Une collection progressive de 20 exercices corrigés sur les équations exponentielles, conçue pour apprendre non seulement à trouver le résultat, mais surtout à identifier la méthode à appliquer. Dans chaque exercice, nous analyserons la structure de l'équation, nous comprendrons quelle transformation il convient d'utiliser et nous développerons toutes les étapes sans en omettre aucune.
Rappelons le principe fondamental : si \(a>0\) et \(a\ne1\), alors :
\[ a^u=a^v \quad \Longleftrightarrow \quad u=v \]
Cette propriété signifie que, lorsque deux puissances ont la même base positive et différente de \(1\), l'égalité entre les puissances est équivalente à l'égalité entre les exposants. C'est pourquoi, dans de nombreux exercices, le premier objectif sera de transformer les deux membres en puissances ayant la même base.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre l'équation :
\[ 2^x=16 \]
Solution
\[ S=\{4\} \]
Résolution
L'équation est exponentielle car l'inconnue \(x\) apparaît à l'exposant :
\[ 2^x=16 \]
Le membre gauche est déjà une puissance de base \(2\). Pour pouvoir comparer les exposants, nous devons réécrire le membre droit comme une puissance de \(2\).
On observe que :
\[ 16=2^4 \]
en effet :
\[ 2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16 \]
En substituant \(16\) par \(2^4\), l'équation devient :
\[ 2^x=2^4 \]
Les deux membres sont à présent des puissances de même base \(2\). Puisque :
\[ 2>0 \quad \text{et} \quad 2\ne1 \]
on peut appliquer l'injectivité de la fonction exponentielle et identifier les exposants :
\[ x=4 \]
Par conséquent :
\[ S=\{4\} \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre l'équation :
\[ 3^x=81 \]
Solution
\[ S=\{4\} \]
Résolution
Il s'agit également d'une équation exponentielle, car l'inconnue \(x\) se trouve à l'exposant.
Le membre gauche est une puissance de base \(3\) :
\[ 3^x \]
Pour appliquer la méthode de la même base, nous devons réécrire le membre droit comme une puissance de \(3\).
Calculons les puissances successives de \(3\) :
\[ 3^1=3,\qquad 3^2=9,\qquad 3^3=27,\qquad 3^4=81 \]
Donc :
\[ 81=3^4 \]
L'équation peut alors être réécrite sous la forme :
\[ 3^x=3^4 \]
Les bases sont à présent égales. Nous ne simplifions pas le \(3\) de façon mécanique : nous utilisons le fait que la fonction exponentielle de base \(3\) est injective.
Les exposants sont donc nécessairement égaux :
\[ x=4 \]
La solution est :
\[ S=\{4\} \]
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre l'équation :
\[ 5^{x-1}=25 \]
Solution
\[ S=\{3\} \]
Résolution
Le membre gauche est une puissance de base \(5\), mais l'exposant n'est pas simplement \(x\) : c'est \(x-1\).
Cela ne change pas la méthode. Il s'agit toujours d'écrire le membre droit comme une puissance de la même base.
Puisque :
\[ 25=5^2 \]
on peut réécrire l'équation sous la forme :
\[ 5^{x-1}=5^2 \]
Nous avons à présent deux puissances de même base \(5\). Puisque :
\[ 5>0 \quad \text{et} \quad 5\ne1 \]
on peut identifier les exposants :
\[ x-1=2 \]
Il ne s'agit plus d'une équation exponentielle, mais d'une simple équation linéaire. En ajoutant \(1\) aux deux membres :
\[ x=2+1 \]
donc :
\[ x=3 \]
Par conséquent :
\[ S=\{3\} \]
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre l'équation :
\[ 2^{2x+1}=32 \]
Solution
\[ S=\{2\} \]
Résolution
L'équation contient une puissance de base \(2\) :
\[ 2^{2x+1} \]
Le membre droit est le nombre \(32\). Avant de pouvoir comparer les exposants, nous devons écrire \(32\) comme une puissance de \(2\).
