Une collection progressive de 20 exercices résolus sur les fractions algébriques, conçue pour apprendre à déterminer correctement les conditions d'existence, simplifier les fractions, effectuer des opérations et éviter les erreurs les plus fréquentes.
Dans chaque exercice, l'objectif central n'est pas seulement d'effectuer les calculs, mais de comprendre pourquoi chaque étape est justifiée. Les fractions algébriques dépendent essentiellement du dénominateur : avant de les transformer, il faut toujours déterminer pour quelles valeurs elles sont définies.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer les conditions d'existence de la fraction :
\[ \frac{x+1}{x-3} \]
Résultat
\[ x\neq 3 \]
Résolution
Une fraction algébrique n'est définie que lorsque le dénominateur est différent de zéro. Nous devons donc imposer :
\[ x-3\neq 0. \]
En résolvant cette condition, on obtient :
\[ x\neq 3. \]
Cela signifie que la fraction est définie pour tous les nombres réels sauf \(3\).
Le domaine est donc :
\[ \mathbb{R}\setminus\{3\}. \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer le domaine de la fraction :
\[ \frac{2x-1}{x^2-9} \]
Résultat
\[ x\neq -3, \qquad x\neq 3 \]
Résolution
Le dénominateur de la fraction doit être différent de zéro :
\[ x^2-9\neq 0. \]
Pour étudier cette condition, on factorise le polynôme :
\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \]
La condition devient donc :
\[ (x-3)(x+3)\neq 0. \]
Un produit est différent de zéro si et seulement si aucun de ses facteurs n'est nul. Nous devons donc imposer :
\[ x-3\neq 0 \qquad \text{et} \qquad x+3\neq 0. \]
On obtient :
\[ x\neq 3, \qquad x\neq -3. \]
Le domaine de la fraction est :
\[ \mathbb{R}\setminus\{-3,3\}. \]
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Simplifier la fraction :
\[ \frac{x^2-4}{x^2+4x+4} \]
Résultat
\[ \frac{x-2}{x+2}, \qquad x\neq -2 \]
Résolution
Pour simplifier une fraction algébrique, on factorise d'abord le numérateur et le dénominateur.
Le numérateur est une différence de deux carrés :
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Le dénominateur est un carré parfait :
\[ x^2+4x+4=(x+2)^2. \]
La fraction devient donc :
\[ \frac{x^2-4}{x^2+4x+4} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2}. \]
Avant de simplifier, on doit imposer la condition d'existence :
\[ (x+2)^2\neq 0. \]
D'où :
\[ x+2\neq 0, \qquad x\neq -2. \]
On peut maintenant simplifier le facteur commun \(x+2\) :
\[ \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2}. \]
Donc :
\[ \frac{x^2-4}{x^2+4x+4} = \frac{x-2}{x+2}, \qquad x\neq -2. \]
La condition \(x\neq -2\) doit être conservée même après la simplification.
Exercice 4 — niveau ★☆☆☆☆
Simplifier :
\[ \frac{3x^2}{6x} \]
Résultat
\[ \frac{x}{2}, \qquad x\neq 0 \]
Résolution
Même lorsqu'une fraction algébrique semble très simple, la première vérification concerne toujours le dénominateur. Dans ce cas, le dénominateur est :
\[ 6x. \]
Une fraction n'est définie que si le dénominateur est différent de zéro, nous devons donc imposer :
\[ 6x\neq 0. \]
Comme \(6\) est différent de zéro, le produit \(6x\) s'annule uniquement quand \(x=0\). Par conséquent :
\[ x\neq 0. \]
Nous pouvons maintenant procéder à la simplification. Écrivons le numérateur en mettant les facteurs en évidence :
\[ 3x^2=3\cdot x\cdot x. \]
Le dénominateur peut aussi s'écrire :
\[ 6x=6\cdot x. \]
Donc :
\[ \frac{3x^2}{6x} = \frac{3\cdot x\cdot x}{6\cdot x}. \]
Le facteur \(x\) apparaît à la fois au numérateur et au dénominateur. On peut le simplifier car on a déjà établi que \(x\neq 0\). Si \(x\) était égal à zéro, le dénominateur initial s'annulerait et la fraction n'aurait pas de sens.
Il reste :
\[ \frac{3x}{6}. \]
On simplifie maintenant le coefficient numérique :
\[ \frac{3x}{6}=\frac{x}{2}. \]
Ainsi :
\[ \frac{3x^2}{6x} = \frac{x}{2}, \qquad x\neq 0. \]
La condition \(x\neq 0\) doit être conservée. En effet, la fraction initiale n'est pas définie pour \(x=0\), alors que l'expression \(\frac{x}{2}\) le serait. Sans la condition d'existence, on perdrait donc une information essentielle.
