Un système d'équations est un ensemble de deux équations ou plus qui doivent être satisfaites simultanément.
Résoudre un système consiste donc à déterminer les valeurs des inconnues qui satisfont simultanément toutes les équations du système.
Les systèmes constituent l'un des outils fondamentaux de l'algèbre, car ils permettent de modéliser des conditions simultanées et apparaissent dans de très nombreux contextes mathématiques, géométriques et appliqués.
Du point de vue géométrique, un système linéaire à deux inconnues décrit en général l'intersection de deux droites dans le plan cartésien.
Sommaire
- Qu'est-ce qu'un système d'équations
- Forme générale d'un système linéaire
- Système déterminé, impossible et indéterminé
- Méthode de substitution
- Méthode d'élimination
- Algorithme d'élimination de Gauss
- Systèmes linéaires à trois inconnues
- Interprétation géométrique
- Déterminant du système et règle de Cramer
- Systèmes avec paramètre
- Systèmes non linéaires
- Erreurs fréquentes
Qu'est-ce qu'un système d'équations
Considérons deux équations portant sur les mêmes inconnues :
\[ \begin{cases} x+y=5\\ x-y=1 \end{cases} \]
Aucune des deux équations ne doit être étudiée séparément : on cherche les valeurs de \(x\) et \(y\) qui vérifient les deux simultanément.
Dans ce cas :
\[ x=3,\qquad y=2 \]
car :
\[ 3+2=5 \]
et simultanément :
\[ 3-2=1. \]
Le couple :
\[ (3,2) \]
est donc la solution du système.
En général, une solution d'un système est un couple, un triplet ou un ensemble de valeurs qui vérifie toutes les équations du système.
Forme générale d'un système linéaire
Un système linéaire à deux inconnues se présente généralement sous la forme :
\[ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \]
où :
- \(x\) et \(y\) sont les inconnues ;
- \(a_1,a_2,b_1,b_2\) sont les coefficients ;
- \(c_1,c_2\) sont les termes constants (ou seconds membres).
On parle de système linéaire car les inconnues n'apparaissent qu'au premier degré.
Par exemple :
\[ \begin{cases} 2x+3y=7\\ x-y=4 \end{cases} \]
est un système linéaire.
En revanche :
\[ \begin{cases} x+y=5\\ x^2+y^2=13 \end{cases} \]
n'est pas linéaire, car il contient le terme :
\[ x^2. \]
Système déterminé, impossible et indéterminé
Un système peut admettre :
- une solution unique ;
- aucune solution ;
- une infinité de solutions.
Système déterminé
Un système est dit déterminé lorsqu'il admet une solution unique.
Par exemple :
\[ \begin{cases} x+y=5\\ x-y=1 \end{cases} \]
admet l'unique solution :
\[ x=3,\qquad y=2. \]
Système impossible
Un système est dit impossible lorsqu'il n'admet aucune solution.
Par exemple :
\[ \begin{cases} x+y=2\\ x+y=5 \end{cases} \]
est impossible, car une même somme ne peut pas être simultanément égale à \(2\) et à \(5\).
Système indéterminé
Un système est dit indéterminé lorsqu'il admet une infinité de solutions.
Par exemple :
\[ \begin{cases} x+y=4\\ 2x+2y=8 \end{cases} \]
contient en réalité deux équations équivalentes.
Tout couple vérifiant :
\[ x+y=4 \]
est donc solution du système.
Méthode de substitution
La méthode de substitution consiste à isoler une variable dans l'une des équations, puis à la substituer dans l'autre.
Exemple
Résolvons :
\[ \begin{cases} x-2y=0\\ x+y=6 \end{cases} \]
De la première équation, on tire :
\[ x=2y. \]
En substituant dans la seconde :
\[ 2y+y=6. \]
On obtient :
\[ 3y=6, \]
soit :
\[ y=2. \]
Puis :
\[ x=2\cdot 2=4. \]
La solution du système est :
\[ (x,y)=(4,2). \]
Quand est-il préférable d'utiliser cette méthode ?
La méthode de substitution est particulièrement avantageuse lorsqu'une variable a pour coefficient \(1\) ou \(-1\), car elle peut alors être isolée sans calculs supplémentaires.
Méthode d'élimination
La méthode d'élimination (appelée aussi méthode par combinaison linéaire) consiste à rendre égaux ou opposés les coefficients d'une variable, en multipliant les équations par des constantes appropriées non nulles, de façon à éliminer cette variable en additionnant ou en soustrayant les équations membre à membre.
