Le théorème de Bolzano-Weierstrass affirme que toute suite réelle bornée contient au moins une sous-suite convergente.
Ce théorème exprime une propriété profonde de la droite réelle : une suite qui demeure confinée dans un intervalle fermé et borné ne peut se disperser entièrement. Même si la suite ne converge pas, on peut toujours en extraire une sous-suite qui, elle, converge.
Sommaire
- Énoncé du théorème de Bolzano-Weierstrass
- Signification du théorème
- Démonstration par intervalles emboîtés
- Pourquoi l'hypothèse de bornitude est nécessaire
- Exemples d'application
- Lien avec les points d'accumulation
Énoncé du théorème de Bolzano-Weierstrass
Considérons une suite réelle
\[ (x_n)_{n\in\mathbb N}. \]
Rappelons qu'une suite est dite bornée s'il existe deux nombres réels \(a\) et \(b\), avec \(a\leq b\), tels que
\[ a\leq x_n\leq b \]
pour tout \(n\in\mathbb N\). Autrement dit, tous les termes de la suite sont contenus dans un même intervalle fermé et borné \([a,b]\).
Théorème de Bolzano-Weierstrass. Toute suite réelle bornée admet une sous-suite convergente.
De façon équivalente, si \((x_n)\) est une suite réelle bornée, alors il existe une suite strictement croissante d'indices
\[ n_1\lt n_2\lt n_3\lt\cdots \]
et un nombre réel \(x_0\) tels que
\[ x_{n_k}\longrightarrow x_0. \]
La suite \((x_{n_k})\) est appelée sous-suite de \((x_n)\).
Signification du théorème
Le théorème n'affirme pas que toute suite bornée soit convergente ; ce serait faux. Prenons par exemple la suite
\[ x_n=(-1)^n, \]
qui est bornée, mais ne converge pas, car elle oscille sans cesse entre \(1\) et \(-1\).
Elle contient néanmoins des sous-suites convergentes. En effet, en considérant les indices pairs, on obtient
\[ x_{2k}=1 \]
pour tout \(k\), d'où
\[ x_{2k}\longrightarrow 1. \]
En considérant au contraire les indices impairs, on obtient
\[ x_{2k-1}=-1 \]
pour tout \(k\), d'où
\[ x_{2k-1}\longrightarrow -1. \]
C'est précisément ce qu'affirme le théorème de Bolzano-Weierstrass : même lorsqu'une suite bornée ne converge pas dans son ensemble, il existe toujours en son sein une sous-suite qui, elle, converge.
Démonstration par intervalles emboîtés
Démontrons le théorème à l'aide du théorème des intervalles emboîtés.
Soit \((x_n)\) une suite réelle bornée. Il existe alors \(a,b\in\mathbb R\), avec \(a\leq b\), tels que
\[ x_n\in[a,b] \]
pour tout \(n\in\mathbb N\).
Posons
\[ I_1=[a,b]. \]
L'intervalle \(I_1\) contient tous les termes de la suite ; il en contient donc certainement une infinité.
Partageons \(I_1\) en deux intervalles fermés de même longueur :
\[ \left[a,\frac{a+b}{2}\right], \qquad \left[\frac{a+b}{2},b\right]. \]
Puisque \(I_1\) contient une infinité de termes de la suite, l'un au moins des deux sous-intervalles en contient également une infinité. Choisissons l'un de ces sous-intervalles et appelons-le \(I_2\).
Répétons le même procédé. Supposons avoir construit un intervalle fermé \(I_k\) contenant une infinité de termes de la suite. Partageons \(I_k\) en deux intervalles fermés de même longueur. L'un au moins d'entre eux contient une infinité de termes ; choisissons-le et appelons-le \(I_{k+1}\).
On obtient ainsi une suite d'intervalles fermés et bornés
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots \]
telle que chaque \(I_k\) contient une infinité de termes de la suite \((x_n)\).
De plus, à chaque étape la longueur de l'intervalle est divisée par deux. Si \(I_1=[a,b]\), alors la longueur de \(I_k\) vaut
\[ \frac{b-a}{2^{k-1}}. \]
Comme
\[ \frac{b-a}{2^{k-1}}\longrightarrow 0, \]
le théorème des intervalles emboîtés assure l'existence d'un unique point \(x_0\in\mathbb R\) tel que
\[ \bigcap_{k=1}^{+\infty} I_k=\{x_0\}. \]
Il reste à construire une sous-suite de \((x_n)\) qui converge vers \(x_0\).
Pour construire cette sous-suite, procédons par récurrence sur les intervalles \(I_k\).
Puisque \(I_1\) contient une infinité de termes de la suite, choisissons un indice \(n_1\) tel que
\[ x_{n_1}\in I_1. \]
Puisque \(I_2\) contient une infinité de termes, nous pouvons choisir un indice \(n_2\) supérieur à \(n_1\) tel que
\[ x_{n_2}\in I_2. \]
De manière générale, supposons avoir choisi les indices
\[ n_1\lt n_2\lt\cdots\lt n_k \]
de sorte que
\[ x_{n_j}\in I_j \qquad \text{pour tout } j=1,\ldots,k. \]
Puisque \(I_{k+1}\) contient une infinité de termes, nous pouvons choisir un indice \(n_{k+1}\gt n_k\) tel que
\[ x_{n_{k+1}}\in I_{k+1}. \]
Nous obtenons ainsi une sous-suite
\[ (x_{n_k})_{k\in\mathbb N} \]
telle que
\[ x_{n_k}\in I_k \qquad \forall k\in\mathbb N. \]
Montrons à présent que cette sous-suite converge vers \(x_0\).
