La complétude de \(\mathbb R\) est une propriété fondamentale des nombres réels. Elle traduit le fait que la droite réelle ne présente pas de « trous » : toute partie non vide et majorée de \(\mathbb R\) possède une borne supérieure réelle.
Cette propriété distingue profondément \(\mathbb R\) de l'ensemble des nombres rationnels \(\mathbb Q\). En effet, dans les rationnels, il existe des parties non vides et majorées qui ne possèdent pas de borne supérieure rationnelle. Dans \(\mathbb R\), au contraire, un tel phénomène ne peut se produire.
Dans cet article, nous présenterons la signification de la complétude de \(\mathbb R\), nous énoncerons l'axiome de complétude au moyen de la borne supérieure et nous verrons pourquoi cette propriété est à la base de nombreux résultats fondamentaux de l'analyse mathématique.
Sommaire
- Idée intuitive de la complétude de \(\mathbb R\)
- Pourquoi \(\mathbb Q\) n'est pas complet
- Rappel : majorants, minorants, maximum et minimum
- Rappel : borne supérieure et borne inférieure
- Axiome de complétude de \(\mathbb R\)
- Signification de l'axiome de complétude
- Exemples d'application de l'axiome de complétude
- Complétude de \(\mathbb R\) et suites
- Conséquences fondamentales de la complétude de \(\mathbb R\)
- Récapitulatif final
Idée intuitive de la complétude de \(\mathbb R\)
Dire que \(\mathbb R\) est complet revient, intuitivement, à dire que la droite réelle n'a pas de trous.
Cette affirmation doit être interprétée avec soin. Les nombres rationnels \(\mathbb Q\) sont très denses sur la droite : entre deux rationnels distincts, il existe toujours au moins un autre rationnel. Pourtant, malgré cette densité, \(\mathbb Q\) ne remplit pas entièrement la droite.
Par exemple, le nombre
\[ \sqrt{2} \]
n'est pas rationnel. Et pourtant, on peut construire des nombres rationnels de plus en plus proches de \(\sqrt{2}\), aussi bien par défaut que par excès.
Autrement dit, à l'intérieur de \(\mathbb Q\), il existe des procédés d'approximation qui « pointent » vers un nombre n'appartenant pas à \(\mathbb Q\). Du point de vue des rationnels, ce point est un trou.
L'ensemble \(\mathbb R\), au contraire, est précisément construit pour combler ces trous. Toute grandeur que l'on peut déterminer comme limite, comme borne supérieure ou comme point de séparation entre deux classes de nombres appartient à la droite réelle.
La complétude de \(\mathbb R\) formalise cette idée : toute partie non vide et majorée de \(\mathbb R\) possède une borne supérieure dans \(\mathbb R\).
Pourquoi \(\mathbb Q\) n'est pas complet
Pour comprendre la complétude de \(\mathbb R\), il est utile d'observer d'abord pourquoi \(\mathbb Q\) n'est pas complet.
Considérons l'ensemble
\[ A=\{q\in\mathbb Q:q^2<2\}. \]
L'ensemble \(A\) est formé des nombres rationnels dont le carré est inférieur à \(2\).
Par exemple,
\[ 1\in A, \]
car
\[ 1^2=1<2. \]
De plus, \(A\) est majoré dans \(\mathbb Q\). Par exemple, \(2\) est un majorant rationnel de \(A\), car tout rationnel \(q\) tel que \(q^2<2\) est certainement inférieur à \(2\).
Cependant, \(A\) ne possède pas de borne supérieure dans \(\mathbb Q\).
En effet, si l'on raisonne dans \(\mathbb R\), sa borne supérieure est
\[ \sup A=\sqrt{2}. \]
Or
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb Q. \]
Ainsi, en considérant l'ensemble uniquement dans \(\mathbb Q\), il manque le nombre censé représenter le plus petit des majorants.
C'est là le point essentiel : \(\mathbb Q\) contient de nombreux nombres et est dense sur la droite, mais il n'est pas complet. Il existe des parties de \(\mathbb Q\) non vides et majorées qui n'ont pas de borne supérieure rationnelle.
