Le théorème de la limite d'une suite monotone est l'un des résultats fondamentaux concernant les limites de suites. Il affirme qu'une suite monotone admet toujours une limite, finie ou infinie.
Plus précisément, une suite croissante tend vers sa borne supérieure, possiblement égale à \(+\infty\), tandis qu'une suite décroissante tend vers sa borne inférieure, possiblement égale à \(-\infty\). En particulier, toute suite monotone et bornée est convergente.
Ce résultat revêt une grande importance, car il permet d'établir l'existence de la limite d'une suite sans avoir à la calculer explicitement. Il suffit de vérifier la monotonie et, lorsqu'on cherche une limite finie, le caractère borné.
Sommaire
- Rappel sur les suites monotones
- Théorème de la limite d'une suite monotone
- Cas d'une suite croissante
- Cas d'une suite décroissante
- Suites monotones et bornées
- Exemples
Rappel sur les suites monotones
Nous supposons que les suites sont indexées par les entiers naturels strictement positifs, c'est-à-dire \(n\in\mathbb{N}\) avec \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}\).
Une suite réelle \((a_n)\) est dite croissante si
\[ a_n\leq a_{n+1} \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). Autrement dit, chaque terme est inférieur ou égal au terme suivant.
Une suite réelle \((a_n)\) est dite en revanche décroissante si
\[ a_n\geq a_{n+1} \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). Dans ce cas, chaque terme est supérieur ou égal au terme suivant.
Dans les deux cas, nous employons la monotonie au sens large : une suite croissante peut avoir des termes consécutifs égaux, et il en va de même pour une suite décroissante.
Avec cette terminologie, une suite croissante est aussi dite non décroissante, tandis qu'une suite décroissante est aussi dite non croissante. Lorsque les inégalités sont strictes, on parle plutôt de suites strictement croissantes ou strictement décroissantes.
Une suite est dite monotone si elle est croissante ou décroissante.
La monotonie décrit donc le comportement ordonné des termes de la suite. À elle seule, toutefois, elle n'indique pas si la limite est finie ou infinie. Par exemple, une suite croissante peut converger vers un nombre réel ou diverger vers \(+\infty\).
Théorème de la limite d'une suite monotone
Soit \((a_n)\) une suite réelle monotone.
Si \((a_n)\) est croissante, alors
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}, \]
où la borne supérieure est prise au sens étendu et peut être un nombre réel ou bien \(+\infty\).
Si \((a_n)\) est décroissante, alors
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\inf\{a_n:n\in\mathbb{N}\}, \]
où la borne inférieure est prise au sens étendu et peut être un nombre réel ou bien \(-\infty\).
Sous forme condensée :
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n = \begin{cases} \sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}, & \text{si } (a_n) \text{ est croissante},\\[4pt] \inf\{a_n:n\in\mathbb{N}\}, & \text{si } (a_n) \text{ est décroissante}. \end{cases} \]
Cela signifie qu'une suite monotone ne peut pas être dépourvue de limite : sa limite existe toujours, possiblement comme limite infinie.
Comme la limite d'une suite, lorsqu'elle existe, est unique, cette valeur caractérise entièrement le comportement asymptotique de la suite monotone.
Par exemple, la suite \(a_n=(-1)^n\) n'a pas de limite, mais elle n'est pas monotone. La monotonie est donc une condition forte : elle interdit toute oscillation persistante entre des valeurs distinctes.
Cas d'une suite croissante
Supposons que \((a_n)\) soit une suite croissante. On distingue deux cas : la suite peut être majorée ou non majorée.
