L'étude du signe d'une fonction consiste à déterminer pour quelles valeurs de la variable la fonction prend des valeurs positives, négatives ou nulles.
Autrement dit, étant donnée une fonction \(f\), on cherche à établir où l'on a :
\[ f(x)>0,\qquad f(x)=0,\qquad f(x)<0. \]
Cette démarche est fondamentale dans l'étude des équations, des inéquations, des fonctions polynomiales, des fractions rationnelles et, plus généralement, dans l'étude du graphe d'une fonction.
Sommaire
- Que signifie étudier le signe d'une fonction
- Ensemble de positivité, ensemble de négativité et zéros
- Méthode générale pour l'étude du signe
- Étude du signe d'un produit
- Étude du signe d'une fraction rationnelle
- Zéros de multiplicité paire et impaire
- Facteurs toujours positifs ou toujours négatifs
- Exemple résolu complet
- Erreurs courantes
Que signifie étudier le signe d'une fonction
Étudier le signe d'une fonction, c'est établir sur quels intervalles de son domaine de définition la fonction est positive, négative ou nulle.
Du point de vue géométrique :
- \(f(x)>0\) signifie que le graphe de la fonction se trouve au-dessus de l'axe des abscisses ;
- \(f(x)<0\) signifie que le graphe de la fonction se trouve en dessous de l'axe des abscisses ;
- \(f(x)=0\) signifie que le graphe coupe ou touche l'axe des abscisses.
Les zéros de la fonction sont donc les points où le graphe rencontre l'axe des abscisses.
Ensemble de positivité, ensemble de négativité et zéros
Soit \(f\) une fonction définie sur un domaine \(D_f\).
On appelle ensemble de positivité l'ensemble des valeurs \(x\in D_f\) pour lesquelles :
\[ f(x)>0. \]
On appelle ensemble de négativité l'ensemble des valeurs \(x\in D_f\) pour lesquelles :
\[ f(x)<0. \]
Les zéros de la fonction sont les valeurs du domaine pour lesquelles :
\[ f(x)=0. \]
Il est important de souligner que les zéros doivent appartenir au domaine de définition de la fonction. Une valeur qui annule un dénominateur n'est pas un zéro de la fonction : c'est une valeur exclue du domaine.
Méthode générale pour l'étude du signe
La méthode générale pour étudier le signe d'une fonction algébrique repose sur quelques étapes essentielles.
1. Déterminer le domaine de définition
La première étape consiste à déterminer le domaine \(D_f\), c'est-à-dire l'ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie.
Par exemple, si :
\[ f(x)=\frac{x-1}{x+3}, \]
le dénominateur ne peut pas s'annuler. On impose donc :
\[ x+3\neq 0, \]
ce qui donne :
\[ x\neq -3. \]
Le domaine de définition est :
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3\}. \]
2. Factoriser la fonction
Lorsque c'est possible, on décompose la fonction en facteurs simples.
Par exemple :
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
La factorisation permet d'étudier séparément le signe de chaque facteur.
3. Trouver les zéros et les valeurs interdites
Les zéros de la fonction s'obtiennent en annulant le numérateur ou, dans le cas d'un produit, en annulant au moins l'un des facteurs.
Les valeurs interdites sont quant à elles les valeurs qui annulent le dénominateur ou qui rendent la fonction non définie.
4. Ordonner les valeurs critiques sur la droite réelle
Les zéros et les valeurs interdites découpent la droite réelle en intervalles. Sur chacun de ces intervalles, le signe de la fonction reste constant, à condition que la fonction soit composée de facteurs continus et ne s'annule pas à l'intérieur de l'intervalle.
5. Construire le tableau de signes
On construit ensuite un tableau de signes en étudiant le signe de chaque facteur sur chaque intervalle, puis en combinant les signes obtenus.
Étude du signe d'un produit
Considérons une fonction écrite comme produit de facteurs :
\[ f(x)=A(x)\cdot B(x). \]
Le signe de \(f(x)\) dépend du signe des deux facteurs.
