Les inéquations à paramètre sont des inéquations dans lesquelles, en plus de l'inconnue, figure une lettre représentant un nombre réel fixé mais non précisé. La difficulté principale ne consiste pas uniquement à résoudre l'inéquation par rapport à l'inconnue, mais à comprendre comment l'ensemble des solutions évolue selon les valeurs du paramètre.
C'est pourquoi une inéquation à paramètre ne produit pas, en général, une unique réponse : elle exige une discussion par cas, dans laquelle on distingue les valeurs du paramètre qui modifient le signe, le degré de l'inéquation ou le nombre de solutions.
Sommaire
- Inconnue et paramètre
- Pourquoi la discussion par cas est-elle nécessaire
- Inéquations du premier degré à paramètre
- Inéquations du second degré à paramètre
- Discriminant et nombre de racines réelles
- Concavité et signe du trinôme
- Cas dégénérés
- Exemple guidé du premier degré
- Exemple complet du second degré
- Tableau récapitulatif
- Erreurs les plus fréquentes
- Procédure générale
Inconnue et paramètre
Dans une inéquation à paramètre, il convient de distinguer avec précision le rôle de chacune des lettres présentes.
L'inconnue est la variable par rapport à laquelle on résout l'inéquation. Le paramètre, quant à lui, est traité comme un nombre réel fixé, mais non précisé.
Par exemple :
\[ (k-1)x+2>0 \]
est une inéquation en l'inconnue \(x\), tandis que \(k\) désigne le paramètre.
Au cours de la résolution, \(k\) se comporte comme une constante ; toutefois, le résultat final doit tenir compte de toutes les valeurs réelles possibles de \(k\).
Cela signifie que l'ensemble des solutions ne s'exprimera pas uniquement en fonction de \(x\), mais sera décrit en distinguant les différents cas selon les valeurs du paramètre.
Pourquoi la discussion par cas est-elle nécessaire
La discussion par cas découle du fait que certaines opérations algébriques dépendent du signe d'expressions contenant le paramètre.
Considérons l'inéquation :
\[ (k-1)x>2 \]
Pour isoler \(x\), il faudrait diviser les deux membres par \(k-1\). Or, le signe de \(k-1\) n'est pas connu a priori.
Si :
\[ k-1>0 \]
c'est-à-dire si \(k>1\), on peut diviser sans changer le sens de l'inégalité :
\[ x>\frac{2}{k-1} \]
En revanche, si :
\[ k-1<0 \]
c'est-à-dire si \(k<1\), en divisant par une quantité négative, on doit inverser le sens de l'inégalité :
\[ x<\frac{2}{k-1} \]
Reste enfin le cas :
\[ k-1=0 \]
soit :
\[ k=1 \]
Dans ce cas, l'inéquation devient :
\[ 0\cdot x>2 \]
c'est-à-dire :
\[ 0>2 \]
ce qui est une proposition fausse. Par conséquent, pour \(k=1\), l'inéquation n'admet aucune solution.
L'ensemble des solutions est donc :
\[ \begin{cases} x>\dfrac{2}{k-1}, & k>1,\\[6pt] x<\dfrac{2}{k-1}, & k<1,\\[6pt] S=\emptyset, & k=1. \end{cases} \]
Ce simple exemple illustre le principe fondamental : lorsqu'on opère avec des quantités dépendant du paramètre, il est indispensable de savoir si elles sont positives, négatives ou nulles.
Inéquations du premier degré à paramètre
Une inéquation du premier degré à paramètre est généralement de la forme :
\[ a(k)x+b(k)>0 \]
où \(a(k)\) et \(b(k)\) sont des expressions dépendant du paramètre.
L'élément crucial est le coefficient de l'inconnue :
\[ a(k) \]
Si \(a(k)>0\), on peut diviser par \(a(k)\) sans changer le sens de l'inégalité. Si \(a(k)<0\), le sens doit être inversé. Si \(a(k)=0\), l'inéquation perd son inconnue et se réduit à une inégalité numérique.
De manière générale :
\[ a(k)x+b(k)>0 \]
est équivalente, lorsque \(a(k)\neq0\), à :
\[ a(k)x>-b(k) \]
On en déduit :
\[ \begin{cases} x>-\dfrac{b(k)}{a(k)}, & a(k)>0,\\[8pt] x<-\dfrac{b(k)}{a(k)}, & a(k)<0. \end{cases} \]
Le cas \(a(k)=0\) doit en revanche être traité séparément, car l'inéquation se réduit à :
\[ b(k)>0 \]
Si cette proposition est vraie, tout réel \(x\) est solution ; si elle est fausse, l'inéquation n'admet aucune solution.