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Simplifier :
\[ \frac{x^2+5x}{x^2-25} \]
Résultat
\[ \frac{x}{x-5}, \qquad x\neq -5,\ 5 \]
Résolution
Pour simplifier une fraction algébrique, on doit transformer le numérateur et le dénominateur en produits. C'est la seule façon d'identifier d'éventuels facteurs communs.
Considérons le numérateur :
\[ x^2+5x. \]
Les deux termes ont en commun le facteur \(x\). En le mettant en facteur, on obtient :
\[ x^2+5x=x(x+5). \]
Considérons maintenant le dénominateur :
\[ x^2-25. \]
Il s'agit d'une différence de deux carrés, car :
\[ 25=5^2. \]
Donc :
\[ x^2-25=x^2-5^2=(x-5)(x+5). \]
La fraction peut alors se réécrire ainsi :
\[ \frac{x^2+5x}{x^2-25} = \frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)}. \]
Avant de simplifier le facteur commun \(x+5\), on doit déterminer les conditions d'existence de la fraction initiale. Le dénominateur doit être différent de zéro :
\[ x^2-25\neq 0. \]
En utilisant la factorisation que l'on vient de trouver, cette condition devient :
\[ (x-5)(x+5)\neq 0. \]
Un produit est différent de zéro si aucun de ses facteurs n'est nul. Donc :
\[ x-5\neq 0 \qquad \text{et} \qquad x+5\neq 0. \]
D'où :
\[ x\neq 5 \qquad \text{et} \qquad x\neq -5. \]
On peut maintenant simplifier le facteur commun \(x+5\) :
\[ \frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{x}{x-5}. \]
Donc :
\[ \frac{x^2+5x}{x^2-25} = \frac{x}{x-5}, \qquad x\neq -5,\ 5. \]
La valeur \(x=-5\) doit rester exclue même si le facteur \(x+5\) a été éliminé de l'expression finale. La simplification change la forme de la fraction, mais ne modifie pas le domaine de la fraction initiale.
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Simplifier :
\[ \frac{x^2-3x}{x^2-6x+9} \]
Résultat
\[ \frac{x}{x-3}, \qquad x\neq 3 \]
Résolution
Pour simplifier correctement la fraction, on commence par factoriser le numérateur et le dénominateur.
Partons du numérateur :
\[ x^2-3x. \]
Les deux termes contiennent le facteur \(x\). En mettant \(x\) en facteur, on obtient :
\[ x^2-3x=x(x-3). \]
Considérons maintenant le dénominateur :
\[ x^2-6x+9. \]
Ce trinôme est un carré parfait. En effet :
\[ (x-3)^2=x^2-6x+9. \]
Donc :
\[ x^2-6x+9=(x-3)^2. \]
La fraction devient :
\[ \frac{x^2-3x}{x^2-6x+9} = \frac{x(x-3)}{(x-3)^2}. \]
Avant de simplifier, on doit imposer la condition d'existence. Le dénominateur initial ne peut pas être égal à zéro :
\[ x^2-6x+9\neq 0. \]
Comme :
\[ x^2-6x+9=(x-3)^2, \]
la condition devient :
\[ (x-3)^2\neq 0. \]
Un carré est différent de zéro si et seulement si sa base est différente de zéro. Donc :
\[ x-3\neq 0. \]
D'où :
\[ x\neq 3. \]
On peut maintenant simplifier un facteur \(x-3\) :
\[ \frac{x(x-3)}{(x-3)^2} = \frac{x}{x-3}. \]
On obtient donc :
\[ \frac{x^2-3x}{x^2-6x+9} = \frac{x}{x-3}, \qquad x\neq 3. \]
La condition \(x\neq 3\) n'est pas un détail secondaire : pour \(x=3\), le dénominateur de la fraction initiale s'annule, donc cette valeur ne peut pas être admise.
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Réduire au même dénominateur :
\[ \frac{2}{x} \qquad \text{et} \qquad \frac{3}{x+1} \]
Résultat
\[ \frac{2(x+1)}{x(x+1)} \qquad \text{et} \qquad \frac{3x}{x(x+1)}, \qquad x\neq -1,\ 0 \]
Résolution
Réduire deux fractions au même dénominateur consiste à les transformer en fractions équivalentes ayant un dénominateur commun. Cette opération est indispensable, par exemple, lorsqu'on veut additionner ou soustraire des fractions algébriques.
