Une collection progressive de 20 exercices résolus sur le produit cartésien, développés avec rigueur théorique et souci constant de la compréhension conceptuelle. Les exercices guident depuis la construction des couples ordonnés jusqu'à l'étude des sous-ensembles, des relations et des interprétations géométriques dans le plan.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Soient \( A = \{1,2\} \) et \( B = \{a,b\} \). Déterminer le produit cartésien \( A \times B \).
Résultat
\[ A \times B = \{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)\} \]
Résolution
Définition formelle
\[ A \times B = \{(x,y) \mid x \in A,\ y \in B\} \]
Interprétation
Chaque élément de \(A\) est associé à tous les éléments de \(B\). Le procédé est complet lorsque toutes les combinaisons possibles ont été engendrées.
Construction
Avec \(1\) :
\[(1,a),(1,b)\]
Avec \(2\) :
\[(2,a),(2,b)\]
Conclusion
L'ensemble final est la réunion de tous les couples construits.
Remarque
L'ordre est fondamental : \((1,a)\neq(a,1)\).
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Soient \( A = \{0,1\} \) et \( B = \{2,3,4\} \). Déterminer \( A \times B \) et son cardinal.
Résultat
\[ A \times B = \{(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4)\} \]
\[ |A \times B| = 6 \]
Résolution
Structure du problème
Chaque élément de \(A\) engendre un « bloc » de couples avec tous les éléments de \(B\).
Construction
Avec \(0\) :
\[(0,2),(0,3),(0,4)\]
Avec \(1\) :
\[(1,2),(1,3),(1,4)\]
Cardinal
\[ |A \times B| = |A|\cdot|B| = 2\cdot3 = 6 \]
Interprétation
Le produit cartésien crée une structure « en grille » : le choix de la première coordonnée est indépendant de la seconde.
Exercice 3 — niveau ★★☆☆☆
Soient \( A = \{-1,1\} \) et \( B = \{0,2\} \). Déterminer \( A \times B \) et l'interpréter dans le plan cartésien.
Résultat
\[ A \times B = \{(-1,0),(-1,2),(1,0),(1,2)\} \]
Résolution
Construction
Avec \(-1\) :
\[(-1,0),(-1,2)\]
Avec \(1\) :
\[(1,0),(1,2)\]
Interprétation géométrique
Les couples représentent des points du plan. L'ensemble forme les sommets d'un rectangle.
Remarque fondamentale
\[ A \times B \neq B \times A \]
En permutant les ensembles, on obtient des points différents.
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
Soient \( A = \{1,2,3\} \) et \( B = \{x\} \). Déterminer \( A \times B \).
Résultat
\[ A \times B = \{(1,x),(2,x),(3,x)\} \]
Résolution
Analyse
L'ensemble \(B\) ne contient qu'un seul élément : cela contraint la deuxième coordonnée.
Construction
\[ (1,x),(2,x),(3,x) \]
Interprétation
Tous les couples ont la même deuxième coordonnée.
Cardinal
\[ |A \times B| = 3 \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Soient \( A = \{a,b\} \) et \( B = \varnothing \). Déterminer \( A \times B \).
Résultat
\[ A \times B = \varnothing \]
Résolution
Définition
Il faut un élément \(y \in B\) pour construire un couple.
Remarque
\(B\) est vide, aucun choix n'est possible.
Conclusion
Il n'existe aucun couple :
\[ A \times B = \varnothing \]
Propriété générale
\[ A \times \varnothing = \varnothing \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Soient \( A = \{1,2,3\} \) et \( B = \{a,b\} \). Déterminer le sous-ensemble de \( A \times B \) défini par :
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x > 1\} \]
Résultat
\[ S = \{(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\} \]
Résolution
Compréhension de la condition
La condition \(x > 1\) ne sélectionne que certains éléments de \(A\).
Sélection
\[ A = \{1,2,3\} \Rightarrow x > 1 \Rightarrow x \in \{2,3\} \]
Construction
Avec \(2\) :
\[(2,a),(2,b)\]
Avec \(3\) :
\[(3,a),(3,b)\]
Interprétation
La contrainte porte uniquement sur la première coordonnée, ce qui revient à sélectionner des « colonnes » entières.
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Soient \( A = \{1,2,3\} \) et \( B = \{1,2\} \). Déterminer :
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x = y\} \]
Résultat
\[ S = \{(1,1),(2,2)\} \]
Résolution
Signification de la condition
La relation \(x = y\) impose que les deux coordonnées coïncident.
