Une collection progressive de 20 exercices résolus sur les équations paramétriques, conçue pour apprendre non seulement à trouver la solution, mais surtout à discuter correctement tous les cas possibles selon la valeur du paramètre.
Dans chaque exercice, on analysera avec soin à quel moment il est légitime de diviser, quelles valeurs du paramètre doivent être exclues, et dans quelles situations l'équation devient déterminée, impossible ou indéterminée.
Rappelons l'idée fondamentale : dans les équations paramétriques, on ne doit jamais traiter le paramètre comme un nombre certainement non nul. Avant de diviser ou de simplifier une expression contenant le paramètre, il faut toujours vérifier pour quelles valeurs elle peut s'annuler.
Par exemple, dans l'équation :
\[ (a-1)x=3 \]
on ne peut pas diviser immédiatement par \(a-1\), car :
\[ a-1=0 \quad \Longleftrightarrow \quad a=1 \]
et la division par zéro n'est pas définie.
C'est pourquoi la résolution d'une équation paramétrique nécessite presque toujours une discussion par cas.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre et discuter l'équation :
\[ ax=6 \]
Solution
\[ \begin{cases} a\ne0 & \Rightarrow S=\left\{\frac{6}{a}\right\} \\ a=0 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Résolution
L'inconnue de l'équation est \(x\), tandis que \(a\) est un paramètre réel.
L'équation est :
\[ ax=6 \]
Le coefficient de l'inconnue \(x\) est \(a\).
On ne peut pas diviser immédiatement les deux membres par \(a\), car le paramètre pourrait prendre la valeur :
\[ a=0 \]
et la division par zéro n'est pas définie.
Il faut donc distinguer deux cas.
Cas \(a\ne0\)
Si :
\[ a\ne0 \]
on peut diviser les deux membres de l'équation par \(a\) :
\[ x=\frac{6}{a} \]
Pour toute valeur fixée du paramètre \(a\) avec \(a\ne0\), l'équation admet une unique solution :
\[ S=\left\{\frac{6}{a}\right\} \]
Cas \(a=0\)
Si \(a=0\), on substitue cette valeur dans l'équation initiale :
\[ 0\cdot x=6 \]
c'est-à-dire :
\[ 0=6 \]
Cette égalité est fausse, car zéro n'est pas égal à six.
Il n'existe donc aucune valeur réelle de \(x\) qui satisfasse l'équation.
L'équation est donc impossible.
Par conséquent :
\[ S=\varnothing \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre et discuter l'équation :
\[ (a-2)x=4 \]
Solution
\[ \begin{cases} a\ne2 & \Rightarrow S=\left\{\frac{4}{a-2}\right\} \\ a=2 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Résolution
L'inconnue de l'équation est \(x\), tandis que \(a\) est un paramètre réel.
L'équation est :
\[ (a-2)x=4 \]
Le coefficient de l'inconnue \(x\) est :
\[ a-2 \]
Avant de diviser les deux membres par \(a-2\), il faut déterminer pour quelle valeur cette quantité s'annule.
On résout donc :
\[ a-2=0 \]
On obtient :
\[ a=2 \]
Il faut donc distinguer les deux cas suivants.
Cas \(a\ne2\)
Si :
\[ a\ne2 \]
alors :
\[ a-2\ne0 \]
On peut donc diviser les deux membres par \(a-2\) :
\[ x=\frac{4}{a-2} \]
L'équation admet donc une unique solution :
\[ S=\left\{\frac{4}{a-2}\right\} \]
Cas \(a=2\)
Si \(a=2\), on substitue cette valeur dans l'équation initiale :
\[ (2-2)x=4 \]
c'est-à-dire :
\[ 0\cdot x=4 \]
soit :
\[ 0=4 \]
Cette égalité est fausse.
Il n'existe aucune valeur réelle de \(x\) qui satisfasse l'équation.
L'équation est donc impossible.