Les dénominateurs des deux fractions sont :
\[ x \qquad \text{et} \qquad x+1. \]
Avant de construire le dénominateur commun, déterminons les conditions d'existence. Nous devons imposer :
\[ x\neq 0 \qquad \text{et} \qquad x+1\neq 0. \]
La deuxième condition équivaut à :
\[ x\neq -1. \]
Les conditions globales sont donc :
\[ x\neq 0, \qquad x\neq -1. \]
Comme les dénominateurs \(x\) et \(x+1\) n'ont pas de facteur commun, leur plus petit commun multiple est leur produit :
\[ x(x+1). \]
Considérons la première fraction :
\[ \frac{2}{x}. \]
Pour obtenir le dénominateur \(x(x+1)\), on doit multiplier numérateur et dénominateur par le facteur manquant \(x+1\) :
\[ \frac{2}{x} = \frac{2(x+1)}{x(x+1)}. \]
Considérons maintenant la deuxième fraction :
\[ \frac{3}{x+1}. \]
Dans ce cas, le facteur manquant est \(x\), donc :
\[ \frac{3}{x+1} = \frac{3x}{x(x+1)}. \]
Les deux fractions réduites au même dénominateur sont donc :
\[ \frac{2(x+1)}{x(x+1)} \qquad \text{et} \qquad \frac{3x}{x(x+1)}, \qquad x\neq -1,\ 0. \]
Les conditions d'existence garantissent que les facteurs utilisés dans les dénominateurs ne sont pas nuls. C'est pourquoi les transformations effectuées produisent des fractions équivalentes dans le domaine commun.
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Calculer :
\[ \frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2} \]
Résultat
\[ \frac{4(x-1)}{(x-2)(x+2)}, \qquad x\neq -2,\ 2 \]
Résolution
Pour additionner deux fractions algébriques de dénominateurs différents, on doit d'abord les réduire au même dénominateur. Avant d'effectuer toute transformation, déterminons les conditions d'existence.
Les dénominateurs sont :
\[ x-2 \qquad \text{et} \qquad x+2. \]
Nous devons donc imposer :
\[ x-2\neq 0 \qquad \text{et} \qquad x+2\neq 0. \]
De ces conditions on obtient :
\[ x\neq 2 \qquad \text{et} \qquad x\neq -2. \]
Le dénominateur commun le plus commode est le produit des deux dénominateurs :
\[ (x-2)(x+2). \]
Dans la première fraction, il manque le facteur \(x+2\). On multiplie donc numérateur et dénominateur par \(x+2\) :
\[ \frac{1}{x-2} = \frac{x+2}{(x-2)(x+2)}. \]
Dans la deuxième fraction, il manque le facteur \(x-2\). On multiplie numérateur et dénominateur par \(x-2\) :
\[ \frac{3}{x+2} = \frac{3(x-2)}{(x-2)(x+2)}. \]
Les deux fractions ont maintenant le même dénominateur, donc on peut additionner les numérateurs et conserver le dénominateur commun :
\[ \frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2} = \frac{x+2+3(x-2)}{(x-2)(x+2)}. \]
Développons le numérateur :
\[ x+2+3(x-2)=x+2+3x-6. \]
Réduisons les termes semblables :
\[ x+2+3x-6=4x-4. \]
Donc :
\[ \frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2} = \frac{4x-4}{(x-2)(x+2)}. \]
On peut mettre \(4\) en facteur au numérateur :
\[ 4x-4=4(x-1). \]
Par conséquent :
\[ \frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2} = \frac{4(x-1)}{(x-2)(x+2)}, \qquad x\neq -2,\ 2. \]
Il n'y a pas d'autre simplification possible, car le facteur \(x-1\) n'apparaît pas au dénominateur. Les conditions \(x\neq -2\) et \(x\neq 2\) doivent en revanche rester indiquées, car elles proviennent des dénominateurs initiaux.
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
Calculer :
\[ \frac{x}{x+1}-\frac{1}{x-1} \]
Résultat
\[ \frac{x^2-2x-1}{(x+1)(x-1)}, \qquad x\neq -1,\ 1 \]
Résolution
L'expression contient une différence entre fractions algébriques. Comme toujours, on commence par les conditions d'existence, c'est-à-dire par les valeurs qui ne peuvent pas être attribuées à la variable.
Les dénominateurs sont :
\[ x+1 \qquad \text{et} \qquad x-1. \]
Nous devons imposer :
\[ x+1\neq 0 \qquad \text{et} \qquad x-1\neq 0. \]
Donc :
\[ x\neq -1 \qquad \text{et} \qquad x\neq 1. \]
Le dénominateur commun est :
\[ (x+1)(x-1). \]
Dans la première fraction, il manque le facteur \(x-1\), donc :
\[ \frac{x}{x+1} = \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)}. \]
Dans la deuxième fraction, il manque le facteur \(x+1\), donc :
\[ \frac{1}{x-1} = \frac{x+1}{(x+1)(x-1)}. \]
On peut maintenant soustraire les numérateurs. Il est important de conserver les parenthèses, car le signe moins se distribue sur tout le numérateur de la deuxième fraction :
\[ \frac{x}{x+1}-\frac{1}{x-1} = \frac{x(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)}. \]
Développons le numérateur :
\[ x(x-1)-(x+1)=x^2-x-x-1. \]
Réduisons les termes semblables :
\[ x^2-x-x-1=x^2-2x-1. \]
On obtient donc :
\[ \frac{x}{x+1}-\frac{1}{x-1} = \frac{x^2-2x-1}{(x+1)(x-1)}. \]
Le numérateur ne contient ni le facteur \(x+1\) ni le facteur \(x-1\), donc il n'est pas possible de simplifier.
