Dans cette collection, nous proposons 20 exercices résolus sur les inéquations avec paramètre, classés par ordre de difficulté et résolus pas à pas.
L'objectif est d'apprendre à identifier les valeurs du paramètre qui modifient la structure de l'inéquation : le signe d'un coefficient, le sens de l'inégalité, le degré de l'expression, le discriminant et la concavité de la parabole.
Chaque exercice montre comment mettre en place correctement la discussion par cas, en évitant les erreurs les plus fréquentes et en parvenant à une description complète de l'ensemble des solutions en fonction du paramètre.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre :
\[ (k-3)x > 6 \]
Résultat
\[ \begin{cases} x > \dfrac{6}{k-3}, & k > 3, \\[6pt] x < \dfrac{6}{k-3}, & k < 3, \\[6pt] S = \emptyset, & k = 3. \end{cases} \]
Résolution
L'inéquation est linéaire en l'inconnue \(x\). Le coefficient de \(x\) est :
\[ k - 3. \]
Pour isoler \(x\), on doit diviser les deux membres par \(k-3\). Or, le signe de \(k-3\) dépend du paramètre \(k\). On est donc amené à distinguer trois cas :
\[ k-3 > 0, \qquad k-3 < 0, \qquad k-3 = 0. \]
Cas \(k > 3\)
Si \(k > 3\), alors \(k-3 > 0\) ; on peut donc diviser par \(k-3\) sans changer le sens de l'inégalité :
\[ x > \frac{6}{k-3}. \]
Cas \(k < 3\)
Si \(k < 3\), alors \(k-3 < 0\) ; en divisant par une quantité négative, le sens de l'inégalité s'inverse :
\[ x < \frac{6}{k-3}. \]
Cas \(k = 3\)
Si \(k = 3\), le coefficient de \(x\) s'annule. L'inéquation devient :
\[ 0 \cdot x > 6, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad 0 > 6. \]
Cette proposition est fausse ; il n'existe donc aucune valeur réelle de \(x\) satisfaisant l'inéquation. Par conséquent :
\[ S = \emptyset. \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre :
\[ (k+1)x - 4 \leq 0 \]
Résultat
\[ \begin{cases} x \leq \dfrac{4}{k+1}, & k > -1, \\[6pt] x \geq \dfrac{4}{k+1}, & k < -1, \\[6pt] S = \mathbb{R}, & k = -1. \end{cases} \]
Résolution
Transposons le terme constant au second membre :
\[ (k+1)x \leq 4. \]
Ici aussi, le coefficient de l'inconnue dépend du paramètre : \(k+1\). Pour diviser correctement, il faut savoir si \(k+1\) est positif, négatif ou nul.
Cas \(k > -1\)
Si \(k > -1\), alors \(k+1 > 0\). En divisant par une quantité positive, le sens ne change pas :
\[ x \leq \frac{4}{k+1}. \]
Cas \(k < -1\)
Si \(k < -1\), alors \(k+1 < 0\). En divisant par une quantité négative, le sens s'inverse :
\[ x \geq \frac{4}{k+1}. \]
Cas \(k = -1\)
Si \(k = -1\), le coefficient de \(x\) s'annule. L'inéquation initiale devient :
\[ 0 \cdot x - 4 \leq 0, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad -4 \leq 0. \]
Cette proposition est vraie pour toute valeur réelle de \(x\). Donc :
\[ S = \mathbb{R}. \]
Exercice 3 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[ (k-2)x + 5 \geq 0 \]
Résultat
\[ \begin{cases} x \geq -\dfrac{5}{k-2}, & k > 2, \\[6pt] x \leq -\dfrac{5}{k-2}, & k < 2, \\[6pt] S = \mathbb{R}, & k = 2. \end{cases} \]
Résolution
Isolons le terme contenant l'inconnue :
\[ (k-2)x \geq -5. \]
Le coefficient de \(x\) est \(k-2\). Comme il dépend du paramètre, on ne peut pas diviser sans discuter son signe.