Puisque :
\[ 32=2^5 \]
l'équation devient :
\[ 2^{2x+1}=2^5 \]
Les deux puissances ont la même base, positive et différente de \(1\). On peut donc identifier les exposants :
\[ 2x+1=5 \]
Résolvons à présent l'équation linéaire obtenue. En soustrayant \(1\) des deux membres :
\[ 2x=5-1 \]
donc :
\[ 2x=4 \]
En divisant les deux membres par \(2\) :
\[ x=2 \]
Par conséquent :
\[ S=\{2\} \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre l'équation :
\[ 4^x=64 \]
Solution
\[ S=\{3\} \]
Résolution
Le membre gauche est une puissance de base \(4\) :
\[ 4^x \]
Pour résoudre l'équation par la méthode de la même base, nous devons écrire le membre droit comme une puissance de \(4\).
On observe que :
\[ 64=4^3 \]
en effet :
\[ 4^3=4\cdot4\cdot4=64 \]
L'équation devient donc :
\[ 4^x=4^3 \]
Les deux puissances ont la même base \(4\). Puisque \(4>0\) et \(4\ne1\), on peut identifier les exposants :
\[ x=3 \]
Par conséquent :
\[ S=\{3\} \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre l'équation :
\[ 9^x=3^{x+2} \]
Solution
\[ S=\{2\} \]
Résolution
Dans cette équation, les bases ne coïncident pas : le membre gauche a pour base \(9\), tandis que le membre droit a pour base \(3\).
Cependant, \(9\) peut s'écrire comme une puissance de \(3\) :
\[ 9=3^2 \]
Réécrivons donc le membre gauche :
\[ 9^x=(3^2)^x \]
Appliquons maintenant la propriété de la puissance d'une puissance :
\[ (a^m)^n=a^{mn} \]
On obtient ainsi :
\[ (3^2)^x=3^{2x} \]
L'équation initiale devient donc :
\[ 3^{2x}=3^{x+2} \]
Les deux membres sont à présent des puissances de même base, positive et différente de \(1\). On peut donc identifier les exposants :
\[ 2x=x+2 \]
En soustrayant \(x\) des deux membres :
\[ 2x-x=2 \]
donc :
\[ x=2 \]
Par conséquent :
\[ S=\{2\} \]
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre l'équation :
\[ 8^x=4^{x+1} \]
Solution
\[ S=\{2\} \]
Résolution
Dans cette équation apparaissent deux bases distinctes :
\[ 8 \quad \text{et} \quad 4 \]
Avant de comparer les exposants, il faut chercher une base commune.
On observe que \(8\) et \(4\) sont tous deux des puissances de \(2\) :
\[ 8=2^3 \]
et :
\[ 4=2^2 \]
Réécrivons alors les deux membres.
Pour le membre gauche :
\[ 8^x=(2^3)^x \]
En appliquant la propriété de la puissance d'une puissance :
\[ (2^3)^x=2^{3x} \]
Pour le membre droit :
\[ 4^{x+1}=(2^2)^{x+1} \]
En appliquant à nouveau la même propriété :
\[ (2^2)^{x+1}=2^{2(x+1)} \]
L'équation devient :
\[ 2^{3x}=2^{2(x+1)} \]
Les bases coïncident, on peut donc identifier les exposants :
\[ 3x=2(x+1) \]
Développons le membre droit :
\[ 3x=2x+2 \]
En soustrayant \(2x\) des deux membres :
\[ 3x-2x=2 \]
donc :
\[ x=2 \]
Par conséquent :
\[ S=\{2\} \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre l'équation :
\[ 2^{x+1}\cdot2^{x-2}=8 \]
Solution
\[ S=\{2\} \]
Résolution
Le membre gauche est un produit de deux puissances de même base :
\[ 2^{x+1}\cdot2^{x-2} \]
Lorsqu'on multiplie des puissances de même base, on conserve la base et on additionne les exposants :
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n} \]
