2\notin[0,2)\cup(2,5]. \]
Cependant :
\[ 1\in[0,2)\cup(2,5] \]
et :
\[ 3\in[0,2)\cup(2,5]. \]
Comme :
\[ 1<2<3, \]
on a trouvé deux éléments de l'ensemble, \(1\) et \(3\), tels qu'un nombre compris entre eux, à savoir \(2\), n'appartient pas à l'ensemble.
L'ensemble présente donc un « trou » intérieur.
Il importe de remarquer que l'ensemble considéré est la réunion de deux intervalles, mais qu'il ne constitue pas lui-même un intervalle de la droite réelle.
Par conséquent :
\[ [0,2)\cup(2,5] \]
n'est pas un intervalle.
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Déterminer si l'intervalle :
\[ [2,+\infty) \]
est ouvert, fermé ou ni ouvert ni fermé dans \(\mathbb{R}\).
Résultat
L'intervalle \([2,+\infty)\) est fermé dans \(\mathbb{R}\), mais il n'est pas ouvert.
Résolution
Considérons l'intervalle :
\[ [2,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq2\}. \]
Il contient sa borne finie \(2\), puisque le crochet indique l'inclusion.
Examinons d'abord si l'ensemble est ouvert.
Un ensemble est ouvert si chacun de ses points possède un voisinage ouvert entièrement contenu dans l'ensemble.
Le point \(2\) appartient à l'ensemble :
\[ 2\in[2,+\infty). \]
Cependant, tout voisinage ouvert de \(2\) contient aussi des points inférieurs à \(2\).
Par exemple, pour tout \(r>0\), le voisinage :
\[ (2-r,2+r) \]
contient des points de l'intervalle \((2-r,2)\), qui sont inférieurs à \(2\).
De tels points n'appartiennent pas à \([2,+\infty)\).
Aucun voisinage ouvert de \(2\) n'est donc entièrement contenu dans \([2,+\infty)\).
Par conséquent, \([2,+\infty)\) n'est pas ouvert.
Examinons maintenant si l'ensemble est fermé.
Le complémentaire de \([2,+\infty)\) dans \(\mathbb{R}\) est :
\[ \mathbb{R}\setminus[2,+\infty)=(-\infty,2). \]
L'intervalle :
\[ (-\infty,2) \]
est ouvert dans \(\mathbb{R}\).
Comme le complémentaire de \([2,+\infty)\) est ouvert, il s'ensuit que \([2,+\infty)\) est fermé.
Exercice 13 — niveau ★★★★☆
Écrire le voisinage ouvert de centre \(-1\) et de rayon \(3\), à la fois sous forme d'intervalle et en notation ensembliste.
Résultat
\[ I(-1,3)=(-4,2)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x+1|<3\} \]
Résolution
Un voisinage ouvert de centre \(x_0\) et de rayon \(r>0\) est l'ensemble des nombres réels dont la distance au point \(x_0\) est inférieure à \(r\).
En notation ensembliste :
\[ I(x_0,r)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-x_0|<r\}. \]
Dans cet exercice :
\[ x_0=-1,\qquad r=3. \]
En substituant dans la définition :
\[ I(-1,3)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-(-1)|<3\}. \]
Comme :
\[ x-(-1)=x+1, \]
on obtient :
\[ I(-1,3)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x+1|<3\}. \]
Pour l'écrire sous forme d'intervalle, on calcule les bornes :
\[ x_0-r=-1-3=-4 \]
et :
\[ x_0+r=-1+3=2. \]
Comme il s'agit d'un voisinage ouvert, les bornes ne sont pas incluses.
Donc :
\[ I(-1,3)=(-4,2). \]
Ainsi :
\[ I(-1,3)=(-4,2)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x+1|<3\} \]
Exercice 14 — niveau ★★★★☆
Écrire le voisinage fermé de centre \(4\) et de rayon \(5\), à la fois sous forme d'intervalle et en notation ensembliste.
Résultat
\[ \overline{I}(4,5)=[-1,9]=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-4|\leq5\} \]
Résolution
Un voisinage fermé de centre \(x_0\) et de rayon \(r>0\) est l'ensemble des nombres réels dont la distance au point \(x_0\) est inférieure ou égale à \(r\).