Cas \(k > 2\)
Si \(k > 2\), alors \(k-2 > 0\). En divisant par \(k-2\), le sens reste inchangé :
\[ x \geq -\frac{5}{k-2}. \]
Cas \(k < 2\)
Si \(k < 2\), alors \(k-2 < 0\). En divisant par une quantité négative, le sens s'inverse :
\[ x \leq -\frac{5}{k-2}. \]
Cas \(k = 2\)
Si \(k = 2\), le terme contenant \(x\) disparaît :
\[ 0 \cdot x + 5 \geq 0, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad 5 \geq 0. \]
Cette proposition est toujours vraie. Par conséquent, tout réel est solution :
\[ S = \mathbb{R}. \]
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[ (k^2 - 1)x < 2 \]
Résultat
\[ \begin{cases} x < \dfrac{2}{k^2-1}, & k < -1 \ \text{ou}\ k > 1, \\[6pt] x > \dfrac{2}{k^2-1}, & -1 < k < 1, \\[6pt] S = \mathbb{R}, & k = \pm 1. \end{cases} \]
Résolution
L'inéquation est linéaire en l'inconnue \(x\), mais le coefficient de \(x\) est :
\[ k^2 - 1 = (k-1)(k+1). \]
Étudions le signe de \(k^2-1\) :
\[ k^2 - 1 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad k < -1 \ \text{ou}\ k > 1, \]
\[ k^2 - 1 < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad -1 < k < 1, \]
\[ k^2 - 1 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad k = \pm 1. \]
Cas \(k < -1\) ou \(k > 1\)
Dans ce cas, \(k^2-1 > 0\). On peut diviser sans changer le sens :
\[ x < \frac{2}{k^2-1}. \]
Cas \(-1 < k < 1\)
Dans ce cas, \(k^2-1 < 0\). En divisant par une quantité négative, le sens s'inverse :
\[ x > \frac{2}{k^2-1}. \]
Cas \(k = \pm 1\)
Si \(k = \pm 1\), alors \(k^2 - 1 = 0\). L'inéquation devient :
\[ 0 \cdot x < 2, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad 0 < 2. \]
Cette proposition est vraie pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Donc :
\[ S = \mathbb{R}. \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[ (k-1)x^2 - 4 > 0 \]
Résultat
\[ \begin{cases} x < -\dfrac{2}{\sqrt{k-1}} \ \text{ou}\ x > \dfrac{2}{\sqrt{k-1}}, & k > 1, \\[10pt] S = \emptyset, & k \leq 1. \end{cases} \]
Résolution
L'inéquation contient le terme \(x^2\), dont le coefficient est \(k-1\). On doit distinguer les cas où ce coefficient est positif, nul ou négatif.
Cas \(k > 1\)
Si \(k > 1\), alors \(k-1 > 0\). On peut diviser sans changer le sens :
\[ x^2 > \frac{4}{k-1}. \]
Le second membre est positif, donc :
\[ |x| > \frac{2}{\sqrt{k-1}}, \]
c'est-à-dire :
\[ x < -\frac{2}{\sqrt{k-1}} \quad \text{ou} \quad x > \frac{2}{\sqrt{k-1}}. \]
Cas \(k = 1\)
Si \(k = 1\), le terme du second degré s'annule. L'inéquation devient \(-4 > 0\), qui est fausse. Donc :
\[ S = \emptyset. \]
Cas \(k < 1\)
Si \(k < 1\), alors \(k-1 < 0\). Comme \(x^2 \geq 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a \((k-1)x^2 \leq 0\), donc :
\[ (k-1)x^2 - 4 < 0 \]
pour tout \(x \in \mathbb{R}\). L'inéquation n'a pas de solution :
\[ S = \emptyset. \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[ (k+2)x^2 + 1 \geq 0 \]
Résultat
\[ \begin{cases} S = \mathbb{R}, & k \geq -2, \\[8pt] -\dfrac{1}{\sqrt{-k-2}} \leq x \leq \dfrac{1}{\sqrt{-k-2}}, & k < -2. \end{cases} \]
Résolution
Le coefficient du terme du second degré est \(k+2\). On distingue les cas \(k+2 > 0\), \(k+2 = 0\) et \(k+2 < 0\).
Cas \(k > -2\)
Si \(k > -2\), alors \(k+2 > 0\). Puisque \(x^2 \geq 0\), on a \((k+2)x^2 \geq 0\), donc :
\[ (k+2)x^2 + 1 \geq 1 > 0. \]
L'inéquation est vérifiée pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :
\[ S = \mathbb{R}. \]
Cas \(k = -2\)
Si \(k = -2\), le terme du second degré disparaît et l'inéquation devient \(1 \geq 0\), toujours vraie :
\[ S = \mathbb{R}. \]
Cas \(k < -2\)
Si \(k < -2\), alors \(k+2 < 0\). On part de l'inéquation :
\[ (k+2)x^2 \geq -1. \]
Comme \(k+2 < 0\), en divisant par \(k+2\) le sens s'inverse :
\[ x^2 \leq \frac{-1}{k+2} = \frac{1}{-k-2}. \]
Donc :
\[ -\frac{1}{\sqrt{-k-2}} \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{-k-2}}. \]
Exercice 7 — niveau ★★★☆☆
Résoudre :
\[ x^2 - 2kx + k^2 - 1 > 0 \]
Résultat
\[ x < k-1 \quad \text{ou} \quad x > k+1. \]
Résolution
On remarque que le trinôme peut s'écrire comme un carré diminué de \(1\) :
\[ x^2 - 2kx + k^2 - 1 = (x-k)^2 - 1. \]
L'inéquation devient :
\[ (x-k)^2 > 1, \]
soit \(|x-k| > 1\). Donc :
\[ x - k < -1 \quad \text{ou} \quad x - k > 1, \]
d'où :
\[ x < k-1 \quad \text{ou} \quad x > k+1. \]
L'ensemble des solutions est :
\[ S = (-\infty,\, k-1) \cup (k+1,\, +\infty). \]
Exercice 8 — niveau ★★★☆☆
Résoudre :
\[ x^2 + (k-3)x + k < 0 \]
Résultat
\[ \begin{cases} x_1 < x < x_2, & k < 1 \ \text{ou}\ k > 9, \\[6pt] S = \emptyset, & 1 \leq k \leq 9, \end{cases} \]
où, pour \(k < 1\) ou \(k > 9\),
\[ x_1 = \frac{3-k-\sqrt{k^2-10k+9}}{2}, \qquad x_2 = \frac{3-k+\sqrt{k^2-10k+9}}{2}. \]
Résolution
Considérons le trinôme \(P(x) = x^2 + (k-3)x + k\). Le coefficient de \(x^2\) est \(a = 1 > 0\), donc la parabole est toujours ouverte vers le haut.