Vérification élément par élément
Couples possibles :
\((1,1)\) ✔
\((1,2)\) ✘
\((2,1)\) ✘
\((2,2)\) ✔
\((3,1)\) ✘
\((3,2)\) ✘
Conclusion
\[ S = \{(1,1),(2,2)\} \]
Remarque
Le couple \((3,3)\) n'apparaît pas car \(3 \notin B\).
Exercice 8 — niveau ★★★☆☆
Soit \( A = \{1,2,3\} \). Déterminer :
\[ A \times A \]
Résultat
\[ A \times A = \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\} \]
Résolution
Structure
Il s'agit du produit d'un ensemble par lui-même.
Construction
Avec \(1\) :
\[(1,1),(1,2),(1,3)\]
Avec \(2\) :
\[(2,1),(2,2),(2,3)\]
Avec \(3\) :
\[(3,1),(3,2),(3,3)\]
Cardinal
\[ |A \times A| = |A|^2 = 3^2 = 9 \]
Interprétation
On obtient une grille carrée : chaque élément est combiné avec lui-même.
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
Soient \( A = \{1,2,3\} \) et \( B = \{1,2,3\} \). Déterminer :
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x < y\} \]
Résultat
\[ S = \{(1,2),(1,3),(2,3)\} \]
Résolution
Signification de la condition
La relation \(x < y\) ne sélectionne que les couples dont la première coordonnée est strictement inférieure à la seconde.
Analyse systématique
Vérification :
\((1,2)\) ✔
\((1,3)\) ✔
\((2,3)\) ✔
tous les autres couples ✘
Interprétation géométrique
Les points sélectionnés se trouvent au-dessus de la diagonale \(x=y\).
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
Soient \( A = \{1,2\} \), \( B = \{a,b\} \), \( C = \{0,1\} \). Déterminer :
\[ A \times B \times C \]
Résultat
\[ \begin{aligned} A \times B \times C = \{ & (1,a,0),(1,a,1),(1,b,0),(1,b,1), \\ & (2,a,0),(2,a,1),(2,b,0),(2,b,1) \} \end{aligned} \]
Résolution
Définition
\[ A \times B \times C = \{(x,y,z) \mid x \in A,\ y \in B,\ z \in C\} \]
Stratégie
On construit d'abord \(A \times B\), puis on adjoint la troisième coordonnée.
Construction
Chaque couple de \(A \times B\) engendre deux triplets (avec 0 et 1).
Cardinal
\[ |A \times B \times C| = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \]
Interprétation
Il s'agit d'un produit cartésien à trois facteurs : chaque élément est un triplet ordonné.
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Soient \( A = \{1,2,3\} \) et \( B = \{1,2,3\} \). Déterminer :
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x \ge y\} \]
Résultat
\[ S = \{(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3)\} \]
Résolution
Interprétation de la condition
La relation \(x \ge y\) sélectionne tous les couples dont la première coordonnée est supérieure ou égale à la seconde.
Analyse systématique
\((1,1)\) ✔
\((2,1)\),\((2,2)\) ✔
\((3,1)\),\((3,2)\),\((3,3)\) ✔
Interprétation géométrique
On obtient la partie du plan en dessous de (et sur) la diagonale.
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Soient \( A = \{1,2,3,4\} \) et \( B = \{1,2,3\} \). Déterminer :
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x + y = 4\} \]
Résultat
\[ S = \{(1,3),(2,2),(3,1)\} \]
Résolution
Signification de la condition
La relation impose une contrainte sur les deux coordonnées : leur somme doit être égale à 4.
Vérification
\((1,3)\) ✔
\((2,2)\) ✔
\((3,1)\) ✔
tous les autres couples ✘
Interprétation géométrique
Les points sélectionnés sont situés sur une droite discrète : \(x + y = 4\).
Exercice 13 — niveau ★★★★☆
Soit \( A = \{1,2,3\} \). Déterminer :
\[ S = \{(x,y) \in A \times A \mid x \neq y\} \]
Résultat
\[ S = \{(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)\} \]
Résolution
Interprétation
La condition élimine tous les couples dont les deux coordonnées sont égales.
Construction
On part de \(A \times A\) (9 éléments) et on retire :
\[ (1,1),(2,2),(3,3) \]
Conclusion
Il reste 6 couples.
Remarque
\[ |S| = |A|^2 - |A| = 3^2 - 3 = 6 \]
Ce type d'ensemble est fondamental dans l'étude des relations.
