Exercices Résolus sur la Division de Polynômes

\[ Q(x)=x+3,\quad R(x)=0 \]

Idée de résolution

Le dividende se factorise en \((x+2)(x+3)\): la division sera exacte. L'algorithme le confirme en deux étapes seulement.

Étape 1

Je divise le terme de plus haut degré : \(x^2\div x=x\). Je multiplie : \(x(x+2)=x^2+2x\). Je change les signes et j'additionne : \(x^2\) s'annule. Polynôme restant : \(3x+6\).

Étape 2

I divide: \(3x\div x=3\). Je multiplie : \(3(x+2)=3x+6\). Je change les signes : \(3x\) and \(6\) cancel. Reste : \(0\).

Schéma complet

Résultat

\[ \boxed{Q(x)=x+3,\quad R(x)=0} \]

Vérification : \( (x+2)(x+3)=x^2+5x+6\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x+3,\quad R(x)=0 \]

Idée de résolution

Nous reconnaissons la forme \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) avec \(a=x\) et \(b=3\). Le terme \(0x\) doit être inséré comme espace réservé.

Étape 1

I divide: \(x^2\div x=x\). Je multiplie : \(x(x-3)=x^2-3x\). Je change les signes : \(x^2\) s'annule. Reste intermédiaire : \(3x-9\).

Étape 2

I divide: \(3x\div x=3\). Je multiplie : \(3(x-3)=3x-9\). Je change les signes : \(3x\) and \(-9\) cancel. Reste : \(0\).

Schéma complet

Résultat

\[ \boxed{Q(x)=x+3,\quad R(x)=0} \]

Vérification : \( (x-3)(x+3)=x^2-9\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x+3,\quad R(x)=0 \]

Idée de résolution

Puisque \(f(1)=1+2-3=0\), le théorème du reste garantit que \((x-1)\) divise exactement le dividende.

Étape 1

I divide: \(x^2\div x=x\). Je multiplie : \(x(x-1)=x^2-x\). Je change les signes : \(x^2\) s'annule. Reste intermédiaire : \(3x-3\).

Étape 2

I divide: \(3x\div x=3\). Je multiplie : \(3(x-1)=3x-3\). Je change les signes : tout s'annule. Reste : \(0\).

Schéma complet

Résultat

\[ \boxed{Q(x)=x+3,\quad R(x)=0} \]

Vérification : \( (x-1)(x+3)=x^2+2x-3\;\checkmark \)

\[ Q(x)=2x-3,\quad R(x)=0 \]

Idée de résolution

Le coefficient directeur du dividende est \(2\) : le premier terme du quotient sera \(2x\). La division est exacte car \(f(-1)=0\).

Étape 1

I divide: \(2x^2\div x=2x\). Je multiplie : \(2x(x+1)=2x^2+2x\). Je change les signes : \(2x^2\) s'annule. Reste intermédiaire : \(-3x-3\).

Étape 2

I divide: \(-3x\div x=-3\). Je multiplie : \(-3(x+1)=-3x-3\). Je change les signes : tout s'annule. Reste : \(0\).

Schéma complet

Résultat

\[ \boxed{Q(x)=2x-3,\quad R(x)=0} \]

Vérification : \( (x+1)(2x-3)=2x^2-x-3\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x+1,\quad R(x)=2 \]

Idée de résolution

D'après le théorème du reste, \(R=f(1)=1+1=2\neq0\) : la division n'est pas exacte. Le terme \(0x\) doit être inséré comme espace réservé.

Étape 1

I divide: \(x^2\div x=x\). Je multiplie : \(x(x-1)=x^2-x\). Je change les signes : \(x^2\) s'annule. Reste intermédiaire : \(x+1\).

Étape 2

I divide: \(x\div x=1\). Je multiplie : \(1\cdot(x-1)=x-1\). Je change les signes : \(x\) s'annule ; \(1+1=2\). Comme \(\deg 0<1\), on s'arrête.