Par conséquent :
\[ S=\varnothing \]
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre et discuter l'équation :
\[ (a+1)x=0 \]
Solution
\[ \begin{cases} a\ne-1 & \Rightarrow S=\{0\} \\ a=-1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Résolution
L'équation est :
\[ (a+1)x=0 \]
Le coefficient de l'inconnue est :
\[ a+1 \]
Avant de diviser par cette quantité, il faut vérifier pour quelle valeur elle peut s'annuler.
On résout donc :
\[ a+1=0 \]
On obtient :
\[ a=-1 \]
Il faut distinguer deux cas.
Cas \(a\ne-1\)
Si :
\[ a\ne-1 \]
alors :
\[ a+1\ne0 \]
On peut donc diviser les deux membres par \(a+1\) :
\[ x=0 \]
L'équation admet donc une unique solution :
\[ S=\{0\} \]
Cas \(a=-1\)
Si \(a=-1\), on substitue cette valeur dans l'équation initiale :
\[ (-1+1)x=0 \]
c'est-à-dire :
\[ 0\cdot x=0 \]
soit :
\[ 0=0 \]
Cette égalité est toujours vraie, quelle que soit la valeur attribuée à \(x\).
Tout nombre réel est donc solution de l'équation.
L'équation est donc indéterminée.
Par conséquent :
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre et discuter l'équation :
\[ (a-3)x=a+1 \]
Solution
\[ \begin{cases} a\ne3 & \Rightarrow S=\left\{\frac{a+1}{a-3}\right\} \\ a=3 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Résolution
Considérons l'équation :
\[ (a-3)x=a+1 \]
Le coefficient de l'inconnue est :
\[ a-3 \]
Avant de diviser par cette quantité, il faut vérifier pour quelle valeur elle s'annule.
On résout :
\[ a-3=0 \]
On obtient :
\[ a=3 \]
Il faut donc discuter séparément les deux cas suivants.
Cas \(a\ne3\)
Si :
\[ a\ne3 \]
alors :
\[ a-3\ne0 \]
On peut donc diviser les deux membres par \(a-3\) :
\[ x=\frac{a+1}{a-3} \]
L'équation admet donc une unique solution :
\[ S=\left\{\frac{a+1}{a-3}\right\} \]
Cas \(a=3\)
Si \(a=3\), on substitue cette valeur dans l'équation initiale :
\[ (3-3)x=3+1 \]
c'est-à-dire :
\[ 0\cdot x=4 \]
soit :
\[ 0=4 \]
Cette égalité est fausse.
L'équation est donc impossible.
Par conséquent :
\[ S=\varnothing \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre et discuter l'équation :
\[ (a-2)x=2a-4 \]
Solution
\[ \begin{cases} a\ne2 & \Rightarrow S=\{2\} \\ a=2 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Résolution
Considérons l'équation :
\[ (a-2)x=2a-4 \]
Le coefficient de l'inconnue est :
\[ a-2 \]
Avant de diviser par cette quantité, il faut vérifier pour quelle valeur elle s'annule.
On résout donc :
\[ a-2=0 \]
d'où :
\[ a=2 \]
Il faut distinguer deux cas.
Cas \(a\ne2\)
Si :
\[ a\ne2 \]
on peut diviser les deux membres par \(a-2\) :
\[ x=\frac{2a-4}{a-2} \]
On remarque qu'au numérateur on peut mettre le facteur \(2\) en évidence :
\[ 2a-4=2(a-2) \]
On obtient donc :
\[ x=\frac{2(a-2)}{a-2} \]
Puisque dans le cas considéré on a :
\[ a-2\ne0 \]
on peut simplifier :
\[ x=2 \]
L'équation admet donc une unique solution :
\[ S=\{2\} \]
Cas \(a=2\)
Si \(a=2\), on substitue cette valeur dans l'équation initiale :
\[ (2-2)x=2\cdot2-4 \]
c'est-à-dire :
\[ 0\cdot x=0 \]
soit :
\[ 0=0 \]
Cette égalité est toujours vraie.
