Les puissances constituent un outil fondamental de l'algèbre : elles permettent d'écrire sous forme compacte des produits répétés et sont à la base de nombreuses transformations algébriques.
Dans cet article, nous étudions les principales propriétés des puissances, en partant du cas le plus simple des exposants naturels positifs, puis en abordant l'exposant nul, les exposants négatifs et les exposants rationnels, c'est-à-dire des exposants du type \(\displaystyle \frac{p}{q}\).
Soit \(a\in\mathbb{R}\) et soit \(n\in\mathbb{N}^*\), où
\[ \mathbb{N}^*=\{1,2,3,\dots\}. \]
La puissance \(n\)-ième de \(a\), notée \(a^n\), est définie comme le produit de \(a\) par lui-même \(n\) fois :
\[ a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ fois}}. \]
Le nombre \(a\) est appelé base de la puissance, tandis que le nombre \(n\) est appelé exposant de la puissance.
Par exemple,
\[ a^4=a\cdot a\cdot a\cdot a. \]
Sommaire
- Propriétés des Puissances à Exposant Naturel
- Puissance d'Exposant Nul
- Puissances à Exposant Entier Négatif
- Puissances à Exposant Rationnel
- Exemples sur les Propriétés des Puissances
Propriétés des puissances à exposants naturels
Dans cette section, nous considérons des puissances à exposant naturel positif. Soient \(a,b\in\mathbb{R}\) et soient \(m,n\in\mathbb{N}^*\). Les propriétés des puissances permettent de transformer produits, quotients et puissances composées en des formes plus simples.
Chaque propriété doit être appliquée en respectant les conditions d'existence des expressions concernées. En particulier, lorsque des quotients apparaissent, les dénominateurs doivent être différents de zéro.
Produit de puissances de même base
Le produit de deux puissances de même base est une puissance ayant la même base et, comme exposant, la somme des exposants :
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \]
En effet, par définition d'une puissance,
\[ a^m=\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ fois}}, \qquad a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ fois}}. \]
En multipliant les deux puissances, on obtient un produit formé de \(m+n\) facteurs, tous égaux à \(a\) :
\[ a^m\cdot a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m+n \text{ fois}} = a^{m+n}. \]
Quotient de puissances de même base
Si \(a\neq 0\) et \(m\geq n\), le quotient de deux puissances de même base est une puissance ayant la même base et, comme exposant, la différence des exposants :
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}. \]
La condition \(a\neq 0\) est nécessaire car \(a^n\) figure au dénominateur.
Pour justifier la formule, écrivons les deux puissances comme des produits répétés :
\[ \frac{a^m}{a^n} = \frac{\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ fois}}} {\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ fois}}}. \]
Puisque \(a\neq 0\), on peut simplifier \(n\) facteurs identiques au numérateur et au dénominateur. Il reste \(m-n\) facteurs égaux à \(a\), donc
\[ \frac{a^m}{a^n} = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m-n \text{ fois}} = a^{m-n}. \]
Le cas \(m<n\) nécessite l'introduction des exposants négatifs et sera correctement interprété dans la section qui leur est consacrée.
Puissance d'une puissance
La puissance d'une puissance est une puissance ayant la même base et, comme exposant, le produit des exposants :
\[ (a^m)^n=a^{mn}. \]
En effet, élever \(a^m\) à la puissance \(n\) signifie multiplier \(a^m\) par lui-même \(n\) fois :
\[ (a^m)^n = \underbrace{a^m\cdot a^m\cdot \ldots \cdot a^m}_{n \text{ fois}}. \]
Chaque facteur \(a^m\) contient \(m\) facteurs égaux à \(a\). En répétant ce bloc \(n\) fois, on obtient au total \(mn\) facteurs égaux à \(a\) :
\[ (a^m)^n = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{mn \text{ fois}} = a^{mn}. \]
Puissance d'un produit
La puissance d'un produit est le produit des puissances de chacun des facteurs :
\[ (ab)^n=a^n b^n. \]
En effet,
\[ (ab)^n = \underbrace{(ab)\cdot(ab)\cdot \ldots \cdot(ab)}_{n \text{ fois}}. \]
En utilisant les propriétés commutative et associative de la multiplication des nombres réels, on peut regrouper entre eux tous les facteurs égaux à \(a\) et tous les facteurs égaux à \(b\) :
\[ (ab)^n = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ fois}} \cdot \underbrace{b\cdot b\cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ fois}} = a^n b^n. \]
Puissance d'un quotient
Si \(b\neq 0\), la puissance d'un quotient est le quotient des puissances du numérateur et du dénominateur :
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}. \]
En effet,
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \underbrace{\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdot \ldots \cdot\frac{a}{b}}_{n \text{ fois}}. \]
En multipliant entre eux les numérateurs, puis séparément les dénominateurs, on obtient
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ fois}}} {\underbrace{b\cdot b\cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ fois}}} = \frac{a^n}{b^n}. \]
Là encore, la condition \(b\neq 0\) est essentielle, car le quotient \(\displaystyle \frac{a}{b}\) doit être défini.
