Les exercices qui suivent ont pour but de consolider la compréhension du théorème des intervalles emboîtés et de ses applications. Nous apprendrons en particulier à reconnaître quand une suite d'intervalles satisfait aux hypothèses du théorème, à en déterminer l'intersection et à saisir le rôle joué par la complétude des nombres réels.
Les exercices sont classés par difficulté croissante. Dans les premiers, nous appliquerons directement le théorème ; nous étudierons ensuite des contre-exemples, des constructions plus élaborées ainsi que certaines de ses conséquences théoriques les plus importantes.
Nous utiliserons aussi bien la forme générale du théorème, selon laquelle l'intersection d'une suite d'intervalles fermés, bornés, non vides et emboîtés est non vide, que sa forme plus forte : si les longueurs des intervalles tendent vers zéro, alors l'intersection est réduite à un seul point.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Considérer la suite d'intervalles
\[ I_n=\left[0,\frac{1}{n}\right]. \]
Déterminer
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Résultat
On a
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{0\}. \]
Résolution
Les intervalles sont fermés et bornés. De plus,
\[ I_{n+1} = \left[0,\frac{1}{n+1}\right] \subseteq \left[0,\frac{1}{n}\right] = I_n, \]
car
\[ \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}. \]
La suite est donc formée d'intervalles emboîtés.
Par ailleurs, la longueur de \(I_n\) vaut
\[ \frac{1}{n}-0=\frac{1}{n}, \]
et l'on a
\[ \frac{1}{n}\longrightarrow 0. \]
D'après la forme forte du théorème des intervalles emboîtés, lorsque les longueurs tendent vers zéro, l'intersection se réduit à un unique point.
Remarquons que \(0\) appartient à tous les intervalles \(I_n\).
D'autre part, si \(x>0\), en choisissant \(n\) suffisamment grand, on obtient
\[ \frac{1}{n}<x. \]
Il s'ensuit que \(x\notin I_n\), si bien que \(x\) ne peut appartenir à l'intersection de tous les intervalles.
L'unique point commun à tous les intervalles est donc \(0\).
Par conséquent,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} \left[0,\frac{1}{n}\right] = \{0\}. \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Considérer la suite d'intervalles
\[ I_n= \left[ -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right]. \]
Déterminer
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Résultat
On a
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{0\}. \]
Résolution
Les intervalles sont fermés, bornés et non vides.
De plus,
\[ \left[ -\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n+1} \right] \subseteq \left[ -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right], \]
pour tout \(n\in\mathbb N\).
Il s'agit donc d'une suite d'intervalles emboîtés.
La longueur de \(I_n\) vaut
\[ \frac{1}{n} - \left(-\frac{1}{n}\right) = \frac{2}{n}, \]
et
\[ \frac{2}{n}\longrightarrow 0. \]
Le théorème des intervalles emboîtés garantit alors que l'intersection contient un unique point.
Puisque
\[ -\frac{1}{n} \leq 0 \leq \frac{1}{n} \qquad \forall n, \]
le nombre \(0\) appartient à tous les intervalles.
Si en revanche \(x\neq0\), alors \(|x|>0\). En choisissant \(n\) suffisamment grand, on a
\[ \frac{1}{n}<|x|. \]
On en déduit que \(x\notin I_n\).
Par conséquent,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} \left[ -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right] = \{0\}. \]
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Considérer la suite d'intervalles
\[ I_n=\left[1,1+\frac{1}{n}\right]. \]
Déterminer
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Résultat
On a
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{1\}. \]
Résolution
Les intervalles \(I_n\) sont fermés, bornés et non vides. De plus, lorsque \(n\) croît, l'extrémité droite \(1+\displaystyle \frac{1}{n}\) diminue, tandis que l'extrémité gauche reste égale à \(1\). Les intervalles sont donc emboîtés.
En effet, pour tout \(n\in\mathbb N\), on a
\[ I_{n+1}\subseteq I_n. \]
La longueur de l'intervalle \(I_n\) est
\[ \left(1+\frac{1}{n}\right)-1=\frac{1}{n}. \]
Comme \(\frac{1}{n}\to0\), le théorème des intervalles emboîtés garantit que l'intersection contient un seul point.
