Radicaux : définition, conditions d'existence, propriétés fondamentales, simplification, opérations et rationalisation. Exemples et exercices résolus pas à pas.
Sommaire
- Définition d'un radical
- Conditions d'existence
- Propriétés fondamentales
- Simplification des radicaux
- Multiplication et division
- Addition et soustraction
- Puissances de radicaux
- Rationalisation du dénominateur
- Radicaux avec des variables
- Équations irrationnelles
Définition d'un radical
La racine n-ième d'un nombre réel \(a\) est le nombre \(b\) tel que, élevé à la puissance \(n\), il redonne \(a\).
Définition
Soit \( n \in \mathbb{N} \), \( n \geq 2 \) et \( a \in \mathbb{R} \). On appelle racine n-ième de \( a \) le nombre réel \( b \) tel que : \[ b = \sqrt[n]{a} \quad \Longleftrightarrow \quad b^n = a \]
Le nombre \( n \) est l'indice du radical, et \( a \) est le radicande.
Racine carrée
Par convention, lorsque \( n = 2 \), l'indice est omis :
\[ \sqrt{a} = \sqrt[2]{a} \]
La racine carrée désigne toujours la valeur principale non négative et n'est définie que pour \( a \geq 0 \). On dispose de l'identité fondamentale :
\[ \sqrt{a^2} = |a| \] Attention. En général, \( \sqrt{a^2} \neq a \). Par exemple, \( \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 \neq -3 \).
Racine n-ième : parité de l'indice
| Indice \( n \) | Radicande \( a \) | Résultat |
|---|---|---|
| Pair | \( a > 0 \) | il existe une unique valeur réelle positive (racine principale) |
| Pair | \( a = 0 \) | \( \sqrt[n]{0} = 0 \) |
| Pair | \( a < 0 \) | n'existe pas dans \( \mathbb{R} \) |
| Impair | tout \( a \in \mathbb{R} \) | il existe une unique valeur réelle, de même signe que \( a \) |
Exemples
\( \sqrt[3]{-8} = -2 \) car \( (-2)^3 = -8 \)
\( \sqrt[4]{16} = 2 \) (racine principale)
\( \sqrt[5]{-32} = -2 \) car \( (-2)^5 = -32 \)
Conditions d'existence
Un radical est un nombre réel uniquement lorsque le radicande satisfait les conditions suivantes, qui dépendent de la parité de l'indice.
Condition d'existence
\[ \sqrt[n]{a} \in \mathbb{R} \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} a \geq 0 & \text{si } n \text{ est pair} \\ a \in \mathbb{R} & \text{si } n \text{ est impair} \end{cases} \] Exemples
\( \sqrt{x-3} \) existe \(\iff\) \( x-3 \geq 0 \) \(\iff\) \( x \geq 3 \)
\( \sqrt[3]{x-3} \) existe pour tout \( x \in \mathbb{R} \)
\( \sqrt{x^2-4} \) existe \(\iff\) \( x \leq -2 \) ou \( x \geq 2 \)
Propriétés fondamentales
Les propriétés suivantes sont valables dès que toutes les expressions sont définies dans les réels (en particulier, pour un indice pair, tous les radicandes doivent être positifs ou nuls).
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Radical d'une puissance | \( \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} \) (avec \( a \geq 0 \) si \( n \) pair) |
| Puissance d'un radical | \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \) |
| Radical d'un radical | \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \) |
| Réduction au même indice | \( \sqrt[n]{a} = \sqrt[kn]{a^k} \) pour \( k \in \mathbb{N}, k \geq 1 \) |
| Simplification de l'indice | \( \sqrt[kn]{a^k} = \sqrt[n]{a} \) |
Lien avec les exposants fractionnaires
\[ \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} \]
Simplification des radicaux
Un radical est sous forme simplifiée lorsque le radicande ne contient plus aucun facteur qui soit une puissance parfaite de l'indice, c'est-à-dire aucun facteur que l'on pourrait extraire entièrement du radical.
Méthode de simplification
- Décomposer le radicande en facteurs premiers (ou en facteurs avec leurs exposants).
- Écrire chaque exposant sous la forme d'un multiple de \( n \) plus un reste \( r \) avec \( 0 \leq r < n \).
- Extraire du radical les parties dont l'exposant est un multiple de l'indice.
\[ \sqrt[n]{a^{qn+r}} = a^q \sqrt[n]{a^r}, \quad 0 \leq r < n \quad (a \geq 0 \text{ si } n \text{ pair}) \] Exemples
\( \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \)
\( \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2} \)
\( \sqrt{x^5} = x^2 \sqrt{x} \) pour \( x \geq 0 \)
\( \sqrt[3]{a^8} = a^2 \sqrt[3]{a^2} \)
Réduction au même indice
Pour effectuer des opérations entre radicaux d'indices différents, on utilise le plus petit commun multiple (PPCM) des indices.