Le trou correspondant à \(\sqrt{2}\)
L'ensemble
\[ A=\{q\in\mathbb Q:q^2<2\} \]
décrit tous les rationnels qui se trouvent, intuitivement, à gauche de \(\sqrt{2}\).
Dans \(\mathbb Q\), toutefois, le nombre \(\sqrt{2}\) n'existe pas. L'ensemble \(A\) s'approche donc indéfiniment d'un seuil qui n'appartient pas aux rationnels.
Dans les réels, en revanche, ce seuil existe et c'est précisément \(\sqrt{2}\). C'est pour cette raison que \(\mathbb R\) est complet, tandis que \(\mathbb Q\) ne l'est pas.
Rappel : majorants, minorants, maximum et minimum
Avant d'énoncer l'axiome de complétude, rappelons quelques définitions fondamentales.
Soit \(A\subseteq\mathbb R\) un ensemble non vide.
Un nombre \(M\in\mathbb R\) est appelé majorant de \(A\) si tout élément de \(A\) est inférieur ou égal à \(M\). En symboles :
\[ x\leq M \qquad \text{pour tout } x\in A. \]
Si \(A\) possède au moins un majorant, on dit que \(A\) est majoré.
De même, un nombre \(m\in\mathbb R\) est appelé minorant de \(A\) si tout élément de \(A\) est supérieur ou égal à \(m\). En symboles :
\[ m\leq x \qquad \text{pour tout } x\in A. \]
Si \(A\) possède au moins un minorant, on dit que \(A\) est minoré.
Maximum et minimum
Un élément \(M\in A\) est appelé maximum de \(A\) s'il est supérieur ou égal à tout élément de \(A\) :
\[ x\leq M \qquad \text{pour tout } x\in A. \]
On écrit alors
\[ M=\max A. \]
Un élément \(m\in A\) est appelé minimum de \(A\) s'il est inférieur ou égal à tout élément de \(A\) :
\[ m\leq x \qquad \text{pour tout } x\in A. \]
On écrit alors
\[ m=\min A. \]
Il importe de remarquer que le maximum et le minimum, lorsqu'ils existent, doivent appartenir à l'ensemble.
Par exemple, l'intervalle
\[ (0,1) \]
est à la fois majoré et minoré, mais il n'a ni maximum ni minimum. En effet, \(1\) et \(0\) en sont respectivement la borne supérieure et la borne inférieure, mais ils n'appartiennent pas à l'intervalle.
Rappel : borne supérieure et borne inférieure
Les notions de maximum et de minimum ne suffisent pas à décrire tous les ensembles bornés. Il existe en effet des ensembles qui n'ont pas de maximum mais qui possèdent néanmoins un plus petit majorant.
Soit \(A\subseteq\mathbb R\) un ensemble non vide et majoré. Un nombre \(s\in\mathbb R\) est appelé borne supérieure de \(A\) s'il satisfait deux propriétés :
- \(s\) est un majorant de \(A\) ;
- \(s\) est le plus petit de tous les majorants de \(A\).
On écrit alors
\[ s=\sup A. \]
Dire que \(s=\sup A\) signifie donc que
\[ x\leq s \qquad \text{pour tout } x\in A, \]
et que tout nombre plus petit que \(s\) cesse d'être un majorant de \(A\).
De manière équivalente, \(s=\sup A\) si et seulement si \(s\) est un majorant de \(A\) et si, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe au moins un élément \(x\in A\) tel que
\[ s-\varepsilon<x\leq s. \]
Cette seconde caractérisation est très importante : elle exprime que les éléments de \(A\) peuvent s'approcher arbitrairement près de \(\sup A\) par en dessous.
Borne inférieure
De manière analogue, soit \(A\subseteq\mathbb R\) un ensemble non vide et minoré. Un nombre \(i\in\mathbb R\) est appelé borne inférieure de \(A\) s'il satisfait deux propriétés :
- \(i\) est un minorant de \(A\) ;
- \(i\) est le plus grand de tous les minorants de \(A\).
