Dans l'étude des ensembles de nombres, il est souvent nécessaire de repérer la plus grande ou la plus petite valeur appartenant à un ensemble.
Les notions de maximum et de minimum permettent précisément de formaliser cette idée intuitive et constituent l'un des premiers outils fondamentaux de l'analyse mathématique.
Dans les sections qui suivent, nous introduirons les définitions rigoureuses du maximum et du minimum d'un ensemble, nous en étudierons les principales propriétés et nous analyserons plusieurs exemples significatifs.
Sommaire
- Maximum d'un ensemble
- Minimum d'un ensemble
- Unicité du maximum et du minimum
- Quand le maximum et le minimum existent-ils ?
- Exemples
- Relation avec la borne supérieure et la borne inférieure
Maximum d'un ensemble
Soit \(A\subseteq\mathbb{R}\) un ensemble non vide.
Un élément \(M\in A\) est appelé maximum de \(A\) si :
\[ x\leq M \qquad \forall x\in A. \]
Autrement dit, le maximum est le plus grand élément de l'ensemble, c'est-à-dire un élément supérieur ou égal à tous les autres éléments de l'ensemble lui-même.
Lorsqu'il existe, on écrit :
\[ M=\max A. \]
Dire que \(M\) est le maximum de \(A\) revient donc à vérifier simultanément deux conditions :
- \(M\in A\) ;
- \(x\leq M\) pour tout \(x\in A\).
La première condition est essentielle : un nombre qui n'appartient pas à l'ensemble ne peut pas en être le maximum.
Minimum d'un ensemble
Soit \(A\subseteq\mathbb{R}\) un ensemble non vide.
Un élément \(m\in A\) est appelé minimum de \(A\) si :
\[ m\leq x \qquad \forall x\in A. \]
Le minimum est donc le plus petit élément de l'ensemble, c'est-à-dire un élément inférieur ou égal à tous les autres éléments de l'ensemble.
Lorsqu'il existe, on écrit :
\[ m=\min A. \]
Là encore, les conditions suivantes doivent être satisfaites simultanément :
- \(m\in A\) ;
- \(m\leq x\) pour tout \(x\in A\).
Unicité du maximum et du minimum
Si un ensemble possède un maximum, celui-ci est unique.
En effet, supposons que \(M_1\) et \(M_2\) soient deux maxima de l'ensemble.
Puisque \(M_1\) est un maximum :
\[ M_2\leq M_1. \]
De même, puisque \(M_2\) est un maximum :
\[ M_1\leq M_2. \]
Des deux inégalités, on déduit :
\[ M_1=M_2. \]
Par conséquent, les deux maxima coïncident.
Le même raisonnement montre que le minimum, lorsqu'il existe, est lui aussi unique.
Quand le maximum et le minimum existent-ils ?
Les ensembles ne possèdent pas tous un maximum ou un minimum.
Pour qu'un ensemble admette un maximum, il doit exister un élément de l'ensemble qui soit supérieur ou égal à tous les autres éléments de l'ensemble.
De même, pour qu'il admette un minimum, il doit exister un élément de l'ensemble qui soit inférieur ou égal à tous les autres éléments de l'ensemble.
L'existence d'un maximum ou d'un minimum dépend donc non seulement de la forme de l'ensemble, mais aussi du fait que l'extremum éventuel appartienne effectivement à l'ensemble.
Exemples
Intervalle fermé
Considérons l'intervalle :
\[ [1,5]. \]
L'extrémité gauche \(1\) appartient à l'intervalle et est inférieure ou égale à tous les autres éléments de celui-ci.
Par conséquent :
\[ \min[1,5]=1. \]
De même :
\[ \max[1,5]=5. \]
Intervalle ouvert
Considérons à présent :
\[ (1,5). \]
Les nombres \(1\) et \(5\) n'appartiennent pas à l'intervalle.
En conséquence :
\[ \min(1,5) \]
n'existe pas, et
\[ \max(1,5) \]
n'existe pas non plus.
Aussi près de \(5\) que l'on se place, on peut toujours trouver un élément de l'intervalle encore plus grand.
Il en va de même au voisinage de \(1\).
Ensemble possédant un maximum mais pas de minimum
Considérons :
\[ A=(0,1]. \]
Puisque \(1\in A\) et qu'aucun élément de \(A\) n'est supérieur à \(1\),
\[ \max A=1. \]
Cependant, \(0\notin A\).
De plus, il n'existe aucun élément de l'ensemble qui soit inférieur ou égal à tous les autres éléments de l'ensemble.
Par conséquent, le minimum n'existe pas.
Ensemble possédant un minimum mais pas de maximum
Considérons :
\[ [2,+\infty). \]
Le nombre \(2\) appartient à l'ensemble et est inférieur ou égal à tous les autres éléments de celui-ci.
Ainsi :
\[ \min[2,+\infty)=2. \]
En revanche, l'ensemble ne possède aucun maximum, car il contient des nombres arbitrairement grands.
Relation avec la borne supérieure et la borne inférieure
Les notions de maximum et de minimum sont étroitement liées à celles de borne supérieure et de borne inférieure.
En particulier :
- si le maximum d'un ensemble existe, alors il coïncide avec sa borne supérieure ;
- si le minimum d'un ensemble existe, alors il coïncide avec sa borne inférieure.
La réciproque n'est toutefois pas toujours vraie.
Par exemple, l'intervalle ouvert :
\[ (1,5) \]
ne possède pas de maximum, mais admet pour borne supérieure le nombre \(5\).
De même, il ne possède pas de minimum, mais admet pour borne inférieure le nombre \(1\).
Les notions de maximum et de minimum sont étroitement liées à celles de borne supérieure et de borne inférieure. Lorsqu'ils existent, le maximum coïncide avec la borne supérieure, de même que le minimum avec la borne inférieure. La réciproque, cependant, n'est pas valable : un ensemble peut admettre une borne supérieure sans posséder de maximum (comme c'est le cas pour l'intervalle ouvert \((1,5)\), dont la borne supérieure est \(5\)).