Schéma complet

Résultat

\[ \boxed{Q(x)=x+1,\quad R(x)=2} \]

Vérification : \( (x-1)(x+1)+2=x^2+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2+2x+4,\quad R(x)=0 \]

Idée de résolution

Formule : \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) avec \(a=x,\;b=2\). Les termes \(0x^2\) et \(0x\) doivent être insérés comme espaces réservés.

Étape 1

I divide: \(x^3\div x=x^2\). Je multiplie : \(x^2(x-2)=x^3-2x^2\). Je change les signes : \(x^3\) s'annule. Reste intermédiaire : \(2x^2-8\).

Étape 2

I divide: \(2x^2\div x=2x\). Je multiplie : \(2x(x-2)=2x^2-4x\). Je change les signes : \(2x^2\) s'annule. Reste intermédiaire : \(4x-8\).

Étape 3

I divide: \(4x\div x=4\). Je multiplie : \(4(x-2)=4x-8\). Je change les signes : tout s'annule. Reste : \(0\).

Schéma complet

Résultat

\[ \boxed{Q(x)=x^2+2x+4,\quad R(x)=0} \]

Vérification : \( (x-2)(x^2+2x+4)=x^3-8\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-x+1,\quad R(x)=0 \]

Idée de résolution

Formule : \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) avec \(a=x,\;b=1\). Vérification rapide : \(f(-1)=-1+1=0\).

Étape 1

I divide: \(x^3\div x=x^2\). Je multiplie : \(x^2(x+1)=x^3+x^2\). Je change les signes : \(x^3\) s'annule. Reste intermédiaire : \(-x^2+1\).

Étape 2

I divide: \(-x^2\div x=-x\). Je multiplie : \(-x(x+1)=-x^2-x\). Je change les signes : \(-x^2\) s'annule. Reste intermédiaire : \(x+1\).

Étape 3

I divide: \(x\div x=1\). Je multiplie : \(1\cdot(x+1)=x+1\). Je change les signes : tout s'annule. Reste : \(0\).

Schéma complet

Résultat

\[ \boxed{Q(x)=x^2-x+1,\quad R(x)=0} \]

Vérification : \( (x+1)(x^2-x+1)=x^3+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2+x+2,\quad R(x)=3 \]

Idée de résolution

Le terme \(x^2\) est absent : on l'insère comme \(0x^2\). D'après le théorème du reste, \(f(1)=1+1+1=3\neq0\), donc le reste vaut \(3\).

Étape 1

I divide: \(x^3\div x=x^2\). Je multiplie : \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Je change les signes : \(x^3\) s'annule. Reste intermédiaire : \(x^2+x+1\).

Étape 2

I divide: \(x^2\div x=x\). Je multiplie : \(x(x-1)=x^2-x\). Je change les signes : \(x^2\) s'annule. Reste intermédiaire : \(2x+1\).

Étape 3

I divide: \(2x\div x=2\). Je multiplie : \(2(x-1)=2x-2\). Je change les signes : \(2x\) s'annule ; \(1+2=3\). Comme \(\deg 0<1\), on s'arrête.

Schéma complet

Résultat

\[ \boxed{Q(x)=x^2+x+2,\quad R(x)=3} \]

Vérification : \( (x-1)(x^2+x+2)+3=x^3+x+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-2x+1,\quad R(x)=0 \]

Idée de résolution

Le dividende est \((x-1)^3\). Diviser par \((x-1)\) donne \((x-1)^2=x^2-2x+1\). Vérification : \(f(1)=0\).

Étape 1

I divide: \(x^3\div x=x^2\). Je multiplie : \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Je change les signes : \(x^3\) s'annule. Reste intermédiaire : \(-2x^2+3x-1\).

Étape 2

I divide: \(-2x^2\div x=-2x\). Je multiplie : \(-2x(x-1)=-2x^2+2x\). Je change les signes : \(-2x^2\) s'annule. Reste intermédiaire : \(x-1\).

Étape 3

I divide: \(x\div x=1\). Je multiplie : \(1\cdot(x-1)=x-1\). Je change les signes : tout s'annule. Reste : \(0\).

