Ce recueil propose 30 exercices résolus sur les propriétés des puissances, classés par ordre de difficulté croissante. L'objectif n'est pas seulement d'effectuer correctement les calculs, mais d'apprendre à reconnaître la structure d'une expression et à repérer la propriété des puissances qui peut lui être appliquée.
Nous étudierons le produit et le quotient de puissances de même base, la puissance d'une puissance, la puissance d'un produit et la puissance d'un quotient. Nous aborderons en outre des exercices sur les puissances d'exposant nul, négatif et rationnel.
Dans les premiers exercices, nous appliquerons une seule propriété à la fois. Dans les suivants, il faudra au contraire enchaîner plusieurs propriétés, en veillant à l'ordre dans lequel les différentes transformations doivent être effectuées.
Lorsqu'apparaîtront des variables, des dénominateurs ou des exposants négatifs et rationnels, nous examinerons également les conditions sous lesquelles les expressions sont définies. Ainsi, chaque simplification préservera non seulement la valeur de l'expression, mais aussi le domaine de l'expression de départ.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Calculer :
\[ 2^3\cdot 2^4. \]
Résultat
\[ 2^3\cdot 2^4=128. \]
Résolution
L'expression est le produit de deux puissances de même base, égale à \(2\). Lorsqu'on multiplie des puissances de même base, on conserve la base et on additionne les exposants :
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \]
Ici, les exposants sont \(3\) et \(4\). Par conséquent,
\[ 2^3\cdot 2^4=2^{3+4}=2^7. \]
Par définition, \(2^7\) est le produit de sept facteurs tous égaux à \(2\) :
\[ 2^7=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=128. \]
Finalement,
\[ 2^3\cdot 2^4=128. \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Calculer :
\[ \frac{5^6}{5^4}. \]
Résultat
\[ \frac{5^6}{5^4}=25. \]
Résolution
Au numérateur et au dénominateur figurent deux puissances de même base, égale à \(5\). La base étant non nulle, on peut appliquer la propriété du quotient de puissances de même base :
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}, \qquad a\neq0. \]
On conserve la base et l'on soustrait l'exposant du dénominateur à celui du numérateur. On obtient ainsi
\[ \frac{5^6}{5^4}=5^{6-4}=5^2. \]
On calcule la puissance restante :
\[ 5^2=5\cdot5=25. \]
Par conséquent,
\[ \frac{5^6}{5^4}=25. \]
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Calculer :
\[ \left(3^2\right)^3. \]
Résultat
\[ \left(3^2\right)^3=729. \]
Résolution
L'expression est la puissance \(3^2\), elle-même élevée au cube. Il s'agit donc d'une puissance d'une puissance.
Ici, les exposants ne s'additionnent pas : on conserve la base et l'on multiplie l'exposant intérieur par l'exposant extérieur :
\[ \left(a^m\right)^n=a^{mn}. \]
L'exposant intérieur est \(2\) et l'exposant extérieur est \(3\). Par conséquent,
\[ \left(3^2\right)^3=3^{2\cdot3}=3^6. \]
En calculant la sixième puissance de \(3\), on obtient
\[ 3^6=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=729. \]
On aurait pu obtenir le même résultat en calculant d'abord \(3^2=9\), puis \(9^3=729\). L'emploi de la propriété de la puissance d'une puissance permet toutefois de mettre directement en évidence la structure de l'expression. Par conséquent,
\[ \left(3^2\right)^3=729. \]
Exercice 4 — niveau ★☆☆☆☆
Calculer :
\[ (2\cdot5)^3. \]
Résultat
\[ (2\cdot5)^3=1000. \]
Résolution
Entre parenthèses figure le produit \(2\cdot5\), et l'ensemble du produit est élevé au cube. On peut donc appliquer la propriété de la puissance d'un produit :
\[ (ab)^n=a^n b^n. \]
Cette propriété indique que l'exposant doit être appliqué à chaque facteur du produit. Par conséquent,
\[ (2\cdot5)^3=2^3\cdot5^3. \]
On calcule séparément les deux puissances :
\[ 2^3=8 \qquad\text{et}\qquad 5^3=125. \]
Il s'ensuit que
\[ 2^3\cdot5^3=8\cdot125=1000. \]
On peut vérifier ce résultat en calculant d'abord le produit contenu entre parenthèses :
\[ (2\cdot5)^3=10^3=1000. \]
Par conséquent,
\[ (2\cdot5)^3=1000. \]
Exercice 5 — niveau ★☆☆☆☆
Calculer :
\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4. \]
Résultat
\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4=16. \]
Résolution
L'expression est un quotient élevé à la quatrième puissance. On peut procéder de deux manières : simplifier d'abord le quotient, ou appliquer la propriété de la puissance d'un quotient.
