Après avoir introduit les voisinages, nous pouvons définir deux notions fondamentales dans l'étude des ensembles de nombres réels : les points d'accumulation et les points isolés.
Ces notions décrivent le comportement local d'un ensemble sur la droite réelle et permettent de déterminer si ses éléments s'accumulent autour de certains points ou, au contraire, demeurent séparés les uns des autres. Elles jouent un rôle central dans l'étude des limites, des suites, des ensembles fermés et, plus généralement, de l'analyse mathématique.
Nous présenterons dans ce qui suit les définitions rigoureuses de point d'accumulation et de point isolé, ainsi que leurs principales propriétés et caractérisations.
Sommaire
- Point d'accumulation
- Point isolé
- Exemples fondamentaux
- Caractérisation au moyen des suites
- Ensemble dérivé et ensembles fermés
Point d'accumulation
Soit \( A\subseteq\mathbb R \). On dit qu'un point \( x_0\in\mathbb R \) est un point d'accumulation de \( A \) si tout voisinage de \( x_0 \) contient au moins un élément de \( A \) distinct de \( x_0 \).
De manière équivalente,
\[ \forall r>0, \qquad \Bigl((x_0-r,x_0+r)\setminus\{x_0\}\Bigr)\cap A \neq\varnothing. \]
Autrement dit, aussi petit que soit le voisinage centré en \( x_0 \), on y trouve toujours des points de \( A \) arbitrairement proches de \( x_0 \).
Il importe de remarquer que \( x_0 \) n'appartient pas nécessairement à l'ensemble \( A \). La définition exige seulement qu'au voisinage de ce point se trouvent des éléments de \( A \) distincts de \( x_0 \).
De plus, tout voisinage d'un point d'accumulation contient nécessairement une infinité de points de l'ensemble distincts de \( x_0 \). En effet, si un certain voisinage n'en contenait qu'un nombre fini, on pourrait construire un voisinage plus petit les excluant tous, ce qui contredirait la définition.
En particulier, aucun ensemble fini ne peut posséder de point d'accumulation.
D'un point de vue géométrique, un point d'accumulation est un point autour duquel l'ensemble se concentre. Si l'on imagine effectuer des agrandissements successifs de la droite réelle au voisinage de \( x_0 \), on continuerait toujours à observer des éléments de l'ensemble arbitrairement proches de ce point.
Un point d'accumulation peut appartenir ou non à l'ensemble. Par exemple, si \( A=(0,1) \), le point \( \displaystyle \frac12 \) appartient à \( A \) et en est un point d'accumulation. Les points \( 0 \) et \( 1 \) sont eux aussi des points d'accumulation, bien qu'ils n'appartiennent pas à l'ensemble, car tout voisinage de chacun d'eux contient des éléments de \( A \).
Point isolé
Soit \( A\subseteq\mathbb R \). On dit qu'un point \( x_0\in A \) est un point isolé de \( A \) s'il existe un voisinage de \( x_0 \) ne contenant aucun autre élément de l'ensemble.
En symboles,
\[ \exists r>0 \quad\text{tel que}\quad (x_0-r,x_0+r)\cap A=\{x_0\}. \]
Cela signifie que \( x_0 \) est séparé des autres éléments de \( A \) par une distance strictement positive. Dans un voisinage suffisamment petit de \( x_0 \), le seul point de l'ensemble présent est précisément \( x_0 \).
D'un point de vue géométrique, un point isolé peut être vu comme un élément « solitaire » de l'ensemble, entouré d'une région de la droite réelle dépourvue de tout autre point appartenant à \( A \).
Les notions de point isolé et de point d'accumulation sont étroitement liées. Si \( x_0\in A \), alors l'une exactement des possibilités suivantes se réalise :
- \( x_0 \) est un point isolé ;
- \( x_0 \) est un point d'accumulation.
Ces deux propriétés sont incompatibles. En effet, s'il existe un voisinage ne contenant que \( x_0 \), alors \( x_0 \) ne peut être un point d'accumulation. Réciproquement, si \( x_0 \) est un point d'accumulation, tout voisinage de ce point contient une infinité de points de l'ensemble distincts de \( x_0 \), de sorte que \( x_0 \) ne peut être isolé.