On écrit alors
\[ i=\inf A. \]
Dire que \(i=\inf A\) signifie donc que
\[ i\leq x \qquad \text{pour tout } x\in A, \]
et que tout nombre plus grand que \(i\) cesse d'être un minorant de \(A\).
De manière équivalente, \(i=\inf A\) si et seulement si \(i\) est un minorant de \(A\) et si, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe au moins un élément \(x\in A\) tel que
\[ i\leq x<i+\varepsilon. \]
Différence entre maximum et borne supérieure
Le maximum, lorsqu'il existe, est un élément de l'ensemble. La borne supérieure, en revanche, peut ne pas appartenir à l'ensemble.
Par exemple, pour l'intervalle
\[ A=(0,1) \]
on a
\[ \sup A=1, \qquad \inf A=0. \]
Cependant,
\[ 1\notin A \qquad \text{et} \qquad 0\notin A. \]
Par conséquent, \(A\) n'a ni maximum ni minimum.
Cet exemple montre que la borne supérieure et la borne inférieure sont des notions plus générales que le maximum et le minimum.
Axiome de complétude de \(\mathbb R\)
On peut maintenant énoncer la propriété fondamentale des nombres réels.
Axiome de complétude de \(\mathbb R\). Toute partie non vide et majorée de \(\mathbb R\) admet une borne supérieure dans \(\mathbb R\).
En symboles, si \(A\subseteq\mathbb R\), \(A\neq\varnothing\) et si \(A\) est majoré, alors il existe un nombre réel \(s\in\mathbb R\) tel que
\[ s=\sup A. \]
Cet axiome affirme que, sur la droite réelle, tout ensemble non vide possédant au moins un majorant possède aussi le plus petit de ses majorants.
La complétude de \(\mathbb R\) peut donc s'exprimer en disant que, dans \(\mathbb R\), les bornes supérieures des ensembles non vides et majorés ne font jamais défaut.
Forme équivalente avec la borne inférieure
L'axiome de complétude peut aussi se formuler au moyen de la borne inférieure.
Toute partie non vide et minorée de \(\mathbb R\) admet une borne inférieure dans \(\mathbb R\).
En symboles, si \(A\subseteq\mathbb R\), \(A\neq\varnothing\) et si \(A\) est minoré, alors il existe un nombre réel \(i\in\mathbb R\) tel que
\[ i=\inf A. \]
Les deux formulations sont équivalentes. En effet, l'existence des bornes supérieures permet d'obtenir celle des bornes inférieures en appliquant l'axiome à l'ensemble opposé
\[ -A=\{-x:x\in A\}. \]
En particulier, si \(A\) est minoré, alors
\[ \inf A=-\sup(-A). \]
Pourquoi parle-t-on d'axiome ?
On parle d'axiome parce que la complétude ne peut pas se déduire des seules propriétés algébriques et d'ordre que les nombres rationnels possèdent déjà.
\(\mathbb Q\) est lui aussi un corps ordonné : on peut additionner, multiplier et comparer les nombres rationnels. Pourtant, \(\mathbb Q\) n'est pas complet.
La propriété qui distingue \(\mathbb R\) de \(\mathbb Q\) est précisément l'existence de la borne supérieure pour tout ensemble de réels non vide et majoré.
Signification de l'axiome de complétude
L'axiome de complétude affirme que, si un ensemble de réels est non vide et ne peut pas dépasser un certain seuil, alors il existe un seuil minimal qui le contient par le haut.
Ce seuil minimal est la borne supérieure.
Pour saisir la signification de l'axiome, imaginons un ensemble \(A\subseteq\mathbb R\) formé de points situés sur la droite réelle. Si \(A\) est majoré, alors tous ses points se trouvent à gauche d'au moins un nombre réel.
L'axiome de complétude garantit que, parmi tous ces majorants, il en existe un plus petit. Autrement dit, il existe un nombre réel qui représente exactement le bord supérieur de l'ensemble.
Ce bord peut appartenir ou non à l'ensemble.