Ici, la première méthode est la plus immédiate, car
\[ \frac{6}{3}=2. \]
Par conséquent,
\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4=2^4=16. \]
On peut obtenir le même résultat en appliquant la propriété
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \qquad b\neq0. \]
Comme le dénominateur est \(3\neq0\), on peut écrire
\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4=\frac{6^4}{3^4}. \]
En calculant le numérateur et le dénominateur, on obtient
\[ 6^4=1296 \qquad\text{et}\qquad 3^4=81. \]
Donc,
\[ \frac{6^4}{3^4}=\frac{1296}{81}=16. \]
Les deux méthodes conduisent donc au même résultat :
\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4=16. \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Simplifier :
\[ x^4\cdot x^5. \]
Résultat
\[ x^4\cdot x^5=x^9. \]
Résolution
L'expression est le produit de deux puissances de même base \(x\). Le fait que la base soit une variable, et non un nombre donné, ne change pas la propriété à appliquer.
Lorsqu'on multiplie deux puissances de même base, on conserve la base et on additionne les exposants :
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \]
Ici, la base commune est \(x\) et les exposants sont \(4\) et \(5\). Par conséquent,
\[ x^4\cdot x^5=x^{4+5}=x^9. \]
Aucune condition sur la variable n'est nécessaire, car seules figurent des puissances à exposants entiers positifs. L'égalité est donc valable pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\[ x^4\cdot x^5=x^9. \]
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Simplifier :
\[ \frac{x^9}{x^4} \qquad (x\neq0). \]
Résultat
\[ \frac{x^9}{x^4}=x^5 \qquad (x\neq0). \]
Résolution
Avant de simplifier l'expression, il faut en examiner le domaine. Comme \(x^4\) figure au dénominateur, le quotient n'est défini que lorsque
\[ x^4\neq0. \]
Une puissance à exposant entier positif est nulle si et seulement si sa base est nulle. Par conséquent,
\[ x^4\neq0 \iff x\neq0. \]
Sous cette condition, le numérateur et le dénominateur sont des puissances de même base \(x\). On peut alors appliquer la propriété
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}, \qquad a\neq0. \]
On conserve la base \(x\) et l'on soustrait l'exposant du dénominateur à celui du numérateur :
\[ \frac{x^9}{x^4}=x^{9-4}=x^5. \]
Bien que l'expression simplifiée \(x^5\) soit également définie pour \(x=0\), le quotient initial ne l'est pas. La condition \(x\neq0\) doit donc être conservée. Par conséquent,
\[ \frac{x^9}{x^4}=x^5 \qquad (x\neq0). \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Simplifier :
\[ \left(x^3\right)^5. \]
Résultat
\[ \left(x^3\right)^5=x^{15}. \]
Résolution
L'expression est la puissance \(x^3\), elle-même élevée à la cinquième puissance. Il s'agit donc d'une puissance d'une puissance.
Ici, les exposants ne s'additionnent pas : on conserve la base et l'on multiplie l'exposant intérieur par l'exposant extérieur :
\[ \left(a^m\right)^n=a^{mn}. \]
L'exposant intérieur est \(3\) et l'exposant extérieur est \(5\). Il s'ensuit que
\[ \left(x^3\right)^5=x^{3\cdot5}=x^{15}. \]
Comme tous les exposants en jeu sont des entiers positifs, l'égalité est valable pour tout \(x\in\mathbb{R}\). Par conséquent,
\[ \left(x^3\right)^5=x^{15}. \]
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
Simplifier :
\[ (3x)^3. \]
Résultat
\[ (3x)^3=27x^3. \]
Résolution
Entre parenthèses figure le produit du facteur numérique \(3\) et de la variable \(x\). Comme l'ensemble du produit est élevé au cube, l'exposant doit être appliqué aux deux facteurs.
