Le produit cartésien est une construction fondamentale de la théorie des ensembles. Étant donné deux ensembles \(A\) et \(B\), il permet de former un nouvel ensemble dont les éléments sont des couples ordonnés, c'est-à-dire des couples pour lesquels comptent non seulement les éléments qui apparaissent, mais aussi l'ordre dans lequel ils apparaissent.
Cette idée est à la base de nombreuses notions centrales des mathématiques. Les relations entre ensembles, les fonctions, les graphes de fonctions et les espaces cartésiens peuvent en effet être décrits rigoureusement au moyen du produit cartésien.
Le nom rappelle le plan cartésien et l'œuvre de René Descartes. Dans le plan cartésien, chaque point est associé à un couple ordonné de nombres réels ; de la même manière, le produit cartésien formalise l'idée de construire tous les couples ordonnés possibles en choisissant le premier élément dans un ensemble et le second dans un autre.
Dans cette page, nous introduisons la définition du produit cartésien, nous en étudions les principales propriétés et nous montrons comment cette construction conduit naturellement aux notions de relation, de fonction et d'espace cartésien.
Sommaire
- Définition formelle
- Couples ordonnés et importance de l'ordre
- Propriétés fondamentales
- Propriétés vis-à-vis des opérations ensemblistes
- Interprétation géométrique
- Produit cartésien de plusieurs ensembles
- Relations et fonctions
- Approfondissement sur la cardinalité
- Conclusion
Définition formelle
Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles. Le produit cartésien de \(A\) et \(B\), noté \(A \times B\), est l'ensemble de tous les couples ordonnés \((a,b)\) tels que le premier élément appartient à \(A\) et le second élément appartient à \(B\).
En symboles :
\[ A \times B = \{(a,b) \mid a \in A \ \text{et} \ b \in B\}. \]
Former le produit cartésien \(A \times B\) revient donc à associer chaque élément de \(A\) à chaque élément de \(B\), en respectant l'ordre des composantes.
Exemple
Considérons les ensembles
\[ A=\{1,2\}, \qquad B=\{x,y\}. \]
Le produit cartésien \(A \times B\) est donné par
\[ A \times B=\{(1,x),(1,y),(2,x),(2,y)\}. \]
Chaque couple a pour première composante un élément de \(A\) et pour seconde composante un élément de \(B\). Par exemple, \((1,x)\) appartient à \(A \times B\), tandis que \((x,1)\) n'appartient pas à \(A \times B\), car \(x\) n'est pas un élément de \(A\) et \(1\) n'est pas un élément de \(B\).
Couples ordonnés et importance de l'ordre
Dans le produit cartésien, les éléments ne sont pas de simples ensembles à deux éléments, mais des couples ordonnés. Cela signifie que la position des composantes est essentielle.
Deux couples ordonnés sont égaux si et seulement si leurs composantes respectives sont égales :
\[ (a,b)=(c,d) \quad \Longleftrightarrow \quad a=c \quad \text{et} \quad b=d. \]
En particulier, on a en général
\[ (a,b) \neq (b,a). \]
L'égalité \((a,b)=(b,a)\) ne peut se produire que dans le cas particulier où \(a=b\). C'est pourquoi, lorsqu'on travaille avec le produit cartésien, il ne suffit pas de savoir quels éléments figurent dans le couple : il faut également savoir quel élément occupe la première position et lequel occupe la seconde.
Définition ensembliste du couple ordonné
D'un point de vue intuitif, un couple ordonné est une paire d'éléments écrits dans un certain ordre. Toutefois, au sein de la théorie des ensembles, il est également possible de définir les couples ordonnés en n'utilisant que la seule notion d'ensemble.
