Dans ce recueil, nous proposons 20 exercices résolus sur les inégalités avec valeur absolue, classés de façon progressive. Chaque exercice est résolu pas à pas, en accordant une attention particulière à la signification des équivalences utilisées et à la notation correcte de l'ensemble des solutions.
Rappelons que, pour \(k>0\), les équivalences fondamentales suivantes sont vérifiées :
\[ |A(x)|<k \iff -k<A(x)<k \]
\[ |A(x)|\le k \iff -k\le A(x)\le k \]
\[ |A(x)|>k \iff A(x)<-k \quad \text{ou} \quad A(x)>k \]
\[ |A(x)|\ge k \iff A(x)\le -k \quad \text{ou} \quad A(x)\ge k \]
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre l'inégalité :
\[ |x-2|<5 \]
Résultat
\[ S=(-3,7) \]
Résolution
L'inégalité est de la forme :
\[ |A(x)|<k \]
avec :
\[ A(x)=x-2, \qquad k=5 \]
Puisque \(5>0\), on peut transformer l'inégalité avec valeur absolue en la double inégalité :
\[ -5<x-2<5 \]
On additionne \(2\) à tous les membres :
\[ -5+2<x-2+2<5+2 \]
c'est-à-dire :
\[ -3<x<7 \]
Donc l'ensemble des solutions est :
\[ S=(-3,7) \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre l'inégalité :
\[ |x+4|\le 3 \]
Résultat
\[ S=[-7,-1] \]
Résolution
L'inégalité est de la forme :
\[ |A(x)|\le k \]
avec :
\[ A(x)=x+4, \qquad k=3 \]
Puisque \(3>0\), on peut écrire :
\[ -3\le x+4\le 3 \]
On soustrait \(4\) à tous les membres :
\[ -3-4\le x+4-4\le 3-4 \]
On obtient :
\[ -7\le x\le -1 \]
Puisque l'inégalité initiale contient le symbole \(\le\), les extrémités sont également incluses.
Par conséquent :
\[ S=[-7,-1] \]
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre l'inégalité :
\[ |2x-1|>7 \]
Résultat
\[ S=(-\infty,-3)\cup(4,+\infty) \]
Résolution
L'inégalité est de la forme :
\[ |A(x)|>k \]
avec :
\[ A(x)=2x-1, \qquad k=7 \]
Puisque \(7>0\), la valeur absolue est supérieure à \(7\) lorsque l'argument est inférieur à \(-7\) ou supérieur à \(7\). Donc :
\[ 2x-1<-7 \quad \text{ou} \quad 2x-1>7 \]
Résolvons la première inégalité :
\[ 2x-1<-7 \]
On additionne \(1\) :
\[ 2x<-6 \]
On divise par \(2\) :
\[ x<-3 \]
Résolvons maintenant la deuxième inégalité :
\[ 2x-1>7 \]
On additionne \(1\) :
\[ 2x>8 \]
On divise par \(2\) :
\[ x>4 \]
En réunissant les deux solutions, on obtient :
\[ S=(-\infty,-3)\cup(4,+\infty) \]
Exercice 4 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre l'inégalité :
\[ |3x+2|\ge 4 \]
Résultat
\[ S=\left(-\infty,-2\right]\cup\left[\frac{2}{3},+\infty\right) \]
Résolution
L'inégalité est de la forme :
\[ |A(x)|\ge k \]
avec :
\[ A(x)=3x+2, \qquad k=4 \]
Puisque \(4>0\), on peut écrire :
\[ 3x+2\le -4 \quad \text{ou} \quad 3x+2\ge 4 \]
Résolvons la première inégalité :
\[ 3x+2\le -4 \]
On soustrait \(2\) :
\[ 3x\le -6 \]
On divise par \(3\) :
\[ x\le -2 \]
Résolvons la deuxième inégalité :
\[ 3x+2\ge 4 \]
On soustrait \(2\) :
\[ 3x\ge 2 \]
On divise par \(3\) :
\[ x\ge \frac{2}{3} \]
Puisque le symbole \(\ge\) apparaît dans l'inégalité initiale, les extrémités trouvées sont incluses.
