Le produit cartésien est l’une des constructions les plus importantes de la théorie des ensembles. Il doit son nom à René Descartes, qui introduisit le système de coordonnées cartésiennes, permettant d’associer à chaque point du plan un couple ordonné de nombres réels.
Cette opération permet de dépasser la notion d’ensemble isolé pour bâtir des structures ordonnées, fournissant ainsi le fondement rigoureux des notions de relation, de fonction, de graphe et d’espaces multidimensionnels.
Sommaire
- Définition Formelle
- Propriétés Fondamentales
- Propriétés Distributives
- Interprétation Géométrique
- Produit Cartésien de Plusieurs Ensembles
- Relations et Fonctions
- Approfondissement sur la Cardinalité
- Exercices Corrigés
- Conclusion
Définition Formelle
Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles. Le produit cartésien de \(A\) et \(B\), noté \(A \times B\), est l’ensemble de tous les couples ordonnés :
\[ A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \land b \in B\} \]
Le couple \((a, b)\) est ordonné : l’ordre des composantes joue un rôle essentiel. On a, en effet :
\[(a, b) = (c, d) \quad \iff \quad a = c \ \text{et} \ b = d\]
Un exemple classique
Soient \(A = \{1, 2\}\) et \(B = \{x, y\}\). Alors :
\[ A \times B = \{(1,x), (1,y), (2,x), (2,y)\} \]
Remarque : qu’est-ce qu’un couple ordonné, au juste ?
Sur le plan intuitif, un couple ordonné, c’est tout simplement « deux éléments rangés dans un certain ordre ». Mais en théorie des ensembles, où tout doit être construit à partir de la seule notion primitive d’ensemble, il faut en donner une définition précise. La plus répandue est celle de Kuratowski :
\[ (a, b) := \{\, \{a\},\ \{a, b\} \,\} \]
On peut montrer qu’avec cette définition la propriété caractéristique \((a,b) = (c,d) \iff a = c \land b = d\) est bien satisfaite ; or, c’est au fond la seule chose que l’on demande à un « couple ordonné ». Dans la pratique des calculs, cette construction n’est jamais employée : elle sert uniquement à garantir que le produit cartésien est un objet bien défini au sein de la théorie.
Propriétés Fondamentales
Si \(A\) et \(B\) sont des ensembles finis, le cardinal du produit cartésien est donné par :
\[ |A \times B| = |A| \cdot |B| \]
Par ailleurs, le produit cartésien est vide précisément lorsque l’un au moins des deux facteurs l’est :
\[ A \times B = \varnothing \quad \iff \quad A = \varnothing \ \text{ou} \ B = \varnothing \]
En particulier, \( A \times \varnothing = \varnothing \times A = \varnothing \).
En général, le produit cartésien n’est pas commutatif. Plus précisément :
\[ A \times B = B \times A \quad \iff \quad A = B \ \text{ou} \ A = \varnothing \ \text{ou} \ B = \varnothing \]
On dispose également d’une simple propriété de monotonie vis-à-vis de l’inclusion : si \(A \subseteq A'\) et \(B \subseteq B'\), alors \(A \times B \subseteq A' \times B'\). La vérification est immédiate : si \((a,b) \in A \times B\), alors \(a \in A \subseteq A'\) et \(b \in B \subseteq B'\), d’où \((a,b) \in A' \times B'\).
Propriétés Distributives
Le produit cartésien se distribue par rapport aux principales opérations ensemblistes :
- \( A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C) \)
- \( A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) \)
- \( A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C) \)
Démonstration de la distributivité par rapport à l’intersection. Soit \((a,x)\in A\times(B\cap C)\). Alors \(a\in A\) et \(x\in B\cap C\), c’est-à-dire \(x\in B\) et \(x\in C\). On a donc \((a,x)\in A\times B\) et \((a,x)\in A\times C\), d’où \((a,x)\in (A\times B)\cap(A\times C)\).
Réciproquement, soit \((a,x)\in (A\times B)\cap(A\times C)\). Alors \((a,x)\in A\times B\) et \((a,x)\in A\times C\). Il en résulte que \(a\in A\), \(x\in B\) et \(x\in C\), si bien que \(x\in B\cap C\) et \((a,x)\in A\times(B\cap C)\).
Démonstration de la distributivité par rapport à la réunion. Soit \((a,x)\in A\times(B\cup C)\). Alors \(a\in A\) et \(x\in B\cup C\), c’est-à-dire \(x\in B\) ou \(x\in C\). Par conséquent \((a,x)\in A\times B\) ou \((a,x)\in A\times C\), d’où \((a,x)\in (A\times B)\cup(A\times C)\).
Réciproquement, soit \((a,x)\in (A\times B)\cup(A\times C)\). Alors \(a\in A\) et (\(x\in B\) ou \(x\in C\)), donc \(a\in A\) et \(x\in B\cup C\), c’est-à-dire \((a,x)\in A\times(B\cup C)\).