En appliquant cette propriété :
\[ 2^{x+1}\cdot2^{x-2}=2^{(x+1)+(x-2)} \]
Simplifions l'exposant :
\[ (x+1)+(x-2)=x+1+x-2=2x-1 \]
Le membre gauche vaut donc :
\[ 2^{2x-1} \]
L'équation prend alors la forme :
\[ 2^{2x-1}=8 \]
Écrivons maintenant \(8\) comme une puissance de \(2\) :
\[ 8=2^3 \]
On obtient :
\[ 2^{2x-1}=2^3 \]
Les bases coïncident, on identifie donc les exposants :
\[ 2x-1=3 \]
En ajoutant \(1\) aux deux membres :
\[ 2x=4 \]
En divisant les deux membres par \(2\) :
\[ x=2 \]
La solution est :
\[ S=\{2\} \]
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
Résoudre l'équation :
\[ \frac{3^{x+2}}{3^{x-1}}=27 \]
Solution
\[ S=\mathbb{R} \]
Résolution
Le membre gauche est un quotient de puissances de même base :
\[ \frac{3^{x+2}}{3^{x-1}} \]
Lorsqu'on divise des puissances de même base, on conserve la base et on soustrait les exposants :
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \qquad (a\ne0) \]
Appliquons cette propriété :
\[ \frac{3^{x+2}}{3^{x-1}} = 3^{(x+2)-(x-1)} \]
Simplifions l'exposant avec soin :
\[ (x+2)-(x-1)=x+2-x+1 \]
donc :
\[ (x+2)-(x-1)=3 \]
Le membre gauche vaut donc :
\[ 3^3 \]
Puisque :
\[ 3^3=27 \]
l'équation initiale se réduit à :
\[ 27=27 \]
Cette égalité est toujours vraie et n'impose aucune condition sur l'inconnue \(x\).
Tout nombre réel est donc solution de l'équation.
Par conséquent :
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
Résoudre l'équation :
\[ 5^{2x}=125\cdot5^x \]
Solution
\[ S=\{3\} \]
Résolution
Le membre droit contient le nombre \(125\) multiplié par une puissance de \(5\). Pour travailler avec une seule base, réécrivons \(125\) comme une puissance de \(5\).
Puisque :
\[ 125=5^3 \]
on obtient :
\[ 125\cdot5^x=5^3\cdot5^x \]
Utilisons maintenant la propriété du produit de puissances de même base :
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n} \]
Donc :
\[ 5^3\cdot5^x=5^{3+x} \]
c'est-à-dire :
\[ 5^3\cdot5^x=5^{x+3} \]
L'équation initiale devient :
\[ 5^{2x}=5^{x+3} \]
Les bases coïncident, on peut donc identifier les exposants :
\[ 2x=x+3 \]
En soustrayant \(x\) des deux membres :
\[ 2x-x=3 \]
donc :
\[ x=3 \]
Par conséquent :
\[ S=\{3\} \]
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Résoudre l'équation :
\[ 2^{2x}-5\cdot2^x+4=0 \]
Solution
\[ S=\{0,2\} \]
Résolution
Dans cette équation, on ne peut pas résoudre directement par identification des bases, car l'inconnue apparaît dans plusieurs termes :
\[ 2^{2x}-5\cdot2^x+4=0 \]
Cependant, on observe une structure importante :
\[ 2^{2x}=(2^x)^2 \]
Cela signifie que l'équation peut être interprétée comme une équation du second degré en la quantité \(2^x\).
Introduisons donc le changement de variable :
\[ t=2^x \]
Puisqu'une puissance de base positive est toujours positive, on impose :
\[ t>0 \]
En substituant dans l'équation, on obtient :
\[ t^2-5t+4=0 \]
Il ne s'agit plus d'une équation exponentielle, mais d'une équation du second degré ordinaire.
Cherchons deux nombres dont le produit est \(4\) et la somme est \(-5\). Ces nombres sont \(-1\) et \(-4\).
