Un recueil progressif de 20 exercices résolus sur les inégalités exponentielles, conçu pour apprendre à utiliser correctement la monotonie de ces fonctions, à reconnaître quand le sens de l'inégalité est conservé et quand il est inversé.
Dans chaque exercice, nous ferons appel aux propriétés des puissances, à la réduction à la même base et, si nécessaire, à la méthode de substitution.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre
\[ 2^x>8 \]
Résultat
\[ S=(3,+\infty) \]
Solution
Écrivons \(8\) comme puissance de \(2\) :
\[ 8=2^3 \]
L'inégalité devient :
\[ 2^x>2^3 \]
Puisque \(2>1\), la fonction exponentielle \(2^x\) est strictement croissante. On peut donc comparer les exposants en conservant le même sens :
\[ x>3 \]
On obtient ainsi :
\[ S=(3,+\infty) \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre :
\[ 3^{x-1}\le 27 \]
Résultat
\[ S=(-\infty,4] \]
Solution
Écrivons \(27\) comme puissance de \(3\) :
\[ 27=3^3 \]
On obtient :
\[ 3^{x-1}\le 3^3 \]
Puisque \(3>1\), la fonction exponentielle est croissante. Le sens de l'inégalité est conservé :
\[ x-1\le 3 \]
Donc :
\[ x\le 4 \]
On obtient ainsi :
\[ S=(-\infty,4] \]
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre :
\[ \left(\frac12\right)^x>\frac1{16} \]
Résultat
\[ S=(-\infty,4) \]
Solution
Écrivons le membre de droite comme puissance de \(\frac12\) :
\[ \frac1{16}=\left(\frac12\right)^4 \]
L'inégalité devient :
\[ \left(\frac12\right)^x>\left(\frac12\right)^4 \]
Puisque :
\[ 0<\frac12<1 \]
la fonction exponentielle est strictement décroissante. Par conséquent, en comparant les exposants, le sens de l'inégalité est inversé :
\[ x<4 \]
On obtient ainsi :
\[ S=(-\infty,4) \]
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[ 5^{2x+1}\ge 5^{x-3} \]
Résultat
\[ S=[-4,+\infty) \]
Solution
Les deux puissances ont la même base \(5\). Puisque \(5>1\), la fonction exponentielle est croissante.
On peut donc comparer les exposants en conservant le même sens :
\[ 2x+1\ge x-3 \]
En soustrayant \(x\) des deux membres :
\[ x+1\ge -3 \]
Donc :
\[ x\ge -4 \]
On obtient ainsi :
\[ S=[-4,+\infty) \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[ \left(\frac13\right)^{x+2}\le \left(\frac13\right)^{2x-1} \]
Résultat
\[ S=(-\infty,3] \]
Solution
La base est \(\frac13\), donc :
\[ 0<\frac13<1 \]
La fonction exponentielle est décroissante. Par conséquent, en passant des expressions exponentielles aux exposants, le sens de l'inégalité est inversé.