Schéma complet

Résultat

\[ \boxed{Q(x)=x^2-2x+1,\quad R(x)=0} \]

Vérification : \( (x-1)^3\div(x-1)=(x-1)^2=x^2-2x+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x-1,\quad R(x)=-1 \]

Idée de résolution

D'après le théorème du reste, \(R=f(2)=4-6+1=-1\neq0\). Le quotient est de degré \(1\).

Étape 1

I divide: \(x^2\div x=x\). Je multiplie : \(x(x-2)=x^2-2x\). Je change les signes : \(x^2\) s'annule. Reste intermédiaire : \(-x+1\).

Étape 2

I divide: \(-x\div x=-1\). Je multiplie : \(-1\cdot(x-2)=-x+2\). Je change les signes : \(-x\) s'annule ; \(1-2=-1\). Comme \(\deg 0<1\), on s'arrête.

Schéma complet

Résultat

\[ \boxed{Q(x)=x-1,\quad R(x)=-1} \]

Vérification : \( (x-2)(x-1)-1=x^2-3x+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2+2x+1,\quad R(x)=0 \]

Idée de résolution

\(f(1)=1+1-1-1=0\) : la division est exacte. Le quotient \(x^2+2x+1=(x+1)^2\) est un carré parfait.

Étape 1

I divide: \(x^3\div x=x^2\). Je multiplie : \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Je change les signes : \(x^3\) s'annule. Reste intermédiaire : \(2x^2-x-1\).

Étape 2

I divide: \(2x^2\div x=2x\). Je multiplie : \(2x(x-1)=2x^2-2x\). Je change les signes : \(2x^2\) s'annule. Reste intermédiaire : \(x-1\).

Étape 3

I divide: \(x\div x=1\). Je multiplie : \(1\cdot(x-1)=x-1\). Je change les signes : tout s'annule. Reste : \(0\).

Schéma complet

Résultat

\[ \boxed{Q(x)=x^2+2x+1,\quad R(x)=0} \]

Vérification : \( (x-1)(x+1)^2=x^3+x^2-x-1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=2x^2-4x+5,\quad R(x)=-9 \]

Idée de résolution

Le terme \(x^2\) est absent : on l'insère comme \(0x^2\). Le théorème du reste donne \(f(-2)=-16+6+1=-9\) : cela confirme le reste.

Étape 1

I divide: \(2x^3\div x=2x^2\). Je multiplie : \(2x^2(x+2)=2x^3+4x^2\). Je change les signes : \(2x^3\) s'annule. Reste intermédiaire : \(-4x^2-3x+1\).

Étape 2

I divide: \(-4x^2\div x=-4x\). Je multiplie : \(-4x(x+2)=-4x^2-8x\). Je change les signes : \(-4x^2\) s'annule. Reste intermédiaire : \(5x+1\).

Étape 3

I divide: \(5x\div x=5\). Je multiplie : \(5(x+2)=5x+10\). Je change les signes : \(5x\) s'annule ; \(1-10=-9\). Comme \(\deg 0<1\), on s'arrête.

Schéma complet

Résultat

\[ \boxed{Q(x)=2x^2-4x+5,\quad R(x)=-9} \]

Vérification : \( (x+2)(2x^2-4x+5)-9=2x^3-3x+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x+2,\quad R(x)=0 \]

Idée de résolution

Le diviseur \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) est de degré 2 : le quotient sera de degré \(3-2=1\) et le reste aura au plus le degré \(1\).

Étape 1

I divide: \(x^3\div x^2=x\). Je multiplie : \(x(x^2-1)=x^3-x\). Je change les signes : \(x^3\) and \(-x\) s'annulent. Reste intermédiaire : \(2x^2-2\).

Étape 2

I divide: \(2x^2\div x^2=2\). Je multiplie : \(2(x^2-1)=2x^2-2\). Je change les signes : tout s'annule. Reste : \(0\).