Tout nombre réel est donc solution de l'équation.
L'équation est donc indéterminée.
Par conséquent :
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre et discuter l'équation :
\[ (a^2-1)x=a+1 \]
Solution
\[ \begin{cases} a \ne \pm 1 & \Rightarrow S=\left\{\frac{1}{a-1}\right\} \\ a=1 & \Rightarrow S=\varnothing \\ a=-1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Résolution
Considérons l'équation :
\[ (a^2-1)x=a+1 \]
Le coefficient de l'inconnue est :
\[ a^2-1 \]
Avant de diviser par cette quantité, il faut déterminer pour quelles valeurs elle s'annule.
On résout donc :
\[ a^2-1=0 \]
Il s'agit d'une différence de deux carrés :
\[ a^2-1=(a-1)(a+1) \]
On obtient donc :
\[ (a-1)(a+1)=0 \]
d'où :
\[ a=1 \]
ou :
\[ a=-1 \]
Il faut donc distinguer trois cas.
Cas \(a\ne\pm1\)
Si :
\[ a\ne1 \qquad \text{et} \qquad a\ne-1 \]
alors :
\[ a^2-1\ne0 \]
On peut donc diviser les deux membres par \(a^2-1\) :
\[ x=\frac{a+1}{a^2-1} \]
On factorise le dénominateur :
\[ a^2-1=(a-1)(a+1) \]
On obtient :
\[ x=\frac{a+1}{(a-1)(a+1)} \]
Puisque dans le cas considéré on a :
\[ a+1\ne0 \]
on peut simplifier le facteur \(a+1\) :
\[ x=\frac{1}{a-1} \]
L'équation admet donc une unique solution :
\[ S=\left\{\frac{1}{a-1}\right\} \]
Cas \(a=1\)
Si \(a=1\), on substitue dans l'équation initiale :
\[ (1^2-1)x=1+1 \]
c'est-à-dire :
\[ 0\cdot x=2 \]
soit :
\[ 0=2 \]
Cette égalité est impossible.
Par conséquent :
\[ S=\varnothing \]
Cas \(a=-1\)
Si \(a=-1\), on substitue dans l'équation :
\[ ((-1)^2-1)x=-1+1 \]
c'est-à-dire :
\[ 0\cdot x=0 \]
soit :
\[ 0=0 \]
Cette égalité est toujours vraie.
Tout nombre réel est donc solution de l'équation.
Par conséquent :
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercice 7 — niveau ★★★☆☆
Résoudre et discuter l'équation :
\[ (a-1)x+2=a \]
Solution
\[ \begin{cases} a\ne1 & \Rightarrow S=\left\{\frac{a-2}{a-1}\right\} \\ a=1 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Résolution
Considérons l'équation :
\[ (a-1)x+2=a \]
On commence par isoler le terme contenant l'inconnue.
On soustrait \(2\) des deux membres :
\[ (a-1)x=a-2 \]
Le coefficient de l'inconnue est :
\[ a-1 \]
Il faut vérifier pour quelle valeur ce coefficient s'annule.
On résout :
\[ a-1=0 \]
On obtient :
\[ a=1 \]
Il faut donc distinguer deux cas.
Cas \(a\ne1\)
Si :
\[ a\ne1 \]
on peut diviser les deux membres par \(a-1\) :
\[ x=\frac{a-2}{a-1} \]
L'équation admet donc une unique solution :
\[ S=\left\{\frac{a-2}{a-1}\right\} \]
Cas \(a=1\)
Si \(a=1\), on substitue cette valeur dans l'équation initiale :
\[ (1-1)x+2=1 \]
c'est-à-dire :
\[ 0\cdot x+2=1 \]
soit :
\[ 2=1 \]
Cette égalité est fausse.
L'équation est donc impossible.