Comme l'inéquation requiert \(P(x) < 0\), le trinôme doit admettre deux racines réelles distinctes (la parabole étant ouverte vers le haut, le trinôme est négatif uniquement entre ses deux racines).
Calculons le discriminant :
\[ \Delta = (k-3)^2 - 4k = k^2 - 6k + 9 - 4k = k^2 - 10k + 9 = (k-1)(k-9). \]
Étudions le signe :
\[ \Delta > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad k < 1 \ \text{ou}\ k > 9, \]
\[ \Delta = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad k = 1 \ \text{ou}\ k = 9, \]
\[ \Delta < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 1 < k < 9. \]
Cas \(k < 1\) ou \(k > 9\)
Le trinôme admet deux racines réelles distinctes et la parabole est ouverte vers le haut, donc il est négatif entre les deux racines :
\[ x_1 < x < x_2. \]
Cas \(k = 1\) ou \(k = 9\)
Le trinôme admet une racine double. La parabole étant ouverte vers le haut, on a \(P(x) \geq 0\) pour tout réel, mais l'inéquation exige \(P(x) < 0\). Donc :
\[ S = \emptyset. \]
Cas \(1 < k < 9\)
Le discriminant est négatif. La parabole, ouverte vers le haut, ne coupe pas l'axe des abscisses et le trinôme est toujours positif. Donc :
\[ S = \emptyset. \]
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
Résoudre :
\[ (k-4)x^2 + 2x - 3 \leq 0 \]
Résultat
\[ \begin{cases} S = \mathbb{R}, & k \leq \dfrac{11}{3}, \\[8pt] x \leq x_1 \ \text{ou}\ x \geq x_2, & \dfrac{11}{3} < k < 4, \\[8pt] x \leq \dfrac{3}{2}, & k = 4, \\[8pt] x_1 \leq x \leq x_2, & k > 4, \end{cases} \]
où \(x_1\) et \(x_2\) désignent les deux racines ordonnées du trinôme, avec \(x_1 < x_2\).
Résolution
Le coefficient du terme du second degré est \(k-4\). Avant d'étudier le discriminant, on vérifie que l'inéquation est bien du second degré.
Cas \(k = 4\)
Si \(k = 4\), le terme du second degré s'annule et l'inéquation devient \(2x - 3 \leq 0\), d'où :
\[ x \leq \frac{3}{2}. \]
Cas \(k \neq 4\)
Pour \(k \neq 4\), considérons \(P(x) = (k-4)x^2 + 2x - 3\). Le discriminant est :
\[ \Delta = 4 - 4(k-4)(-3) = 4 + 12(k-4) = 12k - 44 = 4(3k-11). \]
Étudions le signe :
\[ \Delta > 0 \iff k > \tfrac{11}{3}, \qquad \Delta = 0 \iff k = \tfrac{11}{3}, \qquad \Delta < 0 \iff k < \tfrac{11}{3}. \]
La concavité dépend du signe de \(k-4\).
Cas \(k < \dfrac{11}{3}\)
Dans ce cas, \(\Delta < 0\) et \(k - 4 < 0\). La parabole est ouverte vers le bas et ne coupe pas l'axe des abscisses : le trinôme est toujours négatif. Comme l'inéquation requiert \(P(x) \leq 0\) :
\[ S = \mathbb{R}. \]
Cas \(k = \dfrac{11}{3}\)
Dans ce cas, \(\Delta = 0\) et \(k - 4 = \frac{11}{3} - 4 = -\frac{1}{3} < 0\). La parabole est ouverte vers le bas et est tangente à l'axe en une racine double : le trinôme est toujours \(\leq 0\). Donc :
\[ S = \mathbb{R}. \]
Cas \(\dfrac{11}{3} < k < 4\)
Dans ce cas, \(\Delta > 0\) et \(k - 4 < 0\). Le trinôme admet deux racines réelles distinctes et la parabole est ouverte vers le bas : il est positif entre les racines et négatif en dehors. Pour \(P(x) \leq 0\) :
\[ x \leq x_1 \quad \text{ou} \quad x \geq x_2. \]
Cas \(k > 4\)
Dans ce cas, \(\Delta > 0\) et \(k - 4 > 0\). Le trinôme admet deux racines réelles distinctes et la parabole est ouverte vers le haut : il est négatif entre les racines. L'inéquation étant large, les racines sont incluses :
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Exercice 10 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[ (k-1)x^2 + (k+1)x + k > 0 \]
Résultat
Posons :
\[ k_1 = 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}, \qquad k_2 = 1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}. \]
\[ \begin{cases} S = \emptyset, & k \leq k_1, \\[6pt] x_1 < x < x_2, & k_1 < k < 1, \\[6pt] x > -\dfrac{1}{2}, & k = 1, \\[8pt] x < x_1 \ \text{ou}\ x > x_2, & 1 < k < k_2, \\[6pt] S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}, & k = k_2, \\[6pt] S = \mathbb{R}, & k > k_2. \end{cases} \]
Résolution
Le coefficient du terme du second degré est \(k-1\). La première valeur à examiner est \(k = 1\).