Schéma complet

Résultat

\[ \boxed{Q(x)=x+2,\quad R(x)=0} \]

Vérification : \( (x^2-1)(x+2)=x^3+2x^2-x-2\;\checkmark \)

\[ Q(x)=2x+1,\quad R(x)=-2x+8 \]

Idée de résolution

Le diviseur est de degré 2 et le dividende de degré 3 : le quotient sera de degré \(1\). Le reste est de degré au plus \(1\), c'est-à-dire de la forme \(ax+b\).

Étape 1

I divide: \(2x^3\div x^2=2x\). Je multiplie : \(2x(x^2-x-2)=2x^3-2x^2-4x\). Je change les signes : \(2x^3\) s'annule. Reste intermédiaire : \(x^2-3x+6\).

Étape 2

I divide: \(x^2\div x^2=1\). Je multiplie : \(x^2-x-2\). Je change les signes : \(x^2\) s'annule. Reste intermédiaire : \(-2x+8\). Comme \(\deg 1<2\), on s'arrête.

Schéma complet

Résultat

\[ \boxed{Q(x)=2x+1,\quad R(x)=-2x+8} \]

Vérification : \( (x^2-x-2)(2x+1)+(-2x+8)=2x^3-x^2-7x+6\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-x+2,\quad R(x)=-3 \]

Idée de résolution

Le terme \(x^3\) est absent : on l'insère comme \(0x^3\). Le quotient sera de degré \(4-2=2\). Le reste est une constante.

Étape 1

I divide: \(x^4\div x^2=x^2\). Je multiplie : \(x^2(x^2+x+1)=x^4+x^3+x^2\). Je change les signes : \(x^4\) and \(x^3\) s'annulent. Reste intermédiaire : \(-x^3+x^2+x-1\).

Étape 2

I divide: \(-x^3\div x^2=-x\). Je multiplie : \(-x(x^2+x+1)=-x^3-x^2-x\). Je change les signes : \(-x^3\), \(x^2\) and \(x\) s'annulent. Reste intermédiaire : \(2x^2+2x-1\).

Étape 3

I divide: \(2x^2\div x^2=2\). Je multiplie : \(2(x^2+x+1)=2x^2+2x+2\). Je change les signes : \(2x^2\) and \(2x\) s'annulent ; \(-1-2=-3\). Comme \(\deg 0<2\), on s'arrête.

Schéma complet

Résultat

\[ \boxed{Q(x)=x^2-x+2,\quad R(x)=-3} \]

Vérification : \( (x^2+x+1)(x^2-x+2)-3=x^4+2x^2+x-1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-4,\quad R(x)=0 \]

Idée de résolution

Les termes \(x^3\) et \(x\) sont absents : on les insère comme \(0x^3\) et \(0x\). Nous reconnaissons \(x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)\).

Étape 1

I divide: \(x^4\div x^2=x^2\). Je multiplie : \(x^2(x^2-1)=x^4-x^2\). Je change les signes : \(x^4\) s'annule. Reste intermédiaire : \(-4x^2+4\).

Étape 2

I divide: \(-4x^2\div x^2=-4\). Je multiplie : \(-4(x^2-1)=-4x^2+4\). Je change les signes : tout s'annule. Reste : \(0\).

Schéma complet

Résultat

\[ \boxed{Q(x)=x^2-4,\quad R(x)=0} \]

Vérification : \( (x^2-1)(x^2-4)=x^4-5x^2+4\;\checkmark \)

\[ Q(x)=3x-5,\quad R(x)=9x-9 \]

Idée de résolution

Degré du dividende 3, degré du diviseur 2 : quotient de degré \(1\), reste de degré au plus \(1\). Le reste est non nul et doit être entièrement calculé.

Étape 1

I divide: \(3x^3\div x^2=3x\). Je multiplie : \(3x(x^2+x-1)=3x^3+3x^2-3x\). Je change les signes : \(3x^3\) s'annule. Reste intermédiaire : \(-5x^2+4x-4\).