Par conséquent :
\[ S=\varnothing \]
Exercice 8 — niveau ★★★☆☆
Résoudre et discuter l'équation :
\[ (a+2)x=a(x+1) \]
Solution
Pour toute valeur réelle de \( a \) : \[ S=\left\{\frac{a}{2}\right\} \]
Résolution
Considérons l'équation :
\[ (a+2)x=a(x+1) \]
Au second membre apparaît un produit. On applique la distributivité :
\[ a(x+1)=ax+a \]
L'équation devient donc :
\[ (a+2)x=ax+a \]
On développe le premier membre :
\[ ax+2x=ax+a \]
On regroupe tous les termes en \(x\) au premier membre.
On soustrait \(ax\) des deux membres :
\[ ax+2x-ax=a \]
Les termes \(ax\) se simplifient :
\[ 2x=a \]
On divise les deux membres par \(2\) :
\[ x=\frac{a}{2} \]
Dans cet exercice, aucune condition sur le paramètre n'est nécessaire, car le coefficient de l'inconnue, après simplification, est le nombre \(2\), qui ne s'annule jamais.
L'équation admet donc toujours une unique solution réelle.
Par conséquent :
\[ S=\left\{\frac{a}{2}\right\} \]
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
Résoudre et discuter l'équation :
\[ (a-4)x=2a-8 \]
Solution
\[ \begin{cases} a\ne4 & \Rightarrow S=\{2\} \\ a=4 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Résolution
Considérons l'équation :
\[ (a-4)x=2a-8 \]
Le coefficient de l'inconnue \(x\) est :
\[ a-4 \]
Avant de diviser par \(a-4\), il faut vérifier pour quelle valeur cette quantité s'annule.
On résout :
\[ a-4=0 \]
On obtient :
\[ a=4 \]
Il faut donc distinguer deux cas.
Cas \(a\ne4\)
Si :
\[ a\ne4 \]
alors :
\[ a-4\ne0 \]
On peut donc diviser les deux membres par \(a-4\) :
\[ x=\frac{2a-8}{a-4} \]
On factorise le numérateur en mettant \(2\) en évidence :
\[ 2a-8=2(a-4) \]
Donc :
\[ x=\frac{2(a-4)}{a-4} \]
Puisque dans ce cas \(a\ne4\), on peut simplifier le facteur \(a-4\) :
\[ x=2 \]
Donc :
\[ S=\{2\} \]
Cas \(a=4\)
Si \(a=4\), on substitue cette valeur dans l'équation initiale :
\[ (4-4)x=2\cdot4-8 \]
c'est-à-dire :
\[ 0\cdot x=8-8 \]
soit :
\[ 0\cdot x=0 \]
L'égalité :
\[ 0=0 \]
est toujours vraie, quelle que soit la valeur de \(x\).
L'équation est donc indéterminée et tout nombre réel est solution :
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
Résoudre et discuter l'équation :
\[ (a+3)x=a^2-9 \]
Solution
\[ \begin{cases} a\ne-3 & \Rightarrow S=\{a-3\} \\ a=-3 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Résolution
Considérons l'équation :
\[ (a+3)x=a^2-9 \]
Le coefficient de l'inconnue \(x\) est :
\[ a+3 \]
Avant de diviser par \(a+3\), il faut déterminer pour quelle valeur ce coefficient s'annule :
\[ a+3=0 \]
d'où :
\[ a=-3 \]
Il faut donc distinguer les cas suivants.
Cas \(a\ne-3\)
Si :
\[ a\ne-3 \]
alors :
\[ a+3\ne0 \]
On peut diviser les deux membres par \(a+3\) :
\[ x=\frac{a^2-9}{a+3} \]
On factorise le numérateur comme une différence de deux carrés :
\[ a^2-9=(a-3)(a+3) \]
On obtient :
\[ x=\frac{(a-3)(a+3)}{a+3} \]
Puisque dans ce cas \(a\ne-3\), on a \(a+3\ne0\), et on peut simplifier :
\[ x=a-3 \]
Par conséquent :
\[ S=\{a-3\} \]
Cas \(a=-3\)
Si \(a=-3\), on substitue dans l'équation initiale :
\[ (-3+3)x=(-3)^2-9 \]
c'est-à-dire :
\[ 0\cdot x=9-9 \]
soit :
\[ 0\cdot x=0 \]
Cette égalité est vraie pour toute valeur réelle de \(x\).