De :
\[ \left(\frac13\right)^{x+2}\le \left(\frac13\right)^{2x-1} \]
on obtient :
\[ x+2\ge 2x-1 \]
Donc :
\[ 3\ge x \]
soit :
\[ x\le 3 \]
On obtient ainsi :
\[ S=(-\infty,3] \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[ 4^x>2^{3x} \]
Résultat
\[ S=(-\infty,0) \]
Solution
Écrivons \(4\) comme puissance de \(2\) :
\[ 4=2^2 \]
Alors :
\[ 4^x=(2^2)^x=2^{2x} \]
L'inégalité devient :
\[ 2^{2x}>2^{3x} \]
Puisque \(2>1\), la fonction exponentielle \(2^x\) est strictement croissante. On peut donc comparer les exposants en conservant le même sens :
\[ 2x>3x \]
En soustrayant \(3x\) des deux membres :
\[ -x>0 \]
En multipliant par \(-1\), le sens de l'inégalité est inversé :
\[ x<0 \]
On obtient ainsi :
\[ S=(-\infty,0) \]
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[ 9^x\le 3^{x+4} \]
Résultat
\[ S=(-\infty,4] \]
Solution
Écrivons \(9\) comme puissance de \(3\) :
\[ 9=3^2 \]
Ainsi :
\[ 9^x=(3^2)^x=3^{2x} \]
L'inégalité devient :
\[ 3^{2x}\le 3^{x+4} \]
Puisque \(3>1\), on compare les exposants en conservant le sens de l'inégalité :
\[ 2x\le x+4 \]
Donc :
\[ x\le 4 \]
On obtient ainsi :
\[ S=(-\infty,4] \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[ 2^{x+2}-2^x>12 \]
Résultat
\[ S=(2,+\infty) \]
Solution
Réécrivons le premier terme :
\[ 2^{x+2}=2^x\cdot 2^2=4\cdot 2^x \]
L'inégalité devient :
\[ 4\cdot 2^x-2^x>12 \]
Factorisons \(2^x\) :
\[ 2^x(4-1)>12 \]
soit :
\[ 3\cdot 2^x>12 \]
On divise par \(3\), qui est positif :
\[ 2^x>4 \]
Puisque \(4=2^2\), on obtient :
\[ 2^x>2^2 \]
Comme \(2>1\), la fonction exponentielle est croissante :
\[ x>2 \]
On obtient ainsi :
\[ S=(2,+\infty) \]
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[ 3^{x+1}+3^x\le 36 \]
Résultat
\[ S=(-\infty,2] \]
Solution
Réécrivons :
\[ 3^{x+1}=3\cdot 3^x \]
Ainsi :
\[ 3^{x+1}+3^x=3\cdot 3^x+3^x=4\cdot 3^x \]
L'inégalité devient :
\[ 4\cdot 3^x\le 36 \]
On divise par \(4\), qui est positif :
\[ 3^x\le 9 \]
Puisque \(9=3^2\), on obtient :
\[ 3^x\le 3^2 \]
Comme \(3>1\), on compare les exposants :
\[ x\le 2 \]
On obtient ainsi :
\[ S=(-\infty,2] \]
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
Résoudre :
\[ 2^{2x}-5\cdot 2^x+4\le 0 \]
Résultat
\[ S=[0,2] \]
Solution
Posons :
\[ t=2^x \]
Puisque \(2^x>0\), on a :
\[ t>0 \]
De plus :
\[ 2^{2x}=(2^x)^2=t^2 \]
L'inégalité devient :
\[ t^2-5t+4\le 0 \]
Factorisons :
\[ t^2-5t+4=(t-1)(t-4) \]
Donc :
\[ (t-1)(t-4)\le 0 \]
Le produit est négatif ou nul entre les deux racines :
\[ 1\le t\le 4 \]
