Les équations paramétriques sont des équations dans lesquelles, en plus de l'inconnue, figurent une ou plusieurs lettres représentant des valeurs non fixées. Ces lettres s'appellent des paramètres.
Par exemple :
\[ (a-1)x=2 \]
est une équation paramétrique d'inconnue \(x\) et de paramètre \(a\).
La présence du paramètre modifie profondément la manière de résoudre l'équation. En effet, on ne cherche pas une unique solution numérique, mais on étudie comment l'ensemble des solutions varie selon la valeur du paramètre.
Autrement dit, une équation paramétrique ne pose pas seulement la question :
« quelle est la valeur de l'inconnue ? »
mais aussi :
« pour quelles valeurs du paramètre l'équation admet-elle une solution, aucune solution ou une infinité de solutions ? »
Qu'est-ce qu'un paramètre
Un paramètre est une lettre qui figure dans une équation sans être considérée comme l'inconnue principale.
Dans l'équation :
\[ ax+1=0 \]
l'inconnue est \(x\), tandis que \(a\) est un paramètre.
Cela signifie que \(a\) peut prendre différentes valeurs réelles et que, pour chaque valeur de \(a\), on obtient une équation différente.
Par exemple :
si \(a=2\), l'équation devient :
\[ 2x+1=0 \]
si \(a=-1\), elle devient :
\[ -x+1=0 \]
si \(a=0\), elle devient :
\[ 1=0 \]
Ce dernier cas montre immédiatement pourquoi les paramètres doivent être traités avec soin : certaines valeurs peuvent changer complètement la nature de l'équation.
équations paramétriques du premier degré
Considérons la forme générale :
\[ A(a)x=B(a) \]
où \(A(a)\) et \(B(a)\) sont des expressions dépendant du paramètre \(a\).
La résolution dépend du coefficient de l'inconnue \(x\), c'est-à-dire de \(A(a)\).
Si :
\[ A(a)\ne0 \]
on peut diviser les deux membres par \(A(a)\), ce qui donne :
\[ x=\frac{B(a)}{A(a)} \]
En revanche, si :
\[ A(a)=0 \]
la division par \(A(a)\) est impossible. Il faut alors substituer la valeur du paramètre dans l'équation et examiner ce qu'il en reste.
Le point essentiel : ne jamais diviser par une quantité qui peut être nulle
L'erreur la plus fréquente dans les équations paramétriques consiste à diviser par une expression dépendant du paramètre sans vérifier au préalable quand celle-ci s'annule.
Par exemple, à partir de l'équation :
\[ (a-1)x=2 \]
il serait incorrect d'écrire directement :
\[ x=\frac{2}{a-1} \]
sans observer au préalable que :
\[ a-1=0 \quad \Longleftrightarrow \quad a=1 \]
En effet, si \(a=1\), l'équation devient :
\[ 0\cdot x=2 \]
c'est-à-dire :
\[ 0=2 \]
ce qui est impossible.
La formule :
\[ x=\frac{2}{a-1} \]
n'est donc valable que pour :
\[ a\ne1 \]
Discussion des cas
Résoudre une équation paramétrique consiste souvent à effectuer une discussion, c'est-à-dire à distinguer les valeurs du paramètre selon différents cas.
La discussion permet de déterminer :
- pour quelles valeurs du paramètre l'équation est déterminée ;
- pour quelles valeurs elle est impossible ;
- pour quelles valeurs elle est indéterminée.
Pour une équation du premier degré :
\[ A(a)x=B(a) \]
trois situations se présentent.
Cas \(A(a)\ne0\)
L'équation admet une unique solution :
\[ x=\frac{B(a)}{A(a)} \]
Cas \(A(a)=0\) et \(B(a)\ne0\)
L'équation devient :
\[ 0\cdot x=B(a) \]
avec \(B(a)\ne0\). On obtient alors une égalité fausse :
\[ 0=B(a) \]
et l'équation est impossible.
