Exercice du 15/04/2026 - 09:00 — niveau ★☆☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=2x+1 \]
Résultat
La fonction est bijective.
Résolution
Injectivité
Pour vérifier l'injectivité, supposons que deux éléments aient la même image :
\[ f(x_1)=f(x_2) \implies 2x_1+1=2x_2+1 \]
En simplifiant le terme constant, on obtient :
\[ 2x_1=2x_2 \implies x_1=x_2 \]
Des éléments distincts ne peuvent donc pas avoir la même image : la fonction est injective.
Surjectivité
Pour étudier la surjectivité, prenons un réel \(y\) quelconque et cherchons s'il existe un \(x\) tel que \(f(x)=y\) :
\[ y=2x+1 \]
En résolvant par rapport à \(x\) :
\[ x=\frac{y-1}{2} \]
Cette valeur est toujours réelle, donc tout nombre réel est l'image d'au moins un élément du domaine. La fonction est surjective.
Conclusion
Étant à la fois injective et surjective, la fonction est bijective.
\[ \boxed{f \text{ est bijective}} \]
Exercice du 15/04/2026 - 09:30 — niveau ★☆☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=x^2 \]
Résultat
Ni injective ni surjective (sur \(\mathbb{R}\)).
Résolution
Injectivité
Il suffit d'exhiber deux éléments distincts ayant la même image. Par exemple :
\[ f(1)=1, \qquad f(-1)=1 \]
Puisque \(1\neq -1\) mais que leurs images coïncident, la fonction n'est pas injective.
Surjectivité
Le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul :
\[ x^2 \ge 0 \quad \forall x\in\mathbb{R} \]
L'image de la fonction est donc contenue dans \([0,+\infty)\). En particulier, aucun nombre négatif n'est l'image d'un \(x\).
La fonction n'est donc pas surjective sur \(\mathbb{R}\).
Conclusion
\[ \boxed{f \text{ n'est ni injective ni surjective}} \]
Exercice du 15/04/2026 - 10:00 — niveau ★☆☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=x^3 \]
Résultat
La fonction est bijective.
Résolution
Injectivité
Supposons que :
\[ f(x_1)=f(x_2) \implies x_1^3=x_2^3 \]
La fonction cubique étant strictement croissante, cette égalité implique nécessairement :
\[ x_1=x_2 \]
La fonction est donc injective.
Surjectivité
Prenons un réel \(y\in\mathbb{R}\) quelconque et considérons l'équation :
\[ y=x^3 \]
Elle admet toujours une solution réelle :
\[ x=\sqrt[3]{y} \]
Tout nombre réel est donc l'image d'un certain \(x\), et la fonction est surjective.
Conclusion
\[ \boxed{f \text{ est bijective}} \]
Exercice du 15/04/2026 - 10:30 — niveau ★☆☆☆☆
\[ f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}, \quad f(n)=n+1 \]
Résultat
Injective mais pas surjective.
Résolution
Injectivité
Supposons que deux entiers naturels aient la même image :
\[ f(n_1)=f(n_2) \implies n_1+1=n_2+1 \]
Il s'ensuit immédiatement :
\[ n_1=n_2 \]
La fonction est donc injective.
Surjectivité
La valeur \(0\) (ou \(1\), selon la définition de \(\mathbb{N}\)) n'est l'image d'aucun entier naturel.
En effet, il n'existe aucun \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(n+1=0\).
La fonction n'est donc pas surjective.
Conclusion
\[ \boxed{f \text{ est injective mais pas surjective}} \]
Exercice du 15/04/2026 - 11:00 — niveau ★☆☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=5 \]
Résultat
Ni injective ni surjective.
Résolution
Injectivité
La fonction associe à tout réel la même valeur :
\[ f(x)=5 \quad \forall x\in\mathbb{R} \]
Des éléments distincts partagent donc la même image. La fonction n'est pas injective.
Surjectivité
L'image de la fonction se réduit à l'unique valeur \(5\) :
\[ \operatorname{Im}(f)=\{5\} \]
Cet ensemble ne coïncidant pas avec \(\mathbb{R}\), la fonction n'est pas surjective.
Conclusion
\[ \boxed{f \text{ n'est ni injective ni surjective}} \]
Exercice du 15/04/2026 - 11:30 — niveau ★★☆☆☆
\[ f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}, \quad f(n)=2n \]
Résultat
Injective mais pas surjective.