Une définition classique, due à Kuratowski, est la suivante :
\[ (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}. \]
Cette définition n'intervient pas dans les calculs usuels, mais elle joue un rôle théorique important : elle permet de construire les couples ordonnés entièrement au sein de la théorie des ensembles et garantit la propriété fondamentale
\[ (a,b)=(c,d) \quad \Longleftrightarrow \quad a=c \quad \text{et} \quad b=d. \]
De cette manière, le produit cartésien n'est pas postulé comme objet intuitif, mais est ramené à une construction rigoureuse fondée sur les ensembles.
Propriétés fondamentales
Le produit cartésien possède quelques propriétés élémentaires qu'il convient de connaître d'emblée. Elles découlent directement de la définition et du fait que les éléments de \(A \times B\) sont des couples ordonnés.
Cardinal du produit cartésien
Si \(A\) et \(B\) sont des ensembles finis, le nombre d'éléments du produit cartésien est donné par le produit des cardinaux :
\[ |A \times B|=|A|\cdot |B|. \]
En effet, pour construire un couple ordonné \((a,b)\), on peut choisir la première composante de \(|A|\) façons et, pour chacun de ces choix, la seconde composante de \(|B|\) façons.
Par exemple, si \(A\) possède \(2\) éléments et \(B\) possède \(3\) éléments, alors \(A \times B\) possède \(2\cdot 3=6\) éléments.
Produit cartésien avec l'ensemble vide
Le produit cartésien \(A \times B\) est vide si et seulement si au moins l'un des deux ensembles \(A\) et \(B\) est vide :
\[ A \times B=\varnothing \quad \Longleftrightarrow \quad A=\varnothing \ \text{ou} \ B=\varnothing. \]
En effet, si \(A=\varnothing\), il n'est pas possible de choisir la première composante du couple. Si \(B=\varnothing\), il n'est pas possible de choisir la seconde composante. Dans les deux cas, aucun couple ordonné ne peut être formé.
En particulier :
\[ A \times \varnothing=\varnothing \qquad \text{et} \qquad \varnothing \times A=\varnothing. \]
Le produit cartésien n'est pas commutatif
En général, le produit cartésien n'est pas commutatif. Cela signifie qu'en général, \(A \times B\) et \(B \times A\) ne sont pas le même ensemble.
La raison en est que les éléments de \(A \times B\) ont pour première composante un élément de \(A\) et pour seconde composante un élément de \(B\), tandis que les éléments de \(B \times A\) ont leurs composantes dans l'ordre opposé.
Par exemple, si
\[ A=\{1,2\}, \qquad B=\{x\}, \]
alors
\[ A \times B=\{(1,x),(2,x)\}, \]
tandis que
\[ B \times A=\{(x,1),(x,2)\}. \]
Les deux produits cartésiens sont différents, car les couples ordonnés \((1,x)\) et \((x,1)\) ne coïncident pas.
Plus précisément, on a
\[ A \times B = B \times A \quad \Longleftrightarrow \quad A=B \ \text{ou} \ A=\varnothing \ \text{ou} \ B=\varnothing. \]
Le produit cartésien n'est donc commutatif que dans des cas particuliers : lorsque les deux ensembles coïncident, ou lorsqu'au moins l'un d'eux est vide.
Monotonie vis-à-vis de l'inclusion
Le produit cartésien est compatible avec l'inclusion entre ensembles. Si
\[ A \subseteq A' \qquad \text{et} \qquad B \subseteq B', \]
alors
\[ A \times B \subseteq A' \times B'. \]
En effet, si \((a,b)\in A \times B\), alors \(a\in A\) et \(b\in B\). Puisque \(A\subseteq A'\) et \(B\subseteq B'\), il s'ensuit que \(a\in A'\) et \(b\in B'\). Donc \((a,b)\in A'\times B'\).
Cette propriété exprime un fait naturel : si l'on agrandit les ensembles de départ, alors le produit cartésien s'agrandit également.