Cas \(A(a)=0\) et \(B(a)=0\)
L'équation devient :
\[ 0\cdot x=0 \]
c'est-à-dire :
\[ 0=0 \]
Cette égalité est toujours vraie, donc tout nombre réel est solution.
L'équation est alors indéterminée :
\[ S=\mathbb{R} \]
Premier exemple résolu
Résolvons et discutons l'équation :
\[ ax=4 \]
L'inconnue est \(x\) et \(a\) est un paramètre réel.
Le coefficient de \(x\) est \(a\). Nous distinguons deux cas.
Cas \(a\ne0\)
Si \(a\ne0\), on peut diviser les deux membres par \(a\) :
\[ x=\frac{4}{a} \]
Pour \(a\ne0\), l'équation admet donc une unique solution :
\[ S=\left\{\frac{4}{a}\right\} \]
Cas \(a=0\)
Si \(a=0\), l'équation devient :
\[ 0\cdot x=4 \]
c'est-à-dire :
\[ 0=4 \]
Cette égalité est fausse. L'équation n'a donc aucune solution :
\[ S=\varnothing \]
En résumé :
\[ \begin{cases} a\ne0 & \Rightarrow S=\left\{\frac{4}{a}\right\} \\ a=0 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Deuxième exemple résolu
Résolvons et discutons :
\[ (a-2)x=a-2 \]
Le coefficient de l'inconnue est :
\[ a-2 \]
Avant de diviser par \(a-2\), déterminons pour quelle valeur ce coefficient s'annule :
\[ a-2=0 \quad \Longleftrightarrow \quad a=2 \]
Cas \(a\ne2\)
Si \(a\ne2\), alors \(a-2\ne0\). On peut donc diviser les deux membres par \(a-2\) :
\[ x=\frac{a-2}{a-2} \]
Puisque \(a-2\ne0\), la fraction vaut :
\[ x=1 \]
Donc :
\[ S=\{1\} \]
Cas \(a=2\)
Si \(a=2\), substituons dans l'équation initiale :
\[ (2-2)x=2-2 \]
c'est-à-dire :
\[ 0\cdot x=0 \]
soit :
\[ 0=0 \]
Cette égalité est vraie pour toute valeur de \(x\). Donc :
\[ S=\mathbb{R} \]
En résumé :
\[ \begin{cases} a\ne2 & \Rightarrow S=\{1\} \\ a=2 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Troisième exemple résolu
Résolvons et discutons :
\[ (a+1)x=a^2-1 \]
Le coefficient de l'inconnue est :
\[ a+1 \]
Nous devons distinguer le cas où ce coefficient est non nul du cas où il s'annule.
Résolvons :
\[ a+1=0 \quad \Longleftrightarrow \quad a=-1 \]
Cas \(a\ne-1\)
Si \(a\ne-1\), alors \(a+1\ne0\). On peut diviser les deux membres par \(a+1\) :
\[ x=\frac{a^2-1}{a+1} \]
Factorisons le numérateur :
\[ a^2-1=(a-1)(a+1) \]
Donc :
\[ x=\frac{(a-1)(a+1)}{a+1} \]
Comme nous sommes dans le cas \(a\ne-1\), on a \(a+1\ne0\), ce qui permet de simplifier :
\[ x=a-1 \]
Ainsi :
\[ S=\{a-1\} \]
Cas \(a=-1\)
Si \(a=-1\), substituons dans l'équation initiale :
\[ (-1+1)x=(-1)^2-1 \]
c'est-à-dire :
\[ 0\cdot x=1-1 \]
soit :
\[ 0=0 \]
L'équation est vérifiée pour toute valeur réelle de \(x\). Donc :
\[ S=\mathbb{R} \]
En résumé :
\[ \begin{cases} a\ne-1 & \Rightarrow S=\{a-1\} \\ a=-1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Équations paramétriques avec le paramètre au dénominateur
Dans certaines équations, le paramètre figure au dénominateur. Dans ce cas, la première étape n'est pas de résoudre l'équation, mais d'établir pour quelles valeurs du paramètre elle a un sens.