Résolution
Injectivité
Supposons :
\[ f(n_1)=f(n_2) \implies 2n_1=2n_2 \]
En divisant par \(2\), on obtient :
\[ n_1=n_2 \]
La fonction est donc injective.
Surjectivité
Les valeurs prises par la fonction sont exactement les entiers pairs :
\[ \operatorname{Im}(f)=\{2n \mid n\in\mathbb{Z}\} \]
Les entiers impairs ne sont l'image d'aucun élément du domaine, donc la fonction n'est pas surjective.
Conclusion
\[ \boxed{f \text{ est injective mais pas surjective}} \]
Exercice du 15/04/2026 - 12:00 — niveau ★★☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=x^2+1 \]
Résultat
Ni injective ni surjective.
Résolution
Injectivité
Comme dans le cas de \(x^2\), on a :
\[ f(1)=2,\qquad f(-1)=2 \]
Des éléments distincts ont la même image, donc la fonction n'est pas injective.
Surjectivité
On observe que :
\[ x^2 \ge 0 \implies x^2+1 \ge 1 \]
Par conséquent :
\[ \operatorname{Im}(f)=[1,+\infty) \]
Les nombres inférieurs à \(1\) ne sont jamais atteints, donc la fonction n'est pas surjective.
Conclusion
\[ \boxed{f \text{ n'est ni injective ni surjective}} \]
Exercice du 15/04/2026 - 12:30 — niveau ★★☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to[0,+\infty), \quad f(x)=x^2 \]
Résultat
Surjective mais pas injective.
Résolution
Injectivité
Comme déjà observé :
\[ f(1)=f(-1)=1 \]
avec \(1\neq -1\), donc la fonction n'est pas injective.
Surjectivité
L'ensemble d'arrivée est désormais \([0,+\infty)\). Soit \(y\ge 0\) ; vérifions qu'il existe un \(x\) tel que :
\[ y=x^2 \]
Cette équation admet toujours une solution réelle :
\[ x=\pm\sqrt{y} \]
Tout élément de l'ensemble d'arrivée est donc effectivement atteint, et la fonction est surjective.
Conclusion
\[ \boxed{f \text{ est surjective mais pas injective}} \]
Exercice du 15/04/2026 - 13:00 — niveau ★★☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)= \begin{cases} x & x\ge 0 \\ -x & x<0 \end{cases} \]
Résultat
Ni injective ni surjective.
Résolution
Interprétation
Cette fonction coïncide avec la valeur absolue :
\[ f(x)=|x| \]
Injectivité
Par exemple :
\[ f(1)=1,\qquad f(-1)=1 \]
avec des éléments distincts du domaine. La fonction n'est donc pas injective.
Surjectivité
Puisque \(|x|\ge 0\), l'image est :
\[ \operatorname{Im}(f)=[0,+\infty) \]
Les nombres négatifs ne sont jamais atteints, donc la fonction n'est pas surjective sur \(\mathbb{R}\).
Conclusion
\[ \boxed{f \text{ n'est ni injective ni surjective}} \]
Exercice du 15/04/2026 - 13:30 — niveau ★★☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=e^x \]
Résultat
Injective mais pas surjective.
Résolution
Injectivité
La fonction exponentielle est strictement croissante sur tout \(\mathbb{R}\). Cela signifie que, si \(x_1<x_2\), alors :
\[ e^{x_1} < e^{x_2} \]
Il est donc impossible que deux éléments distincts aient la même image. La fonction est injective.
Surjectivité
On observe que :
\[ e^x > 0 \quad \forall x\in\mathbb{R} \]
L'image de la fonction est donc :
\[ \operatorname{Im}(f)=(0,+\infty) \]
Les nombres négatifs et le zéro ne sont jamais atteints, donc tous les réels ne sont pas des images.
La fonction n'est pas surjective sur \(\mathbb{R}\).
Conclusion
\[ \boxed{f \text{ est injective mais pas surjective}} \]
Exercice du 15/04/2026 - 14:00 — niveau ★★☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to(0,+\infty), \quad f(x)=e^x \]
Résultat
La fonction est bijective.
Résolution
Injectivité
Comme déjà remarqué, la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), ce qui implique que des éléments distincts du domaine produisent des images distinctes.
La fonction est donc injective.