Propriétés vis-à-vis des opérations ensemblistes
Le produit cartésien se comporte de manière régulière vis-à-vis de certaines opérations ensemblistes, telles que l'intersection, la réunion et la différence. Les propriétés suivantes sont des conséquences directes de la définition du produit cartésien.
Intersection
Pour tous ensembles \(A\), \(B\) et \(C\), on a :
\[ A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C). \]
Démontrons cette égalité en vérifiant les deux inclusions.
Soit \((a,x)\in A\times(B\cap C)\). Alors \(a\in A\) et \(x\in B\cap C\), donc \(x\in B\) et \(x\in C\). Il s'ensuit que \((a,x)\in A\times B\) et \((a,x)\in A\times C\), c'est-à-dire
\[ (a,x)\in (A\times B)\cap(A\times C). \]
Nous avons ainsi établi que
\[ A\times(B\cap C)\subseteq (A\times B)\cap(A\times C). \]
Réciproquement, soit \((a,x)\in (A\times B)\cap(A\times C)\). Alors \((a,x)\in A\times B\) et \((a,x)\in A\times C\), d'où \(a\in A\), \(x\in B\) et \(x\in C\). Par conséquent \(x\in B\cap C\), et donc
\[ (a,x)\in A\times(B\cap C). \]
L'inclusion réciproque est ainsi établie, d'où
\[ A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C). \]
Réunion
Le produit cartésien est également distributif par rapport à la réunion :
\[ A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C). \]
En effet, un couple \((a,x)\) appartient à \(A\times(B\cup C)\) si et seulement si \(a\in A\) et \(x\in B\cup C\), c'est-à-dire si et seulement si \(a\in A\) et \(x\) appartient à l'un au moins des ensembles \(B\) et \(C\).
Dans le premier cas, \((a,x)\in A\times B\) ; dans le second, \((a,x)\in A\times C\). Par conséquent,
\[ (a,x)\in (A\times B)\cup(A\times C). \]
Le raisonnement réciproque établit l'autre inclusion, ce qui démontre l'égalité.
Différence
La propriété relative à la différence ensembliste est également vérifiée :
\[ A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C). \]
En effet, un couple \((a,x)\) appartient à \(A\times(B\setminus C)\) si et seulement si \(a\in A\), \(x\in B\) et \(x\notin C\).
Cela équivaut à dire que \((a,x)\in A\times B\), mais \((a,x)\notin A\times C\). Par conséquent,
\[ (a,x)\in (A\times B)\setminus(A\times C). \]
On obtient ainsi l'identité :
\[ A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C). \]
Une erreur fréquente
Il faut prendre garde à ne pas appliquer incorrectement les propriétés distributives. En général, il est faux que
\[ (A \cup C) \times (B \cup D) = (A \times B) \cup (C \times D). \]
Considérons, par exemple,
\[ A=\{1\}, \qquad C=\{2\}, \qquad B=\{3\}, \qquad D=\{4\}. \]
Alors
\[ (A\cup C)\times(B\cup D)=\{1,2\}\times\{3,4\} \]
et donc
\[ (A\cup C)\times(B\cup D)=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\}. \]
En revanche,
\[ (A\times B)\cup(C\times D)=\{(1,3)\}\cup\{(2,4)\} =\{(1,3),(2,4)\}. \]
Les deux ensembles ne coïncident pas : le premier contient en outre les couples \((1,4)\) et \((2,3)\), qui n'appartiennent pas au second.
La formule correcte pour l'intersection de deux produits cartésiens est en revanche
\[ (A\cap C)\times(B\cap D)=(A\times B)\cap(C\times D). \]
En effet, un couple appartient au membre de gauche si et seulement si sa première composante appartient à la fois à \(A\) et à \(C\), et sa seconde composante appartient à la fois à \(B\) et à \(D\). C'est précisément la condition pour appartenir simultanément à \(A\times B\) et à \(C\times D\).