Donc :
\[ S=\left(-\infty,-2\right]\cup\left[\frac{2}{3},+\infty\right) \]
Exercice 5 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre l'inégalité :
\[ |5-x|<2 \]
Résultat
\[ S=(3,7) \]
Résolution
L'inégalité est :
\[ |5-x|<2 \]
Puisque \(2>0\), on peut la transformer en :
\[ -2<5-x<2 \]
À présent, il faut isoler \(x\). On soustrait \(5\) à tous les membres :
\[ -2-5<5-x-5<2-5 \]
c'est-à-dire :
\[ -7<-x<-3 \]
On multiplie tous les membres par \(-1\). Puisque l'on multiplie par un nombre négatif, le sens des inégalités change :
\[ 7>x>3 \]
En écrivant l'intervalle dans le sens croissant de la droite réelle :
\[ 3<x<7 \]
Donc :
\[ S=(3,7) \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre l'inégalité :
\[ |4-2x|\le 6 \]
Résultat
\[ S=[-1,5] \]
Résolution
Puisque \(6>0\), on transforme l'inégalité :
\[ -6\le 4-2x\le 6 \]
On soustrait \(4\) à tous les membres :
\[ -10\le -2x\le 2 \]
On divise par \(-2\). Puisque l'on divise par un nombre négatif, le sens des inégalités change :
\[ 5\ge x\ge -1 \]
On réécrit la double inégalité en ordre croissant :
\[ -1\le x\le 5 \]
Par conséquent :
\[ S=[-1,5] \]
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre l'inégalité :
\[ |2x+3|<|x-1| \]
Résultat
\[ S=\left(-4,-\frac{2}{3}\right) \]
Résolution
Dans cette inégalité apparaissent deux valeurs absolues. Puisque les deux membres sont non négatifs, on peut élever au carré sans modifier l'ensemble des solutions :
\[ |2x+3|<|x-1| \iff (2x+3)^2<(x-1)^2 \]
On développe les carrés :
\[ 4x^2+12x+9<x^2-2x+1 \]
On ramène tout au premier membre :
\[ 4x^2+12x+9-x^2+2x-1<0 \]
c'est-à-dire :
\[ 3x^2+14x+8<0 \]
On factorise le trinôme :
\[ 3x^2+14x+8=(3x+2)(x+4) \]
L'inégalité devient :
\[ (3x+2)(x+4)<0 \]
Les racines des facteurs sont :
\[ 3x+2=0 \iff x=-\frac{2}{3}, \qquad x+4=0 \iff x=-4 \]
Vérifions la factorisation : on a bien \((3x+2)(x+4)=3x^2+14x+8\), donc elle est correcte. Étudions le signe du produit :
\[ (3x+2)(x+4)<0 \]
Le produit est négatif entre les deux racines :
\[ -4<x<-\frac{2}{3} \]
Notons que l'inégalité \(|2x+3|<|x-1|\) signifie que \(2x+3\) est plus proche de \(0\) que ne l'est \(x-1\). En élevant au carré, on obtient effectivement :
\[ (2x+3)^2<(x-1)^2 \]
Donc la solution est :
\[ S=\left(-4,-\frac{2}{3}\right) \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre l'inégalité :
\[ |x-3|>0 \]
Résultat
\[ S=(-\infty,3)\cup(3,+\infty) \]
Résolution
La valeur absolue d'une expression est toujours supérieure ou égale à zéro :
\[ |x-3|\ge 0 \]
L'inégalité demande cependant que la valeur absolue soit strictement supérieure à zéro :
\[ |x-3|>0 \]
Une valeur absolue est égale à zéro uniquement lorsque son argument est égal à zéro :
\[ |x-3|=0 \iff x-3=0 \iff x=3 \]
Donc l'inégalité est vérifiée pour tous les nombres réels sauf \(x=3\).