Par conséquent :
\[ \frac{x}{x+1}-\frac{1}{x-1} = \frac{x^2-2x-1}{(x+1)(x-1)}, \qquad x\neq -1,\ 1. \]
Exercice 10 — niveau ★★☆☆☆
Calculer :
\[ \frac{x^2-1}{x}\cdot \frac{2x}{x+1} \]
Résultat
\[ 2(x-1), \qquad x\neq -1,\ 0 \]
Résolution
Dans un produit de fractions algébriques, il convient presque toujours de factoriser les polynômes avant de multiplier. Ainsi, on peut identifier immédiatement d'éventuels facteurs communs et simplifier les calculs.
Avant cela, déterminons les conditions d'existence. Les dénominateurs présents sont :
\[ x \qquad \text{et} \qquad x+1. \]
Nous devons donc imposer :
\[ x\neq 0 \qquad \text{et} \qquad x+1\neq 0. \]
La deuxième condition équivaut à :
\[ x\neq -1. \]
Les conditions d'existence sont donc :
\[ x\neq 0, \qquad x\neq -1. \]
Considérons maintenant le produit :
\[ \frac{x^2-1}{x}\cdot \frac{2x}{x+1}. \]
Le numérateur \(x^2-1\) est une différence de deux carrés :
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
En substituant cette factorisation, on obtient :
\[ \frac{x^2-1}{x}\cdot \frac{2x}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x}\cdot \frac{2x}{x+1}. \]
On peut maintenant simplifier le facteur \(x+1\), qui apparaît au numérateur de la première fraction et au dénominateur de la seconde.
Cette simplification est licite car dans le domaine on a imposé \(x+1\neq 0\), c'est-à-dire \(x\neq -1\).
On peut également simplifier le facteur \(x\), qui apparaît au dénominateur de la première fraction et au numérateur de la seconde. Cette opération est aussi licite car on a imposé \(x\neq 0\).
Après les simplifications, il reste :
\[ 2(x-1). \]
Donc :
\[ \frac{x^2-1}{x}\cdot \frac{2x}{x+1} = 2(x-1), \qquad x\neq -1,\ 0. \]
Même si le résultat final est un polynôme, les conditions d'existence ne doivent pas être oubliées : l'expression initiale n'était pas définie pour \(x=0\) ni pour \(x=-1\).
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Calculer :
\[ \frac{x^2-4}{x^2-2x}:\frac{x+2}{x} \]
Résultat
\[ 1, \qquad x\neq -2,\ 0,\ 2 \]
Résolution
L'expression contient une division entre fractions algébriques. Dans ces cas, il faut vérifier non seulement que les dénominateurs sont différents de zéro, mais aussi que la fraction diviseur est différente de zéro.
Le dénominateur de la première fraction est :
\[ x^2-2x. \]
Factorisons-le en mettant \(x\) en facteur :
\[ x^2-2x=x(x-2). \]
Nous devons donc imposer :
\[ x(x-2)\neq 0. \]
D'où :
\[ x\neq 0, \qquad x\neq 2. \]
Le dénominateur de la deuxième fraction est aussi \(x\), on retrouve donc la condition :
\[ x\neq 0. \]
Nous devons maintenant considérer une condition supplémentaire : la fraction \(\frac{x+2}{x}\) est le diviseur. Comme on ne peut pas diviser par zéro, il faut que :
\[ \frac{x+2}{x}\neq 0. \]
Dans le domaine où \(x\neq 0\), une fraction est égale à zéro si et seulement si son numérateur est égal à zéro. Nous devons donc imposer :
\[ x+2\neq 0. \]
D'où :
\[ x\neq -2. \]
Les conditions globales sont :
\[ x\neq -2,\qquad x\neq 0,\qquad x\neq 2. \]
On peut maintenant transformer la division en multiplication par la fraction inverse :
\[ \frac{x^2-4}{x^2-2x}:\frac{x+2}{x} = \frac{x^2-4}{x^2-2x}\cdot \frac{x}{x+2}. \]
Factorisons les polynômes présents :
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
et
\[ x^2-2x=x(x-2). \]
En substituant, on obtient :
\[ \frac{x^2-4}{x^2-2x}\cdot \frac{x}{x+2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}\cdot \frac{x}{x+2}. \]
On peut maintenant simplifier les facteurs communs. Le facteur \(x-2\) apparaît au numérateur et au dénominateur, le facteur \(x+2\) apparaît au numérateur et au dénominateur, et il en est de même pour \(x\).