Comparaison entre points isolés et points d'accumulation
| Aspect | Point isolé | Point d'accumulation |
|---|---|---|
| Appartenance à \(A\) | Doit appartenir à \(A\) | Peut appartenir ou non à \(A\) |
| Voisinages | Il existe un voisinage ne contenant que ce point de l'ensemble | Tout voisinage contient une infinité de points de l'ensemble distincts de \( x_0 \) |
| Comportement local | Le point est séparé du reste de l'ensemble | L'ensemble se concentre autour du point |
Un même ensemble peut contenir à la fois des points isolés et des points d'accumulation. Par exemple, dans l'ensemble
\[ \left\{0\right\} \cup \left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}, \]
le point \(0\) est un point d'accumulation, tandis que tous les points de la forme \( \displaystyle \frac1n \) sont isolés.
Exemples fondamentaux
Considérons quelques exemples fondamentaux, utiles pour distinguer avec précision les points d'accumulation des points isolés.
Intervalles
Soit \( A=(0,1) \). Tout point de \( (0,1) \) est un point d'accumulation de \( A \), puisque tout voisinage de ce point contient une infinité de points de l'intervalle. Les points \(0\) et \(1\) sont eux aussi des points d'accumulation, bien qu'ils n'appartiennent pas à \(A\). En effet, tout voisinage de \(0\) contient des points strictement positifs inférieurs à \(1\), tandis que tout voisinage de \(1\) contient des points de l'intervalle inférieurs à \(1\).
L'ensemble des points d'accumulation de \( (0,1) \) est donc
\[ [0,1]. \]
Ensembles finis et ensembles discrets
Si \( A=\{1,3,7\} \), alors tous les éléments de \(A\) sont des points isolés. Par exemple, autour du point \(3\) on peut choisir un intervalle suffisamment petit ne contenant ni \(1\) ni \(7\). Plus généralement, tout ensemble fini de nombres réels n'est constitué que de points isolés et ne possède aucun point d'accumulation.
L'ensemble des entiers \( \mathbb Z \) n'est lui aussi constitué que de points isolés. En effet, pour tout \( n\in\mathbb Z \), le voisinage
\[ \left(n-\frac12,n+\frac12\right) \]
ne contient comme unique entier que le point \(n\). Ainsi, tout entier est isolé et \( \mathbb Z \) ne possède aucun point d'accumulation dans \( \mathbb R \).
Un ensemble comportant des points isolés et un point d'accumulation
Considérons l'ensemble
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Tout point de la forme \(\displaystyle \frac1n \) est isolé. En effet, une fois fixée une valeur de \(n\), on peut choisir un voisinage de \( \displaystyle \frac1n \) assez petit pour ne contenir aucun autre élément de la suite \(1,\displaystyle\frac12,\displaystyle\frac13,\ldots\).
Cependant, \(0\) est un point d'accumulation de \(A\). En effet, pour tout \(r>0\) il existe \(n\in\mathbb N\) suffisamment grand tel que
\[ 0<\frac1n<r. \]
Tout voisinage de \(0\) contient donc des éléments de \(A\) distincts de \(0\). Remarquons que \(0\notin A\) : cela montre qu'un point d'accumulation n'appartient pas nécessairement à l'ensemble.
Si, en revanche, nous considérons
\[ B=\{0\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}, \]
le point \(0\) demeure un point d'accumulation, mais il appartient désormais aussi à l'ensemble \(B\). Les points \( \displaystyle\frac1n \), quant à eux, restent des points isolés.
Les nombres rationnels
Considérons l'ensemble des nombres rationnels \( \mathbb Q \). Grâce à la densité des rationnels dans \( \mathbb R \), entre deux nombres réels distincts se trouvent toujours une infinité de nombres rationnels. Par conséquent, tout voisinage d'un point quelconque de la droite réelle contient une infinité d'éléments de \( \mathbb Q \).
Tout nombre réel est donc un point d'accumulation de \( \mathbb Q \), c'est-à-dire
\[ \mathbb Q' = \mathbb R. \]
De plus, \( \mathbb Q \) ne possède aucun point isolé. Cet exemple montre de façon remarquable qu'un ensemble peut admettre des points d'accumulation en tout point de la droite réelle, sans être un intervalle et tout en étant totalement discontinu.