Interprétation géométrique
Lorsque les ensembles considérés sont des sous-ensembles de \(\mathbb{R}\), le produit cartésien acquiert une interprétation géométrique naturelle dans le plan cartésien.
Si \(A\subseteq \mathbb{R}\) et \(B\subseteq \mathbb{R}\), alors \(A\times B\) est l'ensemble de tous les points du plan dont l'abscisse appartient à \(A\) et dont l'ordonnée appartient à \(B\) :
\[ A\times B=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x\in A \ \text{et} \ y\in B\}. \]
Dans cette interprétation, la première composante du couple ordonné représente la coordonnée horizontale, c'est-à-dire l'abscisse, tandis que la seconde composante représente la coordonnée verticale, c'est-à-dire l'ordonnée.
Exemples
Le produit cartésien
\[ [0,1]\times[0,1] \]
représente le carré unité fermé du plan, formé de tous les points \((x,y)\) tels que \(0\leq x\leq 1\) et \(0\leq y\leq 1\).
En revanche,
\[ \mathbb{R}\times\mathbb{R} \]
coïncide avec le plan cartésien tout entier \(\mathbb{R}^2\), car la première comme la seconde composante peuvent être choisies librement parmi tous les nombres réels.
Plus généralement, si \(A\) et \(B\) sont des intervalles réels, le produit cartésien \(A\times B\) détermine une région rectangulaire du plan, éventuellement ouverte, fermée ou non bornée selon le type d'intervalles considérés.
Produit cartésien de plusieurs ensembles
La définition du produit cartésien s'étend naturellement à plus de deux ensembles. Si \(A_1,A_2,\dots,A_n\) sont \(n\) ensembles, leur produit cartésien est l'ensemble de tous les \(n\)-uplets ordonnés
\[ (a_1,a_2,\dots,a_n) \]
tels que la première composante appartient à \(A_1\), la deuxième appartient à \(A_2\), et ainsi de suite jusqu'à la dernière composante, qui appartient à \(A_n\).
En symboles :
\[ A_1\times A_2\times \cdots \times A_n = \{(a_1,a_2,\dots,a_n) \mid a_i\in A_i \ \text{pour tout} \ i=1,\dots,n\}. \]
Là encore, l'ordre des composantes est essentiel : la première composante doit appartenir au premier ensemble, la deuxième au deuxième ensemble, et ainsi de suite.
Puissances cartésiennes
Lorsque tous les ensembles coïncident avec un même ensemble \(A\), on utilise une notation plus compacte. Par exemple :
\[ A^2=A\times A, \qquad A^3=A\times A\times A. \]
Plus généralement, \(A^n\) désigne le produit cartésien de \(A\) par lui-même \(n\) fois :
\[ A^n=\underbrace{A\times A\times \cdots \times A}_{n \ \text{fois}}. \]
Les éléments de \(A^n\) sont donc des \(n\)-uplets ordonnés d'éléments de \(A\).
Espaces cartésiens
Un cas particulièrement important s'obtient en choisissant \(A=\mathbb{R}\). On définit ainsi l'espace cartésien réel de dimension \(n\) :
\[ \mathbb{R}^n= \underbrace{\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\cdots\times\mathbb{R}}_{n \ \text{fois}}. \]
Par exemple, \(\mathbb{R}^2\) est le plan cartésien, dont les éléments sont des couples ordonnés \((x,y)\), tandis que \(\mathbb{R}^3\) est l'espace tridimensionnel, dont les éléments sont des triplets ordonnés \((x,y,z)\).
Le produit cartésien est-il associatif ?
Lorsque le produit cartésien est initialement défini comme une opération entre deux ensembles, une précision s'impose. Les ensembles
\[ (A\times B)\times C \qquad \text{et} \qquad A\times(B\times C) \]
ne sont pas littéralement égaux.