Par conséquent :
\[ S=\mathbb{R}\setminus\{3\} \]
ou, sous forme d'union d'intervalles :
\[ S=(-\infty,3)\cup(3,+\infty) \]
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre l'inégalité :
\[ |2x-5|\le 0 \]
Résultat
\[ S=\left\{\frac{5}{2}\right\} \]
Résolution
La valeur absolue est toujours non négative :
\[ |2x-5|\ge 0 \]
L'inégalité :
\[ |2x-5|\le 0 \]
ne peut donc être vérifiée que lorsque la valeur absolue est égale à zéro :
\[ |2x-5|=0 \]
Une valeur absolue s'annule si et seulement si son argument s'annule :
\[ 2x-5=0 \]
On résout :
\[ 2x=5 \]
donc :
\[ x=\frac{5}{2} \]
Par conséquent :
\[ S=\left\{\frac{5}{2}\right\} \]
Exercice 10 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre l'inégalité :
\[ |x+2|<-1 \]
Résultat
\[ S=\varnothing \]
Résolution
La valeur absolue de toute expression réelle est toujours supérieure ou égale à zéro :
\[ |x+2|\ge 0 \]
L'inégalité proposée demande en revanche :
\[ |x+2|<-1 \]
c'est-à-dire qu'elle exige qu'un nombre non négatif soit inférieur à un nombre négatif. Cela est impossible.
Donc l'inégalité n'admet aucune solution :
\[ S=\varnothing \]
Exercice 11 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre l'inégalité :
\[ |3x-6|>-2 \]
Résultat
\[ S=\mathbb{R} \]
Résolution
La valeur absolue est toujours supérieure ou égale à zéro :
\[ |3x-6|\ge 0 \]
L'inégalité demande :
\[ |3x-6|>-2 \]
Puisque toute valeur absolue est non négative, elle est certainement supérieure à \(-2\).
L'inégalité est donc vérifiée pour tout nombre réel :
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Résoudre l'inégalité :
\[ |x-1|+2<5 \]
Résultat
\[ S=(-2,4) \]
Résolution
Avant d'appliquer les règles sur la valeur absolue, isolons le module.
Partons de :
\[ |x-1|+2<5 \]
On soustrait \(2\) des deux membres :
\[ |x-1|<3 \]
Puisque \(3>0\), on peut écrire :
\[ -3<x-1<3 \]
On additionne \(1\) à tous les membres :
\[ -2<x<4 \]
Par conséquent :
\[ S=(-2,4) \]
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Résoudre l'inégalité :
\[ 2|x+3|-1\ge 7 \]
Résultat
\[ S=(-\infty,-7]\cup[1,+\infty) \]
Résolution
Isolons tout d'abord la valeur absolue.
Partons de :
\[ 2|x+3|-1\ge 7 \]
On additionne \(1\) aux deux membres :
\[ 2|x+3|\ge 8 \]
On divise par \(2\) :
\[ |x+3|\ge 4 \]
Puisque \(4>0\), l'inégalité est équivalente à :
\[ x+3\le -4 \quad \text{ou} \quad x+3\ge 4 \]
Résolvons la première inégalité :
\[ x\le -7 \]
Résolvons la deuxième :
\[ x\ge 1 \]
Donc :
\[ S=(-\infty,-7]\cup[1,+\infty) \]
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
Résoudre l'inégalité :
\[ 3-2|x-4|>1 \]
Résultat
\[ S=(3,5) \]
Résolution
Dans cet exercice, la valeur absolue est multipliée par un nombre négatif. Procédons avec soin.