Puissance d'exposant nul
Après avoir défini les puissances à exposant naturel positif, il est naturel de se demander s'il est possible d'attribuer également un sens à une puissance d'exposant nul.
La définition de \(a^0\) n'est pas choisie de façon arbitraire : elle doit être compatible avec les propriétés des puissances déjà établies pour les exposants naturels positifs.
Soit \(a\neq 0\). Pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), le quotient
\[ \frac{a^n}{a^n} \]
est égal à \(1\), car le numérateur et le dénominateur sont égaux et différents de zéro :
\[ \frac{a^n}{a^n}=1. \]
D'autre part, si l'on souhaite conserver la propriété du quotient de puissances de même base, on doit avoir
\[ \frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0. \]
En comparant les deux égalités, on voit que, par cohérence, on doit poser
\[ a^0=1 \qquad \text{pour tout } a\neq 0. \]
La condition \(a\neq 0\) est essentielle. En effet, si \(a=0\), le quotient \(\displaystyle \frac{a^n}{a^n}\) devient \(\displaystyle \frac{0}{0}\), qui n'est pas défini.
Pour cette raison, dans le cadre des propriétés algébriques des puissances, l'expression \(0^0\) n'est pas définie.
La définition \(a^0=1\) permet aux propriétés des puissances de continuer à être valables même lorsque l'exposant nul apparaît. Par exemple, si \(a\neq 0\) et \(m\in\mathbb{N}^*\), alors
\[ a^m\cdot a^0=a^m\cdot 1=a^m=a^{m+0}. \]
Puissances à exposants entiers négatifs
Après avoir introduit l'exposant nul, on peut étendre davantage la définition de puissance aux exposants entiers négatifs.
Là encore, la définition n'est pas arbitraire : elle est choisie de sorte que les propriétés des puissances continuent à être valables même lorsque les exposants ne sont plus seulement des entiers naturels.
Soit \(a\neq 0\) et soit \(n\in\mathbb{N}^*\). La puissance de base \(a\) et d'exposant \(-n\) se définit en posant
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. \]
Autrement dit, élever un nombre non nul à un exposant négatif revient à prendre l'inverse de la puissance d'exposant positif correspondante.
La condition \(a\neq 0\) est indispensable, car l'inverse de \(a^n\) n'est défini que si \(a^n\neq 0\).
La raison de cette définition est la suivante. Si l'on veut que la propriété du produit de puissances de même base continue à être valable, on doit avoir
\[ a^n\cdot a^{-n}=a^{n+(-n)}=a^0. \]
Puisque \(a^0=1\), il doit donc en résulter que
\[ a^n\cdot a^{-n}=1. \]
Cela signifie précisément que \(a^{-n}\) doit être l'inverse de \(a^n\), c'est-à-dire
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. \]
Cette définition permet également d'interpréter correctement le quotient de puissances de même base lorsque l'exposant du numérateur est inférieur à celui du dénominateur.
En effet, si \(a\neq 0\) et si \(m,n\) sont des entiers non négatifs tels que \(m<n\), alors \(n-m>0\) et
\[ \frac{a^m}{a^n} = \frac{1}{a^{n-m}}. \]
Par définition de l'exposant négatif,
\[ \frac{1}{a^{n-m}}=a^{-(n-m)}. \]
Puisque
\[ -(n-m)=m-n, \]
on obtient
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}. \]
Ainsi, la propriété
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \]
reste valable même lorsque \(m<n\), pourvu que \(a\neq 0\).
Plus généralement, si \(a\neq 0\), les propriétés des puissances s'étendent aux exposants entiers. Par exemple, pour \(h,k\in\mathbb{Z}\), on a
\[ a^h\cdot a^k=a^{h+k}. \]
Puissances à exposants rationnels
Après avoir défini les puissances à exposant entier, on peut étendre la notion de puissance également aux exposants rationnels.
Dans cette section, nous considérons principalement le cas \(a>0\), qui est le cadre naturel dans lequel les puissances à exposant rationnel se comportent de façon régulière et conservent toutes les propriétés fondamentales des puissances.
Soit \(a>0\) et soit \(q\in\mathbb{N}^*\). La puissance d'exposant \(\displaystyle \frac{1}{q}\) se définit en posant
\[ a^{\frac{1}{q}}=\sqrt[q]{a}. \]
Cette définition est cohérente avec la propriété de la puissance d'une puissance. En effet, si l'on souhaite que l'égalité
\[ \left(a^{\frac{1}{q}}\right)^q=a^{\frac{1}{q}\cdot q}=a \]
reste valable, alors \(a^{\frac{1}{q}}\) doit être le nombre positif qui, élevé à la puissance \(q\)-ième, donne \(a\). Par définition, ce nombre est la racine \(q\)-ième positive de \(a\).
Plus généralement, si \(p\in\mathbb{Z}\) et \(q\in\mathbb{N}^*\), on définit
\[ a^{\frac{p}{q}}=\left(\sqrt[q]{a}\right)^p. \]
Puisque \(a>0\), on a aussi \(\sqrt[q]{a}>0\), de sorte que l'expression est définie même lorsque \(p\) est négatif.
