Une équation de degré supérieur est une équation polynomiale dont le degré est supérieur ou égal à \(3\). Contrairement aux équations du premier et du second degré, il n'existe pas de méthode universelle permettant d'en déterminer directement les solutions. La résolution dépend en effet de la structure du polynôme et de la capacité à ramener l'équation à des produits plus simples.
Le principe fondamental est qu'un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. C'est pourquoi une grande partie de la théorie des équations de degré supérieur repose sur la factorisation des polynômes.
Dans de nombreux cas, on ne résout pas l'équation « directement », mais on transforme le polynôme en un produit de facteurs de degré inférieur. Une fois cette forme factorisée obtenue, l'équation initiale se décompose en équations plus simples, le plus souvent du premier ou du second degré.
Sommaire
- Qu'est-ce qu'une équation de degré supérieur
- Règle du produit nul
- Équations résolubles par mise en facteur commun
- Équations résolubles par identités remarquables
- Équations factorisables par la règle de Ruffini
- Équations bicarrées
- Équations trinômes de degré supérieur
- Multiplicité des racines
- Stratégie générale de résolution
- Erreurs à éviter
Qu'est-ce qu'une équation de degré supérieur
On appelle équation de degré supérieur toute équation polynomiale de la forme :
\[ P(x)=0 \]
où \(P(x)\) est un polynôme de degré supérieur ou égal à \(3\).
Par exemple :
\[ x^3-4x=0, \]
\[ x^4-5x^2+4=0, \]
\[ x^5-2x^4+x^2=0 \]
sont toutes des équations de degré supérieur.
Le degré de l'équation correspond à l'exposant le plus élevé de la variable après avoir réduit tous les termes.
Par exemple, dans l'équation :
\[ x^4-3x^2+1=0 \]
le degré est \(4\), car l'exposant maximal de \(x\) est \(4\).
Règle du produit nul
La propriété fondamentale utilisée dans la résolution des équations de degré supérieur est la règle du produit nul :
\[ A\cdot B=0 \quad \Longleftrightarrow \quad A=0 \ \text{ou} \ B=0. \]
Plus généralement :
\[ A_1\cdot A_2\cdot \dots \cdot A_n=0 \]
si et seulement si au moins l'un des facteurs est nul.
Cette propriété est au cœur de toute la théorie. En effet, une fois le polynôme décomposé en facteurs, l'équation initiale se ramène à un produit égal à zéro.
Exemple
Résolvons :
\[ x^3-4x=0. \]
On met en facteur commun \(x\) :
\[ x(x^2-4)=0. \]
Le polynôme \(x^2-4\) est une différence de deux carrés :
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
On obtient ainsi :
\[ x(x-2)(x+2)=0. \]
En appliquant la règle du produit nul :
\[ x=0 \]
ou :
\[ x-2=0 \]
ou :
\[ x+2=0. \]
Les solutions sont :
\[ x=0,\qquad x=2,\qquad x=-2. \]
Équations résolubles par mise en facteur commun
Dans de nombreuses équations de degré supérieur, la première étape consiste à mettre en évidence un facteur commun.
Exemple
Résolvons :
\[ x^4-3x^3=0. \]
Tous les termes contiennent le facteur \(x^3\). En le mettant en évidence :
\[ x^3(x-3)=0. \]
On applique la règle du produit nul :
\[ x^3=0 \]
ou :
\[ x-3=0. \]
La première équation donne :
\[ x=0, \]
tandis que la seconde fournit :
\[ x=3. \]
L'ensemble des solutions est donc :
\[ S=\{0,3\}. \]
La mise en facteur commun est souvent la méthode la plus rapide et doit toujours être la première vérification à effectuer.
Équations résolubles par identités remarquables
De nombreuses équations peuvent être factorisées à l'aide des identités remarquables.
Exemple
Résolvons :
\[ x^4-16=0. \]
On remarque que :
\[ 16=4^2. \]
Donc :
\[ x^4-16=(x^2)^2-4^2. \]
On applique la différence de deux carrés :
\[ x^4-16=(x^2-4)(x^2+4). \]
On peut factoriser davantage :
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
On obtient :
\[ (x-2)(x+2)(x^2+4)=0. \]
On résout chaque équation :
\[ x-2=0, \]
\[ x+2=0, \]
\[ x^2+4=0. \]
Les deux premières donnent :
\[ x=2, \qquad x=-2. \]
L'équation :
\[ x^2+4=0 \]
n'admet pas de solution réelle, car :
\[ x^2=-4 \]
est impossible dans les réels.
Ainsi :
\[ S=\{-2,2\}. \]
Équations factorisables par la règle de Ruffini
Lorsque le polynôme n'est pas immédiatement factorisable, il peut être utile de chercher des racines rationnelles et d'appliquer la règle de Ruffini.