En notation ensembliste :
\[ \overline{I}(x_0,r)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-x_0|\leq r\}. \]
Dans ce cas :
\[ x_0=4,\qquad r=5. \]
En substituant dans la définition :
\[ \overline{I}(4,5)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-4|\leq5\}. \]
Pour passer à la forme d'intervalle, on calcule les bornes.
La borne de gauche est :
\[ x_0-r=4-5=-1. \]
La borne de droite est :
\[ x_0+r=4+5=9. \]
Comme le voisinage est fermé, on inclut également les points situés à une distance exactement égale à \(5\) du centre.
En effet :
\[ |-1-4|=|-5|=5 \]
et :
\[ |9-4|=5. \]
Les bornes \(-1\) et \(9\) appartiennent donc au voisinage.
Ainsi :
\[ \overline{I}(4,5)=[-1,9]=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-4|\leq5\} \]
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
Écrire le voisinage à droite ouvert de \(2\) et de rayon \(6\).
Résultat
\[ (2,8) \qquad \text{ou} \qquad ]2,8[ \]
Résolution
Un voisinage à droite ouvert d'un point \(x_0\) ne contient que des points situés à droite de \(x_0\), c'est-à-dire des points supérieurs à \(x_0\).
Si le rayon est \(r>0\), le voisinage à droite ouvert a la forme :
\[ (x_0,x_0+r). \]
Dans cet exercice :
\[ x_0=2,\qquad r=6. \]
On calcule la borne de droite :
\[ x_0+r=2+6=8. \]
Le voisinage à droite ouvert est donc :
\[ (2,8). \]
Il contient tous les nombres réels \(x\) tels que :
\[ 2<x<8. \]
Le point \(2\) n'appartient pas au voisinage, car le voisinage à droite ouvert part de \(2\) mais l'exclut.
Le point \(8\) n'appartient pas non plus au voisinage, car la borne de droite est exclue.
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
Écrire le voisinage à gauche ouvert de \(5\) et de rayon \(4\).
Résultat
\[ (1,5) \qquad \text{ou} \qquad ]1,5[ \]
Résolution
Un voisinage à gauche ouvert d'un point \(x_0\) ne contient que des points inférieurs à \(x_0\).
Si le rayon est \(r>0\), il a la forme :
\[ (x_0-r,x_0). \]
Dans cet exercice :
\[ x_0=5,\qquad r=4. \]
On calcule la borne de gauche :
\[ x_0-r=5-4=1. \]
Le voisinage à gauche ouvert demandé est donc :
\[ (1,5). \]
Cet ensemble contient tous les nombres réels strictement compris entre \(1\) et \(5\).
En particulier :
- tous les points du voisinage sont inférieurs à \(5\) ;
- le point \(5\) n'appartient pas au voisinage ;
- la borne \(1\) est elle aussi exclue.
En notation ensembliste :
\[ (1,5)=\{x\in\mathbb{R}\mid 1<x<5\} \]
Exercice 17 — niveau ★★★★★
Écrire sous forme de réunion d'intervalles le voisinage épointé :
\[ I^\ast(3,2) \]
Résultat
\[ I^\ast(3,2)=(1,3)\cup(3,5) \]
Résolution
Par définition, le voisinage épointé de centre \(x_0\) et de rayon \(r>0\) est :
\[ I^\ast(x_0,r)=\{x\in\mathbb{R}\mid 0<|x-x_0|<r\}. \]
On l'obtient en prenant le voisinage ouvert de centre \(x_0\) et en retirant le point central.
Dans cet exercice :
\[ x_0=3,\qquad r=2. \]
Considérons d'abord le voisinage ouvert associé :
\[ I(3,2)=(3-2,3+2). \]
En calculant les bornes :
\[ 3-2=1 \]
et :
\[ 3+2=5, \]
on obtient :
\[ I(3,2)=(1,5). \]
Or le voisinage demandé est épointé.
Cela signifie que le point central :
\[ x_0=3 \]
doit être retiré de l'intervalle.