En revenant à \(x\) :
\[ 1\le 2^x\le 4 \]
Écrivons :
\[ 1=2^0,\qquad 4=2^2 \]
Puisque \(2>1\), on obtient :
\[ 0\le x\le 2 \]
On obtient ainsi :
\[ S=[0,2] \]
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Résoudre :
\[ 3^{2x}-4\cdot 3^x+3>0 \]
Résultat
\[ S=(-\infty,0)\cup(1,+\infty) \]
Solution
Posons :
\[ t=3^x \]
Puisque \(3^x>0\), on a :
\[ t>0 \]
De plus :
\[ 3^{2x}=(3^x)^2=t^2 \]
L'inégalité devient :
\[ t^2-4t+3>0 \]
Factorisons :
\[ t^2-4t+3=(t-1)(t-3) \]
Donc :
\[ (t-1)(t-3)>0 \]
Le produit est positif à l'extérieur des racines :
\[ t<1 \quad \text{ou} \quad t>3 \]
En tenant compte du fait que \(t > 0\), la première condition donne :
\[ 0<t<1 \]
En revenant à \(x\) :
\[ 3^x<1 \quad \text{ou} \quad 3^x>3 \]
Écrivons :
\[ 1=3^0,\qquad 3=3^1 \]
Puisque \(3>1\), on obtient :
\[ x<0 \quad \text{ou} \quad x>1 \]
On obtient ainsi :
\[ S=(-\infty,0)\cup(1,+\infty) \]
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Résoudre :
\[ 4^x-6\cdot 2^x+8\ge 0 \]
Résultat
\[ S=(-\infty,1]\cup[2,+\infty) \]
Solution
Remarquons que :
\[ 4^x=(2^2)^x=2^{2x}=(2^x)^2 \]
Posons :
\[ t=2^x \]
avec :
\[ t>0 \]
L'inégalité devient :
\[ t^2-6t+8\ge 0 \]
Factorisons :
\[ t^2-6t+8=(t-2)(t-4) \]
Donc :
\[ (t-2)(t-4)\ge 0 \]
Le produit est positif ou nul à l'extérieur des racines :
\[ t\le 2 \quad \text{ou} \quad t\ge 4 \]
En revenant à \(x\) :
\[ 2^x\le 2 \quad \text{ou} \quad 2^x\ge 4 \]
Puisque :
\[ 2=2^1,\qquad 4=2^2 \]
et que \(2>1\), on obtient :
\[ x\le 1 \quad \text{ou} \quad x\ge 2 \]
On obtient ainsi :
\[ S=(-\infty,1]\cup[2,+\infty) \]
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Résoudre :
\[ \frac{2^x-4}{2^x+1}\ge 0 \]
Résultat
\[ S=[2,+\infty) \]
Solution
Posons :
\[ t=2^x \]
Puisque \(2^x>0\), on a :
\[ t>0 \]
L'inégalité devient :
\[ \frac{t-4}{t+1}\ge 0 \]
Puisque \(t>0\), le dénominateur est toujours positif :
\[ t+1>0 \]
Ainsi, le signe de la fraction dépend uniquement du numérateur :
\[ t-4\ge 0 \]
soit :
\[ t\ge 4 \]
En revenant à \(x\) :
\[ 2^x\ge 4 \]
Puisque \(4=2^2\) et \(2>1\), on obtient :
\[ x\ge 2 \]
On obtient ainsi :
\[ S=[2,+\infty) \]
Exercice 14 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[ \frac{3^x-9}{3^x-1}<0 \]
Résultat
\[ S=(0,2) \]
Solution
Posons :
\[ t=3^x \]
Puisque \(3^x>0\), on a :
\[ t>0 \]
L'inégalité devient :
\[ \frac{t-9}{t-1}<0 \]
Les valeurs critiques sont :
\[ t=1,\qquad t=9 \]
La valeur \(t=1\) annule le dénominateur et est donc exclue. La valeur \(t=9\) annule le numérateur.