En effet, les éléments de \((A\times B)\times C\) sont de la forme
\[ ((a,b),c), \]
tandis que les éléments de \(A\times(B\times C)\) sont de la forme
\[ (a,(b,c)). \]
Ces deux objets présentent une structure formelle différente. Il existe cependant une correspondance biunivoque naturelle entre eux et les triplets ordonnés \((a,b,c)\) :
\[ ((a,b),c) \longleftrightarrow (a,b,c) \longleftrightarrow (a,(b,c)). \]
C'est pourquoi, lorsque le contexte est clair, on écrit simplement
\[ A\times B\times C \]
et on l'interprète comme l'ensemble des triplets ordonnés \((a,b,c)\), avec \(a\in A\), \(b\in B\) et \(c\in C\).
Relations et fonctions
L'une des principales raisons pour lesquelles le produit cartésien revêt une telle importance est qu'il permet de définir rigoureusement les relations et les fonctions entre ensembles.
Relations
Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles. Une relation entre \(A\) et \(B\) est une partie du produit cartésien \(A\times B\).
En symboles, une relation \(R\) entre \(A\) et \(B\) est un ensemble tel que
\[ R\subseteq A\times B. \]
Cela signifie que les éléments de \(R\) sont certains des couples ordonnés \((a,b)\), avec \(a\in A\) et \(b\in B\). Lorsque \((a,b)\in R\), on dit que \(a\) est en relation avec \(b\).
Le produit cartésien \(A\times B\) contient donc tous les couples ordonnés possibles, tandis qu'une relation n'en sélectionne que certains.
Fonctions
Une fonction de \(A\) dans \(B\) est une relation particulière entre \(A\) et \(B\). Précisément, une fonction \(f:A\to B\) est une relation \(f\subseteq A\times B\) telle qu'à chaque élément de \(A\) soit associé un et un seul élément de \(B\).
En symboles :
\[ \forall a\in A, \ \exists! \, b\in B \ \text{tel que} \ (a,b)\in f. \]
Le symbole \(\exists!\) signifie « il existe un unique ». La condition précédente affirme donc deux choses à la fois :
- pour tout \(a\in A\), il existe au moins un élément \(b\in B\) associé à \(a\) ;
- cet élément \(b\) est unique.
La première condition exclut qu'un élément de \(A\) reste sans image. La seconde condition exclut qu'un même élément de \(A\) soit associé à deux ou plusieurs éléments distincts de \(B\).
Graphe d'une fonction
Si \(f:A\to B\) est une fonction, son graphe est l'ensemble des couples ordonnés formés par chaque élément de l'ensemble de départ et son image :
\[ G_f=\{(a,f(a))\mid a\in A\}. \]
Le graphe de \(f\) est donc une partie du produit cartésien \(A\times B\) :
\[ G_f\subseteq A\times B. \]
Dans le cas des fonctions réelles d'une variable réelle, c'est-à-dire des fonctions \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), le graphe est une partie du plan cartésien :
\[ G_f=\{(x,f(x))\mid x\in\mathbb{R}\}\subseteq \mathbb{R}\times\mathbb{R}. \]
Le produit cartésien fournit ainsi le lien entre la définition ensembliste d'une fonction et sa représentation géométrique dans le plan.
Le critère de la droite verticale
Géométriquement, le graphe d'une fonction réelle d'une variable réelle satisfait au critère de la droite verticale. Cela signifie que, pour une valeur fixée de la variable indépendante \(x\), il ne peut exister au plus qu'une seule valeur correspondante de la variable dépendante \(y\).
En particulier, si \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), alors toute droite verticale \(x=a\), avec \(a\in\mathbb{R}\), coupe le graphe de la fonction en un seul point.
Si, au contraire, une droite verticale coupait le graphe en deux points distincts, alors à la même valeur \(a\) correspondraient deux valeurs différentes de \(y\). Il ne s'agirait alors plus d'une fonction.
Combien existe-t-il de fonctions entre deux ensembles finis ?