On utilise la propriété
\[ (ab)^n=a^n b^n. \]
En posant \(a=3\), \(b=x\) et \(n=3\), on obtient
\[ (3x)^3=3^3x^3. \]
On calcule à présent la puissance du facteur numérique :
\[ 3^3=3\cdot3\cdot3=27. \]
Par conséquent,
\[ (3x)^3=27x^3. \]
Il serait incorrect d'écrire \(3x^3\), car l'exposant agit sur l'ensemble du produit placé entre parenthèses, et donc aussi sur le facteur \(3\). Il s'ensuit que
\[ (3x)^3=27x^3. \]
Exercice 10 — niveau ★★☆☆☆
Simplifier :
\[ \left(\frac{x}{2}\right)^4. \]
Résultat
\[ \left(\frac{x}{2}\right)^4=\frac{x^4}{16}. \]
Résolution
Le quotient \(\displaystyle\frac{x}{2}\) tout entier est élevé à la quatrième puissance. Comme le dénominateur est le nombre \(2\), non nul, l'expression est définie pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
On peut donc appliquer la propriété de la puissance d'un quotient :
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \qquad b\neq0. \]
L'exposant \(4\) doit être appliqué aussi bien au numérateur qu'au dénominateur. Par conséquent,
\[ \left(\frac{x}{2}\right)^4=\frac{x^4}{2^4}. \]
Comme
\[ 2^4=16, \]
on obtient
\[ \left(\frac{x}{2}\right)^4=\frac{x^4}{16}. \]
Exercice 11 — niveau ★★☆☆☆
Calculer :
\[ 4^0\cdot 7^2. \]
Résultat
\[ 4^0\cdot 7^2=49. \]
Résolution
L'expression contient la puissance \(4^0\). Pour la calculer, on utilise la définition d'une puissance d'exposant nul.
Pour tout nombre réel \(a\neq0\), on a
\[ a^0=1. \]
La condition \(a\neq0\) est essentielle, car, dans le cadre des propriétés algébriques des puissances, l'expression \(0^0\) n'est pas définie.
Dans cet exercice, la base est \(4\), qui est non nulle. Par conséquent,
\[ 4^0=1. \]
De plus,
\[ 7^2=7\cdot7=49. \]
En reportant ces valeurs dans l'expression initiale, on obtient
\[ 4^0\cdot7^2=1\cdot49=49. \]
Il s'ensuit que
\[ 4^0\cdot7^2=49. \]
Exercice 12 — niveau ★★☆☆☆
Calculer :
\[ 3^{-2}. \]
Résultat
\[ 3^{-2}=\frac{1}{9}. \]
Résolution
L'exposant est négatif. Le signe moins de l'exposant ne détermine pas le signe de la puissance : il indique qu'il faut prendre l'inverse de la puissance correspondante à exposant positif.
Si \(a\neq0\) et \(n\in\mathbb{N}^*\), on définit
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. \]
Dans cet exercice, la base est \(3\), non nulle, de sorte que la puissance est définie. En appliquant la définition avec \(a=3\) et \(n=2\), on obtient
\[ 3^{-2}=\frac{1}{3^2}. \]
Comme
\[ 3^2=9, \]
il s'ensuit que
\[ 3^{-2}=\frac{1}{9}. \]
Il serait incorrect d'écrire \(3^{-2}=-9\), car le signe moins porte sur l'exposant et marque le passage à l'inverse ; il n'indique pas que la valeur de la puissance soit négative.
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Simplifier :
\[ x^{-3}\cdot x^7 \qquad (x\neq0). \]
Résultat
\[ x^{-3}\cdot x^7=x^4 \qquad (x\neq0). \]
Résolution
L'expression contient la puissance \(x^{-3}\). Par définition,
\[ x^{-3}=\frac{1}{x^3}. \]
Cet inverse n'est défini que lorsque \(x^3\neq0\), condition équivalente à
\[ x\neq0. \]
Sous cette condition, les deux puissances du produit ont la même base \(x\). La propriété du produit de puissances de même base reste valable pour des exposants entiers :
\[ a^h\cdot a^k=a^{h+k}, \qquad a\neq0,\quad h,k\in\mathbb{Z}. \]
On additionne donc algébriquement les exposants, en tenant compte de leur signe :
\[ x^{-3}\cdot x^7=x^{-3+7}. \]
Comme
\[ -3+7=4, \]
on obtient
\[ x^{-3}\cdot x^7=x^4. \]
On peut vérifier ce résultat directement à partir de la définition de l'exposant négatif :
\[ x^{-3}\cdot x^7=\frac{1}{x^3}\cdot x^7=\frac{x^7}{x^3}=x^{7-3}=x^4. \]
Bien que l'expression simplifiée \(x^4\) soit également définie pour \(x=0\), l'expression initiale ne l'est pas. La condition \(x\neq0\) doit donc être conservée. Par conséquent,
\[ x^{-3}\cdot x^7=x^4 \qquad (x\neq0). \]
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
Simplifier :
\[ \left(x^2y^3\right)^4. \]
Résultat
\[ \left(x^2y^3\right)^4=x^8y^{12}. \]
Résolution
Entre parenthèses figure le produit des deux puissances \(x^2\) et \(y^3\), et l'ensemble du produit est élevé à la quatrième puissance.