Cas \(k = 1\)
Si \(k = 1\), l'inéquation devient \(2x + 1 > 0\), d'où :
\[ x > -\frac{1}{2}. \]
Cas \(k \neq 1\)
Pour \(k \neq 1\), calculons le discriminant :
\[ \Delta = (k+1)^2 - 4(k-1)k = k^2 + 2k + 1 - 4k^2 + 4k = -3k^2 + 6k + 1. \]
Posons \(\Delta = 0\) : \(3k^2 - 6k - 1 = 0\), dont les solutions sont :
\[ k = \frac{6 \pm \sqrt{36+12}}{6} = \frac{6 \pm 4\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}. \]
Comme le discriminant (en tant que fonction de \(k\)) est une parabole ouverte vers le bas :
\[ \Delta > 0 \iff k_1 < k < k_2, \quad \Delta = 0 \iff k = k_1 \ \text{ou}\ k = k_2, \quad \Delta < 0 \iff k < k_1 \ \text{ou}\ k > k_2. \]
Cas \(k < k_1\)
\(\Delta < 0\) et \(k - 1 < 0\) : parabole ouverte vers le bas, trinôme toujours négatif. Donc \(S = \emptyset\).
Cas \(k = k_1\)
\(\Delta = 0\) et \(k - 1 < 0\) : parabole ouverte vers le bas, trinôme toujours \(\leq 0\). L'inéquation est stricte, donc \(S = \emptyset\).
Cas \(k_1 < k < 1\)
\(\Delta > 0\) et \(k - 1 < 0\) : parabole ouverte vers le bas, trinôme positif entre les racines. Donc :
\[ x_1 < x < x_2. \]
Cas \(1 < k < k_2\)
\(\Delta > 0\) et \(k - 1 > 0\) : parabole ouverte vers le haut, trinôme positif en dehors des racines. Donc :
\[ x < x_1 \quad \text{ou} \quad x > x_2. \]
Cas \(k = k_2\)
\(\Delta = 0\) et \(k - 1 > 0\) : parabole ouverte vers le haut, trinôme toujours \(\geq 0\), mais s'annulant en la racine double \(x_0 = -\dfrac{k+1}{2(k-1)}\). L'inéquation étant stricte :
\[ S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}. \]
Cas \(k > k_2\)
\(\Delta < 0\) et \(k - 1 > 0\) : parabole ouverte vers le haut, trinôme toujours positif. Donc \(S = \mathbb{R}\).
Exercice 11 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[ (k^2 - 4)x^2 - 1 < 0 \]
Résultat
\[ \begin{cases} -\dfrac{1}{\sqrt{k^2-4}} < x < \dfrac{1}{\sqrt{k^2-4}}, & |k| > 2, \\[10pt] S = \mathbb{R}, & |k| \leq 2. \end{cases} \]
Résolution
Le coefficient de \(x^2\) est \(k^2 - 4 = (k-2)(k+2)\). Étudions son signe :
\[ k^2 - 4 > 0 \iff |k| > 2, \quad k^2 - 4 = 0 \iff k = \pm 2, \quad k^2 - 4 < 0 \iff |k| < 2. \]
Cas \(|k| > 2\)
Comme \(k^2 - 4 > 0\), on divise par cette quantité sans changer le sens :
\[ x^2 < \frac{1}{k^2 - 4}. \]
Donc :
\[ -\frac{1}{\sqrt{k^2-4}} < x < \frac{1}{\sqrt{k^2-4}}. \]
Cas \(|k| < 2\)
Comme \(k^2 - 4 < 0\) et \(x^2 \geq 0\), on a \((k^2-4)x^2 \leq 0\), donc :
\[ (k^2-4)x^2 - 1 < 0 \]
pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Donc \(S = \mathbb{R}\).
Cas \(k = \pm 2\)
Si \(k = \pm 2\), l'inéquation devient \(-1 < 0\), toujours vraie. Donc \(S = \mathbb{R}\).
Exercice 12 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[ (k-2)x^2 + (k+1)x + 1 \geq 0 \]
Résultat
\[ \begin{cases} x_1 \leq x \leq x_2, & k < 2, \\[6pt] x \geq -\dfrac{1}{3}, & k = 2, \\[8pt] x \leq x_1 \ \text{ou}\ x \geq x_2, & k > 2, \end{cases} \]
où \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines ordonnées du trinôme, avec \(x_1 < x_2\).
Résolution
Le coefficient du terme du second degré est \(k-2\).
Cas \(k = 2\)
Si \(k = 2\), l'inéquation devient \(3x + 1 \geq 0\), d'où :
\[ x \geq -\frac{1}{3}. \]
Cas \(k \neq 2\)
Calculons le discriminant :
\[ \Delta = (k+1)^2 - 4(k-2) = k^2 + 2k + 1 - 4k + 8 = k^2 - 2k + 9 = (k-1)^2 + 8. \]
Comme \((k-1)^2 + 8 > 0\) pour tout \(k \in \mathbb{R}\), le trinôme admet toujours deux racines réelles distinctes lorsque \(k \neq 2\). Il reste à discuter la concavité, c'est-à-dire le signe de \(k-2\).