On peut donc factoriser le trinôme :
\[ t^2-5t+4=(t-1)(t-4) \]
L'équation devient :
\[ (t-1)(t-4)=0 \]
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. On obtient donc :
\[ t-1=0 \]
ou bien :
\[ t-4=0 \]
D'où :
\[ t=1 \]
ou bien :
\[ t=4 \]
Les deux valeurs sont positives, donc elles vérifient la condition \(t>0\).
Revenons à présent à la variable initiale.
Si :
\[ t=1 \]
alors :
\[ 2^x=1 \]
Rappelons que :
\[ 1=2^0 \]
donc :
\[ 2^x=2^0 \]
d'où :
\[ x=0 \]
Si en revanche :
\[ t=4 \]
alors :
\[ 2^x=4 \]
Puisque :
\[ 4=2^2 \]
on obtient :
\[ 2^x=2^2 \]
donc :
\[ x=2 \]
Les solutions finales sont :
\[ S=\{0,2\} \]
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Résoudre l'équation :
\[ 3^{2x}-10\cdot3^x+9=0 \]
Solution
\[ S=\{0,2\} \]
Résolution
Cette équation présente également la structure d'un trinôme du second degré.
En effet :
\[ 3^{2x}=(3^x)^2 \]
Introduisons le changement de variable :
\[ t=3^x \]
Puisqu'une puissance de base positive est toujours positive :
\[ t>0 \]
En substituant dans l'équation, on obtient :
\[ t^2-10t+9=0 \]
Cherchons deux nombres dont le produit est \(9\) et la somme est \(-10\). Ces nombres sont \(-1\) et \(-9\).
On peut donc factoriser :
\[ t^2-10t+9=(t-1)(t-9) \]
L'équation devient :
\[ (t-1)(t-9)=0 \]
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. On obtient donc :
\[ t=1 \]
ou bien :
\[ t=9 \]
Les deux solutions vérifient la condition \(t>0\).
Revenons à présent à la variable initiale.
Si :
\[ t=1 \]
alors :
\[ 3^x=1 \]
Puisque :
\[ 1=3^0 \]
on obtient :
\[ 3^x=3^0 \]
donc :
\[ x=0 \]
Si en revanche :
\[ t=9 \]
alors :
\[ 3^x=9 \]
Puisque :
\[ 9=3^2 \]
on obtient :
\[ 3^x=3^2 \]
d'où :
\[ x=2 \]
Les solutions finales sont :
\[ S=\{0,2\} \]
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Résoudre l'équation :
\[ 4^x-6\cdot2^x+8=0 \]
Solution
\[ S=\{1,2\} \]
Résolution
Dans cette équation apparaissent à la fois \(4^x\) et \(2^x\). Pour pouvoir effectuer un changement de variable, nous devons d'abord tout exprimer en fonction de la même base.
On observe que :
\[ 4=2^2 \]
donc :
\[ 4^x=(2^2)^x \]
En appliquant la propriété de la puissance d'une puissance :
\[ (2^2)^x=2^{2x} \]
De plus :
\[ 2^{2x}=(2^x)^2 \]
L'équation initiale devient donc :
\[ (2^x)^2-6\cdot2^x+8=0 \]
Introduisons le changement de variable :
\[ t=2^x \]
avec la condition :
\[ t>0 \]
On obtient ainsi :
\[ t^2-6t+8=0 \]
Cherchons deux nombres dont le produit est \(8\) et la somme est \(-6\). Ces nombres sont \(-2\) et \(-4\).
On peut donc factoriser :
\[ t^2-6t+8=(t-2)(t-4) \]
L'équation devient :
\[ (t-2)(t-4)=0 \]
D'où :
\[ t=2 \]
ou bien :
\[ t=4 \]
Les deux solutions sont positives, donc acceptables.
Revenons à la variable initiale.