L'équation est donc indéterminée :
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercice 11 — niveau ★★★★☆
Résoudre et discuter l'équation :
\[ (a^2-4)x=a-2 \]
Solution
\[ \begin{cases} a \ne 2 \ \text{et}\ a \ne -2 & \Rightarrow S=\left\{\frac{1}{a+2}\right\} \\ a=2 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \\ a=-2 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Résolution
Considérons l'équation :
\[ (a^2-4)x=a-2 \]
Le coefficient de l'inconnue est :
\[ a^2-4 \]
Avant de diviser par cette quantité, il faut déterminer pour quelles valeurs elle s'annule.
On résout donc :
\[ a^2-4=0 \]
On factorise comme une différence de deux carrés :
\[ a^2-4=(a-2)(a+2) \]
On obtient :
\[ (a-2)(a+2)=0 \]
d'où :
\[ a=2 \]
ou :
\[ a=-2 \]
Il faut donc distinguer trois cas.
Cas \(a\ne2\) et \(a\ne-2\)
Si :
\[ a\ne2 \qquad \text{et} \qquad a\ne-2 \]
alors :
\[ a^2-4\ne0 \]
On peut diviser les deux membres par \(a^2-4\) :
\[ x=\frac{a-2}{a^2-4} \]
On substitue la factorisation du dénominateur :
\[ x=\frac{a-2}{(a-2)(a+2)} \]
Puisque dans le cas considéré on a :
\[ a-2\ne0 \]
on peut simplifier le facteur \(a-2\) :
\[ x=\frac{1}{a+2} \]
L'équation admet donc une unique solution :
\[ S=\left\{\frac{1}{a+2}\right\} \]
Cas \(a=2\)
Si \(a=2\), on substitue dans l'équation initiale :
\[ (2^2-4)x=2-2 \]
c'est-à-dire :
\[ 0\cdot x=0 \]
Cette égalité est toujours vraie.
L'équation est donc indéterminée et tout nombre réel est solution :
\[ S=\mathbb{R} \]
Cas \(a=-2\)
Si \(a=-2\), on substitue dans l'équation :
\[ ((-2)^2-4)x=-2-2 \]
c'est-à-dire :
\[ 0\cdot x=-4 \]
soit :
\[ 0=-4 \]
Cette égalité est impossible.
L'équation n'admet aucune solution.
Par conséquent :
\[ S=\varnothing \]
Exercice 12 — niveau ★★★★☆
Résoudre et discuter l'équation :
\[ (a-1)(x-2)=0 \]
Solution
\[ \begin{cases} a\ne1 & \Rightarrow S=\{2\} \\ a=1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Résolution
Considérons l'équation :
\[ (a-1)(x-2)=0 \]
Il s'agit d'un produit égal à zéro.
Rappelons la règle du produit nul :
\[ A\cdot B=0 \quad \Longleftrightarrow \quad A=0 \ \text{ou} \ B=0 \]
Dans notre cas, les deux facteurs sont :
\[ a-1 \]
et :
\[ x-2 \]
Il faut cependant être vigilant : le paramètre \(a\) n'est pas l'inconnue de l'équation. L'inconnue est uniquement \(x\).
C'est pourquoi il faut discuter les valeurs du paramètre.
Cas \(a\ne1\)
Si :
\[ a\ne1 \]
alors :
\[ a-1\ne0 \]
Le premier facteur ne peut donc pas s'annuler.
Pour que le produit soit nul, c'est alors le second facteur qui doit s'annuler :
\[ x-2=0 \]
d'où :
\[ x=2 \]
Par conséquent :
\[ S=\{2\} \]
Cas \(a=1\)
Si \(a=1\), le premier facteur devient :
\[ a-1=0 \]
L'équation prend donc la forme :
\[ 0\cdot(x-2)=0 \]
c'est-à-dire :
\[ 0=0 \]
Cette égalité est toujours vraie, quelle que soit la valeur de \(x\).