Cas \(k < 2\)
Parabole ouverte vers le bas, trinôme positif entre les racines. Pour \(P(x) \geq 0\) :
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Cas \(k > 2\)
Parabole ouverte vers le haut, trinôme positif en dehors des racines. Pour \(P(x) \geq 0\) :
\[ x \leq x_1 \quad \text{ou} \quad x \geq x_2. \]
Exercice 13 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[ (k+1)x^2 - 2(k-1)x + k \leq 0 \]
Résultat
\[ \begin{cases} x \leq \dfrac{1}{4}, & k = -1, \\[8pt] x_1 \leq x \leq x_2, & -1 < k < \dfrac{1}{3}, \\[8pt] x = x_0, & k = \dfrac{1}{3}, \\[8pt] S = \emptyset, & k > \dfrac{1}{3}, \\[8pt] x \leq x_1 \ \text{ou}\ x \geq x_2, & k < -1. \end{cases} \]
Dans les cas à deux racines réelles distinctes, \(x_1\) et \(x_2\) désignent les racines ordonnées, avec \(x_1 < x_2\). Dans le cas \(k = \dfrac{1}{3}\), \(x_0\) est la racine double.
Résolution
Le coefficient du terme du second degré est \(k+1\). La première valeur à discuter est \(k = -1\).
Cas \(k = -1\)
En substituant \(k = -1\), l'inéquation devient \(4x - 1 \leq 0\), d'où :
\[ x \leq \frac{1}{4}. \]
Cas \(k \neq -1\)
Calculons le discriminant :
\[ \Delta = 4(k-1)^2 - 4k(k+1) = 4\bigl[(k-1)^2 - k(k+1)\bigr] = 4(1-3k). \]
Étudions le signe :
\[ \Delta > 0 \iff k < \tfrac{1}{3}, \quad \Delta = 0 \iff k = \tfrac{1}{3}, \quad \Delta < 0 \iff k > \tfrac{1}{3}. \]
La concavité dépend du signe de \(k+1\).
Cas \(k < -1\)
\(\Delta > 0\) et \(k+1 < 0\) : parabole ouverte vers le bas, trinôme négatif en dehors des racines. Pour \(P(x) \leq 0\) :
\[ x \leq x_1 \quad \text{ou} \quad x \geq x_2. \]
Cas \(-1 < k < \dfrac{1}{3}\)
\(\Delta > 0\) et \(k+1 > 0\) : parabole ouverte vers le haut, trinôme négatif entre les racines. Pour \(P(x) \leq 0\) :
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Cas \(k = \dfrac{1}{3}\)
\(\Delta = 0\) et \(k+1 > 0\) : parabole ouverte vers le haut, trinôme toujours \(\geq 0\), s'annulant uniquement en la racine double. Donc :
\[ x = x_0. \]
Cas \(k > \dfrac{1}{3}\)
\(\Delta < 0\) et \(k+1 > 0\) : parabole ouverte vers le haut, trinôme toujours positif. Donc \(S = \emptyset\).
Exercice 14 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[ x^2 - 2(k+1)x + k^2 + k < 0 \]
Résultat
\[ \begin{cases} k+1-\sqrt{k+1} < x < k+1+\sqrt{k+1}, & k > -1, \\[8pt] S = \emptyset, & k \leq -1. \end{cases} \]
Résolution
Le coefficient du terme du second degré est \(a = 1 > 0\) : la parabole est toujours ouverte vers le haut. Calculons le discriminant :
\[ \Delta = 4(k+1)^2 - 4(k^2+k) = 4\bigl[(k+1)^2 - (k^2+k)\bigr] = 4(k+1). \]
Étudions le signe :
\[ \Delta > 0 \iff k > -1, \quad \Delta = 0 \iff k = -1, \quad \Delta < 0 \iff k < -1. \]
Cas \(k > -1\)
Deux racines réelles distinctes. Comme \(\sqrt{4(k+1)} = 2\sqrt{k+1}\) :
\[ x_{1,2} = \frac{2(k+1) \pm 2\sqrt{k+1}}{2} = k+1 \mp \sqrt{k+1}. \]
La parabole est ouverte vers le haut, donc le trinôme est négatif entre les deux racines :
\[ k+1-\sqrt{k+1} < x < k+1+\sqrt{k+1}. \]
Cas \(k = -1\)
\(\Delta = 0\) : parabole ouverte vers le haut, trinôme toujours \(\geq 0\). L'inéquation exige \(P(x) < 0\), donc \(S = \emptyset\).
Cas \(k < -1\)
\(\Delta < 0\) : trinôme toujours positif. Donc \(S = \emptyset\).
Exercice 15 — niveau ★★★★★
Résoudre :
\[ (k-3)x^2 + (2k-1)x + k > 0 \]
Résultat
\[ \begin{cases} S = \emptyset, & k < -\dfrac{1}{8}, \\[8pt] S = \emptyset, & k = -\dfrac{1}{8}, \\[8pt] x_1 < x < x_2, & -\dfrac{1}{8} < k < 3, \\[8pt] x > -\dfrac{3}{5}, & k = 3, \\[8pt] x < x_1 \ \text{ou}\ x > x_2, & k > 3. \end{cases} \]
Dans les cas à deux racines réelles distinctes, \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines ordonnées, avec \(x_1 < x_2\).