On applique d'abord la propriété de la puissance d'un produit :
\[ (ab)^n=a^n b^n. \]
En prenant \(x^2\) et \(y^3\) comme les deux facteurs, on obtient
\[ \left(x^2y^3\right)^4=\left(x^2\right)^4\left(y^3\right)^4. \]
Chaque facteur est désormais une puissance d'une puissance. On utilise alors la propriété
\[ \left(a^m\right)^n=a^{mn}. \]
En l'appliquant au premier facteur, on obtient
\[ \left(x^2\right)^4=x^{2\cdot4}=x^8. \]
En l'appliquant au second facteur, on obtient
\[ \left(y^3\right)^4=y^{3\cdot4}=y^{12}. \]
En reportant les résultats obtenus, il s'ensuit que
\[ \left(x^2y^3\right)^4=x^8y^{12}. \]
Tous les exposants en jeu sont des entiers positifs et aucun dénominateur n'apparaît. L'égalité est donc valable pour tous \(x,y\in\mathbb{R}\).
Exercice 15 — niveau ★★★☆☆
Simplifier :
\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3} \qquad (x\neq0). \]
Résultat
\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3}=\frac{x^3}{8} \qquad (x\neq0). \]
Résolution
Avant de simplifier l'expression, il faut en examiner le domaine. La variable \(x\) figure au dénominateur du quotient \(\displaystyle\frac{2}{x}\) ; il faut donc imposer
\[ x\neq0. \]
De plus, le quotient tout entier est élevé à un exposant négatif, de sorte que sa base doit être non nulle. Cette seconde condition est automatiquement satisfaite, car le numérateur est \(2\neq0\), et donc \(\displaystyle\frac{2}{x}\neq0\) dès que \(x\neq0\).
Un exposant négatif désigne l'inverse de la puissance correspondante à exposant positif. Pour \(a\neq0\), \(b\neq0\) et \(n\in\mathbb{N}^*\), on a
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n. \]
En appliquant cette propriété avec \(a=2\), \(b=x\) et \(n=3\), on obtient
\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3}=\left(\frac{x}{2}\right)^3. \]
On applique à présent la propriété de la puissance d'un quotient :
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \qquad b\neq0. \]
Par conséquent,
\[ \left(\frac{x}{2}\right)^3=\frac{x^3}{2^3}. \]
Comme
\[ 2^3=8, \]
il s'ensuit que
\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3}=\frac{x^3}{8}. \]
Même si, sous la forme simplifiée, \(x\) ne figure plus au dénominateur, la condition \(x\neq0\) doit être conservée, car elle fait partie des conditions de définition de l'expression initiale. Il s'ensuit que
\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3}=\frac{x^3}{8} \qquad (x\neq0). \]
Exercice 16 — niveau ★★★☆☆
Calculer :
\[ 25^{\frac{1}{2}}. \]
Résultat
\[ 25^{\frac{1}{2}}=5. \]
Résolution
L'exposant est le nombre rationnel \(\displaystyle\frac{1}{2}\). Une puissance dont l'exposant est de la forme \(\displaystyle\frac{1}{q}\) s'interprète au moyen d'une racine.
Si \(a>0\) et \(q\in\mathbb{N}^*\), on définit
\[ a^{\frac{1}{q}}=\sqrt[q]{a}. \]
Lorsque \(q=2\), cette définition devient
\[ a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}. \]
Comme la base \(25\) est positive, on peut écrire
\[ 25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}. \]
Le symbole \(\sqrt{25}\) désigne la racine carrée de \(25\), c'est-à-dire l'unique nombre non négatif dont le carré est égal à \(25\).
Comme
\[ 5^2=25, \]
il s'ensuit que
\[ \sqrt{25}=5. \]
Par conséquent,
\[ 25^{\frac{1}{2}}=5. \]
Le résultat est \(5\), et non \(\pm5\). Les nombres \(5\) et \(-5\) sont tous deux solutions de l'équation \(x^2=25\), tandis que le radical \(\sqrt{25}\) ne désigne que la solution non négative.