Pour \(t>0\), étudions les intervalles :
\[ (0,1),\qquad (1,9),\qquad (9,+\infty) \]
Le tableau de signes est :
\[ \begin{array}{c|ccc} t & (0,1) & (1,9) & (9,+\infty)\\ \hline t-9 & - & - & +\\ t-1 & - & + & +\\ \hline \dfrac{t-9}{t-1} & + & - & + \end{array} \]
La fraction doit être négative, donc :
\[ 1<t<9 \]
En revenant à la variable \(x\) :
\[ 1<3^x<9 \]
Écrivons :
\[ 1=3^0,\qquad 9=3^2 \]
Ainsi :
\[ 3^0<3^x<3^2 \]
Puisque \(3>1\), on obtient :
\[ 0<x<2 \]
On obtient ainsi :
\[ S=(0,2) \]
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[ 2^{x+1}+2^{1-x}\le 5 \]
Résultat
\[ S=[-1,1] \]
Solution
Posons :
\[ t=2^x \]
Puisque \(2^x>0\), on a :
\[ t>0 \]
Réécrivons les deux termes :
\[ 2^{x+1}=2\cdot 2^x=2t \]
De plus :
\[ 2^{1-x}=2\cdot 2^{-x}=\frac{2}{2^x}=\frac{2}{t} \]
L'inégalité devient :
\[ 2t+\frac{2}{t}\le 5 \]
Puisque \(t>0\), on peut multiplier par \(t\) sans changer le sens de l'inégalité :
\[ 2t^2+2\le 5t \]
En ramenant tout au membre de gauche :
\[ 2t^2-5t+2\le 0 \]
Factorisons :
\[ 2t^2-5t+2=(2t-1)(t-2) \]
Donc :
\[ (2t-1)(t-2)\le 0 \]
Le produit est négatif ou nul entre les deux racines :
\[ \frac12\le t\le 2 \]
En revenant à \(x\) :
\[ \frac12\le 2^x\le 2 \]
Écrivons :
\[ \frac12=2^{-1},\qquad 2=2^1 \]
Puisque \(2>1\), on obtient :
\[ -1\le x\le 1 \]
On obtient ainsi :
\[ S=[-1,1] \]
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[ 9^x-10\cdot 3^x+9\ge 0 \]
Résultat
\[ S=(-\infty,0]\cup[2,+\infty) \]
Solution
Remarquons que :
\[ 9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2 \]
Posons :
\[ t=3^x \]
avec :
\[ t>0 \]
L'inégalité devient :
\[ t^2-10t+9\ge 0 \]
Factorisons :
\[ t^2-10t+9=(t-1)(t-9) \]
Donc :
\[ (t-1)(t-9)\ge 0 \]
Le produit est positif ou nul à l'extérieur des racines :
\[ t\le 1 \quad \text{ou} \quad t\ge 9 \]
En revenant à \(x\) :
\[ 3^x\le 1 \quad \text{ou} \quad 3^x\ge 9 \]
Puisque :
\[ 1=3^0,\qquad 9=3^2 \]
et que \(3>1\), on obtient :
\[ x\le 0 \quad \text{ou} \quad x\ge 2 \]
On obtient ainsi :
\[ S=(-\infty,0]\cup[2,+\infty) \]
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[ \left(\frac14\right)^x-5\left(\frac12\right)^x+4\le 0 \]
Résultat
\[ S=[-2,0] \]
Solution
Exprimons tout en fonction de \(\left(\frac12\right)^x\).
Puisque :
\[ \frac14=\left(\frac12\right)^2 \]
on a :
\[ \left(\frac14\right)^x=\left(\frac12\right)^{2x} \]
Posons :
\[ t=\left(\frac12\right)^x \]
avec :
\[ t>0 \]
Alors :
\[ \left(\frac12\right)^{2x}=t^2 \]
L'inégalité devient :
\[ t^2-5t+4\le 0 \]
Factorisons :
\[ t^2-5t+4=(t-1)(t-4) \]
Donc :
\[ (t-1)(t-4)\le 0 \]
Le produit est négatif ou nul entre les racines :
\[ 1\le t\le 4 \]
En revenant à \(x\) :
\[ 1\le \left(\frac12\right)^x\le 4 \]
Écrivons les bornes comme puissances de \(\frac12\) :
\[ 1=\left(\frac12\right)^0,\qquad 4=\left(\frac12\right)^{-2} \]
Puisque la base \(\frac12\) est comprise entre \(0\) et \(1\), la fonction est décroissante. C'est pourquoi l'ordre sur les exposants est inversé.
Résolvons séparément :
\[ \left(\frac12\right)^x\ge 1 \]
et :
\[ \left(\frac12\right)^x\le 4 \]
Puisque :
\[ 1=\left(\frac12\right)^0,\qquad 4=\left(\frac12\right)^{-2} \]
et que la fonction exponentielle de base \(\frac12\) est décroissante, on obtient :
\[ x\le 0 \]
et :
\[ x\ge -2 \]
En prenant l'intersection :
\[ -2\le x\le 0 \]
On obtient ainsi :
\[ S=[-2,0] \]
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[ \begin{cases} 2^x>4\\ 3^{x-1}\le 9 \end{cases} \]
Résultat
\[ S=(2,3] \]
Solution
Résolvons séparément les deux inégalités.
