Les intervalles et les voisinages sont des sous-ensembles particuliers de la droite réelle. Ils permettent de décrire avec précision des ensembles de nombres réels compris entre deux bornes, ou bien des régions de la droite suffisamment proches d'un point fixé.
Les intervalles représentent des portions continues de la droite réelle, tandis que les voisinages décrivent des régions de la droite suffisamment proches d'un point fixé.
Nous étudierons ci-après de façon rigoureuse les intervalles et les voisinages, en distinguant les intervalles ouverts, fermés, bornés, non bornés, ainsi que les principaux types de voisinage.
Sommaire
- Intervalles de la Droite Réelle
- Définition Formelle d'un Intervalle
- Intervalles Bornés : Ouverts, Fermés et Semi-ouverts
- Bornes, Centre, Longueur et Rayon
- Intervalles Non Bornés et Demi-droites
- Représentation Graphique des Intervalles
- Ensembles Ouverts et Fermés
- Voisinages d'un Point
- Voisinages Circulaires Ouverts et Fermés
- Voisinages à Droite et à Gauche
- Voisinages Épointés
- Voisinages de \(+\infty\) et \(-\infty\)
- Remarques Finales
Intervalles de la Droite Réelle
Un intervalle est un ensemble de nombres réels qui occupe une portion continue de la droite réelle.
Par exemple : \[ [2,5] \]
contient tous les nombres réels compris entre \(2\) et \(5\), bornes incluses.
L'ensemble : \[ (2,5) \qquad \text{ou} \qquad ]2,5[ \]
contient en revanche tous les nombres réels compris entre \(2\) et \(5\), mais exclut les bornes \(2\) et \(5\).
La notation avec crochets inversés est la notation standard en France pour désigner un intervalle ouvert.
L'idée fondamentale est qu'un intervalle ne présente aucune interruption : s'il contient deux nombres, il contient également tous les nombres situés entre eux.
Définition Formelle d'un Intervalle
En mathématiques, un intervalle est un sous-ensemble convexe particulier de la droite réelle.
Formellement, un sous-ensemble : \[ I\subseteq\mathbb{R} \]
est appelé intervalle si :
\[ \forall x,y\in I,\ \forall z\in\mathbb{R},\quad \min(x,y)<z<\max(x,y) \Longrightarrow z\in I \]
Cela signifie que, quels que soient deux éléments de l'ensemble, tout nombre compris entre eux appartient encore à l'ensemble.
Cette propriété garantit l'absence de « lacunes » internes.
Exemple. \[ [1,4] \] est un intervalle.
En effet, quels que soient deux nombres appartenant à \([1,4]\), toute valeur comprise entre eux appartient encore à l'intervalle.
Contre-exemple. \[ [1,2]\cup[3,4] \]
n'est pas un intervalle.
En effet : \[ 1{,}5\in [1,2]\cup[3,4], \qquad 3{,}5\in [1,2]\cup[3,4] \]
mais : \[ 2{,}5\notin [1,2]\cup[3,4] \]
bien que : \[ 1{,}5<2{,}5<3{,}5 \]
Intervalles Bornés : Ouverts, Fermés et Semi-ouverts
Soient : \[ a,b\in\mathbb{R}, \qquad a<b \]
Les intervalles bornés d'extrémités \(a\) et \(b\) se classifient selon que les bornes sont incluses ou exclues.
Intervalle ouvert
L'intervalle ouvert d'extrémités \(a\) et \(b\) exclut les deux bornes :
\[ (a,b)=]a,b[ =\{x\in\mathbb{R}\mid a<x<b\} \]
Intervalle fermé
L'intervalle fermé d'extrémités \(a\) et \(b\) inclut les deux bornes :
\[ [a,b] =\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\leq b\} \]
Intervalles semi-ouverts
Les intervalles semi-ouverts ne contiennent qu'une seule des deux bornes.
On distingue :
\[ [a,b)=[a,b[ =\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x<b\} \]
et :
\[ (a,b]=]a,b] =\{x\in\mathbb{R}\mid a<x\leq b\} \]
Dans le premier cas, la borne gauche \(a\) appartient à l'intervalle, mais pas \(b\). Dans le second cas, c'est \(b\) qui appartient à l'intervalle, et non \(a\).