Exercice 17 — niveau ★★★☆☆
Calculer :
\[ 8^{\frac{1}{3}}. \]
Résultat
\[ 8^{\frac{1}{3}}=2. \]
Résolution
L'exposant est \(\displaystyle\frac{1}{3}\). Une puissance ayant cet exposant représente la racine cubique de la base.
Pour une base positive \(a\), on a
\[ a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}. \]
Comme \(8>0\), on peut écrire
\[ 8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}. \]
Il faut donc déterminer le nombre qui, élevé au cube, donne \(8\).
Comme
\[ 2^3=2\cdot2\cdot2=8, \]
on obtient
\[ \sqrt[3]{8}=2. \]
Par conséquent,
\[ 8^{\frac{1}{3}}=2. \]
Exercice 18 — niveau ★★★☆☆
Simplifier :
\[ x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}} \qquad (x>0). \]
Résultat
\[ x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}}=x \qquad (x>0). \]
Résolution
L'expression contient des puissances à exposant rationnel. Dans le cadre de la théorie développée, on suppose la base strictement positive :
\[ x>0. \]
Sous cette condition, les propriétés des puissances demeurent valables, y compris pour des exposants rationnels.
Les deux puissances sont multipliées entre elles et ont la même base \(x\). On peut donc appliquer la propriété
\[ a^r\cdot a^s=a^{r+s}, \qquad a>0,\quad r,s\in\mathbb{Q}. \]
On conserve la base \(x\) et on additionne les exposants :
\[ x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}} =x^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}. \]
Les deux fractions ont le même dénominateur ; on peut donc additionner les numérateurs :
\[ \frac{2}{3}+\frac{1}{3} =\frac{2+1}{3} =\frac{3}{3} =1. \]
Il s'ensuit que
\[ x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}}=x^1. \]
Comme tout nombre élevé à la première puissance est égal à lui-même,
\[ x^1=x. \]
Par conséquent,
\[ x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}}=x \qquad (x>0). \]
On peut vérifier ce résultat en réécrivant les puissances rationnelles au moyen de racines :
\[ x^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{x}\right)^2 \qquad\text{et}\qquad x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}. \]
Il s'ensuit que
\[ x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}} =\left(\sqrt[3]{x}\right)^2\cdot\sqrt[3]{x} =\left(\sqrt[3]{x}\right)^3 =x. \]
Exercice 19 — niveau ★★★☆☆
Calculer :
\[ 27^{\frac{2}{3}}. \]
Résultat
\[ 27^{\frac{2}{3}}=9. \]
Résolution
L'exposant est le nombre rationnel \(\displaystyle\frac{2}{3}\). Le dénominateur \(3\) indique une racine cubique, tandis que le numérateur \(2\) indique que le résultat de la racine doit être élevé au carré.
Si \(a>0\), \(p\in\mathbb{Z}\) et \(q\in\mathbb{N}^*\), on a
\[ a^{\frac{p}{q}}=\left(\sqrt[q]{a}\right)^p. \]
Dans cet exercice, \(a=27\), \(p=2\) et \(q=3\). Par conséquent,
\[ 27^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2. \]
La racine cubique de \(27\) est \(3\), car
\[ 3^3=27. \]
Il s'ensuit que
\[ 27^{\frac{2}{3}}=3^2=9. \]
On peut aussi utiliser la représentation équivalente
\[ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}, \qquad a>0. \]
On obtient ainsi
\[ 27^{\frac{2}{3}} =\sqrt[3]{27^2} =\sqrt[3]{729} =9, \]
puisque
\[ 9^3=729. \]
Les deux méthodes sont correctes. Ici, il est plus commode de calculer d'abord la racine cubique, car cela permet de travailler avec des nombres plus petits. Par conséquent,
\[ 27^{\frac{2}{3}}=9. \]
Exercice 20 — niveau ★★★☆☆
Simplifier :
\[ \left(x^{-2}\right)^3\cdot x^9 \qquad (x\neq0). \]
Résultat
\[ \left(x^{-2}\right)^3\cdot x^9=x^3 \qquad (x\neq0). \]
Résolution
L'expression contient la puissance \(x^{-2}\). Par définition,
\[ x^{-2}=\frac{1}{x^2}. \]
Cette expression n'est définie que lorsque \(x\neq0\). La même condition doit donc être maintenue tout au long de la simplification et dans le résultat final.