Inéquations du second degré à paramètre
Une inéquation du second degré à paramètre est de la forme :
\[ a(k)x^2+b(k)x+c(k)>0 \]
ou, plus généralement :
\[ a(k)x^2+b(k)x+c(k)\gtrless 0 \]
Dans ce cas, la discussion est plus élaborée, car le paramètre peut influer sur trois aspects distincts :
- le degré de l'inéquation ;
- le nombre de racines réelles ;
- la concavité de la parabole.
Avant d'appliquer la théorie des inéquations du second degré, il convient donc de vérifier si :
\[ a(k)=0 \]
car, dans ce cas, le terme du second degré disparaît et l'inéquation n'est plus du second degré.
Seulement lorsque :
\[ a(k)\neq0 \]
il est pertinent d'étudier le discriminant du trinôme.
Discriminant et nombre de racines réelles
Lorsque l'inéquation est effectivement du second degré, le discriminant vaut :
\[ \Delta(k)=b(k)^2-4a(k)c(k) \]
Le discriminant détermine le nombre de racines réelles du trinôme.
Cas \(\Delta(k)<0\)
Le trinôme n'a pas de racines réelles. La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.
Dans ce cas, le trinôme conserve un signe constant sur toute la droite réelle, qui coïncide avec le signe du coefficient du terme du second degré.
Ainsi :
- si \(a(k)>0\), le trinôme est toujours positif ;
- si \(a(k)<0\), le trinôme est toujours négatif.
Cas \(\Delta(k)=0\)
Le trinôme admet une racine réelle double :
\[ x_0=-\frac{b(k)}{2a(k)} \]
La parabole est tangente à l'axe des abscisses sans le couper.
Dans ce cas, le trinôme a le même signe que \(a(k)\) pour tout \(x\neq x_0\) et s'annule en \(x=x_0\).
C'est pourquoi, dans les inéquations strictes, la racine double est exclue ; dans les inéquations larges, elle est incluse si elle est compatible avec le sens de l'inégalité.
Cas \(\Delta(k)>0\)
Le trinôme admet deux racines réelles distinctes :
\[ x_1=\frac{-b(k)-\sqrt{\Delta(k)}}{2a(k)}, \qquad x_2=\frac{-b(k)+\sqrt{\Delta(k)}}{2a(k)} \]
Une fois classées de sorte que :
\[ x_1<x_2 \]
le signe du trinôme s'étudie en examinant la concavité de la parabole.
Concavité et signe du trinôme
Le signe de \(a(k)\) détermine la concavité de la parabole.
Si :
\[ a(k)>0 \]
la parabole est tournée vers le haut. Lorsqu'il existe deux racines réelles distinctes, le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles :
\[ P(x)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty) \]
et :
\[ P(x)<0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(x_1,x_2) \]
En revanche, si :
\[ a(k)<0 \]
la parabole est tournée vers le bas. Le comportement s'inverse : le trinôme est positif entre les racines et négatif à l'extérieur.
Ainsi :
\[ P(x)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(x_1,x_2) \]
et :
\[ P(x)<0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty) \]
Cela montre pourquoi le seul discriminant ne suffit pas : savoir combien de racines existent ne suffit pas à déterminer le signe du trinôme. Il faut toujours prendre en compte la concavité de la parabole.
Cas dégénérés
Un cas dégénéré se produit lorsque le coefficient du terme de plus haut degré s'annule.
Par exemple, dans l'inéquation :
\[ (k-2)x^2+x+1>0 \]
le coefficient du terme du second degré est :
\[ k-2 \]
Si :
\[ k=2 \]
l'inéquation devient :
\[ x+1>0 \]
soit une inéquation du premier degré.
En revanche, si :
\[ k\neq2 \]
l'inéquation reste du second degré et peut être étudiée à l'aide du discriminant et de la concavité.
Les cas dégénérés doivent être traités avant l'étude du discriminant, car celui-ci ne concerne que les trinômes effectivement du second degré.