Bornes, Centre, Longueur et Rayon
Considérons un intervalle borné d'extrémités \(a\) et \(b\), avec :
\[ a<b \]
On définit :
- borne inférieure : le nombre \(a\) ;
- borne supérieure : le nombre \(b\) ;
- longueur : \[ b-a \]
- centre : \[ \frac{a+b}{2} \]
- rayon : \[ \frac{b-a}{2} \]
Par exemple, pour l'intervalle : \[ [2,8] \]
la longueur est : \[ 8-2=6 \]
le centre est : \[ \frac{2+8}{2}=5 \]
et le rayon est : \[ \frac{8-2}{2}=3 \]
Intervalles Non Bornés et Demi-droites
Un intervalle est dit non borné s'il s'étend indéfiniment vers la droite, vers la gauche ou dans les deux directions de la droite réelle.
Les demi-droites non bornées vers la droite sont :
\[ (a,+\infty)=]a,+\infty[ =\{x\in\mathbb{R}\mid x>a\} \]
et :
\[ [a,+\infty)=[a,+\infty[ =\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq a\} \]
De même, les demi-droites non bornées vers la gauche sont :
\[ (-\infty,b)=]-\infty,b[ =\{x\in\mathbb{R}\mid x<b\} \]
et :
\[ (-\infty,b]=]-\infty,b] =\{x\in\mathbb{R}\mid x\leq b\} \]
Il est important de noter que : \[ +\infty\notin\mathbb{R}, \qquad -\infty\notin\mathbb{R} \]
Par conséquent, les infinis ne peuvent jamais être inclus, et l'on n'emploie donc jamais de crochet fermé du côté de l'infini.
La droite réelle tout entière peut être représentée comme : \[ \mathbb{R}=(-\infty,+\infty)=]-\infty,+\infty[ \]
Représentation Graphique des Intervalles
Les intervalles peuvent être représentés graphiquement sur la droite réelle.
En général :
- un point plein indique que la borne appartient à l'intervalle ;
- un point vide indique que la borne n'appartient pas à l'intervalle ;
- un trait continu représente l'ensemble des points appartenant à l'intervalle.
Par exemple, l'intervalle : \[ [-2,3) \qquad \text{ou encore} \qquad [-2,3[ \]
contient \(-2\), mais ne contient pas \(3\).
Sur la droite réelle, il est donc représenté avec :
- un point plein en \(-2\) ;
- un point vide en \(3\) ;
- un trait continu entre les deux bornes.
Ensembles Ouverts et Fermés
Les intervalles permettent d'introduire les notions d'ensemble ouvert et d'ensemble fermé sur la droite réelle.
Un intervalle ouvert : \[ (a,b)=]a,b[ \]
est un exemple d'ensemble ouvert, car tout point de cet ensemble peut être entouré d'un petit intervalle encore entièrement contenu dans l'ensemble.
Un intervalle fermé : \[ [a,b] \]
est en revanche un exemple d'ensemble fermé de la droite réelle.
Les intervalles : \[ [a,b), \qquad (a,b] \]
que l'on peut aussi écrire : \[ [a,b[, \qquad ]a,b] \]
ne sont ni ouverts ni fermés.
Voisinages d'un Point
La notion de voisinage formalise l'idée de proximité d'un point de la droite réelle.
Soit : \[ x_0\in\mathbb{R} \]
Un ensemble : \[ U\subseteq\mathbb{R} \]
est appelé voisinage de \(x_0\) s'il contient un intervalle ouvert contenant \(x_0\).
De manière équivalente, \(U\) est un voisinage de \(x_0\) s'il existe deux nombres réels \(a,b\) tels que :
\[ x_0\in(a,b)\subseteq U \qquad \text{ou encore} \qquad x_0\in]a,b[\subseteq U \]
Intuitivement, un voisinage contient toujours une région suffisamment proche du point \(x_0\).
Voisinages Circulaires Ouverts et Fermés
Les voisinages les plus utilisés sont les voisinages circulaires, c'est-à-dire des intervalles centrés en un point.
Soient : \[ x_0\in\mathbb{R}, \qquad r>0 \]
où \(r\) est appelé rayon.