Exemple
Résolvons :
\[ x^3-6x^2+11x-6=0. \]
On teste les diviseurs du terme constant \(6\) :
\[ \pm1,\quad \pm2,\quad \pm3,\quad \pm6. \]
En substituant \(x=1\) :
\[ 1-6+11-6=0. \]
Donc \(x=1\) est une racine du polynôme.
On peut alors diviser le polynôme par \(x-1\) en appliquant la règle de Ruffini, ce qui donne :
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6). \]
Le trinôme se factorise :
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
L'équation devient :
\[ (x-1)(x-2)(x-3)=0. \]
Les solutions sont :
\[ x=1,\qquad x=2,\qquad x=3. \]
Équations bicarrées
Un cas particulier très important est celui des équations bicarrées, c'est-à-dire des équations de la forme :
\[ ax^4+bx^2+c=0. \]
Ces équations ne font intervenir que \(x^4\), \(x^2\) et le terme constant.
L'idée fondamentale consiste à poser :
\[ y=x^2. \]
L'équation se ramène ainsi à une équation du second degré.
Exemple
Résolvons :
\[ x^4-5x^2+4=0. \]
On pose :
\[ y=x^2. \]
On obtient :
\[ y^2-5y+4=0. \]
On factorise :
\[ (y-1)(y-4)=0. \]
Donc :
\[ y=1 \]
ou :
\[ y=4. \]
On revient à la variable \(x\) :
\[ x^2=1 \]
ou :
\[ x^2=4. \]
En résolvant :
\[ x=\pm1, \qquad x=\pm2. \]
L'ensemble des solutions est :
\[ S=\{-2,-1,1,2\}. \]
Équations trinômes de degré supérieur
Certaines équations de degré supérieur présentent une structure analogue à celle des équations du second degré.
Par exemple :
\[ x^6-5x^3+6=0. \]
On pose dans ce cas :
\[ y=x^3. \]
On obtient :
\[ y^2-5y+6=0. \]
En factorisant :
\[ (y-2)(y-3)=0. \]
Donc :
\[ y=2 \]
ou :
\[ y=3. \]
En revenant à la variable initiale :
\[ x^3=2 \]
ou :
\[ x^3=3. \]
Les solutions réelles sont :
\[ x=\sqrt[3]{2}, \qquad x=\sqrt[3]{3}. \]
Multiplicité des racines
Une racine peut apparaître plusieurs fois dans la factorisation d'un polynôme.
Par exemple :
\[ (x-2)^3(x+1)=0. \]
Les solutions sont :
\[ x=2 \]
et :
\[ x=-1. \]
Cependant, \(x=2\) apparaît trois fois dans la factorisation ; on dit alors que c'est une racine triple.
La multiplicité d'une racine revêt une importance particulière dans l'étude des fonctions polynomiales et de leurs représentations graphiques.
Stratégie générale de résolution
En pratique, il est conseillé de suivre une démarche ordonnée.
- ramener tous les termes au membre de gauche ;
- mettre en évidence d'éventuels facteurs communs ;
- reconnaître les identités remarquables applicables ;
- rechercher d'éventuels changements de variable ;
- appliquer la règle de Ruffini si nécessaire ;
- factoriser complètement le polynôme ;
- appliquer la règle du produit nul.
L'objectif final est toujours le même : transformer l'équation en un produit de facteurs égal à zéro.
Erreurs à éviter
La première erreur consiste à oublier que la propriété :
\[ AB=0 \quad \Longrightarrow \quad A=0 \ \text{ou} \ B=0 \]
n'est valable que lorsque le produit est égal à zéro.
Par exemple :
\[ AB=6 \]
n'implique nullement :
\[ A=6 \qquad \text{ou} \qquad B=6. \]
La deuxième erreur consiste à s'arrêter trop tôt dans la factorisation. Par exemple :
\[ x^4-16=(x^2-4)(x^2+4) \]
n'est pas encore complètement factorisé, car :
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
La troisième erreur consiste à perdre des solutions lors des changements de variable. Lorsqu'on pose :
\[ y=x^2, \]
il faut se rappeler que :
\[ x^2=4 \]
admet deux solutions :
\[ x=2 \qquad \text{et} \qquad x=-2. \]
Les équations de degré supérieur ne se résolvent pas à l'aide d'une formule unique, mais par des techniques de factorisation et de transformation du polynôme.
Le principe central reste toujours le même : ramener l'équation à un produit de facteurs égal à zéro, puis appliquer la règle du produit nul.
C'est pourquoi la maîtrise de la factorisation, des identités remarquables et de la règle de Ruffini est indispensable. Les équations de degré supérieur constituent en effet un carrefour entre l'algèbre élémentaire, la théorie des polynômes et l'étude des fonctions.