Suite croissante et majorée
Supposons que \((a_n)\) soit croissante et majorée. Alors l'ensemble de ses valeurs
\[ \{a_n:n\in\mathbb{N}\} \]
est non vide et majoré. D'après la propriété de complétude des nombres réels, sa borne supérieure existe. Posons
\[ S=\sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}. \]
On veut démontrer que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=S. \]
Par définition de la borne supérieure, \(S\) est un majorant de l'ensemble \(\{a_n:n\in\mathbb{N}\}\). Donc
\[ a_n\leq S \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
De plus, toujours par définition de la borne supérieure, pour tout \(\varepsilon>0\) le nombre \(S-\varepsilon\) n'est pas un majorant de l'ensemble. Par conséquent, il existe un indice \(k\in\mathbb{N}\) tel que
\[ S-\varepsilon<a_k. \]
Comme la suite est croissante, pour tout \(n\geq k\) on a
\[ a_k\leq a_n. \]
Ainsi, pour tout \(n\geq k\),
\[ S-\varepsilon<a_k\leq a_n\leq S. \]
De cette chaîne d'inégalités, on déduit que
\[ 0\leq S-a_n<\varepsilon. \]
Par conséquent
\[ |a_n-S|<\varepsilon \]
pour tout \(n\geq k\). Par définition de la limite,
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=S. \]
Ainsi, une suite croissante et majorée converge vers sa borne supérieure.
Suite croissante non majorée
Supposons maintenant que \((a_n)\) soit croissante et non majorée. On veut démontrer que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty. \]
Comme la suite n'est pas majorée, pour tout \(M>0\) il existe un indice \(\nu\in\mathbb{N}\) tel que
\[ a_\nu>M. \]
Comme \((a_n)\) est croissante, pour tout \(n\geq \nu\) on a
\[ a_n\geq a_\nu>M. \]
Donc, pour tout \(M>0\), il existe \(\nu\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq\nu\),
\[ a_n>M. \]
Par définition de la divergence vers \(+\infty\),
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty. \]
Ainsi, une suite croissante non majorée diverge vers \(+\infty\).
Cas d'une suite décroissante
Supposons que \((a_n)\) soit une suite décroissante. Là encore, on distingue deux possibilités : la suite peut être minorée ou non minorée.
Suite décroissante et minorée
Supposons que \((a_n)\) soit décroissante et minorée. Alors l'ensemble de ses valeurs
\[ \{a_n:n\in\mathbb{N}\} \]
est non vide et minoré. D'après la propriété de complétude des nombres réels, sa borne inférieure existe. Posons
\[ L=\inf\{a_n:n\in\mathbb{N}\}. \]
On veut démontrer que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L. \]
Par définition de la borne inférieure, \(L\) est un minorant de l'ensemble \(\{a_n:n\in\mathbb{N}\}\). Donc
\[ L\leq a_n \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
De plus, par définition de la borne inférieure, pour tout \(\varepsilon>0\) le nombre \(L+\varepsilon\) n'est pas un minorant de l'ensemble. Par conséquent, il existe un indice \(k\in\mathbb{N}\) tel que
\[ a_k<L+\varepsilon. \]
Comme la suite est décroissante, pour tout \(n\geq k\) on a
\[ a_n\leq a_k. \]
Ainsi, pour tout \(n\geq k\),
\[ L\leq a_n\leq a_k<L+\varepsilon. \]
De cette chaîne d'inégalités, on déduit que
\[ 0\leq a_n-L<\varepsilon. \]
Par conséquent
\[ |a_n-L|<\varepsilon \]
pour tout \(n\geq k\). Par définition de la limite,
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L. \]
Ainsi, une suite décroissante et minorée converge vers sa borne inférieure.
Suite décroissante non minorée
Supposons maintenant que \((a_n)\) soit décroissante et non minorée. On veut démontrer que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=-\infty. \]
Comme la suite n'est pas minorée, pour tout \(M>0\) il existe un indice \(\nu\in\mathbb{N}\) tel que
\[ a_\nu<-M. \]
Comme \((a_n)\) est décroissante, pour tout \(n\geq \nu\) on a
\[ a_n\leq a_\nu<-M. \]
Donc, pour tout \(M>0\), il existe \(\nu\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq\nu\),
\[ a_n<-M. \]
Par définition de la divergence vers \(-\infty\),
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=-\infty. \]
Ainsi, une suite décroissante non minorée diverge vers \(-\infty\).
Suites monotones et bornées
Du théorème précédent découle un critère d'usage très fréquent.