Tout nombre réel est donc solution de l'équation.
Par conséquent :
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercice 13 — niveau ★★★★☆
Résoudre et discuter l'équation :
\[ (a+2)(x-1)=a+2 \]
Solution
\[ \begin{cases} a\ne-2 & \Rightarrow S=\{2\} \\ a=-2 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Résolution
Considérons l'équation :
\[ (a+2)(x-1)=a+2 \]
Le facteur \(a+2\) apparaît dans les deux membres, mais on ne peut pas le simplifier sans au préalable discuter le cas où il s'annule.
On étudie donc :
\[ a+2=0 \]
d'où :
\[ a=-2 \]
Il faut distinguer deux cas.
Cas \(a\ne-2\)
Si :
\[ a\ne-2 \]
alors :
\[ a+2\ne0 \]
On peut diviser les deux membres par \(a+2\) :
\[ x-1=1 \]
On ajoute \(1\) aux deux membres :
\[ x=2 \]
Donc :
\[ S=\{2\} \]
Cas \(a=-2\)
Si \(a=-2\), on substitue dans l'équation initiale :
\[ (-2+2)(x-1)=-2+2 \]
c'est-à-dire :
\[ 0\cdot(x-1)=0 \]
soit :
\[ 0=0 \]
Cette égalité est toujours vraie, quelle que soit la valeur de \(x\).
L'équation est donc indéterminée et tout nombre réel est solution :
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercice 14 — niveau ★★★★☆
Résoudre et discuter l'équation :
\[ (a-1)x=a(x-1) \]
Solution
\[ S=\{a\} \]
Résolution
Considérons l'équation :
\[ (a-1)x=a(x-1) \]
On développe les deux membres.
Le premier membre est :
\[ (a-1)x=ax-x \]
Le second membre est :
\[ a(x-1)=ax-a \]
L'équation devient :
\[ ax-x=ax-a \]
On soustrait \(ax\) des deux membres :
\[ ax-x-ax=ax-a-ax \]
c'est-à-dire :
\[ -x=-a \]
On multiplie les deux membres par \(-1\) :
\[ x=a \]
Dans cet exercice, il n'est pas nécessaire de distinguer des cas particuliers, car après simplification le coefficient de l'inconnue est \(-1\), qui ne s'annule jamais.
Donc, pour toute valeur réelle du paramètre \(a\), l'équation admet une unique solution :
\[ S=\{a\} \]
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
Résoudre et discuter l'équation :
\[ \frac{x}{a-1}=2 \]
Solution
\[ a\ne1 \quad \Rightarrow \quad S=\{2a-2\} \]
Pour \(a=1\), l'équation n'est pas définie.
Résolution
Dans cette équation, le paramètre apparaît au dénominateur :
\[ \frac{x}{a-1}=2 \]
Avant de résoudre, il faut imposer la condition d'existence du dénominateur.
Le dénominateur ne peut pas être nul :
\[ a-1\ne0 \]
donc :
\[ a\ne1 \]
Si \(a=1\), l'équation n'a pas de sens, car on aurait une division par zéro.
Pour \(a\ne1\), on peut multiplier les deux membres par \(a-1\) :
\[ x=2(a-1) \]
On développe :
\[ x=2a-2 \]
Par conséquent :
\[ a\ne1 \quad \Rightarrow \quad S=\{2a-2\} \]
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
Résoudre et discuter l'équation :
\[ \frac{x-1}{a+2}=3 \]
Solution
\[ a\ne-2 \quad \Rightarrow \quad S=\{3a+7\} \]
Pour \(a=-2\), l'équation n'est pas définie.
Résolution
Dans cette équation, le paramètre apparaît au dénominateur :
\[ \frac{x-1}{a+2}=3 \]
Avant de résoudre, il faut établir pour quelles valeurs du paramètre l'équation a un sens.