Exemple
Résolvons :
\[ \begin{cases} 3x+2y=12\\ 5x-2y=4 \end{cases} \]
Les coefficients de \(y\) sont déjà opposés :
\[ 2y \qquad \text{et} \qquad -2y. \]
En additionnant membre à membre :
\[ (3x+2y)+(5x-2y)=12+4, \]
on obtient :
\[ 8x=16, \]
d'où :
\[ x=2. \]
En substituant dans la première équation :
\[ 3\cdot 2+2y=12, \]
c'est-à-dire :
\[ 6+2y=12. \]
On obtient :
\[ y=3. \]
Double multiplication
Si les coefficients ne sont pas déjà opposés, on peut multiplier chaque équation par un nombre approprié non nul.
Par exemple :
\[ \begin{cases} 4x+3y=17\\ 5x-2y=4 \end{cases} \]
On peut multiplier :
- la première équation par \(2\) ;
- la seconde équation par \(3\).
On obtient :
\[ \begin{cases} 8x+6y=34\\ 15x-6y=12 \end{cases} \]
En additionnant :
\[ 23x=46, \]
soit :
\[ x=2. \]
Algorithme d'élimination de Gauss
Lorsque les systèmes comportent trois inconnues ou plus, l'application non systématique de la méthode d'élimination peut devenir complexe. On utilise alors l'algorithme d'élimination de Gauss, une méthode rigoureuse qui transforme progressivement le système en un système équivalent dit échelonné (ou triangulaire), en éliminant les variables une par une de façon ordonnée.
Systèmes linéaires à trois inconnues
Un système linéaire à trois inconnues se présente généralement sous la forme :
\[ \begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \end{cases} \]
En général, l'algorithme consiste à combiner les équations deux à deux afin d'éliminer la même variable et de se ramener à un système plus petit. Toutefois, dans les cas présentant certaines symétries, les calculs peuvent se simplifier considérablement, permettant d'éliminer plusieurs inconnues simultanément.
Exemple
Considérons le système symétrique suivant :
\[ \begin{cases} x+y+z=6\\ x-y+z=2\\ x+y-z=0 \end{cases} \]
En soustrayant la deuxième équation à la première, les inconnues \(x\) et \(z\) s'éliminent mutuellement :
\[ (x+y+z) - (x-y+z) = 6 - 2 \implies 2y=4. \]
Donc :
\[ y=2. \]
De même, en soustrayant la troisième équation à la première :
\[ (x+y+z) - (x+y-z) = 6 - 0 \implies 2z=6. \]
D'où :
\[ z=3. \]
Il suffit alors de substituer les valeurs trouvées de \(y\) et \(z\) dans la première équation d'origine pour déterminer la dernière inconnue :
\[ x+2+3=6. \]
On obtient :
\[ x=1. \]
La solution du système est le triplet ordonné :
\[ (x,y,z)=(1,2,3). \]
Interprétation géométrique
Dans les systèmes linéaires à deux inconnues, chaque équation du premier degré représente une droite dans le plan cartésien. Résoudre le système revient à déterminer l'intersection géométrique de ces droites.
Droites sécantes
Si les droites ont des coefficients directeurs distincts, elles se coupent en un unique point. Les coordonnées de ce point constituent l'unique solution commune : le système est donc déterminé.
Droites parallèles et distinctes
Si les droites ont le même coefficient directeur mais des ordonnées à l'origine différentes, elles sont parallèles et n'ont aucun point en commun. Le système n'admet aucune solution et est donc impossible.
Droites confondues
Si les équations sont équivalentes, les deux droites se superposent, ayant une infinité de points en commun. Le système admet une infinité de solutions et est donc indéterminé.
Déterminant du système et règle de Cramer
Considérons un système linéaire écrit sous forme standard :
\[ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \]
On définit le déterminant du système (ou déterminant principal \(\Delta\)) comme le déterminant associé à la matrice des coefficients :
\[ \Delta= \begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} =a_1b_2-a_2b_1. \]
Pour analyser le système de manière complète sans procéder par tâtonnements, on introduit également les déterminants partiels \(\Delta_x\) et \(\Delta_y\), obtenus en remplaçant la colonne des coefficients de la variable correspondante par la colonne des termes constants :
\[ \Delta_x= \begin{vmatrix} c_1 & b_1\\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} =c_1b_2-c_2b_1 \qquad \text{et} \qquad \Delta_y= \begin{vmatrix} a_1 & c_1\\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} =a_1c_2-a_2c_1. \]
La règle de Cramer permet de classifier le système selon les valeurs de ces déterminants :
- Si \(\Delta \neq 0\) : le système est toujours déterminé et son unique solution est donnée par les formules : \[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \qquad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}. \]
- Si \(\Delta = 0\) et au moins l'un des déterminants \(\Delta_x\) ou \(\Delta_y\) est non nul : le système est impossible (droites parallèles et distinctes).