Dans le cas \(a>0\), la même quantité peut également s'écrire sous la forme
\[ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}. \]
En effet, pour des bases positives, les puissances entières et les racines arithmétiques considérées sont toujours définies, et les deux écritures
\[ \left(\sqrt[q]{a}\right)^p \qquad \text{et} \qquad \sqrt[q]{a^p} \]
représentent le même nombre.
Par exemple,
\[ 16^{\frac{3}{4}}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8. \]
Si \(p,q\in\mathbb{N}^*\), alors l'exposant \(-\frac{p}{q}\) est négatif et l'on utilise la définition de la puissance à exposant négatif :
\[ a^{-\frac{p}{q}}=\frac{1}{a^{\frac{p}{q}}}, \qquad a>0. \]
Par exemple,
\[ 8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\left(\sqrt[3]{8}\right)^2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}. \]
Grâce à cette définition, les propriétés des puissances s'étendent aux exposants rationnels. La vérification s'obtient en ramenant les exposants rationnels à des fractions de même dénominateur, puis en appliquant les propriétés déjà établies pour les puissances et pour les racines.
En particulier, pour \(a>0\) et pour \(r,s\in\mathbb{Q}\), les formules suivantes sont valables :
\[ a^r\cdot a^s=a^{r+s}, \qquad \frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}, \qquad \left(a^r\right)^s=a^{rs}. \]
La restriction \(a>0\) permet d'éviter les ambiguïtés et les cas particuliers liés aux bases nulles ou négatives. Par exemple, si \(a=0\), les puissances d'exposant rationnel positif peuvent être définies dans de nombreux cas, tandis que celles d'exposant négatif ne sont pas définies. Si, en revanche, \(a<0\), la situation exige des distinctions supplémentaires, et toutes les propriétés ne restent pas valables sans conditions additionnelles.
L'extension des puissances aux exposants réels nécessite des outils plus avancés liés à la notion de limite et sera traitée dans un cadre ultérieur. Dans cet article, nous nous limitons aux exposants naturels, entiers et rationnels.
Exemples d'application des propriétés des puissances
Voyons quelques exemples d'application des propriétés des puissances. Ces exemples permettent de montrer comment utiliser les règles de façon ordonnée, en distinguant les puissances de même base, les puissances de produits, les puissances de quotients, ainsi que les puissances d'exposant négatif ou rationnel.
Exemple 1. Simplifions l'expression
\[ a^5\cdot a^3\cdot b^2\cdot b^4. \]
Regroupons les puissances de même base et additionnons les exposants :
\[ a^5\cdot a^3\cdot b^2\cdot b^4 = a^{5+3}\cdot b^{2+4} = a^8b^6. \]
Donc
\[ a^5\cdot a^3\cdot b^2\cdot b^4=a^8b^6. \]
Exemple 2. Simplifions l'expression
\[ (a^3b^2)^4. \]
Appliquons d'abord la propriété de la puissance d'un produit, puis celle de la puissance d'une puissance :
\[ (a^3b^2)^4 = (a^3)^4(b^2)^4 = a^{3\cdot 4}b^{2\cdot 4} = a^{12}b^8. \]
Par conséquent,
\[ (a^3b^2)^4=a^{12}b^8. \]
Exemple 3. Simplifions l'expression
\[ a^5\cdot a^0, \]
en supposant \(a\neq 0\). Puisque \(a^0=1\), on obtient
\[ a^5\cdot a^0=a^5\cdot 1=a^5. \]
Exemple 4. Simplifions l'expression
\[ \frac{a^6b^8}{a^2b^3}, \]
en supposant \(a\neq 0\) et \(b\neq 0\). Séparons les puissances de même base :
\[ \frac{a^6b^8}{a^2b^3} = \frac{a^6}{a^2}\cdot\frac{b^8}{b^3}. \]
Soustrayons à présent les exposants :
\[ \frac{a^6}{a^2}\cdot\frac{b^8}{b^3} = a^{6-2}b^{8-3} = a^4b^5. \]
Donc
\[ \frac{a^6b^8}{a^2b^3}=a^4b^5. \]
Exemple 5. Simplifions l'expression
\[ \left(\frac{a^3b^5}{ab^2}\right)^2, \]
avec \(a\neq 0\) et \(b\neq 0\). Simplifions d'abord le quotient à l'intérieur des parenthèses :
\[ \frac{a^3b^5}{ab^2} = a^{3-1}b^{5-2} = a^2b^3. \]
À ce stade, élevons au carré :
\[ \left(a^2b^3\right)^2 = (a^2)^2(b^3)^2 = a^4b^6. \]
Par conséquent,
\[ \left(\frac{a^3b^5}{ab^2}\right)^2=a^4b^6. \]
Exemple 6. Simplifions l'expression
\[ 8^{-\frac{2}{3}}. \]
L'exposant est un rationnel négatif. Transformons d'abord la puissance en l'inverse de la puissance d'exposant positif :
\[ 8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}. \]
Utilisons à présent la définition de la puissance à exposant rationnel :
\[ 8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4. \]
Donc
\[ 8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{4}. \]