La factorisation des polynômes est l'une des techniques fondamentales de l'algèbre. Factoriser un polynôme, c'est le réécrire comme produit de polynômes plus simples, en inversant le processus de développement de produits.
Il ne s'agit pas d'un simple recueil de règles opératoires, mais d'un outil puissant permettant de comprendre la structure interne des polynômes, de déterminer les racines d'une fonction, de simplifier des expressions algébriques, de résoudre des équations et d'étudier le comportement d'une courbe représentative.
Sommaire
- Notion de factorisation
- Facteurs et divisibilité des polynômes
- Mise en facteur commun
- Factorisation par regroupement
- Différence de deux carrés
- Trinômes carrés parfaits
- Factorisation des trinômes du second degré
- Somme et différence de cubes
- Factorisation par la règle de Ruffini
- Factorisation complète
- Polynômes irréductibles
- Interprétation algébrique et graphique
Notion de factorisation
Factoriser un polynôme, c'est l'écrire sous la forme d'un produit de facteurs polynomiaux.
Par exemple :
\[ x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \]
Ces deux formes représentent le même polynôme, mais mettent en évidence des propriétés différentes. La forme développée affiche directement les coefficients ; la forme factorisée rend immédiatement visibles les racines.
En effet :
\[ (x + 2)(x + 3) = 0 \]
si et seulement si :
\[ x = -2 \qquad \text{ou} \qquad x = -3 \]
La factorisation transforme une somme apparemment complexe en un produit de facteurs simples et maniables.
Facteurs et divisibilité des polynômes
Étant donné un polynôme \(P(x)\), on dit que \(A(x)\) est un facteur de \(P(x)\) s'il existe un polynôme \(B(x)\) tel que :
\[ P(x) = A(x) \cdot B(x) \]
Dans ce cas, \(A(x)\) divise \(P(x)\).
Par exemple :
\[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \]
La factorisation des polynômes est analogue à la décomposition en facteurs premiers des entiers. De même que :
\[ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \]
un polynôme peut se décomposer en facteurs plus simples, lorsque cela est possible dans le corps numérique considéré.
Mise en facteur commun
La mise en facteur commun découle directement de la propriété distributive :
\[ a(b + c) = ab + ac \]
En lisant cette identité de droite à gauche, on reconnaît un facteur commun entre les termes du polynôme.
Par exemple :
\[ 6x^3 + 9x^2 = 3x^2(2x + 3) \]
Considérons également :
\[ \begin{align} 12x^4y^2 - 18x^3y + 6x^2y^3 = 6x^2y(2x^2y - 3x + y^2) \end{align} \]
Le facteur commun s'obtient en prenant le plus grand commun diviseur des coefficients et les variables communes avec leur plus petit exposant.
Factorisation par regroupement
Lorsqu'il n'existe pas de facteur commun à tous les termes, il est possible d'en faire apparaître un en regroupant convenablement les termes.
Considérons :
\[ \begin{align} ax + ay + bx + by &= (ax + ay) + (bx + by) \\ &= a(x + y) + b(x + y) \\ &= (a + b)(x + y) \end{align} \]
Un exemple moins immédiat :
\[ \begin{align} x^3 - x^2 + x - 1 &= (x^3 - x^2) + (x - 1) \\ &= x^2(x - 1) + 1\cdot(x - 1) \\ &= (x^2 + 1)(x - 1) \end{align} \]
Tous les regroupements ne conduisent pas nécessairement à une factorisation utile. L'objectif de la factorisation par regroupement est de faire apparaître un facteur commun permettant de réécrire le polynôme sous forme de produit.
Différence de deux carrés
L'une des identités fondamentales de l'algèbre est :
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
Par exemple :
\[ x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) \]
\[ 9x^2 - 25y^2 = (3x - 5y)(3x + 5y) \]
La somme de deux carrés non nuls, en revanche, n'est pas factorisable en facteurs de degré un à coefficients réels. Ainsi, \(x^2 + 9\) n'admet aucune factorisation réelle en facteurs linéaires.
Trinômes carrés parfaits
Les identités :
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
permettent de reconnaître les trinômes carrés parfaits. Un trinôme est un carré parfait lorsque le premier et le dernier terme sont des carrés parfaits et que le terme central est égal, au signe près, au double du produit de leurs racines carrées.
Par exemple :
\[ x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \]
car \(x^2 = x^2\), \(9 = 3^2\) et \(6x = 2 \cdot x \cdot 3\).
De même :
\[ 4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2 \]
puisque \(4x^2 = (2x)^2\), \(9 = 3^2\) et \(-12x = -2 \cdot 2x \cdot 3\).