Partons de :
\[ 3-2|x-4|>1 \]
On soustrait \(3\) des deux membres :
\[ -2|x-4|>-2 \]
On divise par \(-2\). Puisque l'on divise par un nombre négatif, le sens de l'inégalité change :
\[ |x-4|<1 \]
Puisque \(1>0\), on peut écrire :
\[ -1<x-4<1 \]
On additionne \(4\) à tous les membres :
\[ 3<x<5 \]
Par conséquent :
\[ S=(3,5) \]
Exercice 15 — niveau ★★★☆☆
Résoudre l'inégalité :
\[ |x^2-4|\le 5 \]
Résultat
\[ S=[-3,3] \]
Résolution
L'inégalité est de la forme :
\[ |A(x)|\le k \]
avec :
\[ A(x)=x^2-4, \qquad k=5 \]
Puisque \(5>0\), on peut la transformer en la double inégalité :
\[ -5\le x^2-4\le 5 \]
On additionne \(4\) à tous les membres :
\[ -1\le x^2\le 9 \]
Observons maintenant que \(x^2\ge 0\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\). Ainsi, la condition :
\[ -1\le x^2 \]
est toujours vérifiée.
Il reste donc à imposer :
\[ x^2\le 9 \]
Cette inégalité est équivalente à :
\[ -3\le x\le 3 \]
Par conséquent :
\[ S=[-3,3] \]
Exercice 16 — niveau ★★★☆☆
Résoudre l'inégalité :
\[ |x^2-1|>3 \]
Résultat
\[ S=(-\infty,-2)\cup(2,+\infty) \]
Résolution
L'inégalité est de la forme :
\[ |A(x)|>k \]
avec :
\[ A(x)=x^2-1, \qquad k=3 \]
Puisque \(3>0\), il faut résoudre l'union de deux inégalités :
\[ x^2-1<-3 \quad \text{ou} \quad x^2-1>3 \]
Considérons la première :
\[ x^2-1<-3 \]
On additionne \(1\) :
\[ x^2<-2 \]
Cette inégalité n'admet aucune solution réelle, car le carré d'un nombre réel est toujours supérieur ou égal à zéro.
Considérons maintenant la deuxième :
\[ x^2-1>3 \]
On additionne \(1\) :
\[ x^2>4 \]
L'inégalité \(x^2>4\) est vérifiée lorsque \(x\) est extérieur à l'intervalle compris entre \(-2\) et \(2\) :
\[ x<-2 \quad \text{ou} \quad x>2 \]
Donc :
\[ S=(-\infty,-2)\cup(2,+\infty) \]
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Résoudre l'inégalité :
\[ |x-1|+|x+2|\le 5 \]
Résultat
\[ S=[-3,2] \]
Résolution
Dans cette inégalité apparaissent deux valeurs absolues. On utilise donc la méthode de la définition, en partageant la droite réelle en intervalles déterminés par les zéros des arguments des modules.
Les arguments des valeurs absolues sont :
\[ x-1, \qquad x+2 \]
Trouvons les points en lesquels ils s'annulent :
\[ x-1=0 \iff x=1 \]
\[ x+2=0 \iff x=-2 \]
Les points critiques sont donc :
\[ -2, \qquad 1 \]
Ils partagent la droite réelle en trois intervalles :
\[ (-\infty,-2), \qquad [-2,1), \qquad [1,+\infty) \]
Premier cas : \(x<-2\)
Si \(x<-2\), alors :
\[ x-1<0, \qquad x+2<0 \]
Donc :
\[ |x-1|=-(x-1)=-x+1 \]
\[ |x+2|=-(x+2)=-x-2 \]
L'inégalité devient :
\[ -x+1-x-2\le 5 \]
c'est-à-dire :
\[ -2x-1\le 5 \]
On additionne \(1\) :
\[ -2x\le 6 \]