Si :
\[ t=2 \]
alors :
\[ 2^x=2 \]
c'est-à-dire :
\[ 2^x=2^1 \]
d'où :
\[ x=1 \]
Si en revanche :
\[ t=4 \]
alors :
\[ 2^x=4 \]
Puisque :
\[ 4=2^2 \]
on obtient :
\[ 2^x=2^2 \]
donc :
\[ x=2 \]
Les solutions finales sont :
\[ S=\{1,2\} \]
Exercice 14 — niveau ★★★★☆
Résoudre l'équation :
\[ 2^{x+1}+2^x=24 \]
Solution
\[ S=\{3\} \]
Résolution
Dans cette équation apparaissent deux puissances de même base \(2\), mais avec des exposants différents :
\[ 2^{x+1} \quad \text{et} \quad 2^x \]
L'idée est de réécrire les deux puissances en fonction de la même quantité, à savoir \(2^x\).
On observe que :
\[ 2^{x+1}=2^x\cdot2^1 \]
Puisque :
\[ 2^1=2 \]
on obtient :
\[ 2^{x+1}=2\cdot2^x \]
En substituant cette expression dans l'équation initiale :
\[ 2\cdot2^x+2^x=24 \]
Les deux termes du membre gauche ont le facteur commun \(2^x\). On peut donc le mettre en facteur :
\[ 2^x(2+1)=24 \]
Calculons la somme entre parenthèses :
\[ 2+1=3 \]
L'équation devient :
\[ 3\cdot2^x=24 \]
En divisant les deux membres par \(3\) :
\[ 2^x=8 \]
Écrivons maintenant \(8\) comme une puissance de \(2\) :
\[ 8=2^3 \]
On obtient :
\[ 2^x=2^3 \]
Les bases coïncident, on identifie donc les exposants :
\[ x=3 \]
La solution est :
\[ S=\{3\} \]
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
Résoudre l'équation :
\[ 3^{x+2}-3^x=72 \]
Solution
\[ S=\{2\} \]
Résolution
Dans cette équation apparaissent deux puissances de même base \(3\), mais avec des exposants différents :
\[ 3^{x+2} \quad \text{et} \quad 3^x \]
L'idée est de réécrire \(3^{x+2}\) de façon à mettre en évidence le facteur commun \(3^x\).
En utilisant la propriété :
\[ a^{m+n}=a^m\cdot a^n \]
on peut écrire :
\[ 3^{x+2}=3^x\cdot3^2 \]
Puisque :
\[ 3^2=9 \]
il s'ensuit :
\[ 3^{x+2}=9\cdot3^x \]
En substituant dans l'équation initiale :
\[ 9\cdot3^x-3^x=72 \]
Les deux termes du membre gauche ont le facteur commun \(3^x\). Mettons-le en facteur :
\[ 3^x(9-1)=72 \]
Calculons :
\[ 9-1=8 \]
Donc :
\[ 8\cdot3^x=72 \]
En divisant les deux membres par \(8\) :
\[ 3^x=9 \]
Écrivons maintenant \(9\) comme une puissance de \(3\) :
\[ 9=3^2 \]
On obtient :
\[ 3^x=3^2 \]
Les bases coïncident, on identifie donc les exposants :
\[ x=2 \]
Par conséquent :
\[ S=\{2\} \]
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
Résoudre l'équation :
\[ 2^{x+2}-2^{x+1}=8 \]
Solution
\[ S=\{2\} \]
Résolution
Dans cette équation apparaissent deux puissances de base \(2\) :
\[ 2^{x+2} \quad \text{et} \quad 2^{x+1} \]
Pour simplifier l'expression, il est judicieux de réécrire les deux puissances en fonction de \(2^x\).