On rappelle les règles fondamentales :
\[ (+)\cdot(+)=+,\qquad (-)\cdot(-)=+, \]
tandis que :
\[ (+)\cdot(-)=-,\qquad (-)\cdot(+)=-. \]
Ainsi, un produit est positif lorsqu'il contient un nombre pair de facteurs négatifs, et négatif lorsqu'il en contient un nombre impair.
Exemple
Étudions le signe de :
\[ f(x)=(x+1)(x-3). \]
Les zéros sont :
\[ x+1=0 \Rightarrow x=-1, \qquad x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
Les points \(-1\) et \(3\) divisent la droite réelle en trois intervalles :
\[ (-\infty,-1),\qquad (-1,3),\qquad (3,+\infty). \]
On étudie le signe de chaque facteur :
\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-1) & (-1,3) & (3,+\infty)\\ \hline x+1 & - & + & +\\ x-3 & - & - & +\\ \hline f(x) & + & - & + \end{array} \]
On conclut :
\[ f(x)>0 \text{ pour } x<-1 \text{ ou } x>3, \]
\[ f(x)=0 \text{ pour } x=-1 \text{ et } x=3, \]
\[ f(x)<0 \text{ pour } -1<x<3. \]
Étude du signe d'une fraction rationnelle
Une fraction rationnelle est de la forme :
\[ f(x)=\frac{A(x)}{B(x)}. \]
Dans ce cas, il convient de distinguer soigneusement :
- les zéros du numérateur, qui peuvent être des zéros de la fonction ;
- les zéros du dénominateur, qui sont des valeurs exclues du domaine de définition.
Une fraction est positive lorsque le numérateur et le dénominateur sont de même signe :
\[ \frac{+}{+}=+,\qquad \frac{-}{-}=+. \]
Elle est négative lorsqu'ils sont de signes contraires :
\[ \frac{+}{-}=-,\qquad \frac{-}{+}=-. \]
Exemple
Étudions le signe de :
\[ f(x)=\frac{x-1}{x+3}. \]
Le dénominateur s'annule pour :
\[ x+3=0 \Rightarrow x=-3. \]
On impose donc :
\[ x\neq -3. \]
Le numérateur s'annule pour :
\[ x-1=0 \Rightarrow x=1. \]
On étudie le signe sur les intervalles déterminés par \(-3\) et \(1\) :
\[ (-\infty,-3),\qquad (-3,1),\qquad (1,+\infty). \]
Le tableau de signes est :
\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-3) & (-3,1) & (1,+\infty)\\ \hline x-1 & - & - & +\\ x+3 & - & + & +\\ \hline f(x) & + & - & + \end{array} \]
On conclut :
\[ f(x)>0 \text{ pour } x<-3 \text{ ou } x>1, \]
\[ f(x)=0 \text{ pour } x=1, \]
\[ f(x)<0 \text{ pour } -3<x<1. \]
Le point \(x=-3\) n'est pas un zéro : c'est une valeur exclue du domaine de définition.
Zéros de multiplicité paire et impaire
Un point essentiel dans l'étude du signe concerne la multiplicité des zéros.
Considérons un facteur de la forme :
\[ (x-a)^m. \]
L'entier \(m\) s'appelle la multiplicité du zéro \(x=a\).
Multiplicité impaire
Si \(m\) est impair, le facteur change de signe en traversant \(x=a\).
Par exemple :
\[ (x-2)^3 \]
est négatif pour \(x<2\) et positif pour \(x>2\).
En effet :
\[ (x-2)^3<0 \text{ pour } x<2, \]
tandis que :
\[ (x-2)^3>0 \text{ pour } x>2. \]
Multiplicité paire
Si \(m\) est pair, le facteur ne change pas de signe en traversant \(x=a\).
Par exemple :
\[ (x-2)^2 \]
est toujours positif ou nul :
\[ (x-2)^2\ge 0 \]
pour tout \(x\in\mathbb{R}\), et s'annule uniquement en \(x=2\).
En particulier :
\[ (x-2)^2>0 \text{ pour } x\neq 2. \]
C'est pourquoi, dans un tableau de signes, un zéro de multiplicité paire ne produit pas de changement de signe.
Facteurs toujours positifs ou toujours négatifs
Certains facteurs ne changent jamais de signe.