Exercice 14 — niveau ★★★★☆
Soient \( A = \mathbb{N} \), \( B = \mathbb{N} \). Déterminer :
\[ S = \{(x,y) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid y = 2x\} \]
Résultat
\[ S = \{(x,2x) \mid x \in \mathbb{N}\} \]
Résolution
Analyse
L'ensemble est infini : il est constitué de tous les couples vérifiant \(y = 2x\).
Construction
Pour tout \(x \in \mathbb{N}\), il existe un unique \(y = 2x\).
Interprétation
L'ensemble représente une droite discrète dans le plan cartésien.
Remarque
Il ne constitue pas tout \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \), mais seulement une « ligne » en son sein.
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
Déterminer le sous-ensemble de \( \mathbb{R}^2 \) défini par :
\[ S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = x^2\} \]
Résultat
\[ S = \text{ensemble des points de la parabole } y = x^2 \]
Résolution
Interprétation
L'ensemble contient tous les couples de réels vérifiant la relation \(y = x^2\).
Structure
Il ne s'agit pas d'un ensemble discret, mais continu.
Signification géométrique
Il représente une parabole dans le plan cartésien.
Remarque fondamentale
Le produit cartésien \( \mathbb{R}^2 \) est le plan tout entier, tandis que \(S\) n'en est qu'une courbe.
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
Soit \( A = \{1,2,3\} \). Déterminer :
\[ S = \{(x,y) \in A \times A \mid x + y \text{ est pair}\} \]
Résultat
\[ S = \{(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3)\} \]
Résolution
Analyse de la condition
La somme est paire lorsque :
- pair + pair
- impair + impair
Classification
\(1, 3\) sont impairs — \(2\) est pair.
Construction
\[ (1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(2,2) \]
Interprétation
On obtient une structure régulière (de type échiquier), fondamentale dans l'étude des relations.
Exercice 17 — niveau ★★★★★
Soit \( A = \{1,2,3\} \). Déterminer si la relation :
\[ R = \{(x,y) \in A \times A \mid x \le y\} \]
est réflexive, symétrique, transitive.
Résultat
Réflexive ✔ — Symétrique ✘ — Transitive ✔
Résolution
Réflexivité
\[ (1,1),(2,2),(3,3) \in R \]
✔ propriété vérifiée
Symétrie
Si \((1,2) \in R\), alors \((2,1)\) devrait également y figurer, or :
\[ 2 \le 1 \text{ est faux} \]
✘ relation non symétrique
Transitivité
Si \(x \le y\) et \(y \le z\), alors \(x \le z\).
✔ propriété vérifiée
Interprétation
Il s'agit de la relation d'ordre naturelle.
Exercice 18 — niveau ★★★★★
Déterminer le sous-ensemble de \( \mathbb{R}^2 \) défini par :
\[ S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid xy = 1\} \]
Résultat
\[ S = \text{hyperbole } xy = 1 \]
Résolution
Analyse
La relation relie les deux variables de façon non linéaire.
Construction
\[ y = \frac{1}{x}, \quad x \neq 0 \]
Interprétation géométrique
On obtient une hyperbole à deux branches.
Remarque
Le produit cartésien contient le plan tout entier, mais cette relation n'en sélectionne qu'une courbe.
Exercice 19 — niveau ★★★★★
Soit \( A = \{1,2,3\} \). Déterminer :
\[ S = \{(x,y) \in A \times A \mid |x - y| = 1\} \]
Résultat
\[ S = \{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\} \]
Résolution
Interprétation
La condition sélectionne les couples dont les éléments sont à distance 1 l'un de l'autre.
Construction
\((1,2)\),\((2,1)\)
\((2,3)\),\((3,2)\)
Remarque
La relation est symétrique.
Interprétation graphique
On obtient deux diagonales parallèles à la diagonale principale.
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Déterminer le sous-ensemble de \( \mathbb{R}^2 \) défini par :
\[ S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \ge x^2\} \]
Résultat
\[ S = \text{région au-dessus de la parabole } y = x^2 \text{, parabole incluse} \]
Résolution
Interprétation
La relation ne sélectionne pas seulement une courbe, mais une région du plan.
Structure
\[ y \ge x^2 \]
comprend tous les points situés au-dessus de la parabole, ainsi que les points de la parabole elle-même.
Signification géométrique
On obtient une région infinie continue.
Remarque finale
Cet exemple montre qu'un sous-ensemble de \( \mathbb{R}^2 \) peut être :
- discret
- une courbe
- une région