Simplifions d'abord la puissance d'une puissance \(\left(x^{-2}\right)^3\). Pour une base non nulle et des exposants entiers, on a
\[ \left(a^h\right)^k=a^{hk}. \]
L'exposant intérieur est \(-2\) et l'exposant extérieur est \(3\). Par conséquent,
\[ \left(x^{-2}\right)^3=x^{(-2)\cdot3}=x^{-6}. \]
En reportant ce résultat dans l'expression initiale, on obtient
\[ \left(x^{-2}\right)^3\cdot x^9=x^{-6}\cdot x^9. \]
Les deux puissances ont maintenant la même base \(x\). On peut donc additionner les exposants :
\[ x^{-6}\cdot x^9=x^{-6+9}. \]
Comme
\[ -6+9=3, \]
on obtient
\[ \left(x^{-2}\right)^3\cdot x^9=x^3. \]
On peut vérifier ce résultat directement à partir de la définition de l'exposant négatif :
\[ \left(x^{-2}\right)^3 =\left(\frac{1}{x^2}\right)^3 =\frac{1}{x^6}. \]
Il s'ensuit que
\[ \left(x^{-2}\right)^3\cdot x^9 =\frac{x^9}{x^6} =x^{9-6} =x^3. \]
Bien que l'expression simplifiée \(x^3\) soit également définie pour \(x=0\), l'expression initiale ne l'est pas. La condition \(x\neq0\) doit donc être conservée. Par conséquent,
\[ \left(x^{-2}\right)^3\cdot x^9=x^3 \qquad (x\neq0). \]
Exercice 21 — niveau ★★★★☆
Simplifier :
\[ \frac{(4x^3)^2}{(2x^2)^3} \qquad (x\neq0). \]
Résultat
\[ \frac{(4x^3)^2}{(2x^2)^3}=2 \qquad (x\neq0). \]
Résolution
La variable \(x\) figure au dénominateur ; l'expression n'est donc définie que pour \(x\neq0\).
On développe séparément le numérateur et le dénominateur, en appliquant d'abord la propriété de la puissance d'un produit, puis celle de la puissance d'une puissance :
\[ (4x^3)^2=4^2\left(x^3\right)^2=16x^6 \]
et
\[ (2x^2)^3=2^3\left(x^2\right)^3=8x^6. \]
En reportant ces résultats dans le quotient, on obtient
\[ \frac{(4x^3)^2}{(2x^2)^3} =\frac{16x^6}{8x^6} =\frac{16}{8}\cdot\frac{x^6}{x^6}. \]
Comme \(x\neq0\), on a \(\displaystyle\frac{x^6}{x^6}=1\). Par conséquent,
\[ \frac{(4x^3)^2}{(2x^2)^3}=2. \]
Exercice 22 — niveau ★★★★☆
Simplifier :
\[ \frac{\left(a^2b^3\right)^4}{a^5b^7} \qquad (a\neq0,\ b\neq0). \]
Résultat
\[ \frac{\left(a^2b^3\right)^4}{a^5b^7} =a^3b^5 \qquad (a\neq0,\ b\neq0). \]
Résolution
Les puissances \(a^5\) et \(b^7\) figurent au dénominateur ; il faut donc imposer \(a\neq0\) et \(b\neq0\).
On développe le numérateur en appliquant la propriété de la puissance d'un produit :
\[ \left(a^2b^3\right)^4 =\left(a^2\right)^4\left(b^3\right)^4 =a^{2\cdot4}b^{3\cdot4} =a^8b^{12}. \]
En reportant ce résultat dans le quotient, on obtient
\[ \frac{a^8b^{12}}{a^5b^7}. \]
Pour chaque base, on soustrait l'exposant du dénominateur à celui du numérateur :
\[ \frac{a^8b^{12}}{a^5b^7} =a^{8-5}b^{12-7} =a^3b^5. \]
Par conséquent,
\[ \frac{\left(a^2b^3\right)^4}{a^5b^7} =a^3b^5 \qquad (a\neq0,\ b\neq0). \]
Exercice 23 — niveau ★★★★☆
Simplifier :
\[ \frac{(2x^3)^4}{(4x^2)^3} \qquad (x\neq0). \]
Résultat
\[ \frac{(2x^3)^4}{(4x^2)^3} =\frac{x^6}{4} \qquad (x\neq0). \]
Résolution
La variable \(x\) figurant au dénominateur, l'expression n'est définie que pour \(x\neq0\).
