Dans cette page, nous verrons comment calculer la dérivée de la fonction exponentielle en utilisant deux formes équivalentes du taux d’accroissement : l’une dans la variable \(h\), avec \(h\to 0\), et l’autre dans la variable \(x\), avec \(x\to x_0\).
Soit \(a>0\), avec \(a\neq 1\), et considérons la fonction exponentielle :
\[ f(x)=a^x \]
Les deux formes du taux d’accroissement sont :
\[ \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h} \qquad , \qquad \lim_{x\to x_0}\frac{a^x-a^{x_0}}{x-x_0} \]
Sommaire
Taux d’accroissement pour \( h\to 0 \)
Calculons la dérivée de la fonction exponentielle comme limite du taux d’accroissement :
\[ f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{a^{x_0+h}-a^{x_0}}{h} \]
Nous utilisons la propriété des puissances :
\[ a^{x_0+h} = a^{x_0}\cdot a^h \]
En substituant dans le taux d’accroissement :
\[ f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{a^{x_0}a^h-a^{x_0}}{h} \]
Factorisons \(a^{x_0}\) :
\[ f'(x_0) = a^{x_0} \lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h} \]
La limite remarquable de la fonction exponentielle est :
\[ \lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h} = \ln(a) \]
Par conséquent :
\[ f'(x_0) = a^{x_0}\ln(a) \]
Taux d’accroissement pour \( x\to x_0 \)
Appliquons maintenant la définition de la dérivée sous la forme :
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{a^x-a^{x_0}}{x-x_0} \]
Réécrivons \(a^x\) sous la forme :
\[ a^x = a^{x_0}\cdot a^{x-x_0} \]
En substituant :
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{a^{x_0}a^{x-x_0}-a^{x_0}}{x-x_0} \]
Factorisons \(a^{x_0}\) :
\[ f'(x_0) = a^{x_0} \lim_{x\to x_0} \frac{a^{x-x_0}-1}{x-x_0} \]
Introduisons la variable auxiliaire :
\[ u=x-x_0 \]
Comme \(x\to x_0\), on a :
\[ u\to 0 \]
La limite devient alors :
\[ \lim_{u\to 0} \frac{a^u-1}{u} \]
D’après la limite remarquable de la fonction exponentielle :
\[ \lim_{u\to 0} \frac{a^u-1}{u} = \ln(a) \]
Nous obtenons donc :
\[ f'(x_0) = a^{x_0}\ln(a) \]
En conclusion, la dérivée de la fonction exponentielle est :
\[ f'(x) = a^x\ln(a) \qquad , \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]