S'il appartient à l'ensemble, il coïncide avec le maximum. S'il n'y appartient pas, il est tout de même présent sur la droite réelle en tant que borne supérieure.
Exemple : intervalle fermé
Considérons l'intervalle
\[ A=[0,1]. \]
L'ensemble \(A\) est non vide et majoré.
Sa borne supérieure est
\[ \sup A=1. \]
Dans ce cas, \(1\in A\), de sorte que la borne supérieure est aussi le maximum :
\[ \max A=1. \]
Exemple : intervalle ouvert
Considérons à présent l'intervalle
\[ A=(0,1). \]
Cet ensemble est lui aussi non vide et majoré.
Sa borne supérieure est encore
\[ \sup A=1. \]
Cependant, \(1\notin A\), de sorte que \(A\) n'a pas de maximum.
L'axiome de complétude garantit néanmoins l'existence de la borne supérieure, même lorsqu'elle n'appartient pas à l'ensemble.
Le point essentiel
Le point essentiel est le suivant : la complétude n'affirme pas que tout ensemble borné possède un maximum ou un minimum.
Elle affirme plutôt que tout ensemble non vide et majoré possède une borne supérieure, et que tout ensemble non vide et minoré possède une borne inférieure.
Cette distinction est fondamentale. Le maximum doit appartenir à l'ensemble ; la borne supérieure, en revanche, peut ne pas lui appartenir.
Exemples d'application de l'axiome de complétude
Examinons maintenant quelques exemples montrant comment l'axiome de complétude garantit l'existence de la borne supérieure, même lorsque l'ensemble ne possède pas de maximum.
Exemple 1 : un intervalle ouvert
Considérons l'ensemble
\[ A=(0,1). \]
L'ensemble \(A\) est non vide et majoré. Par exemple, \(1\) est un majorant de \(A\), car
\[ x\leq 1 \qquad \text{pour tout } x\in A. \]
D'après l'axiome de complétude, \(A\) admet une borne supérieure dans \(\mathbb R\). Dans ce cas,
\[ \sup A=1. \]
Cependant, \(1\notin A\), de sorte que \(A\) n'a pas de maximum.
Cet exemple montre que l'axiome de complétude ne garantit pas l'existence du maximum, mais bien celle de la borne supérieure.
Exemple 2 : l'ensemble des carrés inférieurs à \(2\)
Considérons l'ensemble
\[ A=\{x\in\mathbb R:x^2<2\}. \]
Cet ensemble est non vide, car \(0\in A\). Il est de plus majoré : par exemple, \(2\) est un majorant de \(A\).
D'après l'axiome de complétude, il existe
\[ \sup A. \]
On a alors
\[ \sup A=\sqrt{2}. \]
En effet, \(\sqrt{2}\) est un majorant de \(A\), car si \(x^2<2\), alors \(x<\sqrt{2}\). De plus, aucun nombre inférieur à \(\sqrt{2}\) ne peut être un majorant, car il existe des éléments de \(A\) arbitrairement proches de \(\sqrt{2}\) par la gauche.
Cet exemple met en évidence le rôle essentiel des nombres réels : le nombre \(\sqrt{2}\), qui fait défaut dans \(\mathbb Q\), existe dans \(\mathbb R\) et peut être reconnu comme la borne supérieure d'un ensemble.
Exemple 3 : un ensemble sans maximum
Considérons l'ensemble
\[ A=\left\{1-\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}. \]
Les premiers éléments de l'ensemble sont
\[ 0,\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\ldots \]
L'ensemble est non vide et majoré. En effet, chacun de ses éléments est inférieur à \(1\).
D'après l'axiome de complétude, \(A\) possède une borne supérieure. Dans ce cas,
\[ \sup A=1. \]
Or \(1\notin A\), car il n'existe aucun \(n\in\mathbb N\) tel que
\[ 1-\frac{1}{n}=1. \]
Par conséquent, \(A\) n'a pas de maximum.
Cet exemple est important car il présente un ensemble discret, formé d'une infinité de points isolés, qui s'approche indéfiniment d'une valeur extérieure à l'ensemble.