On développe le numérateur :
\[ (2x^3)^4 =2^4\left(x^3\right)^4 =16x^{12}. \]
On développe de même le dénominateur :
\[ (4x^2)^3 =4^3\left(x^2\right)^3 =64x^6. \]
En reportant les résultats obtenus, on a
\[ \frac{(2x^3)^4}{(4x^2)^3} =\frac{16x^{12}}{64x^6} =\frac{16}{64}x^{12-6}. \]
Comme \(\displaystyle\frac{16}{64}=\frac14\) et \(12-6=6\), il s'ensuit que
\[ \frac{(2x^3)^4}{(4x^2)^3} =\frac{x^6}{4} \qquad (x\neq0). \]
Exercice 24 — niveau ★★★★☆
Simplifier :
\[ \left(a^{\frac12}b^{\frac13}\right)^6 \qquad (a\geq0,\ b\geq0). \]
Résultat
\[ \left(a^{\frac12}b^{\frac13}\right)^6 =a^3b^2 \qquad (a\geq0,\ b\geq0). \]
Résolution
Les conditions \(a\geq0\) et \(b\geq0\) garantissent que les puissances rationnelles figurant dans l'expression sont définies dans le cadre considéré.
On distribue l'exposant \(6\) sur les deux facteurs :
\[ \left(a^{\frac12}b^{\frac13}\right)^6 =\left(a^{\frac12}\right)^6 \left(b^{\frac13}\right)^6. \]
On applique à présent la propriété de la puissance d'une puissance, en multipliant les exposants :
\[ \left(a^{\frac12}\right)^6 =a^{\frac12\cdot6} =a^3 \]
et
\[ \left(b^{\frac13}\right)^6 =b^{\frac13\cdot6} =b^2. \]
Par conséquent,
\[ \left(a^{\frac12}b^{\frac13}\right)^6 =a^3b^2. \]
Exercice 25 — niveau ★★★★☆
Simplifier :
\[ \left(\frac{x^2}{y^3}\right)^{-2} \qquad (x\neq0,\ y\neq0). \]
Résultat
\[ \left(\frac{x^2}{y^3}\right)^{-2} =\frac{y^6}{x^4} \qquad (x\neq0,\ y\neq0). \]
Résolution
La condition \(y\neq0\) est nécessaire pour que le quotient \(\displaystyle\frac{x^2}{y^3}\) soit défini. Comme ce quotient est élevé à un exposant négatif, sa base doit elle aussi être non nulle ; il faut donc exiger également \(x\neq0\).
Un quotient élevé à un exposant négatif se transforme en son inverse élevé à l'exposant positif correspondant :
\[ \left(\frac{x^2}{y^3}\right)^{-2} =\left(\frac{y^3}{x^2}\right)^2. \]
On distribue à présent l'exposant \(2\) au numérateur et au dénominateur :
\[ \left(\frac{y^3}{x^2}\right)^2 =\frac{\left(y^3\right)^2}{\left(x^2\right)^2} =\frac{y^{3\cdot2}}{x^{2\cdot2}} =\frac{y^6}{x^4}. \]
Par conséquent,
\[ \left(\frac{x^2}{y^3}\right)^{-2} =\frac{y^6}{x^4} \qquad (x\neq0,\ y\neq0). \]
Exercice 26 — niveau ★★★★☆
Simplifier :
\[ \frac{2^n\cdot4^n}{8^n}. \]
Résultat
\[ \frac{2^n\cdot4^n}{8^n}=1. \]
Résolution
Les bases \(2\), \(4\) et \(8\) sont positives ; les puissances sont donc définies pour tout \(n\in\mathbb{R}\), et le dénominateur \(8^n\) est toujours non nul.
On réécrit \(4\) et \(8\) comme des puissances de \(2\) :
\[ 4^n=\left(2^2\right)^n=2^{2n} \]
et
\[ 8^n=\left(2^3\right)^n=2^{3n}. \]
En reportant ces expressions, on obtient
\[ \frac{2^n\cdot4^n}{8^n} =\frac{2^n\cdot2^{2n}}{2^{3n}} =\frac{2^{n+2n}}{2^{3n}} =\frac{2^{3n}}{2^{3n}}. \]
Comme \(2^{3n}\neq0\), le quotient vaut \(1\). Par conséquent,
\[ \frac{2^n\cdot4^n}{8^n}=1. \]
Exercice 27 — niveau ★★★★☆
Simplifier :
\[ \frac{(3x^2)^3(2x)^2}{(6x^4)^2} \qquad (x\neq0). \]
Résultat
\[ \frac{(3x^2)^3(2x)^2}{(6x^4)^2} =3 \qquad (x\neq0). \]
Résolution
La variable \(x\) figurant au dénominateur, l'expression n'est définie que pour \(x\neq0\).