Par exemple :
\[ x^2+1>0 \]
pour tout \(x\in\mathbb{R}\), car \(x^2\ge 0\) et donc \(x^2+1\) est toujours strictement positif.
De même, un carré tel que :
\[ (x-3)^2 \]
est toujours positif ou nul :
\[ (x-3)^2\ge 0. \]
Il s'annule uniquement en \(x=3\), mais ne change pas de signe en ce point.
Ces remarques sont très utiles car elles permettent de simplifier l'étude du signe.
Exemple résolu complet
Étudions le signe de la fonction :
\[ f(x)=\frac{(x+1)^2(x-2)}{x^2(x+3)}. \]
Domaine de définition
Le dénominateur est :
\[ x^2(x+3). \]
Il s'annule pour :
\[ x^2=0 \Rightarrow x=0, \]
ou pour :
\[ x+3=0 \Rightarrow x=-3. \]
Le domaine de définition est donc :
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3,0\}. \]
Zéros de la fonction
Les zéros s'obtiennent en annulant le numérateur :
\[ (x+1)^2(x-2)=0. \]
On obtient :
\[ x=-1,\qquad x=2. \]
La valeur \(x=-1\) est un zéro double, car le facteur \((x+1)^2\) apparaît au carré.
Étude du signe des facteurs
Les facteurs à considérer sont :
\[ (x+1)^2,\qquad x-2,\qquad x^2,\qquad x+3. \]
Les facteurs \((x+1)^2\) et \(x^2\) sont toujours positifs ou nuls et ne changent pas de signe.
Le signe de la fonction dépend donc uniquement des facteurs \(x-2\) et \(x+3\), en tenant compte des zéros et des valeurs interdites.
Les valeurs critiques sont :
\[ -3,\qquad -1,\qquad 0,\qquad 2. \]
Le tableau de signes est :
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-3) & (-3,-1) & (-1,0) & (0,2) & (2,+\infty)\\ \hline (x+1)^2 & + & + & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & +\\ x^2 & + & + & + & + & +\\ x+3 & - & + & + & + & +\\ \hline f(x) & + & - & - & - & + \end{array} \]
Conclusion
La fonction est positive pour :
\[ x<-3 \text{ ou } x>2. \]
La fonction est négative pour :
\[ -3<x<0 \text{ ou } 0<x<2. \]
La fonction s'annule pour :
\[ x=-1,\qquad x=2. \]
Les points :
\[ x=-3,\qquad x=0 \]
sont exclus du domaine de définition.
Erreurs courantes dans l'étude du signe
Oublier le domaine de définition
Pour les fractions rationnelles, déterminer le domaine de définition est la toute première étape. Une valeur qui annule le dénominateur doit être exclue, même si un facteur est simplifié par la suite.
Confondre zéros et valeurs interdites
Un zéro de la fonction est une valeur pour laquelle \(f(x)=0\). Une valeur interdite, en revanche, n'appartient pas au domaine de définition de la fonction.
Par exemple, pour la fonction :
\[ f(x)=\frac{x-1}{x+3}, \]
\(x=1\) est un zéro, tandis que \(x=-3\) est une valeur exclue du domaine de définition.
Négliger la multiplicité des zéros
Un zéro de multiplicité impaire entraîne un changement de signe. Un zéro de multiplicité paire, en revanche, ne produit aucun changement de signe.
Simplifier sans conserver les valeurs interdites
Considérons :
\[ f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x+3)(x-2)}. \]
Pour \(x\neq 2\), on peut simplifier le facteur \(x-2\) :
\[ f(x)=\frac{x-1}{x+3}. \]
Cependant, la valeur \(x=2\) demeure exclue du domaine de définition de la fonction initiale.
C'est un point crucial : une simplification peut modifier l'expression, mais elle n'efface pas les conditions d'existence de la fonction de départ.
En conclusion, l'étude du signe est une procédure essentielle pour comprendre le comportement d'une fonction. La démarche correcte consiste à déterminer le domaine de définition, à factoriser l'expression, à identifier les zéros et les valeurs interdites, à étudier le signe de chaque facteur, puis à synthétiser l'ensemble des informations dans un tableau de signes.