Attention : une erreur fréquente
Une tentation courante consiste à écrire
\[ (A \cup C) \times (B \cup D) \stackrel{?}{=} (A \times B) \cup (C \times D) \]
mais cette égalité est fausse en général. Un seul contre-exemple suffit : posons \(A = C = \{1\}\), \(B = \{2\}\), \(D = \{3\}\). Alors \((A \cup C) \times (B \cup D) = \{1\} \times \{2,3\} = \{(1,2), (1,3)\}\), tandis que \((A \times B) \cup (C \times D) = \{(1,2)\} \cup \{(1,3)\} = \{(1,2),(1,3)\}\). Dans ce cas particulier, l’égalité se trouve vérifiée, mais si l’on prend \(A = \{1\}\), \(C = \{2\}\), \(B = \{3\}\), \(D = \{4\}\), on obtient :
\[ (A \cup C) \times (B \cup D) = \{1,2\} \times \{3,4\} = \{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\} \]
\[ (A \times B) \cup (C \times D) = \{(1,3)\} \cup \{(2,4)\} = \{(1,3),(2,4)\} \]
Les deux ensembles sont manifestement différents : dans le premier figurent en outre les « couples mixtes » \((1,4)\) et \((2,3)\). En revanche, l’égalité suivante, facile à démontrer, est bel et bien vraie :
\[ (A \cap C) \times (B \cap D) = (A \times B) \cap (C \times D) \]
Interprétation Géométrique
Lorsque \(A, B \subseteq \mathbb{R}\), le produit cartésien \(A \times B\) correspond à une région du plan cartésien \(\mathbb{R}^2\).
Exemples
- \([0,1] \times [0,1]\) est le carré unité fermé
- \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) représente le plan cartésien tout entier
Produit Cartésien de Plusieurs Ensembles
La définition s’étend naturellement à plusieurs ensembles. Étant donné \(n\) ensembles \(A_1, \dots, A_n\) :
\[ A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \{(a_1,a_2,\dots,a_n) \mid a_i \in A_i \ \forall i=1,\dots,n\} \]
En particulier, l’espace euclidien de dimension \(n\) se définit comme :
\[ \mathbb{R}^n = \underbrace{\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \cdots \times \mathbb{R}}_{n \text{ fois}} \]
Remarque : le produit est-il associatif ?
À strictement parler, les ensembles \((A \times B) \times C\) et \(A \times (B \times C)\) ne sont pas égaux : le premier contient des éléments de la forme \(((a,b),c)\), le second des éléments de la forme \((a,(b,c))\). Il existe toutefois une bijection naturelle entre les deux (et avec \(A \times B \times C\), entendu comme l’ensemble des triplets ordonnés) :
\[ ((a,b),c) \ \longleftrightarrow \ (a,b,c) \ \longleftrightarrow \ (a,(b,c)) \]
C’est la raison pour laquelle, en pratique, on tient l’associativité pour acquise et l’on écrit simplement \(A \times B \times C\), sans parenthèses.
Relations et Fonctions
Une relation entre deux ensembles \(A\) et \(B\) est une partie quelconque du produit cartésien :
\[ R \subseteq A \times B \]
Une fonction \(f: A \to B\) est une relation particulière qui associe à chaque élément de \(A\) un et un seul élément de \(B\) :
\[ \forall a \in A, \ \exists! \, b \in B \quad \text{tel que} \ (a,b) \in f \]
Fonctions réelles d’une variable réelle
Une fonction \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) peut être identifiée à son graphe :
\[ G_f = \{(x, f(x)) \mid x \in \mathbb{R}\} \subseteq \mathbb{R} \times \mathbb{R} \]
Géométriquement, le graphe doit satisfaire le critère de la droite verticale : toute droite verticale rencontre le graphe en au plus un point.
Combien de fonctions existe-t-il ?
L’ensemble de toutes les fonctions de \(A\) dans \(B\) se note \(B^A\). Pour des ensembles finis, on dispose de la formule :
\[ |B^A| = |B|^{|A|} \]
Le parallèle avec \(|A \times B| = |A| \cdot |B|\) est éclairant : dans le produit cartésien, on choisit deux composantes, l’une dans \(A\) et l’autre dans \(B\) ; pour les fonctions \(A \to B\), on choisit une valeur de \(B\) pour chacun des \(|A|\) éléments de \(A\), ce qui justifie l’exposant.
Approfondissement sur la Cardinalité
Pour des ensembles finis, la formule \(|A \times B| = |A| \cdot |B|\) est très intuitive : il suffit de dénombrer les couples. En revanche, dans le cas infini, les choses sont plus subtiles et les résultats souvent surprenants.
Un résultat célèbre, dû à Georg Cantor, affirme qu’il existe une bijection entre les points d’une droite et ceux d’un plan :
\[ |\mathbb{R} \times \mathbb{R}| = |\mathbb{R}| \]
Dit de manière informelle : le plan contient « autant de points » qu’une droite. Il en va de même pour l’espace tridimensionnel et, plus généralement, pour \(\mathbb{R}^n\) avec \(n \geq 1\) : tous ces ensembles ont le même cardinal, noté \(\mathfrak{c}\) (la puissance du continu).