Le point \(1\) appartient à tous les intervalles, car il en est toujours l'extrémité gauche. Donc
\[ 1\in\bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Comme l'intersection contient un seul point et que ce point est \(1\), nous concluons que
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[1,1+\frac{1}{n}\right]=\{1\}. \]
Exercice 4 — niveau ★☆☆☆☆
Considérer la suite d'intervalles
\[ I_n=\left[2-\frac{1}{n},2+\frac{1}{n}\right]. \]
Déterminer
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Résultat
On a
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{2\}. \]
Résolution
Les intervalles sont fermés, bornés et non vides. De plus, lorsque \(n\) croît, l'extrémité gauche
\[ 2-\frac{1}{n} \]
croît vers \(2\), tandis que l'extrémité droite
\[ 2+\frac{1}{n} \]
décroît vers \(2\). Les intervalles sont donc emboîtés.
La longueur de \(I_n\) est
\[ \left(2+\frac{1}{n}\right)-\left(2-\frac{1}{n}\right)=\frac{2}{n}, \]
et donc
\[ \frac{2}{n}\longrightarrow0. \]
D'après le théorème des intervalles emboîtés, l'intersection contient un unique point.
Comme
\[ 2-\frac{1}{n}\leq 2\leq 2+\frac{1}{n} \]
pour tout \(n\), le point \(2\) appartient à tous les intervalles.
Par conséquent,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} \left[2-\frac{1}{n},2+\frac{1}{n}\right] = \{2\}. \]
Exercice 5 — niveau ★☆☆☆☆
Considérer la suite d'intervalles
\[ I_n=\left[0,2+\frac{1}{n}\right]. \]
Déterminer
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Résultat
On a
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[0,2]. \]
Résolution
Les intervalles sont fermés, bornés et non vides. De plus, comme
\[ 2+\frac{1}{n+1}<2+\frac{1}{n}, \]
on a
\[ I_{n+1}\subseteq I_n. \]
Il s'agit donc d'une suite d'intervalles emboîtés.
Cependant, dans ce cas, la longueur des intervalles ne tend pas vers zéro. En effet,
\[ \left(2+\frac{1}{n}\right)-0=2+\frac{1}{n}, \]
et donc
\[ 2+\frac{1}{n}\longrightarrow2. \]
L'intersection ne doit donc pas nécessairement se réduire à un seul point.
Remarquons que tout point \(x\in[0,2]\) appartient à tous les intervalles, car
\[ 0\leq x\leq2<2+\frac{1}{n} \]
pour tout \(n\in\mathbb N\).
Ainsi,
\[ [0,2]\subseteq\bigcap_{n=1}^{+\infty}I_n. \]
Si en revanche \(x<0\), alors \(x\notin I_n\) pour tout \(n\), puisque tous les intervalles ont \(0\) pour extrémité gauche.
Inversement, si \(x>2\), alors \(x-2>0\). D'après la propriété d'Archimède, il existe \(n\) tel que
\[ \frac{1}{n}<x-2. \]
D'où
\[ 2+\frac{1}{n}<x. \]
Par conséquent, \(x\notin I_n\), si bien que \(x\) n'appartient pas à l'intersection de tous les intervalles.
Nous concluons que
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} \left[0,2+\frac{1}{n}\right] = [0,2]. \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Considérer la suite d'intervalles
\[ I_n=\left[1-\frac{1}{n},3+\frac{1}{n}\right]. \]
Déterminer
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Résultat
On a
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[1,3]. \]
Résolution
Les intervalles sont fermés, bornés et non vides. Lorsque \(n\) croît, l'extrémité gauche \(1-\displaystyle \frac{1}{n}\) croît vers \(1\), tandis que l'extrémité droite \(3+\displaystyle \frac{1}{n}\) décroît vers \(3\). Les intervalles sont donc emboîtés.
La longueur de \(I_n\) est
\[ \left(3+\frac{1}{n}\right)-\left(1-\frac{1}{n}\right)=2+\frac{2}{n}. \]
Comme \(2+\displaystyle \frac{2}{n}\to2\), la longueur ne tend pas vers zéro. L'intersection ne se réduit donc pas à un seul point.