On divise par \(-2\), en rappelant que le sens de l'inégalité change :
\[ x\ge -3 \]
En intersectant avec la condition initiale \(x<-2\), on obtient :
\[ -3\le x<-2 \]
Deuxième cas : \(-2\le x<1\)
Si \(-2\le x<1\), alors :
\[ x-1<0, \qquad x+2\ge 0 \]
Donc :
\[ |x-1|=-(x-1)=-x+1 \]
\[ |x+2|=x+2 \]
L'inégalité devient :
\[ -x+1+x+2\le 5 \]
c'est-à-dire :
\[ 3\le 5 \]
Cette inégalité est toujours vraie, donc tout l'intervalle considéré est solution :
\[ -2\le x<1 \]
Troisième cas : \(x\ge 1\)
Si \(x\ge 1\), alors :
\[ x-1\ge 0, \qquad x+2>0 \]
Donc :
\[ |x-1|=x-1 \]
\[ |x+2|=x+2 \]
L'inégalité devient :
\[ x-1+x+2\le 5 \]
c'est-à-dire :
\[ 2x+1\le 5 \]
On soustrait \(1\) :
\[ 2x\le 4 \]
On divise par \(2\) :
\[ x\le 2 \]
En intersectant avec la condition initiale \(x\ge 1\), on obtient :
\[ 1\le x\le 2 \]
En réunissant les solutions obtenues dans les trois cas :
\[ S= [-3,-2) \cup [-2,1) \cup [1,2] \]
Puisque les intervalles sont consécutifs, on peut écrire plus simplement :
\[ S=[-3,2] \]
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Résoudre l'inégalité :
\[ |x+1|-|x-3|>2 \]
Résultat
\[ S=(2,+\infty) \]
Résolution
Les arguments des valeurs absolues sont :
\[ x+1, \qquad x-3 \]
Trouvons les zéros :
\[ x+1=0 \iff x=-1, \qquad x-3=0 \iff x=3 \]
Les points critiques sont :
\[ -1, \qquad 3 \]
Ils partagent la droite réelle en trois intervalles :
\[ (-\infty,-1), \qquad [-1,3), \qquad [3,+\infty) \]
Premier cas : \(x<-1\)
Si \(x<-1\), alors :
\[ x+1<0, \qquad x-3<0 \]
Donc :
\[ |x+1|=-x-1, \qquad |x-3|=-x+3 \]
L'inégalité devient :
\[ (-x-1)-(-x+3)>2 \]
c'est-à-dire :
\[ -x-1+x-3>2 \]
donc :
\[ -4>2 \]
Cette inégalité est fausse, donc il n'y a aucune solution dans le premier intervalle.
Deuxième cas : \(-1\le x<3\)
Si \(-1\le x<3\), alors :
\[ x+1\ge 0, \qquad x-3<0 \]
Donc :
\[ |x+1|=x+1, \qquad |x-3|=-x+3 \]
L'inégalité devient :
\[ x+1-(-x+3)>2 \]
c'est-à-dire :
\[ x+1+x-3>2 \]
donc :
\[ 2x-2>2 \]
On additionne \(2\) :
\[ 2x>4 \]
On divise par \(2\) :
\[ x>2 \]
En intersectant avec l'intervalle \(-1\le x<3\), on obtient :
\[ 2<x<3 \]
Troisième cas : \(x\ge 3\)
Si \(x\ge 3\), alors :
\[ x+1>0, \qquad x-3\ge 0 \]
Donc :
\[ |x+1|=x+1, \qquad |x-3|=x-3 \]
L'inégalité devient :
\[ x+1-(x-3)>2 \]
c'est-à-dire :
\[ 4>2 \]
Cette inégalité est toujours vraie, donc tout l'intervalle considéré est solution :
\[ x\ge 3 \]
En réunissant les résultats :
\[ S=(2,3)\cup[3,+\infty) \]
donc :
\[ S=(2,+\infty) \]
Exercice 19 — niveau ★★★★☆
Résoudre l'inégalité :
\[ |2x-1|+|x+2|<6 \]
Résultat
\[ S=\left(-\frac{7}{3},\frac{5}{3}\right) \]
Résolution
Les arguments des deux valeurs absolues sont :
\[ 2x-1, \qquad x+2 \]
Trouvons les zéros :