- Si \(\Delta = 0\), \(\Delta_x = 0\) et \(\Delta_y = 0\) : le système est indéterminé (droites confondues).
Systèmes avec paramètre
Dans certains systèmes apparaît un paramètre, c'est-à-dire une lettre représentant un réel arbitraire non spécifié. Discuter un système littéral revient à déterminer comment la nature du système varie en fonction du paramètre.
Par exemple :
\[ \begin{cases} x+y=6\\ 2x+ky=12 \end{cases} \]
En isolant \(x\) dans la première équation :
\[ x=6-y. \]
En substituant dans la seconde :
\[ 2(6-y)+ky=12. \]
En développant :
\[ 12-2y+ky=12. \]
En regroupant les termes en \(y\) :
\[ (k-2)y=0. \]
On procède alors à la discussion :
- si \(k\neq 2\), le coefficient de \(y\) est non nul, et on peut diviser pour obtenir une solution unique. Le système est déterminé ;
- si \(k=2\), l'équation devient \(0\cdot y=0\), identité toujours vérifiée (\(0=0\)). Le système admet une infinité de solutions et est donc indéterminé.
Systèmes non linéaires
Un système est dit non linéaire lorsqu'au moins l'une de ses équations n'est pas du premier degré (c'est-à-dire qu'elle contient des inconnues multipliées entre elles ou élevées à une puissance supérieure à un).
Par exemple :
\[ \begin{cases} x+y=5\\ x^2+y^2=13 \end{cases} \]
Dans ces cas, la méthode de substitution se révèle presque toujours l'approche la plus naturelle et la plus sûre.
De la première équation, on tire :
\[ y=5-x. \]
En substituant cette expression dans l'équation du second degré :
\[ x^2+(5-x)^2=13. \]
En développant le carré du binôme :
\[ x^2+25-10x+x^2=13. \]
En réduisant et en mettant l'équation obtenue sous forme canonique :
\[ 2x^2-10x+12=0. \]
En divisant tous les termes par le facteur commun \(2\) :
\[ x^2-5x+6=0. \]
En factorisant le trinôme (en cherchant deux nombres dont la somme est \(-5\) et le produit est \(6\)) :
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Par la règle du produit nul, on obtient deux valeurs distinctes de \(x\) :
\[ x=2 \qquad \text{ou} \qquad x=3. \]
En substituant chaque valeur dans l'expression \(y=5-x\), on obtient les ordonnées correspondantes. Les deux solutions distinctes du système sont les couples :
\[ (2,3) \qquad \text{et} \qquad (3,2). \]
Erreurs fréquentes
Erreurs de signe
Les erreurs les plus courantes surviennent lors de la transposition des termes d'un membre à l'autre ou lors de la gestion du signe moins devant les parenthèses dans les substitutions.
Élimination incomplète (principe d'équivalence)
Lorsque l'on applique le principe d'équivalence pour multiplier une équation entière par un nombre non nul, on oublie fréquemment de multiplier également le terme du second membre.
Substitution sans parenthèses
Lorsque l'on substitue une expression composée (un binôme ou un trinôme) à la place d'une variable, il est indispensable de l'encadrer provisoirement de parenthèses pour éviter toute erreur avec les coefficients extérieurs.
Par exemple, si :
\[ x=2y+1, \]
l'expression entière doit être substituée sous la forme :
\[ (2y+1). \]
Absence de vérification finale
Une fois les calculs terminés, il est toujours conseillé d'effectuer une vérification en substituant les valeurs numériques trouvées dans les deux équations de départ, afin de s'assurer que l'on obtient bien des identités.
Systèmes impossibles ou indéterminés non identifiés
Si au cours des manipulations algébriques les variables disparaissent complètement et que l'on aboutit à une égalité manifestement fausse du type :
\[ 0=5, \]
le système n'admet aucune solution et est impossible.
Si en revanche on aboutit à une identité toujours vérifiée du type :
\[ 0=0, \]
le système admet une infinité de solutions et est indéterminé.
En conclusion, les systèmes d'équations constituent l'un des outils fondamentaux de l'algèbre, car ils permettent de décrire des conditions simultanées et d'interpréter géométriquement les intersections de droites, de plans et de courbes. La maîtrise des méthodes de substitution, d'élimination, ainsi que des approches systématiques de Gauss et de Cramer, est indispensable aussi bien dans les études secondaires que pour aborder l'algèbre linéaire et l'analyse mathématique.