Pour la première puissance :
\[ 2^{x+2}=2^x\cdot2^2 \]
Puisque :
\[ 2^2=4 \]
on obtient :
\[ 2^{x+2}=4\cdot2^x \]
Pour la deuxième puissance :
\[ 2^{x+1}=2^x\cdot2^1 \]
donc :
\[ 2^{x+1}=2\cdot2^x \]
En substituant ces expressions dans l'équation initiale :
\[ 4\cdot2^x-2\cdot2^x=8 \]
Mettons en facteur le facteur commun \(2^x\) :
\[ 2^x(4-2)=8 \]
Calculons :
\[ 4-2=2 \]
Donc :
\[ 2\cdot2^x=8 \]
En divisant les deux membres par \(2\) :
\[ 2^x=4 \]
Écrivons \(4\) comme une puissance de \(2\) :
\[ 4=2^2 \]
Donc :
\[ 2^x=2^2 \]
En identifiant les exposants :
\[ x=2 \]
La solution est :
\[ S=\{2\} \]
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Résoudre l'équation :
\[ 2^x+2^{-x}=\frac{5}{2} \]
Solution
\[ S=\{-1,1\} \]
Résolution
Dans cette équation apparaissent deux puissances liées l'une à l'autre :
\[ 2^x \quad \text{et} \quad 2^{-x} \]
La présence de l'exposant négatif suggère d'utiliser la propriété :
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n} \]
En l'appliquant, on obtient :
\[ 2^{-x}=\frac{1}{2^x} \]
L'équation devient donc :
\[ 2^x+\frac{1}{2^x}=\frac{5}{2} \]
La quantité \(2^x\) apparaissant à plusieurs reprises, introduisons le changement de variable :
\[ t=2^x \]
Puisqu'une puissance de base positive est toujours positive, on doit avoir :
\[ t>0 \]
De plus :
\[ \frac{1}{2^x}=\frac{1}{t} \]
L'équation se transforme en :
\[ t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2} \]
Pour éliminer le dénominateur, multiplions les deux membres par \(2t\).
Cette opération est licite car \(t>0\), donc :
\[ 2t\ne0 \]
On obtient :
\[ 2t\left(t+\frac{1}{t}\right)=2t\cdot\frac{5}{2} \]
Développons le membre gauche :
\[ 2t\cdot t+2t\cdot\frac{1}{t}=5t \]
c'est-à-dire :
\[ 2t^2+2=5t \]
Ramenons tous les termes au membre gauche :
\[ 2t^2-5t+2=0 \]
Factorisons le trinôme :
\[ 2t^2-5t+2=(2t-1)(t-2) \]
L'équation devient :
\[ (2t-1)(t-2)=0 \]
Par la règle du produit nul :
\[ 2t-1=0 \]
ou bien :
\[ t-2=0 \]
Dans le premier cas :
\[ 2t=1 \]
donc :
\[ t=\frac{1}{2} \]
Dans le second cas :
\[ t=2 \]
Les deux valeurs vérifient la condition \(t>0\).
Revenons à présent à la variable initiale.
Si :
\[ t=\frac{1}{2} \]
alors :
\[ 2^x=\frac{1}{2} \]
Puisque :
\[ \frac{1}{2}=2^{-1} \]
on obtient :
\[ 2^x=2^{-1} \]
donc :
\[ x=-1 \]
Si en revanche :
\[ t=2 \]
alors :
\[ 2^x=2 \]
c'est-à-dire :
\[ 2^x=2^1 \]
d'où :
\[ x=1 \]
Les solutions finales sont :
\[ S=\{-1,1\} \]
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Résoudre l'équation :
\[ 3^x=7 \]
Solution
\[ S=\{\log_3 7\} \]
Résolution
L'inconnue \(x\) apparaît à l'exposant :
\[ 3^x=7 \]
Le membre gauche est une puissance de base \(3\). Pour appliquer la méthode de la même base, il faudrait pouvoir écrire \(7\) comme une puissance de \(3\).
Or, \(7\) n'est pas une puissance entière de \(3\). En effet :
\[ 3^1=3 \]
tandis que :
\[ 3^2=9 \]
Le nombre \(7\) est compris entre \(3\) et \(9\), mais ne coïncide avec aucune puissance entière de \(3\).
Cela ne signifie pas que l'équation est impossible. Cela signifie seulement que la solution ne s'obtient pas avec un exposant entier simple.
Pour déterminer l'exposant auquel il faut élever \(3\) pour obtenir \(7\), on utilise le logarithme de base \(3\).
Par définition :
\[ \log_3 7 \]
est précisément l'exposant auquel il faut élever \(3\) pour obtenir \(7\).