Surjectivité
L'ensemble d'arrivée est \((0,+\infty)\). Soit \(y>0\) ; vérifions qu'il existe un \(x\) tel que :
\[ y=e^x \]
En résolvant :
\[ x=\ln(y) \]
Le logarithme naturel étant défini pour tout \(y>0\), tout élément de l'ensemble d'arrivée est l'image d'un certain \(x\).
La fonction est surjective.
Conclusion
\[ \boxed{f \text{ est bijective}} \]
Exercice du 15/04/2026 - 14:30 — niveau ★★☆☆☆
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\ln(x) \]
Résultat
La fonction est bijective.
Résolution
Injectivité
Le logarithme naturel est strictement croissant sur son domaine \((0,+\infty)\), donc des éléments distincts produisent des images distinctes.
La fonction est injective.
Surjectivité
Soit \(y\in\mathbb{R}\). Considérons :
\[ y=\ln(x) \]
En résolvant :
\[ x=e^y \]
Puisque \(e^y>0\), il existe toujours un élément du domaine dont l'image est \(y\).
La fonction est donc surjective.
Conclusion
\[ \boxed{f \text{ est bijective}} \]
Exercice du 15/04/2026 - 15:00 — niveau ★★★☆☆
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\sqrt{x} \]
Résultat
Injective mais pas surjective.
Résolution
Injectivité
La fonction racine carrée est croissante sur \([0,+\infty)\), donc des éléments distincts produisent des images distinctes.
Elle est donc injective.
Surjectivité
On a :
\[ \sqrt{x} \ge 0 \]
L'image est donc \([0,+\infty)\), qui ne coïncide pas avec \(\mathbb{R}\).
Les nombres négatifs ne sont jamais atteints, donc la fonction n'est pas surjective.
Conclusion
\[ \boxed{f \text{ est injective mais pas surjective}} \]
Exercice du 15/04/2026 - 15:30 — niveau ★★★☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=x^3-x \]
Résultat
Surjective mais pas injective.
Résolution
Injectivité
La fonction n'est pas monotone sur tout \(\mathbb{R}\). Il existe par exemple des valeurs distinctes ayant la même image (la courbe présente un profil en « S »).
La fonction n'est donc pas injective.
Surjectivité
S'agissant d'un polynôme de degré impair, on a :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \]
De plus, la fonction est continue, donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, elle prend toutes les valeurs réelles.
Elle est donc surjective.
Conclusion
\[ \boxed{f \text{ est surjective mais pas injective}} \]
Exercice du 15/04/2026 - 16:00 — niveau ★★★☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=ax+1 \]
Résultat
Bijective si et seulement si \(a\neq 0\).
Résolution
Injectivité
Supposons :
\[ ax_1+1=ax_2+1 \implies ax_1=ax_2 \]
Si \(a\neq 0\), en divisant on obtient \(x_1=x_2\), donc la fonction est injective. Si \(a=0\), la fonction est constante et donc pas injective.
Surjectivité
En résolvant \(y=ax+1\) :
\[ x=\frac{y-1}{a} \]
Cette solution n'existe pour tout \(y\) que si \(a\neq 0\).
Conclusion
\[ \boxed{f \text{ est bijective} \iff a\neq 0} \]
Exercice du 15/04/2026 - 16:30 — niveau ★★★☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=x^2+ax \]
Résultat
Jamais injective sur \(\mathbb{R}\).
Résolution
Injectivité
Il s'agit d'un polynôme de degré deux dont la représentation graphique est une parabole : il n'est donc pas monotone sur tout \(\mathbb{R}\).
Il existe donc toujours deux éléments distincts ayant la même image.
La fonction n'est jamais injective, quelle que soit la valeur de \(a\).
Conclusion
\[ \boxed{f \text{ n'est jamais injective}} \]
Exercice du 15/04/2026 - 17:00 — niveau ★★★☆☆
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{1}{x-1} \]
Résultat
Injective mais pas surjective.
Résolution
Injectivité
Supposons :
\[ \frac{1}{x_1-1}=\frac{1}{x_2-1} \]
Il s'ensuit :
\[ x_1-1=x_2-1 \implies x_1=x_2 \]
La fonction est donc injective.
Surjectivité
La fonction ne prend jamais la valeur \(0\), car une fraction de numérateur \(1\) ne peut être nulle.
Par conséquent :
\[ 0 \notin \operatorname{Im}(f) \]
La fonction n'est pas surjective sur \(\mathbb{R}\).
