Le théorème de Weierstrass est l'un des résultats fondamentaux de l'analyse mathématique. Il affirme qu'une fonction continue définie sur un intervalle fermé et borné atteint nécessairement une valeur maximale et une valeur minimale.
Autrement dit, une fonction continue sur un intervalle du type \([a,b]\) n'est pas seulement bornée : elle atteint effectivement ses extrema absolus en au moins un point de l'intervalle.
Sommaire
- Énoncé du théorème de Weierstrass
- Existence du maximum
- Existence du minimum
- Pourquoi les hypothèses sont nécessaires
Énoncé du théorème de Weierstrass
Soit
\[ f:[a,b]\to\mathbb R \]
une fonction continue sur l'intervalle fermé et borné \([a,b]\subseteq\mathbb R\). Alors \(f\) est bornée et atteint un maximum absolu et un minimum absolu sur \([a,b]\).
Cela signifie qu'il existe deux points \(x_M,x_m\in[a,b]\) tels que
\[ f(x_m)\leq f(x)\leq f(x_M) \]
pour tout \(x\in[a,b]\).
Le nombre \(f(x_M)\) est le maximum absolu de \(f\) sur \([a,b]\), tandis que le nombre \(f(x_m)\) est le minimum absolu de \(f\) sur \([a,b]\).
Existence du maximum
Montrons d'abord que \(f\) atteint un maximum absolu sur \([a,b]\).
Supposons, par l'absurde, que \(f\) ne soit pas majorée sur \([a,b]\). Alors, pour tout entier \(n\geq 1\), il existe un point \(x_n\in[a,b]\) tel que
\[ f(x_n)>n. \]
La suite \((x_n)\) est contenue dans l'intervalle fermé et borné \([a,b]\), elle est donc bornée. D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet une sous-suite convergente :
\[ x_{n_k}\to x_0. \]
Puisque \(a\leq x_{n_k}\leq b\) pour tout \(k\), en passant à la limite on obtient
\[ x_0\in[a,b]. \]
\(f\) étant continue en \(x_0\), on a
\[ f(x_{n_k})\to f(x_0). \]
En particulier, la suite \((f(x_{n_k}))\) doit être bornée, puisque toute suite convergente est bornée.
D'autre part, par construction, on a
\[ f(x_{n_k})>n_k. \]
Puisque \(n_k\to+\infty\), il s'ensuit que \(f(x_{n_k})\to+\infty\), ce qui contredit le fait que \((f(x_{n_k}))\) soit convergente, donc bornée.
Ainsi, \(f\) est majorée sur \([a,b]\).
Puisque \([a,b]\) est non vide et que \(f\) est majorée sur \([a,b]\), l'ensemble \(f([a,b])\) est non vide et majoré. On peut alors définir
\[ M=\sup f([a,b]). \]
Montrons que cette borne supérieure est effectivement atteinte par la fonction.
D'après la propriété caractéristique de la borne supérieure, pour tout entier \(n\geq 1\) il existe \(x_n\in[a,b]\) tel que
\[ M-\frac{1}{n}\lt f(x_n)\leq M. \]
Il s'ensuit que
\[ f(x_n)\to M. \]
La suite \((x_n)\) est contenue dans \([a,b]\), elle est donc bornée. D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une sous-suite
\[ x_{n_k}\to x_M \]
avec \(x_M\in[a,b]\).
Par continuité de \(f\), on a
\[ f(x_{n_k})\to f(x_M). \]
Or, puisque \(f(x_n)\to M\), la sous-suite \((f(x_{n_k}))\) converge également vers \(M\). Par unicité de la limite,
\[ f(x_M)=M. \]
Donc \(f\) atteint un maximum absolu sur \([a,b]\).
Existence du minimum
Montrons à présent que \(f\) atteint un minimum absolu sur \([a,b]\).
Le raisonnement est analogue à celui mené pour le maximum.
Tout d'abord, \(f\) est minorée. En effet, si tel n'était pas le cas, pour tout entier \(n\geq 1\) il existerait un point \(w_n\in[a,b]\) tel que
\[ f(w_n)<-n. \]
La suite \((w_n)\), étant contenue dans \([a,b]\), est bornée. D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une sous-suite
\[ w_{n_k}\to w_0 \]
avec \(w_0\in[a,b]\).
Par continuité de \(f\), on aurait
\[ f(w_{n_k})\to f(w_0). \]
Or, par construction, \(f(w_{n_k})<-n_k\), donc \(f(w_{n_k})\to-\infty\), ce qui est impossible pour une suite convergeant vers un nombre réel.
Ainsi, \(f\) est minorée sur \([a,b]\).
Puisque \([a,b]\) est non vide et que \(f\) est minorée sur \([a,b]\), l'ensemble \(f([a,b])\) est non vide et minoré. On peut alors définir
\[ m=\inf f([a,b]). \]
D'après la propriété caractéristique de la borne inférieure, pour tout entier \(n\geq 1\) il existe \(y_n\in[a,b]\) tel que
\[ m\leq f(y_n)\lt m+\frac{1}{n}. \]
Il s'ensuit que
\[ f(y_n)\to m. \]
Puisque \((y_n)\) est contenue dans \([a,b]\), le théorème de Bolzano-Weierstrass garantit l'existence d'une sous-suite
\[ y_{n_k}\to x_m \]
avec \(x_m\in[a,b]\).
Par continuité de \(f\), on a
\[ f(y_{n_k})\to f(x_m). \]
Or, on a également \(f(y_{n_k})\to m\). Par unicité de la limite,
\[ f(x_m)=m. \]
Donc \(f\) atteint un minimum absolu sur \([a,b]\).
Nous avons ainsi démontré qu'une fonction continue sur un intervalle fermé et borné est bornée et atteint à la fois son maximum absolu et son minimum absolu.
Pourquoi les hypothèses sont nécessaires
Les hypothèses du théorème de Weierstrass sont essentielles. Si la continuité fait défaut, ou si l'intervalle n'est pas fermé ou n'est pas borné, la conclusion peut être fausse.
Si l'intervalle n'est pas fermé. Considérons la fonction
\[ f(x)=x \]
définie sur l'intervalle ouvert \((0,1)\). Cette fonction est continue et bornée, mais n'atteint ni maximum ni minimum. En effet, les valeurs de la fonction peuvent se rapprocher arbitrairement de \(0\) et de \(1\), mais les points \(0\) et \(1\) n'appartiennent pas au domaine.
Si l'intervalle n'est pas borné. Considérons la fonction
\[ f(x)=x \]
définie sur \(\mathbb R\). Cette fonction est continue, mais n'est ni majorée ni minorée. Elle n'admet donc ni maximum ni minimum absolus.
Si la continuité fait défaut. Considérons la fonction \(f:[0,1]\to\mathbb R\) définie par
\[ f(x)= \begin{cases} x, & 0\leq x\lt 1,\\ 0, & x=1. \end{cases} \]
Le domaine \([0,1]\) est fermé et borné, mais \(f\) n'est pas continue en \(x=1\). La fonction est bornée, mais n'atteint pas de maximum absolu : en effet,
\[ \sup f([0,1])=1, \]
mais il n'existe aucun \(x\in[0,1]\) tel que \(f(x)=1\). En effet, pour \(0\leq x\lt 1\) on a \(f(x)=x\lt 1\), tandis que \(f(1)=0\).
Ces exemples montrent que le théorème de Weierstrass dépend de façon essentielle de toutes ses hypothèses : continuité de la fonction, ainsi que domaine fermé et borné.