Comme \(x_0\) appartient à tous les intervalles \(I_k\) et que \(x_{n_k}\in I_k\) également, la distance entre \(x_{n_k}\) et \(x_0\) est au plus égale à la longueur de \(I_k\). Dès lors,
\[ |x_{n_k}-x_0|\leq \frac{b-a}{2^{k-1}}. \]
Comme
\[ \frac{b-a}{2^{k-1}}\longrightarrow0, \]
le théorème des gendarmes entraîne que
\[ |x_{n_k}-x_0|\longrightarrow0. \]
Par conséquent,
\[ x_{n_k}\longrightarrow x_0. \]
Nous avons donc construit une sous-suite convergente de la suite initiale, ce qui achève la démonstration du théorème de Bolzano-Weierstrass.
Pourquoi l'hypothèse de bornitude est nécessaire
L'hypothèse de bornitude est essentielle. Si une suite n'est pas bornée, rien ne garantit qu'elle admette une sous-suite convergente.
Considérons, par exemple, la suite
\[ x_n=n. \]
Elle n'est pas majorée. De plus, chacune de ses sous-suites est de la forme
\[ x_{n_k}=n_k, \]
où
\[ n_1\lt n_2\lt n_3\lt\cdots. \]
Comme les indices \(n_k\) tendent vers \(+\infty\), on a
\[ x_{n_k}=n_k\longrightarrow+\infty. \]
Aucune sous-suite ne peut donc converger vers un nombre réel.
Cet exemple montre que la bornitude n'est pas une condition accessoire : c'est précisément ce qui empêche les termes de la suite de s'échapper vers l'infini.
Exemples d'application
Exemple 1. Considérons la suite
\[ x_n=(-1)^n. \]
La suite est bornée, puisque
\[ -1\leq x_n\leq1 \]
pour tout \(n\in\mathbb N\). D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet au moins une sous-suite convergente.
En effet, les termes d'indice pair donnent
\[ x_{2k}=1 \]
pour tout \(k\in\mathbb N\), de sorte que
\[ x_{2k}\longrightarrow1, \]
tandis que ceux d'indice impair donnent
\[ x_{2k-1}=-1, \]
d'où
\[ x_{2k-1}\longrightarrow -1. \]
La suite initiale ne converge pas, mais elle possède deux sous-suites convergentes naturelles.
Exemple 2. Considérons la suite
\[ x_n=\frac{(-1)^n n}{n+1}. \]
Elle est bornée, car
\[ -1\lt x_n\lt1 \]
pour tout \(n\in\mathbb N\). D'après Bolzano-Weierstrass, elle doit admettre une sous-suite convergente.
Séparons les indices pairs et impairs. Si \(n=2k\), alors
\[ x_{2k}=\frac{2k}{2k+1}\longrightarrow1. \]
Si au contraire \(n=2k-1\), alors
\[ x_{2k-1}=-\frac{2k-1}{2k}\longrightarrow -1. \]
Ici encore, la suite ne converge pas, mais elle contient des sous-suites convergentes.
Exemple 3. Considérons une suite quelconque \((x_n)\) contenue dans l'intervalle \([0,1]\).
Il n'est pas nécessaire de connaître une formule explicite de la suite. Le seul fait que
\[ 0\leq x_n\leq1 \]
pour tout \(n\in\mathbb N\) garantit, d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, l'existence d'une sous-suite convergente.
C'est là l'un des aspects les plus importants du théorème : il fournit un résultat d'existence même lorsque nous ne savons pas calculer explicitement une sous-suite.
Lien avec les points d'accumulation
Le théorème de Bolzano-Weierstrass peut également s'interpréter en termes de points d'accumulation.
Si une suite réelle bornée prend une infinité de valeurs distinctes, alors l'ensemble de ses valeurs est une partie infinie et bornée de \(\mathbb R\). Dans ce cas, le théorème garantit l'existence d'au moins un point d'accumulation.
Plus précisément, si une sous-suite
\[ x_{n_k}\longrightarrow x_0 \]
et que les termes \(x_{n_k}\) sont distincts de \(x_0\) pour une infinité d'indices, alors \(x_0\) est un point d'accumulation de l'ensemble des valeurs de la suite.
Dans le cas où la suite ne prend qu'un nombre fini de valeurs, le théorème demeure vrai : l'une au moins de ces valeurs doit être prise une infinité de fois. Il existe alors une sous-suite constante, donc convergente.
Ainsi, Bolzano-Weierstrass peut se lire de deux façons complémentaires :
- toute suite réelle bornée possède une sous-suite convergente ;
- toute partie infinie et bornée de nombres réels possède au moins un point d'accumulation.
Cette seconde formulation rattache le théorème à l'étude topologique de la droite réelle et prépare le terrain aux résultats sur la compacité.