Toutes ces simplifications sont licites car on a exclu les valeurs qui rendraient nuls ces facteurs :
\[ x\neq 2,\qquad x\neq -2,\qquad x\neq 0. \]
Après les simplifications, il reste :
\[ 1. \]
Donc :
\[ \frac{x^2-4}{x^2-2x}:\frac{x+2}{x} = 1, \qquad x\neq -2,\ 0,\ 2. \]
Le résultat final est une constante, mais l'expression initiale n'était pas définie pour \(x=-2\), \(x=0\) et \(x=2\). C'est pourquoi les conditions d'existence doivent rester indiquées.
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Simplifier :
\[ \frac{x^2+2x+1}{x^2-1} \]
Résultat
\[ \frac{x+1}{x-1}, \qquad x\neq -1,\ 1 \]
Résolution
Pour simplifier une fraction algébrique, on factorise d'abord le numérateur et le dénominateur. C'est seulement après cette opération qu'on peut identifier les facteurs communs à simplifier.
Considérons le numérateur :
\[ x^2+2x+1. \]
Ce trinôme est le carré du binôme \(x+1\), en effet :
\[ (x+1)^2=x^2+2x+1. \]
Donc :
\[ x^2+2x+1=(x+1)^2. \]
Considérons maintenant le dénominateur :
\[ x^2-1. \]
Il s'agit d'une différence de deux carrés :
\[ x^2-1=x^2-1^2. \]
En appliquant la formule de la différence de deux carrés, on obtient :
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
La fraction devient :
\[ \frac{x^2+2x+1}{x^2-1} = \frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)}. \]
Avant de simplifier le facteur commun \(x+1\), on doit déterminer les conditions d'existence de la fraction initiale :
\[ x^2-1\neq 0. \]
En utilisant la factorisation :
\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \]
on obtient :
\[ (x-1)(x+1)\neq 0. \]
Un produit est différent de zéro si et seulement si aucun de ses facteurs n'est nul. Donc :
\[ x-1\neq 0 \qquad \text{et} \qquad x+1\neq 0. \]
D'où :
\[ x\neq 1 \qquad \text{et} \qquad x\neq -1. \]
On peut maintenant simplifier un facteur \(x+1\) :
\[ \frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1}{x-1}. \]
Par conséquent :
\[ \frac{x^2+2x+1}{x^2-1} = \frac{x+1}{x-1}, \qquad x\neq -1,\ 1. \]
La valeur \(x=-1\) doit rester exclue même si le facteur \(x+1\) a été simplifié. En effet, la fraction initiale n'était pas définie pour \(x=-1\).
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Calculer :
\[ \frac{2}{x-1}+\frac{x}{x^2-1} \]
Résultat
\[ \frac{3x+2}{x^2-1}, \qquad x\neq -1,\ 1 \]
Résolution
L'expression contient une somme de fractions algébriques. Pour additionner des fractions de dénominateurs différents, on doit d'abord les ramener au même dénominateur.
Mais déterminons d'abord les conditions d'existence. Les dénominateurs sont :
\[ x-1 \qquad \text{et} \qquad x^2-1. \]
Nous devons imposer :
\[ x-1\neq 0 \qquad \text{et} \qquad x^2-1\neq 0. \]
Factorisons :
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Les conditions deviennent alors :
\[ x-1\neq 0 \qquad \text{et} \qquad (x-1)(x+1)\neq 0. \]
D'où l'on tire :
\[ x\neq 1, \qquad x\neq -1. \]
Le dénominateur commun le plus commode est :
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
La deuxième fraction a déjà ce dénominateur :
\[ \frac{x}{x^2-1}. \]
La première fraction, en revanche, a pour dénominateur \(x-1\). Pour obtenir le dénominateur \((x-1)(x+1)\), on doit multiplier numérateur et dénominateur par \(x+1\) :
\[ \frac{2}{x-1} = \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}. \]
On peut maintenant additionner :
\[ \frac{2}{x-1}+\frac{x}{x^2-1} = \frac{2(x+1)+x}{(x-1)(x+1)}. \]
Développons le numérateur :
\[ 2(x+1)+x=2x+2+x. \]
Réduisons les termes semblables :
\[ 2x+2+x=3x+2. \]
Donc :
\[ \frac{2}{x-1}+\frac{x}{x^2-1} = \frac{3x+2}{(x-1)(x+1)}. \]
Comme \((x-1)(x+1)=x^2-1\), on peut aussi écrire :
\[ \frac{3x+2}{(x-1)(x+1)} = \frac{3x+2}{x^2-1}. \]
Par conséquent :
\[ \frac{2}{x-1}+\frac{x}{x^2-1} = \frac{3x+2}{x^2-1}, \qquad x\neq -1,\ 1. \]
On ne peut pas simplifier davantage, car le numérateur \(3x+2\) ne contient pas de facteur commun avec le dénominateur.