Si une suite est croissante et majorée, alors elle converge, et sa limite est sa borne supérieure :
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}. \]
Si une suite est décroissante et minorée, alors elle converge, et sa limite est sa borne inférieure :
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\inf\{a_n:n\in\mathbb{N}\}. \]
En particulier, toute suite réelle monotone et bornée est convergente.
Ce critère est souvent appelé théorème de convergence monotone pour les suites. Il est utile car il établit l'existence d'une limite sans qu'il soit nécessaire d'en connaître au préalable la valeur explicite.
Exemples
Exemple 1. Considérons la suite
\[ a_n=1-\frac{1}{n}. \]
Cette suite est croissante, car
\[ a_{n+1}=1-\frac{1}{n+1} \]
et, puisque
\[ \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}, \]
on a
\[ 1-\frac{1}{n+1}>1-\frac{1}{n}. \]
Donc
\[ a_{n+1}>a_n. \]
De plus, pour tout \(n\in\mathbb{N}\),
\[ a_n<1. \]
La suite est donc croissante et majorée. D'après le théorème de la limite d'une suite monotone, elle converge vers sa borne supérieure.
Dans ce cas
\[ \sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}=1. \]
En effet,
\[ 1-\frac{1}{n}<1 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\), de sorte que \(1\) est un majorant. De plus, pour tout \(\varepsilon>0\) il existe \(n\in\mathbb{N}\) tel que
\[ 1-\varepsilon<1-\frac{1}{n}. \]
Cette inégalité équivaut à
\[ \frac{1}{n}<\varepsilon, \]
qui est vérifiée pour \(n\) suffisamment grand. Donc \(1\) est le plus petit des majorants.
Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)=1. \]
Exemple 2. Considérons la suite
\[ b_n=\frac{1}{n}. \]
Cette suite est décroissante, car
\[ \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n} \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). De plus, elle est minorée, car
\[ b_n>0 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Donc \((b_n)\) est décroissante et minorée. D'après le théorème de la limite d'une suite monotone, elle converge vers sa borne inférieure.
Dans ce cas
\[ \inf\{b_n:n\in\mathbb{N}\}=0. \]
En effet, \(0\) est un minorant de la suite, car
\[ \frac{1}{n}>0 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). De plus, pour tout \(\varepsilon>0\) il existe \(n\in\mathbb{N}\) tel que
\[ \frac{1}{n}<\varepsilon. \]
Ainsi, les termes de la suite deviennent arbitrairement proches de \(0\) par valeurs supérieures. Par conséquent, \(0\) est le plus grand des minorants.
Ainsi,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Exemple 3. Considérons la suite
\[ c_n=n. \]
Cette suite est croissante, mais elle n'est pas majorée. En effet, pour tout \(M>0\) il existe \(n\in\mathbb{N}\) tel que
\[ n>M. \]
Donc, d'après le théorème de la limite d'une suite monotone,
\[ \lim_{n\to+\infty}n=+\infty. \]
Exemple 4. Considérons la suite
\[ d_n=-n. \]
Cette suite est décroissante et n'est pas minorée. En effet, pour tout \(M>0\) il existe \(n\in\mathbb{N}\) tel que
\[ -n<-M. \]
Donc, d'après le théorème de la limite monotone,
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
Ces exemples montrent que la monotonie garantit toujours l'existence de la limite, mais non que celle-ci soit finie. Pour obtenir la convergence vers un nombre réel, il faut aussi une condition de bornitude appropriée : être majorée pour les suites croissantes, être minorée pour les suites décroissantes.
Le théorème dépend de façon essentielle de la complétude des nombres réels. En effet, dans \(\mathbb{Q}\) une suite monotone et bornée peut ne pas converger vers un nombre rationnel. Par exemple, la suite des approximations décimales finies de \(\sqrt{2}\),
\[ 1;\ 1{,}4;\ 1{,}41;\ 1{,}414;\ 1{,}4142;\ \ldots \]
est croissante et bornée dans \(\mathbb{Q}\), mais ne converge pas dans \(\mathbb{Q}\), car sa limite dans \(\mathbb{R}\) est \(\sqrt{2}\), qui est irrationnel.