Complétude de \(\mathbb R\) et suites
La complétude de \(\mathbb R\) peut aussi s'exprimer à l'aide des suites. L'une des formulations les plus importantes est le critère de Cauchy.
Une suite \((x_n)\) de nombres réels est appelée suite de Cauchy si ses termes deviennent arbitrairement proches les uns des autres à mesure que les indices croissent.
En symboles, \((x_n)\) est de Cauchy si, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(N\in\mathbb N\) tel que, pour tous \(m,n\geq N\), on ait
\[ |x_n-x_m|<\varepsilon. \]
L'idée est qu'une suite de Cauchy ne nécessite pas de connaître à l'avance sa limite : elle décrit une suite dont les termes se stabilisent de plus en plus les uns par rapport aux autres.
Complétude au moyen des suites de Cauchy
La complétude de \(\mathbb R\) peut s'énoncer ainsi :
Toute suite de Cauchy de nombres réels converge vers un nombre réel.
En symboles, si \((x_n)\subseteq\mathbb R\) est une suite de Cauchy, alors il existe \(x\in\mathbb R\) tel que
\[ x_n\to x. \]
Cette propriété est une autre forme de la complétude de \(\mathbb R\). Elle exprime que, si une suite réelle se comporte comme si elle devait converger, alors sa limite existe réellement dans \(\mathbb R\).
Pourquoi \(\mathbb Q\) n'est pas complet du point de vue des suites
Dans les rationnels, cela ne se produit pas. Il existe des suites de nombres rationnels qui sont de Cauchy mais qui ne convergent vers aucun nombre rationnel.
Par exemple, on peut considérer une suite d'approximations rationnelles de \(\sqrt{2}\) :
\[ 1,\ 1{,}4,\ 1{,}41,\ 1{,}414,\ 1{,}4142,\ldots \]
Cette suite est formée de nombres rationnels et ses termes se rapprochent de plus en plus les uns des autres. Elle converge, dans \(\mathbb R\), vers
\[ \sqrt{2}. \]
Cependant,
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb Q. \]
Ainsi, considérée comme suite dans \(\mathbb Q\), elle ne converge vers aucun nombre rationnel.
Cela montre que \(\mathbb Q\) n'est pas complet : il contient des suites qui devraient converger, mais dont la limite tombe hors de \(\mathbb Q\).
Lien avec l'axiome de la borne supérieure
L'axiome de la borne supérieure et la complétude au moyen des suites de Cauchy sont deux formulations différentes d'une même propriété fondamentale des nombres réels.
L'axiome de la borne supérieure affirme que les ensembles de réels non vides et majorés possèdent un bord supérieur réel.
La complétude au moyen des suites de Cauchy affirme, quant à elle, que tout procédé d'approximation interne aux réels converge vers un nombre réel.
Les deux formulations expriment la même idée : sur la droite réelle, les points limites nécessaires pour achever les procédés d'approximation ne font jamais défaut.
Conséquences fondamentales de la complétude de \(\mathbb R\)
La complétude de \(\mathbb R\) n'est pas une propriété isolée. De nombreux théorèmes fondamentaux de l'analyse réelle reposent précisément sur le fait que la droite réelle n'a pas de trous.
Voyons quelques-unes des conséquences les plus importantes.
Existence des bornes supérieures et inférieures
La conséquence la plus directe est l'existence des bornes supérieures et inférieures.
Si \(A\subseteq\mathbb R\) est non vide et majoré, alors il existe
\[ \sup A\in\mathbb R. \]
Si \(A\subseteq\mathbb R\) est non vide et minoré, alors il existe
\[ \inf A\in\mathbb R. \]
Cette propriété permet de travailler avec des ensembles qui ne possèdent pas de maximum ou de minimum, mais qui ont néanmoins un bord supérieur ou inférieur bien défini.
Théorème des intervalles emboîtés
Une autre conséquence de la complétude est le théorème des intervalles emboîtés.