Caractérisation au moyen des suites
Les points d'accumulation peuvent être caractérisés au moyen des suites. Ce résultat est particulièrement important, car il permet de traduire une propriété géométrique des ensembles en une propriété de convergence.
Théorème. Soit \( A\subseteq\mathbb R \) et soit \( x_0\in\mathbb R \). Alors \( x_0 \) est un point d'accumulation de \( A \) si et seulement s'il existe une suite \( (x_n) \subseteq A\setminus\{x_0\} \) telle que
\[ \lim_{n\to\infty}x_n=x_0. \]
Démonstration. Supposons que \( x_0 \) soit un point d'accumulation de \( A \). Pour tout \( n\in\mathbb N \), le voisinage
\[ \left(x_0-\frac1n,x_0+\frac1n\right) \]
contient au moins un point \( x_n\in A\setminus\{x_0\} \). Il s'ensuit que
\[ 0<|x_n-x_0|<\frac1n. \]
Comme \( \displaystyle \frac1n\to0 \), le théorème d'encadrement donne \( x_n\to x_0 \).
Réciproquement, supposons qu'il existe une suite \( (x_n)\subseteq A\setminus\{x_0\} \) telle que \( x_n\to x_0 \). Soit \( r>0 \). Par la définition de la limite, il existe \( N\in\mathbb N \) tel que
\[ n\ge N \quad\Longrightarrow\quad |x_n-x_0|<r. \]
En particulier, \( x_N\in(x_0-r,x_0+r) \), avec \( x_N\in A \) et \( x_N\neq x_0 \). Par conséquent, tout voisinage de \( x_0 \) contient un élément de \( A \) distinct de \( x_0 \), et \( x_0 \) est donc un point d'accumulation de \( A \).
Cette caractérisation constitue l'un des principaux liens entre la théorie des ensembles et l'étude des suites.
Ensemble dérivé et ensembles fermés
L'ensemble de tous les points d'accumulation d'un ensemble \( A \subseteq \mathbb R \) est appelé ensemble dérivé de \( A \) et se note \( A' \).
En symboles,
\[ A'=\{x\in\mathbb R : x \text{ est un point d'accumulation de } A\}. \]
L'ensemble dérivé décrit le comportement de \( A \) dans ses environs et rassemble tous les points autour desquels l'ensemble se concentre.
Remarquons que les points de \( A' \) n'appartiennent pas nécessairement à \( A \). Par exemple, si \( A=(0,1) \), alors \( 0 \) et \( 1 \) appartiennent à \( A' \) bien qu'ils n'appartiennent pas à l'ensemble.
Voyons quelques exemples.
- Si \( A=(0,1) \), alors \[ A'=[0,1]. \]
- Si \( A=\mathbb Z \), alors \[ A'=\varnothing, \] puisque tout entier est un point isolé.
- Si \[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}, \] alors \[ A'=\{0\}. \]
La notion d'ensemble dérivé permet de caractériser simplement les ensembles fermés.
Théorème. Un ensemble \( A\subseteq\mathbb R \) est fermé si et seulement s'il contient tous ses points d'accumulation.
De manière équivalente,
\[ A \text{ est fermé} \quad\Longleftrightarrow\quad A'\subseteq A. \]
Autrement dit, un ensemble est fermé lorsqu'il ne « perd » aucun point vers lequel ses éléments pourraient s'accumuler.
Par exemple, l'intervalle fermé \( [0,1] \) contient tous ses points d'accumulation et constitue donc un ensemble fermé. En revanche,
\[ (0,1) \]
n'est pas fermé, puisque les points \(0\) et \(1\) sont des points d'accumulation mais n'appartiennent pas à l'ensemble.
Les points d'accumulation jouent un rôle fondamental en analyse mathématique. L'un des théorèmes les plus importants de l'analyse réelle, le théorème de Bolzano-Weierstrass, affirme en effet que toute partie infinie et bornée de \( \mathbb R \) possède au moins un point d'accumulation.
Ce résultat souligne combien la présence de points d'accumulation est une propriété intrinsèque des ensembles infinis bornés, et il constitue l'un des piliers de l'analyse mathématique.