Les extrémités gauches ont pour borne supérieure \(1\), tandis que les extrémités droites ont pour borne inférieure \(3\). D'après le théorème des intervalles emboîtés, on obtient
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[1,3]. \]
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Considérer la suite d'intervalles
\[ I_n=\left[-\frac{1}{n},1\right]. \]
Déterminer
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Résultat
On a
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[0,1]. \]
Résolution
Les intervalles sont fermés, bornés et non vides. De plus, l'extrémité gauche \(-\displaystyle \frac{1}{n}\) croît vers \(0\), tandis que l'extrémité droite reste égale à \(1\). Les intervalles sont donc emboîtés.
La longueur de \(I_n\) est
\[ 1-\left(-\frac{1}{n}\right)=1+\frac{1}{n}. \]
Comme \(1+\displaystyle \frac{1}{n}\to1\), la longueur ne tend pas vers zéro.
La borne supérieure des extrémités gauches est \(0\), tandis que la borne inférieure des extrémités droites est \(1\). Par conséquent,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-\frac{1}{n},1\right]=[0,1]. \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Considérer la suite d'intervalles
\[ I_n=\left[2-\frac{1}{n},5\right]. \]
Déterminer
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Résultat
On a
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[2,5]. \]
Résolution
Les intervalles sont fermés, bornés et non vides. L'extrémité gauche \(2-\displaystyle \frac{1}{n}\) croît vers \(2\), tandis que l'extrémité droite reste constante, égale à \(5\). Les intervalles sont donc emboîtés.
La longueur de \(I_n\) est
\[ 5-\left(2-\frac{1}{n}\right)=3+\frac{1}{n}. \]
Comme \(3+\displaystyle \frac{1}{n}\to3\), la longueur ne tend pas vers zéro.
La borne supérieure des extrémités gauches est \(2\), tandis que la borne inférieure des extrémités droites est \(5\). Donc
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[2-\frac{1}{n},5\right]=[2,5]. \]
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
Considérer la suite d'intervalles
\[ I_n=\left[-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right]. \]
Déterminer
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Résultat
On a
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[0,1]. \]
Résolution
Les intervalles sont fermés, bornés et non vides. L'extrémité gauche \(-\displaystyle \frac{1}{n}\) croît vers \(0\), tandis que l'extrémité droite \(1+\displaystyle \frac{1}{n}\) décroît vers \(1\). Les intervalles sont donc emboîtés.
La longueur de \(I_n\) est
\[ \left(1+\frac{1}{n}\right)-\left(-\frac{1}{n}\right)=1+\frac{2}{n}. \]
Comme \(1+\displaystyle \frac{2}{n}\to1\), la longueur ne tend pas vers zéro.
La borne supérieure des extrémités gauches est \(0\), tandis que la borne inférieure des extrémités droites est \(1\). Par conséquent,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right]=[0,1]. \]
Exercice 10 — niveau ★★☆☆☆
Considérer la suite d'intervalles
\[ I_n=\left[\frac{n}{n+1},2-\frac{1}{n+1}\right]. \]
Déterminer
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Résultat
On a
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\left[1,\frac{3}{2}\right]. \]
Résolution
Réécrivons les extrémités de l'intervalle :
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}, \qquad 2-\frac{1}{n+1}. \]
Ainsi,
\[ I_n=\left[1-\frac{1}{n+1},2-\frac{1}{n+1}\right]. \]
Les intervalles sont fermés, bornés et non vides. Toutefois, ils ne forment pas une suite emboîtée décroissante : lorsque \(n\) croît, les deux extrémités se déplacent vers la droite.
En effet,
\[ I_1=\left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right], \qquad I_2=\left[\frac{2}{3},\frac{5}{3}\right]. \]
L'intervalle \(I_2\) n'est pas contenu dans \(I_1\), car son extrémité droite est plus grande que celle de \(I_1\). Le théorème des intervalles emboîtés ne s'applique donc pas directement.
Déterminons malgré tout l'intersection. Un nombre \(x\) appartient à tous les intervalles si et seulement si
\[ 1-\frac{1}{n+1}\leq x\leq 2-\frac{1}{n+1} \]
pour tout \(n\in\mathbb N\).
De la première inégalité, en imposant qu'elle soit vérifiée pour tout \(n\), on tire
\[ x\geq1. \]
En effet, les extrémités gauches \(1-\frac{1}{n+1}\) croissent vers \(1\).