Résolution
Le coefficient du terme du second degré est \(k-3\). Le premier cas à traiter est \(k = 3\).
Cas \(k = 3\)
Si \(k = 3\), l'inéquation devient \(5x + 3 > 0\), d'où :
\[ x > -\frac{3}{5}. \]
Cas \(k \neq 3\)
Calculons le discriminant :
\[ \Delta = (2k-1)^2 - 4(k-3)k = 4k^2 - 4k + 1 - 4k^2 + 12k = 8k + 1. \]
Étudions le signe :
\[ \Delta > 0 \iff k > -\tfrac{1}{8}, \quad \Delta = 0 \iff k = -\tfrac{1}{8}, \quad \Delta < 0 \iff k < -\tfrac{1}{8}. \]
Cas \(k < -\dfrac{1}{8}\)
\(\Delta < 0\) et \(k - 3 < 0\) : parabole ouverte vers le bas, trinôme toujours négatif. \(S = \emptyset\).
Cas \(k = -\dfrac{1}{8}\)
\(\Delta = 0\) et \(k - 3 < 0\) : parabole ouverte vers le bas, trinôme toujours \(\leq 0\). L'inéquation est stricte, donc \(S = \emptyset\).
Cas \(-\dfrac{1}{8} < k < 3\)
\(\Delta > 0\) et \(k - 3 < 0\) : parabole ouverte vers le bas, trinôme positif entre les racines :
\[ x_1 < x < x_2. \]
Cas \(k > 3\)
\(\Delta > 0\) et \(k - 3 > 0\) : parabole ouverte vers le haut, trinôme positif en dehors des racines :
\[ x < x_1 \quad \text{ou} \quad x > x_2. \]
Exercice 16 — niveau ★★★★★
Résoudre :
\[ (k^2-1)x^2 + 2kx + 1 \geq 0 \]
Résultat
\[ \begin{cases} x \leq x_1 \ \text{ou}\ x \geq x_2, & |k| > 1, \\[8pt] x \geq -\dfrac{1}{2}, & k = 1, \\[8pt] x \leq \dfrac{1}{2}, & k = -1, \\[8pt] x_1 \leq x \leq x_2, & |k| < 1. \end{cases} \]
Dans les cas quadratiques, \(x_1\) et \(x_2\) sont les deux racines ordonnées, avec \(x_1 < x_2\).
Résolution
Le coefficient du terme du second degré est \(k^2 - 1 = (k-1)(k+1)\). Les cas dégénérés se produisent pour \(k = \pm 1\).
Cas \(k = 1\)
L'inéquation devient \(2x + 1 \geq 0\), d'où \(x \geq -\dfrac{1}{2}\).
Cas \(k = -1\)
L'inéquation devient \(-2x + 1 \geq 0\), d'où \(x \leq \dfrac{1}{2}\).
Cas \(k \neq \pm 1\)
Calculons le discriminant :
\[ \Delta = (2k)^2 - 4(k^2-1) = 4k^2 - 4k^2 + 4 = 4. \]
Le discriminant est toujours positif : le trinôme admet toujours deux racines réelles distinctes. Il reste à étudier la concavité :
\[ k^2 - 1 > 0 \iff |k| > 1, \qquad k^2 - 1 < 0 \iff |k| < 1. \]
Cas \(|k| > 1\)
Parabole ouverte vers le haut, \(P(x) \geq 0\) en dehors des racines :
\[ x \leq x_1 \quad \text{ou} \quad x \geq x_2. \]
Cas \(|k| < 1\)
Parabole ouverte vers le bas, trinôme positif entre les racines. Pour \(P(x) \geq 0\) :
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Exercice 17 — niveau ★★★★★
Résoudre :
\[ (k-2)x^2 - 4x + k < 0 \]
Résultat
\[ \begin{cases} S = \mathbb{R}, & k < 1-\sqrt{5}, \\[6pt] S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}, & k = 1-\sqrt{5}, \\[6pt] x < x_1 \ \text{ou}\ x > x_2, & 1-\sqrt{5} < k < 2, \\[8pt] x > \dfrac{1}{2}, & k = 2, \\[8pt] x_1 < x < x_2, & 2 < k < 1+\sqrt{5}, \\[6pt] S = \emptyset, & k \geq 1+\sqrt{5}. \end{cases} \]
Dans les cas à deux racines réelles distinctes, \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines ordonnées, avec \(x_1 < x_2\). Dans le cas \(k = 1-\sqrt{5}\), \(x_0\) est la racine double.
Résolution
Le coefficient du terme du second degré est \(k-2\).