Première inégalité :
\[ 2^x>4 \]
Puisque \(4=2^2\), on a :
\[ 2^x>2^2 \]
Comme \(2>1\), on obtient :
\[ x>2 \]
Deuxième inégalité :
\[ 3^{x-1}\le 9 \]
Puisque \(9=3^2\), on obtient :
\[ 3^{x-1}\le 3^2 \]
Comme \(3>1\), on compare les exposants :
\[ x-1\le 2 \]
Donc :
\[ x\le 3 \]
On prend l'intersection des deux conditions :
\[ x>2 \quad \text{et} \quad x\le 3 \]
On obtient :
\[ 2<x\le 3 \]
On obtient ainsi :
\[ S=(2,3] \]
Exercice 19 — niveau ★★★★★
Résoudre :
\[ \frac{2^{2x}-5\cdot 2^x+4}{2^x-2}\ge 0 \]
Résultat
\[ S=[0,1)\cup[2,+\infty) \]
Solution
Posons :
\[ t=2^x \]
Puisque \(2^x>0\), on a :
\[ t>0 \]
De plus :
\[ 2^{2x}=(2^x)^2=t^2 \]
L'inégalité devient :
\[ \frac{t^2-5t+4}{t-2}\ge 0 \]
Factorisons le numérateur :
\[ t^2-5t+4=(t-1)(t-4) \]
Donc :
\[ \frac{(t-1)(t-4)}{t-2}\ge 0 \]
Les valeurs critiques sont :
\[ t=1,\qquad t=2,\qquad t=4 \]
La valeur \(t=2\) annule le dénominateur et doit donc être exclue.
Étudions le signe pour \(t>0\) :
\[ \begin{array}{c|cccc} t & (0,1) & (1,2) & (2,4) & (4,+\infty)\\ \hline t-1 & - & + & + & +\\ t-4 & - & - & - & +\\ t-2 & - & - & + & +\\ \hline \dfrac{(t-1)(t-4)}{t-2} & - & + & - & + \end{array} \]
Puisque l'on cherche une fraction positive ou nulle, on retient les intervalles où le signe est positif et on inclut les zéros du numérateur :
\[ 1\le t<2 \quad \text{ou} \quad t\ge 4 \]
La valeur \(t=2\) reste exclue car elle annule le dénominateur.
En revenant à \(x\) :
\[ 1\le 2^x<2 \quad \text{ou} \quad 2^x\ge 4 \]
Écrivons :
\[ 1=2^0,\qquad 2=2^1,\qquad 4=2^2 \]
Puisque \(2>1\), on obtient :
\[ 0\le x<1 \quad \text{ou} \quad x\ge 2 \]
On obtient ainsi :
\[ S=[0,1)\cup[2,+\infty) \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Résoudre :
\[ 4^x-3\cdot 2^{x+1}+8<0 \]
Résultat
\[ S=(1,2) \]
Solution
Exprimons tout en fonction de \(2^x\).
Puisque :
\[ 4^x=(2^2)^x=2^{2x}=(2^x)^2 \]
et :
\[ 2^{x+1}=2\cdot 2^x \]
posons :
\[ t=2^x \]
avec :
\[ t>0 \]
L'inégalité devient :
\[ t^2-6t+8<0 \]
Factorisons :
\[ t^2-6t+8=(t-2)(t-4) \]
Donc :
\[ (t-2)(t-4)<0 \]
Le produit est négatif entre les deux racines :
\[ 2<t<4 \]
En revenant à \(x\) :
\[ 2<2^x<4 \]
Écrivons :
\[ 2=2^1,\qquad 4=2^2 \]
Puisque \(2>1\), on obtient :
\[ 1<x<2 \]
On obtient ainsi :
\[ S=(1,2) \]