On développe les deux facteurs du numérateur :
\[ (3x^2)^3 =3^3\left(x^2\right)^3 =27x^6 \]
et
\[ (2x)^2=2^2x^2=4x^2. \]
Le numérateur devient alors
\[ 27x^6\cdot4x^2=108x^8. \]
On développe à présent le dénominateur :
\[ (6x^4)^2=6^2\left(x^4\right)^2=36x^8. \]
Par conséquent,
\[ \frac{(3x^2)^3(2x)^2}{(6x^4)^2} =\frac{108x^8}{36x^8} =\frac{108}{36}\cdot\frac{x^8}{x^8} =3. \]
Exercice 28 — niveau ★★★★★
Simplifier :
\[ \frac{a^{m+n}a^{m-n}}{\left(a^m\right)^2} \qquad (a\neq0,\ m,n\in\mathbb{Z}). \]
Résultat
\[ \frac{a^{m+n}a^{m-n}}{\left(a^m\right)^2}=1 \qquad (a\neq0,\ m,n\in\mathbb{Z}). \]
Résolution
La condition \(a\neq0\) garantit que le dénominateur n'est pas nul. Comme \(m,n\in\mathbb{Z}\), toutes les puissances considérées sont définies et les propriétés usuelles des exposants entiers peuvent être appliquées.
Au numérateur figurent deux puissances de même base. On additionne donc les exposants :
\[ a^{m+n}a^{m-n} =a^{(m+n)+(m-n)} =a^{2m}. \]
Au dénominateur, on applique la propriété de la puissance d'une puissance :
\[ \left(a^m\right)^2=a^{2m}. \]
Le numérateur et le dénominateur sont donc égaux. Par conséquent,
\[ \frac{a^{m+n}a^{m-n}}{\left(a^m\right)^2} =\frac{a^{2m}}{a^{2m}} =1. \]
La simplification repose sur le fait que les exposants \(m+n\) et \(m-n\) ont pour somme \(2m\).
Exercice 29 — niveau ★★★★★
Simplifier :
\[ \frac{3^{n+2}-3^{n+1}}{2\cdot3^n}. \]
Résultat
\[ \frac{3^{n+2}-3^{n+1}}{2\cdot3^n}=3. \]
Résolution
La base \(3\) étant positive, les puissances sont définies pour tout \(n\in\mathbb{R}\). De plus, \(2\cdot3^n\neq0\), de sorte que le quotient est toujours défini.
On réécrit les deux puissances du numérateur en mettant en facteur \(3^n\) :
\[ 3^{n+2}=3^n\cdot3^2=9\cdot3^n \]
et
\[ 3^{n+1}=3^n\cdot3=3\cdot3^n. \]
Le numérateur devient
\[ 3^{n+2}-3^{n+1} =9\cdot3^n-3\cdot3^n =3^n(9-3) =6\cdot3^n. \]
En reportant dans le quotient, on obtient
\[ \frac{3^{n+2}-3^{n+1}}{2\cdot3^n} =\frac{6\cdot3^n}{2\cdot3^n} =\frac62 =3. \]
Exercice 30 — niveau ★★★★★
Simplifier :
\[ \frac{x^{a+b}x^{b+c}x^{c+a}} {\left(x^ax^bx^c\right)^2} \qquad (x>0). \]
Résultat
\[ \frac{x^{a+b}x^{b+c}x^{c+a}} {\left(x^ax^bx^c\right)^2} =1 \qquad (x>0). \]
Résolution
La condition \(x>0\) garantit que toutes les puissances sont définies, même lorsque \(a\), \(b\) et \(c\) sont des nombres réels. De plus, le dénominateur est assurément non nul.
Au numérateur, on additionne les exposants des puissances de même base :
\[ x^{a+b}x^{b+c}x^{c+a} =x^{(a+b)+(b+c)+(c+a)}. \]
La somme des exposants vaut
\[ (a+b)+(b+c)+(c+a) =2a+2b+2c =2(a+b+c). \]
Le numérateur est donc égal à
\[ x^{2(a+b+c)}. \]
Au dénominateur, on simplifie d'abord le produit intérieur :
\[ x^ax^bx^c=x^{a+b+c}. \]
En élevant ce résultat au carré, on obtient
\[ \left(x^{a+b+c}\right)^2=x^{2(a+b+c)}. \]
Le numérateur et le dénominateur coïncident. Par conséquent,
\[ \frac{x^{a+b}x^{b+c}x^{c+a}} {\left(x^ax^bx^c\right)^2} =\frac{x^{2(a+b+c)}}{x^{2(a+b+c)}} =1. \]