De la seconde inégalité, en revanche, la contrainte la plus restrictive est obtenue pour \(n=1\), puisque les extrémités droites \(2-\frac{1}{n+1}\) croissent lorsque \(n\) croît. On doit donc avoir
\[ x\leq 2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}. \]
Par conséquent, tout point appartenant à l'intersection doit vérifier
\[ 1\leq x\leq\frac{3}{2}. \]
Inversement, si \(1\leq x\leq\frac{3}{2}\), alors pour tout \(n\in\mathbb N\) on a
\[ 1-\frac{1}{n+1}\leq1\leq x \]
et de plus
\[ x\leq\frac{3}{2}\leq2-\frac{1}{n+1}. \]
Donc \(x\in I_n\) pour tout \(n\in\mathbb N\).
Nous concluons que
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[\frac{n}{n+1},2-\frac{1}{n+1}\right]=\left[1,\frac{3}{2}\right]. \]
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Considérer la suite d'intervalles
\[ I_n=\left(0,\frac{1}{n}\right). \]
Établir si le théorème des intervalles emboîtés est applicable et déterminer
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Résultat
Le théorème des intervalles emboîtés n'est pas applicable, car les intervalles ne sont pas fermés. De plus,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(0,\frac{1}{n}\right)=\varnothing. \]
Résolution
Les intervalles \(I_n\) sont ouverts, bornés, non vides et emboîtés. En effet, lorsque \(n\) croît, l'extrémité droite \(\displaystyle \frac{1}{n}\) diminue.
Toutefois, le théorème des intervalles emboîtés exige des intervalles fermés et bornés. Ici, les intervalles ne sont pas fermés ; le théorème ne peut donc pas être appliqué.
Déterminons maintenant l'intersection. Si \(x\) appartenait à tous les intervalles, on devrait avoir
\[ 0\lt x\lt\frac{1}{n} \]
pour tout \(n\in\mathbb N\).
Or, si \(x\gt0\), la propriété d'Archimède assure qu'il existe \(n\in\mathbb N\) tel que
\[ \frac{1}{n}\lt x. \]
Pour un tel \(n\), le nombre \(x\) n'appartient pas à \(I_n\).
Donc aucun nombre réel n'appartient à tous les intervalles. Par conséquent,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(0,\frac{1}{n}\right)=\varnothing. \]
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Considérer la suite d'intervalles
\[ I_n=[n,+\infty). \]
Établir si le théorème des intervalles emboîtés est applicable et déterminer
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Résultat
Le théorème des intervalles emboîtés n'est pas applicable, car les intervalles ne sont pas bornés. De plus,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}[n,+\infty)=\varnothing. \]
Résolution
Les intervalles \(I_n=[n,+\infty)\) sont fermés et non vides. Ils sont en outre emboîtés, car
\[ [n+1,+\infty)\subseteq[n,+\infty). \]
Toutefois, ils ne sont pas bornés. Le théorème des intervalles emboîtés exige des intervalles fermés et bornés ; il n'est donc pas applicable ici.
Déterminons l'intersection. Si \(x\) appartenait à tous les intervalles, on devrait avoir
\[ x\geq n \]
pour tout \(n\in\mathbb N\).
C'est impossible, car aucun nombre réel n'est supérieur ou égal à tous les entiers naturels.
Donc
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}[n,+\infty)=\varnothing. \]
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Considérer la suite d'intervalles
\[ I_n=\left(-\infty,\frac{1}{n}\right]. \]
Établir si le théorème des intervalles emboîtés est applicable et déterminer
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Résultat
Le théorème des intervalles emboîtés n'est pas applicable, car les intervalles ne sont pas bornés. De plus,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(-\infty,\frac{1}{n}\right]=(-\infty,0]. \]
Résolution
Les intervalles sont fermés et non vides, mais ils ne sont pas bornés inférieurement. Le théorème des intervalles emboîtés ne peut donc pas être appliqué directement.
Les intervalles sont néanmoins emboîtés, car l'extrémité droite \(\displaystyle\frac{1}{n}\) décroît vers \(0\).