Si \(A\) et \(B\) sont des ensembles finis, l'ensemble de toutes les fonctions de \(A\) dans \(B\) se note \(B^A\).
Son cardinal est
\[ |B^A|=|B|^{|A|}. \]
En effet, pour définir une fonction \(f:A\to B\), il faut choisir un élément de \(B\) comme image de chaque élément de \(A\). Si \(A\) possède \(|A|\) éléments et que, pour chacun d'eux, il existe \(|B|\) choix possibles, alors le nombre total de fonctions est \(|B|^{|A|}\).
Cette formule doit être distinguée de celle du produit cartésien :
\[ |A\times B|=|A|\cdot |B|. \]
Dans le produit cartésien, on choisit une première composante dans \(A\) et une seconde composante dans \(B\). Pour construire une fonction de \(A\) dans \(B\), en revanche, on choisit un élément de \(B\) pour chaque élément de \(A\) ; c'est pourquoi apparaît une puissance, et non un produit.
Approfondissement sur la cardinalité
Pour des ensembles finis, le cardinal du produit cartésien est décrit par la formule
\[ |A\times B|=|A|\cdot |B|. \]
Cette formule a une signification très concrète : si \(A\) possède un certain nombre d'éléments et \(B\) possède un certain nombre d'éléments, alors le produit cartésien \(A\times B\) contient tous les couples ordonnés possibles obtenus en choisissant une première composante dans \(A\) et une seconde composante dans \(B\).
Lorsqu'on passe aux ensembles infinis, cependant, la notion de cardinalité devient plus délicate. Dans ce cas, on ne peut plus simplement compter les éléments un par un ; on compare alors les ensembles au moyen de correspondances biunivoques.
Deux ensembles ont même cardinalité lorsqu'il existe entre eux une correspondance biunivoque, c'est-à-dire une fonction qui associe à chaque élément du premier ensemble un unique élément du second, et telle que chaque élément du second soit l'image d'un seul élément du premier.
Un résultat fondamental de la théorie des ensembles affirme que
\[ |\mathbb{R}\times\mathbb{R}|=|\mathbb{R}|. \]
Cela signifie que le plan cartésien \(\mathbb{R}^2\) et la droite réelle \(\mathbb{R}\) ont la même cardinalité. Autrement dit, du point de vue du nombre d'éléments, il existe une correspondance biunivoque entre les points d'une droite et les points d'un plan.
Il en va de même, plus généralement, pour tout espace cartésien réel \(\mathbb{R}^n\), avec \(n\geq 1\) :
\[ |\mathbb{R}^n|=|\mathbb{R}|. \]
Cette cardinalité se note \(\mathfrak{c}\) et s'appelle la puissance du continu.
Il importe de ne pas confondre la cardinalité avec la structure géométrique. Le fait que \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{R}^2\) aient la même cardinalité ne signifie pas qu'une droite et un plan soient géométriquement la même chose. Ils comportent la même quantité de points au sens ensembliste, mais possèdent des propriétés géométriques et topologiques profondément différentes.
Cet exemple montre que le produit cartésien, bien qu'il s'agisse d'une construction simple dans sa définition, conduit rapidement à des questions très profondes des mathématiques.
Conclusion
Le produit cartésien est une construction essentielle de la théorie des ensembles. À partir d'ensembles donnés, il permet de former des ensembles de couples ordonnés et, plus généralement, de \(n\)-uplets ordonnés.
Son importance ne tient pas seulement à la définition en elle-même, mais surtout aux structures qu'il permet de construire. Les relations entre ensembles, les fonctions, les graphes de fonctions et les espaces cartésiens peuvent en effet être décrits rigoureusement au moyen du produit cartésien.
C'est pourquoi bien comprendre le produit cartésien revient à acquérir un outil de base qui réapparaît dans de nombreux domaines des mathématiques, de l'algèbre à la géométrie, en passant par l'analyse et la théorie des ensembles.