En retirant le point \(3\), l'intervalle se scinde en deux parties :
\[ (1,3) \]
et :
\[ (3,5). \]
Par conséquent :
\[ I^\ast(3,2)=(1,3)\cup(3,5) \]
Exercice 18 — niveau ★★★★★
Écrire un voisinage de \(+\infty\) déterminé par \(M=4\).
Résultat
\[ (4,+\infty) \]
Résolution
Un voisinage de \(+\infty\) est une demi-droite ouverte à droite de la forme :
\[ (M,+\infty), \qquad M>0. \]
Il contient tous les nombres réels suffisamment grands, c'est-à-dire supérieurs à une certaine valeur réelle \(M\).
Dans cet exercice :
\[ M=4. \]
En substituant dans la définition, on obtient :
\[ (4,+\infty). \]
En notation ensembliste :
\[ (4,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x>4\}. \]
Cet ensemble contient tous les nombres réels supérieurs à \(4\).
Le nombre \(4\) n'appartient pas au voisinage, puisque la parenthèse indique l'exclusion de la borne.
De plus, le symbole \(+\infty\) ne représente pas un nombre réel et ne peut donc pas être inclus dans l'intervalle.
Les voisinages de \(+\infty\) ne sont pas des voisinages au sens usuel, fondé sur la distance entre nombres réels ; ils constituent en revanche une convention fondamentale dans l'étude des limites à l'infini.
Exercice 19 — niveau ★★★★★
Écrire un voisinage de \(-\infty\) déterminé par \(M=6\).
Résultat
\[ (-\infty,-6) \]
Résolution
Un voisinage de \(-\infty\) est une demi-droite ouverte à gauche de la forme :
\[ (-\infty,-M), \qquad M>0. \]
Il contient tous les nombres réels suffisamment petits, c'est-à-dire négatifs et très grands en valeur absolue.
Dans cet exercice :
\[ M=6. \]
On a donc :
\[ -M=-6. \]
En substituant dans la définition d'un voisinage de \(-\infty\), on obtient :
\[ (-\infty,-6). \]
En notation ensembliste :
\[ (-\infty,-6)=\{x\in\mathbb{R}\mid x<-6\}. \]
L'ensemble contient donc tous les nombres réels inférieurs à \(-6\).
Le nombre \(-6\) n'appartient pas au voisinage, car la borne est exclue.
Les voisinages de \(-\infty\) ne sont pas des voisinages au sens usuel, fondé sur la distance entre nombres réels ; ils constituent en revanche une convention fondamentale dans l'étude des limites à l'infini.
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Déterminer l'ensemble des solutions de l'inéquation :
\[ |x-1|<|x+3| \]
Résultat
\[ (-1,+\infty) \]
Résolution
La quantité :
\[ |x-1| \]
représente la distance du point \(x\) au nombre \(1\).
De même :
\[ |x+3|=|x-(-3)| \]
représente la distance du point \(x\) au nombre \(-3\).
L'inéquation :
\[ |x-1|<|x+3| \]
signifie donc que \(x\) doit être plus proche de \(1\) que de \(-3\).
Résolvons l'inéquation de façon algébrique.
Comme les deux membres sont positifs ou nuls, on peut élever au carré sans changer le sens de l'inégalité :
\[ (x-1)^2<(x+3)^2. \]
On développe les carrés :
\[ x^2-2x+1<x^2+6x+9. \]
On soustrait \(x^2\) aux deux membres :
\[ -2x+1<6x+9. \]
On regroupe les termes contenant \(x\) dans le premier membre :
\[ -8x+1<9. \]
On soustrait \(1\) :
\[ -8x<8. \]
On divise maintenant par \(-8\).
Comme on divise par un nombre négatif, le sens de l'inégalité change :
\[ x>-1. \]
L'ensemble des solutions est donc :
\[ (-1,+\infty). \]
Géométriquement, le point de séparation est le milieu de \(-3\) et \(1\), c'est-à-dire :
\[ \frac{-3+1}{2}=-1. \]
Tous les points situés à droite de \(-1\) sont donc plus proches de \(1\) que de \(-3\).