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
Simplifier l'expression :
\[ \left(\frac{x}{x+2}-\frac{2}{x}\right)\cdot \frac{x(x+2)}{x-2} \]
Résultat
\[ \frac{x^2-2x-4}{x-2}, \qquad x\neq -2,\ 0,\ 2 \]
Résolution
L'expression contient une parenthèse avec une différence entre fractions algébriques, suivie d'un produit. Avant d'effectuer les calculs, on doit déterminer les conditions d'existence.
Les dénominateurs présents sont :
\[ x+2,\qquad x,\qquad x-2. \]
Nous devons donc imposer :
\[ x+2\neq 0,\qquad x\neq 0,\qquad x-2\neq 0. \]
D'où :
\[ x\neq -2,\qquad x\neq 0,\qquad x\neq 2. \]
Simplifions d'abord la parenthèse :
\[ \frac{x}{x+2}-\frac{2}{x}. \]
Le dénominateur commun est :
\[ x(x+2). \]
Dans la première fraction, il manque le facteur \(x\), donc :
\[ \frac{x}{x+2} = \frac{x^2}{x(x+2)}. \]
Dans la deuxième fraction, il manque le facteur \(x+2\), donc :
\[ \frac{2}{x} = \frac{2(x+2)}{x(x+2)}. \]
En soustrayant les deux fractions, on obtient :
\[ \frac{x}{x+2}-\frac{2}{x} = \frac{x^2-2(x+2)}{x(x+2)}. \]
Développons le numérateur :
\[ x^2-2(x+2)=x^2-2x-4. \]
La parenthèse est donc égale à :
\[ \frac{x^2-2x-4}{x(x+2)}. \]
L'expression initiale devient :
\[ \frac{x^2-2x-4}{x(x+2)}\cdot \frac{x(x+2)}{x-2}. \]
On peut maintenant simplifier le facteur commun \(x(x+2)\), qui apparaît au dénominateur de la première fraction et au numérateur de la seconde.
Cette simplification est licite car dans les conditions d'existence on a déjà exclu \(x=0\) et \(x=-2\), c'est-à-dire les valeurs qui annuleraient ces facteurs.
Il reste :
\[ \frac{x^2-2x-4}{x-2}. \]
On ne peut pas simplifier davantage avec \(x-2\), car le numérateur \(x^2-2x-4\) n'a pas \(x-2\) comme facteur. En effet, en substituant \(x=2\), on obtient :
\[ 2^2-2\cdot 2-4=4-4-4=-4\neq 0. \]
Donc :
\[ \left(\frac{x}{x+2}-\frac{2}{x}\right)\cdot \frac{x(x+2)}{x-2} = \frac{x^2-2x-4}{x-2}, \qquad x\neq -2,\ 0,\ 2. \]
Exercice 15 — niveau ★★★☆☆
Résoudre l'équation fractionnaire :
\[ \frac{x+1}{x-3}=2 \]
Résultat
\[ S=\{7\} \]
Résolution
Dans une équation fractionnaire, la première étape consiste toujours à déterminer les conditions d'existence. En effet, les valeurs qui annulent les dénominateurs ne peuvent pas être solutions de l'équation.
Dans ce cas, le dénominateur est :
\[ x-3. \]
Nous devons donc imposer :
\[ x-3\neq 0. \]
D'où :
\[ x\neq 3. \]
On peut maintenant résoudre l'équation :
\[ \frac{x+1}{x-3}=2. \]
Multiplions les deux membres par \(x-3\). Cette opération est licite car on travaille dans le domaine de l'équation, où \(x-3\neq 0\).
On obtient :
\[ x+1=2(x-3). \]
Développons le second membre :
\[ x+1=2x-6. \]
Regroupons les termes en \(x\) d'un côté et les termes constants de l'autre :
\[ 1+6=2x-x. \]
Donc :
\[ 7=x. \]
On a trouvé la valeur \(x=7\). On doit maintenant vérifier qu'elle satisfait la condition d'existence.
Comme :
\[ 7\neq 3, \]
la valeur trouvée est acceptable.