Voisinage circulaire ouvert
Le voisinage circulaire ouvert de centre \(x_0\) et de rayon \(r\) est :
\[ I(x_0,r) = \{x\in\mathbb{R}\mid |x-x_0|<r\} \]
De manière équivalente :
\[ I(x_0,r) = (x_0-r,x_0+r) = ]x_0-r,x_0+r[ \]
La condition : \[ |x-x_0|<r \]
signifie que la distance entre \(x\) et \(x_0\) est inférieure à \(r\).
Voisinage circulaire fermé
Le voisinage circulaire fermé de centre \(x_0\) et de rayon \(r\) est :
\[ \overline{I}(x_0,r) = \{x\in\mathbb{R}\mid |x-x_0|\leq r\} \]
De manière équivalente :
\[ \overline{I}(x_0,r) = [x_0-r,x_0+r] \]
Dans ce cas, les bornes sont également incluses.
Exemple. Le voisinage circulaire ouvert de centre \(3\) et de rayon \(2\) est :
\[ I(3,2) = (1,5) = ]1,5[ \]
Voisinages à Droite et à Gauche
Il est parfois utile d'étudier uniquement les points situés à droite ou à gauche d'un point fixé.
Un voisinage ouvert à droite de \(x_0\) est un ensemble de la forme :
\[ (x_0,x_0+r) = ]x_0,x_0+r[ \]
avec : \[ r>0 \]
De même, un voisinage ouvert à gauche de \(x_0\) est :
\[ (x_0-r,x_0) = ]x_0-r,x_0[ \]
avec : \[ r>0 \]
Le premier ne contient que des points strictement supérieurs à \(x_0\), tandis que le second ne contient que des points strictement inférieurs à \(x_0\).
Voisinages Épointés
Un voisinage épointé est un voisinage circulaire duquel on retire le point central.
Formellement :
\[ I^\ast(x_0,r) = \{x\in\mathbb{R}\mid 0<|x-x_0|<r\} \]
De manière équivalente :
\[ I^\ast(x_0,r) = (x_0-r,x_0)\cup(x_0,x_0+r) = ]x_0-r,x_0[ \cup ]x_0,x_0+r[ \]
La condition : \[ 0<|x-x_0| \]
exclut le point : \[ x=x_0 \]
tandis que : \[ |x-x_0|<r \]
contient tous les points dont la distance à \(x_0\) est inférieure à \(r\).
Exemple. Pour : \[ x_0=4, \qquad r=1 \]
on obtient :
\[ I^\ast(4,1) = (3,4)\cup(4,5) = ]3,4[ \cup ]4,5[ \]
Voisinages de \(+\infty\) et \(-\infty\)
Afin d'étudier le comportement des fonctions pour des valeurs arbitrairement grandes, la notion de voisinage est étendue aux infinis.
On appelle voisinage de \(+\infty\) toute demi-droite ouverte vers la droite de la forme :
\[ (M,+\infty) = ]M,+\infty[ \]
avec : \[ M\in\mathbb{R}, \qquad M>0 \]
Intuitivement, ce voisinage représente l'ensemble de tous les nombres réels supérieurs à un réel \(M\) positif, choisi arbitrairement grand.
De même, on appelle voisinage de \(-\infty\) toute demi-droite ouverte vers la gauche de la forme :
\[ (-\infty,-M) = ]-\infty,-M[ \]
avec : \[ M\in\mathbb{R}, \qquad M>0 \]
Cet ensemble décrit la région de la droite réelle constituée de tous les nombres inférieurs à un réel négatif \(-M\) de valeur absolue arbitrairement grande.
Remarques Finales
Les intervalles et les voisinages permettent de décrire de façon rigoureuse des sous-ensembles de la droite réelle et des régions proches d'un point.
Les intervalles distinguent les bornes incluses des bornes exclues, tandis que les voisinages introduisent la notion de proximité sur la droite réelle.
En particulier :
- les intervalles ouverts ne contiennent pas les bornes ;
- les intervalles fermés contiennent les bornes ;
- les intervalles semi-ouverts ne contiennent qu'une seule borne ;
- les voisinages circulaires ouverts sont des intervalles ouverts centrés en un point ;
- les voisinages circulaires fermés incluent également les bornes ;
- les voisinages épointés excluent le point central ;
- les voisinages de \(+\infty\) et \(-\infty\) sont des demi-droites ouvertes qui s'étendent au-delà de toute valeur fixée.
Ces notions seront utilisées en permanence dans l'étude des fonctions et de l'analyse mathématique.