Factorisation des trinômes du second degré
Pour un trinôme unitaire \(x^2 + sx + p\), s'il existe deux réels \(m\) et \(n\) tels que \(m + n = s\) et \(mn = p\), alors :
\[ x^2 + sx + p = (x + m)(x + n) \]
Par exemple :
\[ x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) \]
car \(3 + 4 = 7\) et \(3 \cdot 4 = 12\).
Lorsque le coefficient dominant n'est pas \(1\), on cherche une factorisation de la forme \((ax + b)(cx + d)\). Par exemple :
\[ 2x^2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3) \]
Méthode générale : pour \(ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\), on calcule le discriminant :
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]
Si \(\Delta \geq 0\), le trinôme admet deux racines réelles :
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
et se factorise en \(a(x - x_1)(x - x_2)\). Si \(\Delta < 0\), il est irréductible sur \(\mathbb{R}\).
Exemple : pour \(3x^2 - 5x - 2\), on a \(\Delta = 25 + 24 = 49\), d'où :
\[ \begin{align} x_1 = -\frac{1}{3}, \qquad x_2 = 2 \end{align} \]
et donc :
\[ 3x^2 - 5x - 2 = (3x + 1)(x - 2) \]
Somme et différence de cubes
Les identités fondamentales sont :
\[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]
\[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \]
Par exemple :
\[ \begin{align} x^3 + 8 &= (x + 2)(x^2 - 2x + 4) \\[6pt] 27x^3 - 1 &= (3x - 1)(9x^2 + 3x + 1) \end{align} \]
Contrairement à la somme de deux carrés, la somme de deux cubes admet toujours une factorisation dans les polynômes à coefficients réels.
Factorisation par la règle de Ruffini
La méthode repose sur le théorème du reste : \(P(r)\) est le reste de la division euclidienne de \(P(x)\) par \((x - r)\). Par conséquent, \((x - r)\) est un facteur de \(P(x)\) si et seulement si \(P(r) = 0\).
Pour les polynômes à coefficients entiers, le théorème des racines rationnelles restreint la recherche : toute racine rationnelle \(\frac{p}{q}\) sous forme irréductible a \(p\) diviseur du terme constant et \(q\) diviseur du coefficient dominant. Dans le cas unitaire, les seuls candidats sont les diviseurs entiers du terme constant.
Le schéma de Ruffini (division synthétique) permet de vérifier rapidement ces candidats et de réduire le degré du polynôme.
Exemple :
\[ P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \]
En vérifiant \(r = 1\), on obtient \(P(1) = 0\). En appliquant le schéma de Ruffini :
\[ \begin{align} \begin{array}{c|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \end{align} \]
\[ \begin{align} P(x) &= (x - 1)(x^2 - 5x + 6) \\ &= (x - 1)(x - 2)(x - 3) \end{align} \]
Factorisation complète
Factoriser complètement un polynôme signifie poursuivre la décomposition jusqu'à n'obtenir que des facteurs irréductibles dans le corps numérique considéré.
Par exemple :
\[ \begin{align} x^4 - 1 &= (x^2 - 1)(x^2 + 1) \\ &= (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) \end{align} \]
Sur \(\mathbb{R}\), le facteur \(x^2 + 1\) est irréductible ; sur \(\mathbb{C}\), il se factorise encore en \((x - i)(x + i)\).
Polynômes irréductibles
Un polynôme non constant est dit irréductible sur un corps s'il ne peut pas s'écrire comme produit de polynômes non constants de degré inférieur.
L'irréductibilité dépend du corps : \(x^2 + 1\) est irréductible sur \(\mathbb{R}\), car il n'admet aucune racine réelle, mais se factorise sur \(\mathbb{C}\) en \((x - i)(x + i)\).
Interprétation algébrique et graphique
Si :
\[ \begin{align} P(x) = a\,(x - r_1)^{m_1}(x - r_2)^{m_2} \cdots (x - r_k)^{m_k} \end{align} \]
les valeurs \(r_j\) sont les racines du polynôme et correspondent aux points où la courbe représentative coupe l'axe des abscisses.
La multiplicité \(m_j\) détermine le comportement local de la courbe :
- si \(m_j\) est pair, le polynôme ne change pas de signe en \(r_j\) et la courbe est tangente à l'axe des abscisses en ce point ;
- si \(m_j\) est impair, le polynôme change de signe en \(r_j\) et la courbe traverse l'axe des abscisses.
Exemple : \(P(x) = (x - 2)^2(x + 1)\) est tangent à l'axe en \(x = 2\) et le traverse en \(x = -1\).
En conclusion, la factorisation est un outil fondamental qui relie étroitement l'algèbre, la théorie des équations et la géométrie analytique.