Exemple guidé du premier degré
Considérons l'inéquation :
\[ (k+2)x-1\leq0 \]
L'inconnue est \(x\), tandis que \(k\) désigne le paramètre.
On transporte le terme constant au second membre :
\[ (k+2)x\leq1 \]
Le comportement dépend alors du signe de \(k+2\).
Cas \(k+2>0\)
Si :
\[ k>-2 \]
on peut diviser sans changer le sens de l'inégalité :
\[ x\leq\frac{1}{k+2} \]
Cas \(k+2<0\)
Si :
\[ k<-2 \]
en divisant par une quantité négative, on doit inverser le sens :
\[ x\geq\frac{1}{k+2} \]
Cas \(k+2=0\)
Si :
\[ k=-2 \]
l'inéquation devient :
\[ 0\cdot x-1\leq0 \]
c'est-à-dire :
\[ -1\leq0 \]
ce qui est vrai pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
L'ensemble des solutions est donc :
\[ \begin{cases} x\leq\dfrac{1}{k+2}, & k>-2,\\[8pt] x\geq\dfrac{1}{k+2}, & k<-2,\\[8pt] S=\mathbb{R}, & k=-2. \end{cases} \]
Exemple complet du second degré
Considérons l'inéquation :
\[ (k-1)x^2+2x+1\geq0 \]
Dans cet exemple, le paramètre apparaît dans le coefficient du terme du second degré. Il convient donc de vérifier en premier lieu si l'inéquation est effectivement du second degré.
Cas dégénéré : \(k=1\)
Si :
\[ k=1 \]
le terme du second degré s'annule et l'inéquation devient :
\[ 2x+1\geq0 \]
En résolvant :
\[ 2x\geq-1 \]
d'où :
\[ x\geq-\frac12 \]
Ainsi, dans le cas \(k=1\), on obtient :
\[ S=\left[-\frac12,+\infty\right) \]
Cas du second degré : \(k\neq1\)
Si \(k\neq1\), l'inéquation est du second degré. Le coefficient du terme quadratique est :
\[ a=k-1 \]
Le discriminant vaut :
\[ \Delta=2^2-4(k-1)\cdot1 \]
soit :
\[ \Delta=4-4k+4=8-4k \]
Étudions le signe du discriminant :
\[ \Delta>0 \quad\Longleftrightarrow\quad 8-4k>0 \quad\Longleftrightarrow\quad k<2 \]
\[ \Delta=0 \quad\Longleftrightarrow\quad k=2 \]
\[ \Delta<0 \quad\Longleftrightarrow\quad k>2 \]
De plus, la concavité dépend du signe de \(k-1\) :
\[ k-1>0 \quad\Longleftrightarrow\quad k>1 \]
et :
\[ k-1<0 \quad\Longleftrightarrow\quad k<1 \]
Les valeurs critiques du paramètre sont donc :
\[ k=1,\qquad k=2 \]
On distingue les cas suivants :
\[ k<1,\qquad k=1,\qquad 1<k<2,\qquad k=2,\qquad k>2 \]
Cas \(k<1\)
Dans ce cas :
\[ k-1<0 \]
donc la parabole est tournée vers le bas.
De plus, puisque \(k<1<2\), on a :
\[ \Delta>0 \]
Le trinôme admet deux racines réelles distinctes. La concavité étant vers le bas, le trinôme est positif entre les racines et négatif à l'extérieur.
L'inéquation étant :
\[ (k-1)x^2+2x+1\geq0 \]
l'ensemble des solutions est :
\[ S=[x_1,x_2] \]
Cas \(1<k<2\)
Dans ce cas :
\[ k-1>0 \]
donc la parabole est tournée vers le haut.
De plus :
\[ \Delta>0 \]
car \(k<2\). Le trinôme admet donc deux racines réelles distinctes.
La concavité étant vers le haut, le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. L'inéquation étant large, les racines doivent être incluses.
On a donc :
\[ S=(-\infty,x_1]\cup[x_2,+\infty) \]
Cas \(k=2\)
Pour \(k=2\), le discriminant est nul :
\[ \Delta=0 \]
De plus :
\[ k-1=1>0 \]
donc la parabole est tournée vers le haut.
Le trinôme admet une racine double. La parabole étant tournée vers le haut, le trinôme est toujours supérieur ou égal à zéro.