Exemple
\( \sqrt{2} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{8} \)
\( \sqrt[3]{3} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9} \)
Multiplication et division
Propriétés (pour des expressions définies)
\[ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}, \qquad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \quad (b > 0) \] Attention. Ces propriétés ne sont valables que lorsque tous les radicandes respectent les conditions d'existence. Exemples
\( \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6 \)
\( \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{8} = 2 \)
\( \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{25} = 5 \)
\( \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[6]{2^5} = \sqrt[6]{32} \)
Addition et soustraction
On ne peut additionner ou soustraire que des radicaux semblables, c'est-à-dire ayant le même indice et le même radicande.
Radicaux semblables
\( p\sqrt[n]{a} \pm q\sqrt[n]{a} = (p \pm q)\sqrt[n]{a} \) Exemples
\( 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)
\( \sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \)
\( \sqrt{8} - \sqrt{2} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \)
Puissances de radicaux
\[ (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} \quad (a \geq 0 \text{ si } n \text{ pair}) \]
Carré d'un binôme avec des radicaux
\[ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b \]
\[ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b \]
Produit d'expressions conjuguées
\[ (\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b \]
Rationalisation du dénominateur
Rationaliser le dénominateur consiste à réécrire une fraction de façon à ce qu'aucun radical n'apparaisse au dénominateur, en multipliant numérateur et dénominateur par un facteur approprié.
Cas 1 — Dénominateur avec un seul radical
\[ \frac{b}{\sqrt[n]{a}} = \frac{b \cdot \sqrt[n]{a^{n-1}}}{a} \quad (a \geq 0 \text{ si } n \text{ pair}) \] Exemples
\[ \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \]
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2} \]
Cas 2 — Dénominateur binôme avec des racines carrées
\[ \frac{c}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a} \mp \sqrt{b})}{a - b} \] Exemples
\[ \frac{4}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{3-2} = 4\sqrt{3} - 4\sqrt{2} \]
\[ \frac{1}{1 + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{5-1} = \frac{\sqrt{5}-1}{4} \]
Cas 3 — Dénominateur avec des racines cubiques (somme ou différence)
On utilise les identités de la somme et de la différence de cubes :
\[ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) \qquad x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) \]
Pour \( \frac{1}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \) (en posant \( x = \sqrt[3]{a} \), \( y = \sqrt[3]{b} \)) :
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{a - b} \] Exemple
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{2} - 1} = \frac{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1 \]
Radicaux avec des variables
Valeur absolue lors de la simplification
Pour un indice pair (\( n = 2k \)) : \( \sqrt[2k]{x^{2k}} = |x| \)
Pour un indice impair : \( \sqrt[2k+1]{x^{2k+1}} = x \) Exemples
\( \sqrt{x^2} = |x| \)
\( \sqrt[4]{x^4} = |x| \)
\( \sqrt{x^6} = |x^3| \)
\( \sqrt[3]{x^3} = x \)
Domaine d'expressions avec plusieurs radicaux
Le domaine est l'intersection des conditions d'existence de tous les radicaux présents.
Exemple
\( f(x) = \sqrt{x+2} + \sqrt{4-x} \)
Domaine : \( x \geq -2 \) et \( x \leq 4 \) \(\Rightarrow\) \( [-2, 4] \)
Équations irrationnelles
Pour résoudre une équation irrationnelle, on procède ainsi :
- Déterminer le domaine (conditions d'existence de tous les radicaux).
- Isoler un radical (si possible).
- Élever les deux membres à la puissance appropriée.
- Résoudre l'équation algébrique obtenue.
- Vérifier chaque solution candidate dans l'équation d'origine et contrôler qu'elle appartient au domaine (afin d'éliminer les éventuelles solutions étrangères).
Attention. Élever les deux membres à une puissance peut introduire des solutions étrangères. La vérification est obligatoire.
Exemple — indice pair
\( \sqrt{2x-1} = x-2 \)
Domaine : \( x \geq \frac{1}{2} \) et \( x-2 \geq 0 \) \(\Rightarrow\) \( x \geq 2 \).
En élevant au carré : \( 2x-1 = (x-2)^2 \Rightarrow x^2 - 6x + 5 = 0 \Rightarrow x=1 \) ou \( x=5 \).
Vérification : \( x=1 \) n'appartient pas au domaine → solution étrangère.
\( x=5 \) : \( \sqrt{10-1} = 3 \) et \( 5-2=3 \) → vérifiée.
Solution : \( x=5 \)
Exemple — deux radicaux
\( \sqrt{x+5} - \sqrt{x} = 1 \)
Domaine : \( x \geq 0 \).
On isole : \( \sqrt{x+5} = \sqrt{x} + 1 \).
On élève au carré : \( x+5 = x + 2\sqrt{x} + 1 \Rightarrow 4 = 2\sqrt{x} \Rightarrow x=4 \).
Vérification : \( \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3-2=1 \) → correcte.
Solution : \( x=4 \)