Cas \(k = 2\)
Si \(k = 2\), l'inéquation devient \(-4x + 2 < 0\), d'où :
\[ x > \frac{1}{2}. \]
Cas \(k \neq 2\)
Calculons le discriminant :
\[ \Delta = 16 - 4(k-2)k = 16 - 4k^2 + 8k = -4(k^2 - 2k - 4). \]
Les zéros de \(k^2 - 2k - 4 = 0\) sont \(k = 1 \pm \sqrt{5}\). Comme \(\Delta = -4(k^2 - 2k - 4)\) :
\[ \Delta > 0 \iff 1-\sqrt{5} < k < 1+\sqrt{5}, \]
\[ \Delta = 0 \iff k = 1-\sqrt{5} \ \text{ou}\ k = 1+\sqrt{5}, \]
\[ \Delta < 0 \iff k < 1-\sqrt{5} \ \text{ou}\ k > 1+\sqrt{5}. \]
Cas \(k < 1-\sqrt{5}\)
\(\Delta < 0\) et \(k - 2 < 0\) : parabole ouverte vers le bas, trinôme toujours négatif. L'inéquation \(P(x) < 0\) est satisfaite pour tout \(x\) :
\[ S = \mathbb{R}. \]
Cas \(k = 1-\sqrt{5}\)
\(\Delta = 0\) et \(k - 2 < 0\) : parabole ouverte vers le bas, trinôme toujours \(\leq 0\), s'annulant en la racine double \(x_0\). L'inéquation étant stricte :
\[ S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}. \]
Cas \(1-\sqrt{5} < k < 2\)
\(\Delta > 0\) et \(k - 2 < 0\) : parabole ouverte vers le bas, trinôme négatif en dehors des racines :
\[ x < x_1 \quad \text{ou} \quad x > x_2. \]
Cas \(2 < k < 1+\sqrt{5}\)
\(\Delta > 0\) et \(k - 2 > 0\) : parabole ouverte vers le haut, trinôme négatif entre les racines :
\[ x_1 < x < x_2. \]
Cas \(k = 1+\sqrt{5}\)
\(\Delta = 0\) et \(k - 2 > 0\) : parabole ouverte vers le haut, trinôme toujours \(\geq 0\). L'inéquation \(P(x) < 0\) n'a pas de solution :
\[ S = \emptyset. \]
Cas \(k > 1+\sqrt{5}\)
\(\Delta < 0\) et \(k - 2 > 0\) : parabole ouverte vers le haut, trinôme toujours positif. Donc \(S = \emptyset\).
Exercice 18 — niveau ★★★★★
Résoudre :
\[ (k+1)x^2 + (k-1)x - 2 > 0 \]
Résultat
\[ \begin{cases} x_1 < x < x_2, & k < -3, \\[6pt] S = \emptyset, & k = -3, \\[6pt] x_1 < x < x_2, & -3 < k < -1, \\[6pt] x < -1, & k = -1, \\[6pt] x < x_1 \ \text{ou}\ x > x_2, & k > -1. \end{cases} \]
Dans les cas à deux racines réelles distinctes, \(x_1\) et \(x_2\) désignent les racines ordonnées du trinôme, avec \(x_1 < x_2\).
Résolution
Le coefficient du terme du second degré est \(k+1\).
Cas \(k = -1\)
Si \(k = -1\), l'inéquation devient \(-2x - 2 > 0\), d'où \(x < -1\).
Cas \(k \neq -1\)
Calculons le discriminant :
\[ \Delta = (k-1)^2 + 8(k+1) = k^2 - 2k + 1 + 8k + 8 = k^2 + 6k + 9 = (k+3)^2. \]
Le discriminant est toujours \(\geq 0\) :
\[ \Delta = 0 \iff k = -3, \qquad \Delta > 0 \iff k \neq -3. \]
La concavité dépend du signe de \(k+1\).
Cas \(k < -3\)
\(\Delta > 0\) et \(k+1 < 0\) : parabole ouverte vers le bas, trinôme positif entre les racines :
\[ x_1 < x < x_2. \]
Cas \(k = -3\)
\(\Delta = 0\) et \(k+1 < 0\) : parabole ouverte vers le bas, trinôme toujours \(\leq 0\). L'inéquation est stricte, donc \(S = \emptyset\).
Cas \(-3 < k < -1\)
\(\Delta > 0\) et \(k+1 < 0\) : parabole ouverte vers le bas, trinôme positif entre les racines :
\[ x_1 < x < x_2. \]
Cas \(k > -1\)
\(\Delta > 0\) et \(k+1 > 0\) : parabole ouverte vers le haut, trinôme positif en dehors des racines :
\[ x < x_1 \quad \text{ou} \quad x > x_2. \]
Exercice 19 — niveau ★★★★★
Résoudre :
\[ (k-1)x^2 + (k-1)x + k > 0 \]
Résultat
\[ \begin{cases} S = \emptyset, & k \leq -\dfrac{1}{3}, \\[8pt] x_1 < x < x_2, & -\dfrac{1}{3} < k < 1, \\[8pt] S = \mathbb{R}, & k \geq 1. \end{cases} \]
Dans le cas \(-\dfrac{1}{3} < k < 1\), \(x_1\) et \(x_2\) sont les deux racines ordonnées, avec \(x_1 < x_2\).
Résolution
Le coefficient du terme du second degré est \(k-1\). La première valeur à considérer est \(k = 1\).
Cas \(k = 1\)
Si \(k = 1\), l'inéquation devient \(1 > 0\), toujours vraie. Donc \(S = \mathbb{R}\).