Donc :
\[ 3^x=7 \quad \Longleftrightarrow \quad x=\log_3 7 \]
La solution est :
\[ S=\{\log_3 7\} \]
Exercice 19 — niveau ★★★★★
Résoudre l'équation :
\[ 2^{3x-1}=5 \]
Solution
\[ S=\left\{\frac{1+\log_2 5}{3}\right\} \]
Résolution
L'équation est exponentielle car l'inconnue apparaît à l'exposant :
\[ 2^{3x-1}=5 \]
Le membre gauche est une puissance de base \(2\). Si le membre droit était une puissance de \(2\), on pourrait identifier directement les exposants.
Cependant, \(5\) n'est pas une puissance entière de \(2\). En effet :
\[ 2^2=4 \]
tandis que :
\[ 2^3=8 \]
Le nombre \(5\) est compris entre \(4\) et \(8\), donc la solution existe, mais n'est pas un entier.
Pour isoler l'exposant \(3x-1\), on applique le logarithme de base \(2\) aux deux membres :
\[ \log_2\left(2^{3x-1}\right)=\log_2 5 \]
Le logarithme de base \(2\) et l'exponentielle de base \(2\) sont des opérations inverses l'une de l'autre. Par conséquent :
\[ \log_2\left(2^{3x-1}\right)=3x-1 \]
L'équation devient donc :
\[ 3x-1=\log_2 5 \]
Il ne s'agit plus d'une équation exponentielle, mais d'une simple équation linéaire en \(x\).
En ajoutant \(1\) aux deux membres :
\[ 3x=1+\log_2 5 \]
En divisant les deux membres par \(3\) :
\[ x=\frac{1+\log_2 5}{3} \]
La solution est :
\[ S=\left\{\frac{1+\log_2 5}{3}\right\} \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Résoudre l'équation :
\[ 4^x+2^x-6=0 \]
Solution
\[ S=\{1\} \]
Résolution
Dans cette équation apparaissent deux puissances distinctes :
\[ 4^x \quad \text{et} \quad 2^x \]
La présence de \(4^x\) et de \(2^x\) suggère de tout réécrire en fonction de la même quantité.
Puisque :
\[ 4=2^2 \]
on peut transformer \(4^x\) de la façon suivante :
\[ 4^x=(2^2)^x \]
En appliquant la propriété de la puissance d'une puissance :
\[ (2^2)^x=2^{2x} \]
De plus :
\[ 2^{2x}=(2^x)^2 \]
Donc :
\[ 4^x=(2^x)^2 \]
L'équation initiale :
\[ 4^x+2^x-6=0 \]
devient :
\[ (2^x)^2+2^x-6=0 \]
La structure est à présent celle d'une équation du second degré. Introduisons le changement de variable :
\[ t=2^x \]
Puisqu'une puissance de base positive est toujours positive, on impose :
\[ t>0 \]
En substituant, on obtient :
\[ t^2+t-6=0 \]
Cherchons deux nombres dont le produit est \(-6\) et la somme est \(1\). Ces nombres sont \(3\) et \(-2\).
On peut donc factoriser :
\[ t^2+t-6=(t+3)(t-2) \]
L'équation devient :
\[ (t+3)(t-2)=0 \]
Par la règle du produit nul, l'un des deux facteurs est nécessairement nul. On obtient :
\[ t+3=0 \]
ou bien :
\[ t-2=0 \]
Dans le premier cas :
\[ t=-3 \]
Dans le second cas :
\[ t=2 \]
Rappelons cependant la condition imposée par le changement de variable :
\[ t>0 \]
La valeur :
\[ t=-3 \]
doit être écartée, car il n'existe aucun nombre réel \(x\) tel que :
\[ 2^x=-3 \]
Il ne reste donc que :
\[ t=2 \]
Revenons à la variable initiale. Puisque :
\[ t=2^x \]
la condition \(t=2\) donne :
\[ 2^x=2 \]
c'est-à-dire :
\[ 2^x=2^1 \]
Les bases coïncident, on identifie donc les exposants :
\[ x=1 \]
La solution finale est :
\[ S=\{1\} \]