Si
\[ I_n=[a_n,b_n], \qquad n\in\mathbb N, \]
est une suite d'intervalles fermés, bornés et emboîtés, c'est-à-dire
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq \cdots, \]
alors leur intersection est non vide :
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n\neq\varnothing. \]
Si, de plus, la longueur des intervalles tend vers \(0\), c'est-à-dire
\[ b_n-a_n\to 0, \]
alors l'intersection contient un unique point.
Ce résultat dépend de la complétude : dans un ensemble non complet, une suite d'intervalles emboîtés peut « se refermer » autour d'un point manquant.
Théorème de Bolzano-Weierstrass
La complétude est également à la base du théorème de Bolzano-Weierstrass.
Ce théorème affirme que toute suite réelle bornée admet une sous-suite convergente.
En symboles, si \((x_n)\) est une suite bornée de nombres réels, alors il existe une sous-suite \((x_{n_k})\) et un nombre réel \(x\in\mathbb R\) tels que
\[ x_{n_k}\to x. \]
Le point essentiel est que la limite de la sous-suite appartient encore à \(\mathbb R\). Cela est possible parce que \(\mathbb R\) est complet.
Critère de convergence de Cauchy
Une conséquence fondamentale de la complétude est le critère de convergence de Cauchy.
Une suite réelle converge si et seulement si elle est de Cauchy.
En symboles :
\[ (x_n) \text{ converge dans } \mathbb R \quad \Longleftrightarrow \quad (x_n) \text{ est de Cauchy}. \]
L'implication de la gauche vers la droite est valable dans tout espace métrique : toute suite convergente est de Cauchy.
L'implication réciproque, en revanche, est une propriété de complétude : dans \(\mathbb R\), toute suite de Cauchy converge vers un nombre réel.
Théorèmes d'existence en analyse
De nombreux résultats d'existence de l'analyse reposent, directement ou indirectement, sur la complétude de \(\mathbb R\).
Par exemple, la complétude est à la base du théorème de Weierstrass, du théorème de Bolzano, du théorème des valeurs intermédiaires et de divers résultats sur la convergence des suites et des séries.
Dans tous ces cas, l'idée de fond est la même : on construit un objet au moyen d'approximations successives, et la complétude garantit que l'objet limite existe réellement dans \(\mathbb R\).
Récapitulatif final
La complétude de \(\mathbb R\) est la propriété qui distingue les nombres réels des nombres rationnels. Elle traduit le fait que la droite réelle ne présente pas de trous.
La formulation la plus classique de la complétude est l'axiome de la borne supérieure :
toute partie non vide et majorée de \(\mathbb R\) possède une borne supérieure dans \(\mathbb R\).
En symboles, si \(A\subseteq\mathbb R\), \(A\neq\varnothing\) et si \(A\) est majoré, alors il existe
\[ \sup A\in\mathbb R. \]
De manière équivalente, toute partie non vide et minorée de \(\mathbb R\) possède une borne inférieure dans \(\mathbb R\).
La complétude n'affirme pas que tout ensemble borné possède un maximum ou un minimum. Elle affirme plutôt que tout ensemble non vide et majoré possède une borne supérieure, même lorsque cette borne n'appartient pas à l'ensemble.
L'ensemble des nombres rationnels \(\mathbb Q\) n'est pas complet : il existe des parties de \(\mathbb Q\) non vides et majorées qui n'ont pas de borne supérieure rationnelle. Un exemple fondamental est l'ensemble des rationnels \(q\) tels que \(q^2<2\), dont la borne supérieure réelle est \(\sqrt{2}\), qui n'appartient pas à \(\mathbb Q\).
La complétude de \(\mathbb R\) peut aussi s'exprimer sous forme séquentielle : toute suite de Cauchy de nombres réels converge vers un nombre réel.
Cette propriété est à la base de nombreux résultats fondamentaux de l'analyse mathématique, parmi lesquels le théorème des intervalles emboîtés, le théorème de Bolzano-Weierstrass, le critère de convergence de Cauchy et de nombreux théorèmes d'existence.
En résumé, la complétude est ce qui fait de \(\mathbb R\) le cadre naturel de l'analyse : tout procédé d'approximation bien défini trouve sa limite à l'intérieur de la droite réelle.