L'inéquation demandant :
\[ \geq0 \]
l'ensemble des solutions est toute la droite réelle :
\[ S=\mathbb{R} \]
Cas \(k>2\)
Dans ce cas :
\[ \Delta<0 \]
et :
\[ k-1>0 \]
La parabole est tournée vers le haut et ne coupe pas l'axe des abscisses.
Le trinôme est donc toujours strictement positif :
\[ (k-1)x^2+2x+1>0 \quad \forall x\in\mathbb{R} \]
A fortiori, il vérifie l'inéquation large :
\[ (k-1)x^2+2x+1\geq0 \]
D'où :
\[ S=\mathbb{R} \]
Résultat final
En résumé :
\[ \begin{cases} S=[x_1,x_2], & k<1,\\[6pt] S=\left[-\dfrac12,+\infty\right), & k=1,\\[8pt] S=(-\infty,x_1]\cup[x_2,+\infty), & 1<k<2,\\[6pt] S=\mathbb{R}, & k=2,\\[6pt] S=\mathbb{R}, & k>2. \end{cases} \]
Dans les cas où il existe deux racines distinctes, \(x_1\) et \(x_2\) désignent les racines du trinôme classées de sorte que :
\[ x_1<x_2 \]
Tableau récapitulatif
Pour les inéquations du second degré à paramètre, une fois les éventuels cas dégénérés écartés, le comportement du trinôme se résume dans le tableau suivant.
| Condition | Conséquence |
|---|---|
| \(\Delta<0,\ a>0\) | Le trinôme est toujours positif |
| \(\Delta<0,\ a<0\) | Le trinôme est toujours négatif |
| \(\Delta=0\) | Il existe une racine double |
| \(\Delta>0,\ a>0\) | Positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles |
| \(\Delta>0,\ a<0\) | Positif entre les racines, négatif à l'extérieur |
Erreurs les plus fréquentes
Diviser par une expression contenant le paramètre sans en étudier le signe
Si l'on divise par une quantité susceptible d'être positive, négative ou nulle, il faut distinguer tous les cas. À défaut, on risque de ne pas inverser le sens de l'inégalité lorsque c'est nécessaire, voire de diviser par zéro.
Oublier les cas dégénérés
Lorsque le coefficient du terme de plus haut degré s'annule, l'inéquation change de nature. Une inéquation du second degré peut devenir du premier degré, et une inéquation du premier degré peut se réduire à une inégalité numérique.
Ne considérer que le discriminant
Le discriminant détermine le nombre de racines réelles, mais ne suffit pas à lui seul à déterminer le signe du trinôme. Il faut toujours prendre en compte la concavité de la parabole.
Confondre inéquations strictes et larges
Dans les inéquations avec \(>\) ou \(<\), les zéros sont exclus. Dans les inéquations avec \(\geq\) ou \(\leq\), les zéros sont inclus, sauf éventuelles valeurs non admissibles.
Ne pas classer correctement les cas selon le paramètre
Lorsque plusieurs valeurs critiques du paramètre apparaissent, il convient de les placer sur la droite réelle et de discuter les intervalles dans l'ordre correct. Cela permet d'éviter les chevauchements, les omissions et les doublons.
Procédure générale
Pour résoudre une inéquation à paramètre, il est conseillé de suivre une procédure ordonnée.
- On identifie l'inconnue et on distingue le paramètre.
- On détermine les valeurs du paramètre qui annulent les coefficients importants.
- On traite séparément les éventuels cas dégénérés.
- Si l'inéquation est du premier degré, on discute le signe du coefficient de l'inconnue.
- Si l'inéquation est du second degré, on étudie le discriminant en fonction du paramètre.
- On analyse la concavité de la parabole à l'aide du signe du coefficient du terme du second degré.
- On détermine le signe de l'expression dans chaque cas.
- On écrit l'ensemble des solutions en distinguant toutes les valeurs ou tous les intervalles du paramètre.
Les inéquations à paramètre exigent méthode et rigueur, car chaque valeur particulière du paramètre peut modifier la nature même du problème.
Une bonne discussion ne consiste pas à multiplier les calculs, mais à identifier les valeurs du paramètre qui modifient le degré de l'inéquation, le sens des opérations, le nombre de racines réelles ou la concavité de la parabole.
En ce sens, les inéquations à paramètre constituent une étape essentielle : elles apprennent à ne pas résoudre mécaniquement, mais à analyser la structure globale du problème.