Cas \(k \neq 1\)
Calculons le discriminant :
\[ \Delta = (k-1)^2 - 4(k-1)k = (k-1)\bigl[(k-1) - 4k\bigr] = (k-1)(-3k-1). \]
Les valeurs critiques sont \(k = 1\) et \(k = -\dfrac{1}{3}\). On obtient :
\[ \Delta > 0 \iff -\tfrac{1}{3} < k < 1, \quad \Delta = 0 \iff k = -\tfrac{1}{3} \ \text{ou}\ k = 1, \quad \Delta < 0 \iff k < -\tfrac{1}{3} \ \text{ou}\ k > 1. \]
Cas \(k < -\dfrac{1}{3}\)
\(\Delta < 0\) et \(k - 1 < 0\) : parabole ouverte vers le bas, trinôme toujours négatif. \(S = \emptyset\).
Cas \(k = -\dfrac{1}{3}\)
\(\Delta = 0\) et \(k - 1 < 0\) : parabole ouverte vers le bas, trinôme toujours \(\leq 0\). L'inéquation est stricte, donc \(S = \emptyset\).
Cas \(-\dfrac{1}{3} < k < 1\)
\(\Delta > 0\) et \(k - 1 < 0\) : parabole ouverte vers le bas, trinôme positif entre les racines :
\[ x_1 < x < x_2. \]
Cas \(k > 1\)
\(\Delta < 0\) et \(k - 1 > 0\) : parabole ouverte vers le haut, trinôme toujours positif. Donc \(S = \mathbb{R}\).
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Résoudre :
\[ (k^2-9)x^2 + 6x + 1 \leq 0 \]
Résultat
\[ \begin{cases} S = \emptyset, & k < -3\sqrt{2}, \\[6pt] x = x_0, & k = -3\sqrt{2}, \\[6pt] x_1 \leq x \leq x_2, & -3\sqrt{2} < k < -3, \\[8pt] x \leq -\dfrac{1}{6}, & k = -3, \\[8pt] x \leq x_1 \ \text{ou}\ x \geq x_2, & -3 < k < 3, \\[8pt] x \leq -\dfrac{1}{6}, & k = 3, \\[8pt] x_1 \leq x \leq x_2, & 3 < k < 3\sqrt{2}, \\[6pt] x = x_0, & k = 3\sqrt{2}, \\[6pt] S = \emptyset, & k > 3\sqrt{2}. \end{cases} \]
Dans les cas à deux racines réelles distinctes, \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines ordonnées, avec \(x_1 < x_2\). Dans les cas \(k = \pm 3\sqrt{2}\), \(x_0\) est la racine double.
Résolution
Le coefficient du terme du second degré est \(k^2 - 9 = (k-3)(k+3)\). Les cas dégénérés se produisent pour \(k = \pm 3\).
Cas \(k = -3\) ou \(k = 3\)
Si \(k = \pm 3\), le terme du second degré s'annule et l'inéquation devient \(6x + 1 \leq 0\), d'où :
\[ x \leq -\frac{1}{6}. \]
Cas \(k \neq \pm 3\)
Calculons le discriminant :
\[ \Delta = 36 - 4(k^2-9) = 36 - 4k^2 + 36 = 72 - 4k^2 = 4(18 - k^2). \]
Comme \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) :
\[ \Delta > 0 \iff -3\sqrt{2} < k < 3\sqrt{2}, \quad \Delta = 0 \iff k = \pm 3\sqrt{2}, \quad \Delta < 0 \iff |k| > 3\sqrt{2}. \]
La concavité dépend du signe de \(k^2 - 9\) :
\[ k^2 - 9 > 0 \iff |k| > 3, \qquad k^2 - 9 < 0 \iff |k| < 3. \]
Cas \(k < -3\sqrt{2}\)
\(\Delta < 0\) et \(k^2 - 9 > 0\) : parabole ouverte vers le haut, trinôme toujours positif. \(S = \emptyset\).
Cas \(k = -3\sqrt{2}\)
\(\Delta = 0\) et \(k^2 - 9 > 0\) : parabole ouverte vers le haut, trinôme toujours \(\geq 0\). L'inéquation étant large, l'unique solution est la racine double :
\[ x = x_0. \]
Cas \(-3\sqrt{2} < k < -3\)
\(\Delta > 0\) et \(k^2 - 9 > 0\) : parabole ouverte vers le haut, trinôme négatif entre les racines :
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Cas \(-3 < k < 3\)
\(k^2 - 9 < 0\) (et nécessairement \(\Delta > 0\)) : parabole ouverte vers le bas, trinôme négatif en dehors des racines. Pour \(P(x) \leq 0\) :
\[ x \leq x_1 \quad \text{ou} \quad x \geq x_2. \]
Cas \(3 < k < 3\sqrt{2}\)
\(\Delta > 0\) et \(k^2 - 9 > 0\) : parabole ouverte vers le haut, trinôme négatif entre les racines :
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Cas \(k = 3\sqrt{2}\)
\(\Delta = 0\) et \(k^2 - 9 > 0\) : parabole ouverte vers le haut, trinôme s'annulant uniquement en la racine double :
\[ x = x_0. \]
Cas \(k > 3\sqrt{2}\)
\(\Delta < 0\) et \(k^2 - 9 > 0\) : parabole ouverte vers le haut, trinôme toujours positif. Donc \(S = \emptyset\).