Étape 2

I divide: \(-5x^2\div x^2=-5\). Je multiplie : \(-5(x^2+x-1)=-5x^2-5x+5\). Je change les signes : \(-5x^2\) s'annule. Reste intermédiaire : \(9x-9\). Comme \(\deg 1<2\), on s'arrête.

Schéma complet

Résultat

\[ \boxed{Q(x)=3x-5,\quad R(x)=9x-9} \]

Vérification : \( (x^2+x-1)(3x-5)+(9x-9)=3x^3-2x^2+x-4\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-2x-3,\quad R(x)=0 \]

Idée de résolution

Le diviseur \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\). \(f(1)\) et \(f(-2)\) sont tous deux nuls : la division est exacte. Le quotient est lui-même factorisable.

Étape 1

I divide: \(x^4\div x^2=x^2\). Je multiplie : \(x^2(x^2+x-2)=x^4+x^3-2x^2\). Je change les signes : \(x^4\) s'annule. Reste intermédiaire : \(-2x^3-5x^2+x+6\).

Étape 2

I divide: \(-2x^3\div x^2=-2x\). Je multiplie : \(-2x(x^2+x-2)=-2x^3-2x^2+4x\). Je change les signes : \(-2x^3\) s'annule. Reste intermédiaire : \(-3x^2-3x+6\).

Étape 3

I divide: \(-3x^2\div x^2=-3\). Je multiplie : \(-3(x^2+x-2)=-3x^2-3x+6\). Je change les signes : tout s'annule. Reste : \(0\).

Schéma complet

Résultat

\[ \boxed{Q(x)=x^2-2x-3,\quad R(x)=0} \]

Vérification : \( (x^2+x-2)(x^2-2x-3)=x^4-x^3-7x^2+x+6\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^4+x^3+x^2+x+1,\quad R(x)=0 \]

Idée de résolution

Identité de la série géométrique : \(\displaystyle\frac{x^5-1}{x-1}=x^4+x^3+x^2+x+1\). Tous les termes intermédiaires du dividende sont nuls.

Étape 1

I divide: \(x^5\div x=x^4\). Je multiplie : \(x^4(x-1)=x^5-x^4\). Je change les signes : \(x^5\) s'annule. Reste intermédiaire : \(x^4-1\).

Étape 2

I divide: \(x^4\div x=x^3\). Je multiplie : \(x^3(x-1)=x^4-x^3\). Je change les signes : \(x^4\) s'annule. Reste intermédiaire : \(x^3-1\).

Étape 3

I divide: \(x^3\div x=x^2\). Je multiplie : \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Je change les signes : \(x^3\) s'annule. Reste intermédiaire : \(x^2-1\).

Étape 4

I divide: \(x^2\div x=x\). Je multiplie : \(x(x-1)=x^2-x\). Je change les signes : \(x^2\) s'annule. Reste intermédiaire : \(x-1\).

Étape 5

I divide: \(x\div x=1\). Je multiplie : \(1\cdot(x-1)=x-1\). Je change les signes : tout s'annule. Reste : \(0\).

Schéma complet

Résultat

\[ \boxed{Q(x)=x^4+x^3+x^2+x+1,\quad R(x)=0} \]

Vérification : \( (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=x^5-1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-1,\quad R(x)=0 \]

Idée de résolution

Le dividende se factorise en \(x(x-2)(x^2-1)\) and the divisor as \(x(x-2)\): the division is exact in just two steps.

Étape 1

I divide: \(x^4\div x^2=x^2\). Je multiplie : \(x^2(x^2-2x)=x^4-2x^3\). Je change les signes : \(x^4\) and \(-2x^3\) s'annulent. Reste intermédiaire : \(-x^2+2x\).

Étape 2

I divide: \(-x^2\div x^2=-1\). Je multiplie : \(-1\cdot(x^2-2x)=-x^2+2x\). Je change les signes : tout s'annule. Reste : \(0\).

Schéma complet

Résultat

\[ \boxed{Q(x)=x^2-1,\quad R(x)=0} \]

Vérification : \( x(x-2)(x^2-1)=x(x-2)(x-1)(x+1)\;\checkmark \)