Le dénominateur ne peut pas être nul :
\[ a+2\ne0 \]
donc :
\[ a\ne-2 \]
Si \(a=-2\), l'équation n'est pas définie, car on aurait une division par zéro.
On suppose donc :
\[ a\ne-2 \]
Dans ce cas, on peut multiplier les deux membres par \(a+2\) :
\[ x-1=3(a+2) \]
On développe le second membre :
\[ x-1=3a+6 \]
On ajoute \(1\) aux deux membres :
\[ x=3a+7 \]
Par conséquent :
\[ a\ne-2 \quad \Rightarrow \quad S=\{3a+7\} \]
Exercice 17 — niveau ★★★★★
Résoudre et discuter l'équation :
\[ (a-1)x=2a-2 \]
Solution
\[ \begin{cases} a\ne1 & \Rightarrow S=\{2\} \\ a=1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Résolution
Considérons l'équation :
\[ (a-1)x=2a-2 \]
Le coefficient de l'inconnue est :
\[ a-1 \]
Avant de diviser par \(a-1\), il faut vérifier pour quelle valeur ce coefficient s'annule :
\[ a-1=0 \]
donc :
\[ a=1 \]
Il faut distinguer deux cas.
Cas \(a\ne1\)
Si :
\[ a\ne1 \]
alors :
\[ a-1\ne0 \]
On peut donc diviser les deux membres par \(a-1\) :
\[ x=\frac{2a-2}{a-1} \]
On factorise le numérateur en mettant \(2\) en évidence :
\[ 2a-2=2(a-1) \]
Donc :
\[ x=\frac{2(a-1)}{a-1} \]
Puisque dans le cas considéré \(a-1\ne0\), on peut simplifier :
\[ x=2 \]
Donc :
\[ S=\{2\} \]
Cas \(a=1\)
Si \(a=1\), on substitue cette valeur dans l'équation initiale :
\[ (1-1)x=2\cdot1-2 \]
c'est-à-dire :
\[ 0\cdot x=0 \]
soit :
\[ 0=0 \]
Cette égalité est vraie pour toute valeur réelle de \(x\).
L'équation est donc indéterminée :
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercice 18 — niveau ★★★★★
Résoudre et discuter l'équation :
\[ (a+1)x=a^2-1 \]
Solution
\[ \begin{cases} a\ne-1 & \Rightarrow S=\{a-1\} \\ a=-1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Résolution
Considérons l'équation :
\[ (a+1)x=a^2-1 \]
Le coefficient de l'inconnue \(x\) est :
\[ a+1 \]
Avant de diviser par \(a+1\), il faut vérifier pour quelle valeur ce coefficient s'annule :
\[ a+1=0 \]
donc :
\[ a=-1 \]
Il faut distinguer deux cas.
Cas \(a\ne-1\)
Si :
\[ a\ne-1 \]
alors :
\[ a+1\ne0 \]
On peut diviser les deux membres par \(a+1\) :
\[ x=\frac{a^2-1}{a+1} \]
On factorise le numérateur comme une différence de deux carrés :
\[ a^2-1=(a-1)(a+1) \]
On obtient :
\[ x=\frac{(a-1)(a+1)}{a+1} \]
Puisque dans le cas considéré \(a+1\ne0\), on peut simplifier le facteur \(a+1\) :
\[ x=a-1 \]
Par conséquent :
\[ S=\{a-1\} \]
Cas \(a=-1\)
Si \(a=-1\), on substitue cette valeur dans l'équation initiale :
\[ (-1+1)x=(-1)^2-1 \]
c'est-à-dire :
\[ 0\cdot x=1-1 \]
soit :
\[ 0\cdot x=0 \]
Cette égalité est vraie pour toute valeur réelle de \(x\).