Par conséquent :
\[ S=\{7\}. \]
Exercice 16 — niveau ★★★☆☆
Résoudre l'équation fractionnaire :
\[ \frac{x}{x-1}=\frac{2}{x-1} \]
Résultat
\[ S=\{2\} \]
Résolution
Avant de résoudre l'équation, déterminons les conditions d'existence. Le dénominateur est \(x-1\), il doit donc être différent de zéro :
\[ x-1\neq 0. \]
D'où :
\[ x\neq 1. \]
Dans le domaine de l'équation, les deux membres ont le même dénominateur :
\[ x-1. \]
Ce dénominateur étant différent de zéro, on peut égaler les numérateurs :
\[ x=2. \]
On doit maintenant vérifier si la valeur trouvée est compatible avec la condition d'existence.
La condition exige :
\[ x\neq 1. \]
Comme \(2\neq 1\), la valeur \(x=2\) est acceptable.
L'ensemble des solutions est donc :
\[ S=\{2\}. \]
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Résoudre l'équation fractionnaire :
\[ \frac{x+2}{x-1}=\frac{3x}{x-1} \]
Résultat
\[ S=\varnothing \]
Résolution
Avant de résoudre l'équation, on doit déterminer les conditions d'existence. Même si les dénominateurs sont égaux, on ne peut pas ignorer cette étape.
Le dénominateur commun est :
\[ x-1. \]
Nous devons donc imposer :
\[ x-1\neq 0. \]
D'où :
\[ x\neq 1. \]
Dans le domaine de l'équation, le dénominateur \(x-1\) est différent de zéro. On peut donc égaler les numérateurs :
\[ x+2=3x. \]
Regroupons les termes en \(x\) d'un côté :
\[ 2=3x-x. \]
Donc :
\[ 2=2x. \]
En divisant par \(2\), on obtient :
\[ x=1. \]
La valeur trouvée doit cependant être confrontée à la condition d'existence. On avait imposé :
\[ x\neq 1. \]
La valeur \(x=1\) n'est donc pas acceptable, car elle annule le dénominateur initial :
\[ 1-1=0. \]
Par conséquent, la valeur trouvée doit être rejetée.
L'équation n'a pas de solution :
\[ S=\varnothing. \]
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Résoudre l'équation fractionnaire :
\[ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=1 \]
Résultat
\[ S= \left\{ \frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right\} \]
Résolution
Commençons par les conditions d'existence. Les dénominateurs présents dans l'équation sont :
\[ x \qquad \text{et} \qquad x+1. \]
Nous devons donc imposer :
\[ x\neq 0 \qquad \text{et} \qquad x+1\neq 0. \]
La deuxième condition équivaut à :
\[ x\neq -1. \]
Donc :
\[ x\neq 0, \qquad x\neq -1. \]
Résolvons maintenant l'équation :
\[ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=1. \]
Le dénominateur commun est :
\[ x(x+1). \]
Dans le domaine de l'équation, ce produit est différent de zéro. On peut donc multiplier les deux membres par \(x(x+1)\).
En multipliant le premier terme par \(x(x+1)\), on obtient :
\[ \frac{1}{x}\cdot x(x+1)=x+1. \]
En multipliant le deuxième terme par \(x(x+1)\), on obtient :
\[ \frac{1}{x+1}\cdot x(x+1)=x. \]
En multipliant le second membre par \(x(x+1)\), on obtient :
\[ 1\cdot x(x+1)=x(x+1). \]
L'équation devient donc :
\[ x+1+x=x(x+1). \]
Réunissons les termes semblables au premier membre :
\[ 2x+1=x(x+1). \]
Développons le second membre :
\[ 2x+1=x^2+x. \]
Regroupons tous les termes au second membre :
\[ 0=x^2+x-2x-1. \]
En réduisant les termes semblables :
\[ 0=x^2-x-1. \]
On doit donc résoudre :
\[ x^2-x-1=0. \]
Appliquons la formule de résolution de l'équation du second degré :
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \]
Dans ce cas :
\[ a=1,\qquad b=-1,\qquad c=-1. \]
Donc :
\[ x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-1)}}{2\cdot 1}. \]
En simplifiant :
\[ x=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}. \]
Ainsi :
\[ x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}. \]
On doit maintenant vérifier que les valeurs trouvées sont compatibles avec les conditions d'existence. Les conditions étaient :
\[ x\neq 0, \qquad x\neq -1. \]
Les deux valeurs
\[ \frac{1-\sqrt{5}}{2} \qquad \text{et} \qquad \frac{1+\sqrt{5}}{2} \]
ne sont ni \(0\) ni \(-1\), elles sont donc toutes les deux acceptables.
Par conséquent :
\[ S= \left\{ \frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right\}. \]
Exercice 19 — niveau ★★★★☆
Simplifier :
\[ \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}\cdot \frac{x+2}{x-3} \]
Résultat
\[ 1, \qquad x\neq -2,\ 2,\ 3 \]
Résolution
L'expression contient un produit de fractions algébriques. Avant d'effectuer ce produit, il est préférable de factoriser tous les polynômes. Cependant, les conditions d'existence doivent être déterminées à partir des dénominateurs de l'expression initiale.