Ce résultat est moins paradoxal qu’il n’y paraît : l’égalité ne porte que sur le « nombre de points » en tant qu’ensemble, et non sur la dimension géométrique ni sur la structure topologique. Une droite et un plan demeurent des objets très différents du point de vue géométrique.
Exercices Corrigés
Exercice 1. Soient \(A = \{a, b\}\) et \(B = \{1, 2, 3\}\). Déterminer \(A \times B\) et son cardinal.
Corrigé : \( A \times B = \{(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)\} \). Cardinal : \(|A \times B| = 2 \times 3 = 6\).
Exercice 2. Montrer que \(A \times B \neq B \times A\) en prenant \(A = \{1,2\}\) et \(B = \{3\}\).
Corrigé : \(A \times B = \{(1,3), (2,3)\}\), \(B \times A = \{(3,1), (3,2)\}\). Les deux ensembles sont distincts.
Exercice 3. Soit \(A = \{1,2,3\}\). Calculer \(|A \times A \times A|\) et interpréter le résultat.
Corrigé : \( |A \times A \times A| = 3 \times 3 \times 3 = 27 \). Cela représente l’ensemble des triplets ordonnés à coefficients dans \(\{1,2,3\}\).
Exercice 4. Considérer la relation \(R = \{(x,y) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid x \leq y\}\). Est-ce une fonction ? Justifier la réponse.
Corrigé : Non, ce n’est pas une fonction. Pour qu’il s’agisse d’une fonction, chaque \(x \in \mathbb{N}\) devrait posséder une image unique ; or chaque \(x\) est en relation avec une infinité de valeurs de \(y\) (tous les entiers naturels supérieurs ou égaux à \(x\)). Par exemple, \((1,1), (1,2), (1,3) \in R\), ce qui contredit la condition d’unicité.
Exercice 5. Déterminer si la relation suivante est une fonction de \(A = \{1,2,3\}\) dans \(B = \{a,b\}\) : \[f = \{(1,a), (2,b), (3,a)\}\]
Corrigé : Oui, il s’agit bien d’une fonction, car à chaque élément de \(A\) correspond exactement un élément de \(B\).
Exercice 6. Démontrer que \( (A \cap C) \times (B \cap D) = (A \times B) \cap (C \times D) \).
Corrigé : Soit \((x,y) \in (A \cap C) \times (B \cap D)\). Alors \(x \in A \cap C\) et \(y \in B \cap D\), c’est-à-dire \(x \in A\), \(x \in C\), \(y \in B\), \(y \in D\). Donc \((x,y) \in A \times B\) et \((x,y) \in C \times D\), ce qui entraîne \((x,y) \in (A \times B) \cap (C \times D)\). Réciproquement, si \((x,y) \in (A \times B) \cap (C \times D)\), alors \(x \in A\), \(y \in B\), \(x \in C\), \(y \in D\) ; il en résulte \(x \in A \cap C\), \(y \in B \cap D\), et donc \((x,y) \in (A \cap C) \times (B \cap D)\).
Exercice 7. Trouver un contre-exemple montrant qu’en général \( (A \cup C) \times (B \cup D) \neq (A \times B) \cup (C \times D) \).
Corrigé : Prenons \(A = \{1\}\), \(B = \{2\}\), \(C = \{3\}\), \(D = \{4\}\). Alors \((A \cup C) \times (B \cup D) = \{1,3\} \times \{2,4\} = \{(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)\}\), tandis que \((A \times B) \cup (C \times D) = \{(1,2),(3,4)\}\). Les couples « mixtes » \((1,4)\) et \((3,2)\) appartiennent au premier ensemble mais pas au second.
Exercice 8. Soient \(A, B, C\) des ensembles avec \(A \neq \varnothing\). Démontrer que, si \(A \times B = A \times C\), alors \(B = C\).
Corrigé : Montrons \(B \subseteq C\) (l’inclusion inverse se traite de manière symétrique). Soit \(b \in B\). Comme \(A \neq \varnothing\), il existe \(a \in A\), de sorte que \((a,b) \in A \times B\). Par hypothèse, \(A \times B = A \times C\), d’où \((a,b) \in A \times C\), c’est-à-dire \(b \in C\). L’hypothèse \(A \neq \varnothing\) est essentielle : si \(A = \varnothing\), alors \(A \times B = A \times C = \varnothing\) pour n’importe quels \(B\) et \(C\), et la conclusion tombe en défaut.
Conclusion
Le produit cartésien est bien plus qu’une simple opération sur les ensembles : c’est l’outil fondamental qui permet de construire rigoureusement les notions de relation, de fonction et d’espace géométrique. Grâce à cette construction, les mathématiques modernes parviennent à passer de l’idée d’« ensemble » à la richesse des structures que nous utilisons quotidiennement en analyse, en algèbre et en géométrie.