L'équation est donc indéterminée :
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercice 19 — niveau ★★★★★
Résoudre et discuter l'équation :
\[ ax+a=2x+2 \]
Solution
\[ \begin{cases} a\ne2 & \Rightarrow S=\{-1\} \\ a=2 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Résolution
Considérons l'équation :
\[ ax+a=2x+2 \]
On regroupe les termes en \(x\) au premier membre et les termes constants au second membre.
On soustrait \(2x\) des deux membres :
\[ ax-2x+a=2 \]
On soustrait \(a\) des deux membres :
\[ ax-2x=2-a \]
On factorise \(x\) au premier membre :
\[ x(a-2)=2-a \]
On remarque que :
\[ 2-a=-(a-2) \]
L'équation devient donc :
\[ x(a-2)=-(a-2) \]
Le coefficient de l'inconnue est :
\[ a-2 \]
Il faut donc distinguer le cas \(a-2\ne0\) du cas \(a-2=0\).
Cas \(a\ne2\)
Si :
\[ a\ne2 \]
alors :
\[ a-2\ne0 \]
On peut diviser les deux membres par \(a-2\) :
\[ x=-1 \]
Donc :
\[ S=\{-1\} \]
Cas \(a=2\)
Si \(a=2\), on substitue dans l'équation initiale :
\[ 2x+2=2x+2 \]
Cette égalité est vraie pour toute valeur réelle de \(x\).
L'équation est donc indéterminée :
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Résoudre et discuter l'équation :
\[ (a-1)x=a+3 \]
Solution
\[ \begin{cases} a\ne1 & \Rightarrow S=\left\{\dfrac{a+3}{a-1}\right\} \\ a=1 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Résolution
Considérons l'équation :
\[ (a-1)x=a+3 \]
Le coefficient de l'inconnue \(x\) dépend du paramètre \(a\). C'est pourquoi on ne peut pas résoudre immédiatement l'équation en divisant par \(a-1\) : il faut d'abord vérifier pour quelle valeur ce coefficient s'annule.
On étudie donc la condition :
\[ a-1=0 \]
d'où :
\[ a=1 \]
Il faut donc distinguer deux cas.
Cas \(a\ne1\)
Si :
\[ a\ne1 \]
alors :
\[ a-1\ne0 \]
On peut donc diviser les deux membres par \(a-1\) :
\[ x=\frac{a+3}{a-1} \]
Dans ce cas, l'équation admet une unique solution.
Par conséquent :
\[ S=\left\{\dfrac{a+3}{a-1}\right\} \]
Cas \(a=1\)
Si \(a=1\), on substitue cette valeur dans l'équation initiale :
\[ (1-1)x=1+3 \]
c'est-à-dire :
\[ 0\cdot x=4 \]
On obtient donc :
\[ 0=4 \]
Cette égalité est impossible, car zéro ne peut pas être égal à quatre.
Il n'existe donc aucun nombre réel qui satisfasse l'équation.
L'équation est donc impossible.
Par conséquent :
\[ S=\varnothing \]
Les équations paramétriques du premier degré permettent de comprendre comment le comportement d'une équation évolue en fonction de la valeur du paramètre. Contrairement aux équations numériques classiques, il ne suffit pas d'effectuer les calculs mécaniquement : il est indispensable d'analyser soigneusement les valeurs du paramètre susceptibles d'annuler le coefficient de l'inconnue.
Dans de nombreux exercices, on a vu que :
\[ ax+b=0 \]
se comporte différemment selon la valeur du coefficient \(a\) :
- si \(a\ne0\), l'équation admet une unique solution ;
- si \(a=0\), l'équation peut devenir impossible ou indéterminée.
C'est pourquoi, dans l'étude des équations paramétriques, il est essentiel de :
- identifier le coefficient de l'inconnue ;
- déterminer pour quelle valeur ce coefficient s'annule ;
- discuter séparément tous les cas possibles.
Ce type de raisonnement n'est pas utile uniquement pour les équations du premier degré : il constitue une technique fondamentale que l'on retrouvera dans l'étude des systèmes, des inéquations, des fonctions et des problèmes plus avancés d'algèbre.