Conclusion
\[ \boxed{f \text{ est injective mais pas surjective}} \]
Exercice du 15/04/2026 - 17:30 — niveau ★★★☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\arctan(x) \]
Résultat
Injective mais pas surjective.
Résolution
Injectivité
La fonction arctangente est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), donc elle est injective.
Surjectivité
On a :
\[ \operatorname{Im}(f)=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \]
Cet intervalle ne coïncidant pas avec \(\mathbb{R}\), la fonction n'est pas surjective.
Conclusion
\[ \boxed{f \text{ est injective mais pas surjective}} \]
Injectivité
Sur chacun des deux sous-intervalles la fonction est croissante, et les images des deux branches ne se chevauchent pas.
La fonction est donc injective.
Surjectivité
L'image est :
\[ (-\infty,0)\cup[0,+\infty) = \mathbb{R} \]
Le zéro étant inclus, tous les réels sont atteints. Les valeurs négatives sont obtenues par la branche linéaire, les valeurs positives ou nulles par la branche quadratique.
La fonction est donc surjective.
Conclusion
\[ \boxed{f \text{ est bijective}} \]
Exercice du 15/04/2026 - 18:30 — niveau ★★★☆☆
\[ f:A\to B,\quad A=\{1,2,3,4\},\quad B=\{a,b,c\} \] \[ f(1)=a,\quad f(2)=b,\quad f(3)=c,\quad f(4)=a \]
Résultat
Surjective mais pas injective.
Résolution
Injectivité
On observe que :
\[ f(1)=a,\qquad f(4)=a \]
avec \(1\neq 4\), donc la fonction n'est pas injective.
Surjectivité
Tout élément de \(B\) est l'image d'au moins un élément de \(A\) :
\[ a,b,c \in \operatorname{Im}(f) \]
La fonction est donc surjective.
Conclusion
\[ \boxed{f \text{ est surjective mais pas injective}} \]
Exercice du 15/04/2026 - 19:00 — niveau ★★★★☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=x^3-3x \]
Résultat
Surjective mais pas injective.
Résolution
Injectivité
La fonction n'est pas monotone sur tout \(\mathbb{R}\) : elle admet un maximum local et un minimum local, donc il existe des éléments distincts ayant la même image.
Elle n'est donc pas injective.
Surjectivité
S'agissant d'un polynôme de degré impair, on a :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \]
Par continuité, la fonction prend toutes les valeurs réelles.
Conclusion
\[ \boxed{f \text{ est surjective mais pas injective}} \]
Exercice du 15/04/2026 - 19:30 — niveau ★★★★☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{x}{1+x^2} \]
Résultat
Ni injective ni surjective.
Résolution
Injectivité
La fonction n'est pas monotone sur tout \(\mathbb{R}\) (elle croît puis décroît), donc il existe des éléments distincts ayant la même image.
Surjectivité
On peut vérifier que :
\[ -\frac{1}{2} \le f(x) \le \frac{1}{2} \]
L'image est donc un intervalle borné qui ne coïncide pas avec \(\mathbb{R}\).
Conclusion
\[ \boxed{f \text{ n'est ni injective ni surjective}} \]
Exercice du 15/04/2026 - 20:00 — niveau ★★★★☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\ln(x^2+1) \]
Résultat
Ni injective ni surjective.
Résolution
Injectivité
Comme \(x^2\) est une fonction paire, on a :
\[ f(x)=f(-x) \]
avec \(x\neq -x\) (si \(x\neq 0\)), donc la fonction n'est pas injective.
Surjectivité
On a :
\[ x^2+1 \ge 1 \implies \ln(x^2+1) \ge 0 \]
Par conséquent :
\[ \operatorname{Im}(f)=[0,+\infty) \]
Les valeurs négatives ne sont jamais atteintes.
Conclusion
\[ \boxed{f \text{ n'est ni injective ni surjective}} \]
Exercice du 15/04/2026 - 20:30 — niveau ★★★★☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=e^x+x \]
Résultat
La fonction est bijective.
Résolution
Injectivité
La somme de deux fonctions strictement croissantes est encore strictement croissante. Comme \(e^x\) et \(x\) sont toutes deux strictement croissantes, \(f(x)\) l'est également.
Surjectivité
On a :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \]
Continue et de limites opposées aux extrémités, la fonction prend toutes les valeurs réelles.
Conclusion
\[ \boxed{f \text{ est bijective}} \]