\[ 2x-1=0 \iff x=\frac{1}{2}, \qquad x+2=0 \iff x=-2 \]
Les points critiques, ordonnés sur la droite réelle, sont :
\[ -2, \qquad \frac{1}{2} \]
On étudie donc les trois intervalles :
\[ (-\infty,-2), \qquad \left[-2,\frac{1}{2}\right), \qquad \left[\frac{1}{2},+\infty\right) \]
Premier cas : \(x<-2\)
Si \(x<-2\), alors :
\[ 2x-1<0, \qquad x+2<0 \]
Donc :
\[ |2x-1|=-(2x-1)=-2x+1, \qquad |x+2|=-(x+2)=-x-2 \]
L'inégalité devient :
\[ -2x+1-x-2<6 \]
c'est-à-dire :
\[ -3x-1<6 \]
On additionne \(1\) :
\[ -3x<7 \]
On divise par \(-3\), en changeant le sens :
\[ x>-\frac{7}{3} \]
En intersectant avec \(x<-2\), on obtient :
\[ -\frac{7}{3}<x<-2 \]
Deuxième cas : \(-2\le x<\frac{1}{2}\)
Si \(-2\le x<\frac{1}{2}\), alors :
\[ 2x-1<0, \qquad x+2\ge 0 \]
Donc :
\[ |2x-1|=-2x+1, \qquad |x+2|=x+2 \]
L'inégalité devient :
\[ -2x+1+x+2<6 \]
c'est-à-dire :
\[ -x+3<6 \]
On soustrait \(3\) :
\[ -x<3 \]
On multiplie par \(-1\), en changeant le sens :
\[ x>-3 \]
En intersectant avec \(-2\le x<\frac{1}{2}\), tout l'intervalle est solution :
\[ -2\le x<\frac{1}{2} \]
Troisième cas : \(x\ge \frac{1}{2}\)
Si \(x\ge \frac{1}{2}\), alors :
\[ 2x-1\ge 0, \qquad x+2>0 \]
Donc :
\[ |2x-1|=2x-1, \qquad |x+2|=x+2 \]
L'inégalité devient :
\[ 2x-1+x+2<6 \]
c'est-à-dire :
\[ 3x+1<6 \]
On soustrait \(1\) :
\[ 3x<5 \]
On divise par \(3\) :
\[ x<\frac{5}{3} \]
En intersectant avec \(x\ge \frac{1}{2}\), on obtient :
\[ \frac{1}{2}\le x<\frac{5}{3} \]
En réunissant les solutions partielles :
\[ S= \left(-\frac{7}{3},-2\right) \cup \left[-2,\frac{1}{2}\right) \cup \left[\frac{1}{2},\frac{5}{3}\right) \]
Puisque les intervalles sont consécutifs, on obtient :
\[ S=\left(-\frac{7}{3},\frac{5}{3}\right) \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Résoudre l'inégalité :
\[ |x-2|\ge 2|x+1| \]
Résultat
\[ S=[-4,0] \]
Résolution
Les deux membres de l'inégalité sont non négatifs. On peut donc les élever au carré sans modifier l'ensemble des solutions.
Partons de :
\[ |x-2|\ge 2|x+1| \]
En élevant au carré :
\[ (x-2)^2\ge \left(2|x+1|\right)^2 \]
Puisque :
\[ \left(2|x+1|\right)^2=4(x+1)^2 \]
on obtient :
\[ (x-2)^2\ge 4(x+1)^2 \]
On développe les carrés :
\[ x^2-4x+4\ge 4(x^2+2x+1) \]
c'est-à-dire :
\[ x^2-4x+4\ge 4x^2+8x+4 \]
En soustrayant \(x^2-4x+4\) des deux membres, on obtient :
\[ 0\ge 3x^2+12x \]
c'est-à-dire :
\[ 3x^2+12x\le 0 \]
On met \(3x\) en facteur :
\[ 3x(x+4)\le 0 \]
Puisque \(3>0\), le signe dépend du produit :
\[ x(x+4)\le 0 \]
Les racines sont :
\[ x=0, \qquad x=-4 \]
Le produit \(x(x+4)\) est inférieur ou égal à zéro entre les deux racines, extrémités incluses :
\[ -4\le x\le 0 \]
Par conséquent :
\[ S=[-4,0] \]