Les dénominateurs sont :
\[ x^2-4 \qquad \text{et} \qquad x-3. \]
Nous devons donc imposer :
\[ x^2-4\neq 0 \qquad \text{et} \qquad x-3\neq 0. \]
Factorisons le premier dénominateur :
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
La condition \(x^2-4\neq 0\) devient donc :
\[ (x-2)(x+2)\neq 0. \]
Un produit est différent de zéro si aucun de ses facteurs n'est nul. Donc :
\[ x-2\neq 0 \qquad \text{et} \qquad x+2\neq 0. \]
D'où :
\[ x\neq 2 \qquad \text{et} \qquad x\neq -2. \]
De la deuxième condition on obtient en revanche :
\[ x-3\neq 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x\neq 3. \]
Les conditions d'existence globales sont donc :
\[ x\neq -2,\qquad x\neq 2,\qquad x\neq 3. \]
Passons maintenant à la simplification. Factorisons le numérateur de la première fraction :
\[ x^2-5x+6. \]
Cherchons deux nombres dont le produit est \(6\) et la somme est \(-5\). Ces nombres sont \(-2\) et \(-3\). Donc :
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
De plus, comme on l'a déjà vu :
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
L'expression devient :
\[ \frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)}\cdot \frac{x+2}{x-3}. \]
On peut maintenant simplifier les facteurs communs.
Le facteur \(x-2\) apparaît au numérateur et au dénominateur de la première fraction. On peut le simplifier car on a exclu \(x=2\).
Le facteur \(x+2\) apparaît au dénominateur de la première fraction et au numérateur de la seconde. On peut le simplifier car on a exclu \(x=-2\).
Le facteur \(x-3\) apparaît au numérateur de la première fraction et au dénominateur de la seconde. On peut le simplifier car on a exclu \(x=3\).
Après ces simplifications, il ne reste aucun facteur variable :
\[ 1. \]
Par conséquent :
\[ \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}\cdot \frac{x+2}{x-3} = 1, \qquad x\neq -2,\ 2,\ 3. \]
Même si le résultat final est la constante \(1\), on ne peut pas oublier les conditions d'existence. L'expression initiale, en effet, n'est pas définie pour \(x=-2\), \(x=2\) et \(x=3\).
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Simplifier l'expression :
\[ \left(\frac{x+1}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}\right):\frac{x}{x+1} \]
Résultat
\[ 0, \qquad x\neq -1,\ 0,\ 1 \]
Résolution
Cette expression contient d'abord une différence entre fractions algébriques, puis une division par une autre fraction. C'est pourquoi les conditions d'existence doivent être déterminées avec une attention particulière.
Les dénominateurs présents sont :
\[ x^2-1,\qquad x-1,\qquad x+1. \]
Nous devons donc imposer :
\[ x^2-1\neq 0,\qquad x-1\neq 0,\qquad x+1\neq 0. \]
Factorisons :
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Les conditions sur les dénominateurs conduisent donc à :
\[ x\neq 1 \qquad \text{et} \qquad x\neq -1. \]
Il existe cependant une condition supplémentaire. La fraction
\[ \frac{x}{x+1} \]
est le diviseur de l'expression. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse, mais cela n'est possible que si la fraction diviseur est différente de zéro.
Nous devons donc imposer :
\[ \frac{x}{x+1}\neq 0. \]
Dans le domaine où \(x+1\neq 0\), une fraction est égale à zéro si et seulement si son numérateur est égal à zéro. Nous devons donc exclure aussi :
\[ x=0. \]
Les conditions globales sont :
\[ x\neq -1,\qquad x\neq 0,\qquad x\neq 1. \]
Travaillons maintenant sur la parenthèse :
\[ \frac{x+1}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}. \]
Factorisons le dénominateur de la première fraction :
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Donc :
\[ \frac{x+1}{x^2-1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)}. \]
Dans le domaine de l'expression, on sait que \(x+1\neq 0\). On peut donc simplifier le facteur commun \(x+1\) :
\[ \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x-1}. \]
La parenthèse devient :
\[ \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-1}. \]
La différence entre deux fractions égales est zéro :
\[ \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-1}=0. \]
L'expression initiale se réduit donc à :
\[ 0:\frac{x}{x+1}. \]
Par les conditions d'existence, on a imposé que :
\[ \frac{x}{x+1}\neq 0. \]
La division est donc licite et le résultat est :
\[ 0. \]
Par conséquent :
\[ \left(\frac{x+1}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}\right):\frac{x}{x+1} = 0, \qquad x\neq -1,\ 0,\ 1. \]
Le résultat final est zéro, mais l'expression initiale n'est pas définie pour \(x=-1\), \(x=0\) et \(x=1\). Ces valeurs doivent donc rester exclues.