Considérons :
\[ \frac{x}{a-1}=3 \]
Le dénominateur ne peut pas être nul, il faut donc imposer :
\[ a-1\ne0 \]
c'est-à-dire :
\[ a\ne1 \]
L'équation n'est définie que pour \(a\ne1\). Dans ce cas, on multiplie les deux membres par \(a-1\) :
\[ x=3(a-1) \]
soit :
\[ x=3a-3 \]
En résumé :
\[ a\ne1 \quad \Rightarrow \quad S=\{3a-3\} \]
Pour :
\[ a=1 \]
l'équation n'est pas définie, car le dénominateur serait nul.
Équations paramétriques du second degré
Les équations paramétriques peuvent également être du second degré. Dans ce cas, le paramètre peut influencer le discriminant et donc le nombre de solutions réelles.
Considérons la forme générale :
\[ Ax^2+Bx+C=0 \]
où au moins l'un des coefficients \(A\), \(B\), \(C\) dépend d'un paramètre.
Si \(A\ne0\), l'équation est du second degré et l'on étudie le discriminant :
\[ \Delta=B^2-4AC \]
Selon le signe de \(\Delta\), trois cas se présentent :
- si \(\Delta>0\), l'équation admet deux solutions réelles distinctes ;
- si \(\Delta=0\), l'équation admet une solution réelle double ;
- si \(\Delta<0\), l'équation n'admet aucune solution réelle.
Si en revanche \(A=0\), l'équation n'est plus du second degré et doit être étudiée comme une équation du premier degré.
Exemple d'équation paramétrique du second degré
Discutons l'équation :
\[ x^2-2x+a=0 \]
Ici, le paramètre \(a\) figure dans le terme constant.
Le coefficient de \(x^2\) est \(1\), donc l'équation est toujours du second degré.
Calculons le discriminant :
\[ \Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot a \]
c'est-à-dire :
\[ \Delta=4-4a \]
En factorisant par \(4\) :
\[ \Delta=4(1-a) \]
Le nombre de solutions réelles dépend du signe de \(1-a\).
Cas \(\Delta>0\)
On a :
\[ 4(1-a)>0 \]
Puisque \(4>0\), le signe dépend de \(1-a\) :
\[ 1-a>0 \]
soit :
\[ a<1 \]
Pour \(a<1\), l'équation admet deux solutions réelles distinctes.
Cas \(\Delta=0\)
On a :
\[ 4(1-a)=0 \]
c'est-à-dire :
\[ 1-a=0 \]
soit :
\[ a=1 \]
Pour \(a=1\), l'équation admet une solution réelle double.
Cas \(\Delta<0\)
On a :
\[ 4(1-a)<0 \]
soit :
\[ 1-a<0 \]
d'où :
\[ a>1 \]
Pour \(a>1\), l'équation n'admet aucune solution réelle.
En résumé :
\[ \begin{cases} a<1 & \text{deux solutions réelles distinctes} \\ a=1 & \text{une solution réelle double} \\ a>1 & \text{aucune solution réelle} \end{cases} \]
Remarque finale
Les équations paramétriques exigent une réflexion plus rigoureuse que les équations numériques ordinaires. Le paramètre n'est pas un simple symbole accessoire : il peut modifier le degré de l'équation, annuler des coefficients, rendre impossible une division ou changer le nombre de solutions.
C'est pourquoi la démarche correcte ne consiste pas à résoudre mécaniquement, mais à discuter les cas.
En particulier, chaque fois qu'une quantité dépend du paramètre, il faut se demander si elle peut s'annuler. Ce n'est qu'après cette vérification qu'il est possible de diviser, de simplifier ou d'appliquer les formules de résolution de manière rigoureuse.
Comprendre les équations paramétriques, c'est donc apprendre à lire une équation non pas comme un problème unique, mais comme une famille de problèmes, un pour chaque valeur du paramètre.