Si \(x\leq0\), alors
\[ x\leq0\lt\frac{1}{n} \]
pour tout \(n\in\mathbb N\). Tout \(x\leq0\) appartient donc à tous les intervalles.
Si en revanche \(x\gt0\), la propriété d'Archimède assure qu'il existe \(n\in\mathbb N\) tel que
\[ \frac{1}{n}\lt x. \]
Pour un tel \(n\), on a \(x\notin I_n\).
Les points communs à tous les intervalles sont donc exactement les nombres réels inférieurs ou égaux à \(0\) :
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(-\infty,\frac{1}{n}\right]=(-\infty,0]. \]
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
Considérer la suite d'intervalles
\[ I_n=\left[0,1+\frac{(-1)^n}{2}\right]. \]
Établir si les intervalles sont emboîtés et si le théorème des intervalles emboîtés est applicable.
Résultat
Les intervalles ne sont pas emboîtés. Le théorème des intervalles emboîtés n'est pas applicable.
Résolution
Calculons les premiers intervalles. Pour \(n=1\), on a
\[ I_1=\left[0,\frac{1}{2}\right], \]
tandis que pour \(n=2\), on a
\[ I_2=\left[0,\frac{3}{2}\right]. \]
Ainsi, \(I_2\) n'est pas contenu dans \(I_1\). En effet,
\[ \frac{3}{2}\in I_2, \qquad \frac{3}{2}\notin I_1. \]
La suite d'intervalles n'est donc pas emboîtée.
Bien que les intervalles soient fermés, bornés et non vides, l'hypothèse d'emboîtement fait défaut. Le théorème des intervalles emboîtés n'est donc pas applicable.
Exercice 15 — niveau ★★★☆☆
Considérer la suite d'intervalles
\[ I_n=\left(0,1+\frac{1}{n}\right). \]
Établir si le théorème des intervalles emboîtés est applicable et déterminer
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Résultat
Le théorème des intervalles emboîtés n'est pas applicable, car les intervalles ne sont pas fermés. De plus,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(0,1+\frac{1}{n}\right)=(0,1]. \]
Résolution
Les intervalles sont ouverts, bornés, non vides et emboîtés, car l'extrémité droite \(1+\displaystyle\frac{1}{n}\) décroît vers \(1\).
Toutefois, le théorème des intervalles emboîtés exige des intervalles fermés et bornés. Comme les intervalles \(I_n\) ne sont pas fermés, le théorème n'est pas applicable.
Déterminons maintenant l'intersection. Si \(0\lt x\leq1\), alors
\[ 0\lt x\lt1+\frac{1}{n} \]
pour tout \(n\in\mathbb N\), donc \(x\in I_n\) pour tout \(n\).
Par conséquent,
\[ (0,1]\subseteq\bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Inversement, si \(x\leq0\), alors \(x\notin I_n\) pour tout \(n\). Si au contraire \(x\gt1\), alors \(x-1\gt0\), et la propriété d'Archimède assure qu'il existe \(n\in\mathbb N\) tel que
\[ \frac{1}{n}\lt x-1. \]
D'où
\[ 1+\frac{1}{n}\lt x. \]
Pour un tel \(n\), le nombre \(x\) n'appartient pas à \(I_n\).
Nous concluons que
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(0,1+\frac{1}{n}\right)=(0,1]. \]
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
Construire une suite d'intervalles fermés et bornés, emboîtés et dont la longueur tend vers zéro, dont l'intersection soit \(\{\sqrt{2}\}\).
Résultat
Un exemple possible est
\[ I_n=\left[\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}\right]. \]
Dans ce cas,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{\sqrt{2}\}. \]
Résolution
Considérons
\[ I_n=\left[\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}\right]. \]
Chaque \(I_n\) est un intervalle fermé, borné et non vide.
Lorsque \(n\) croît, l'extrémité gauche croît vers \(\sqrt{2}\), tandis que l'extrémité droite décroît vers \(\sqrt{2}\). Les intervalles sont donc emboîtés.
La longueur de \(I_n\) est
\[ \left(\sqrt{2}+\frac{1}{n}\right)-\left(\sqrt{2}-\frac{1}{n}\right)=\frac{2}{n}. \]
Comme \( \displaystyle \frac{2}{n}\to0\), le théorème des intervalles emboîtés garantit que l'intersection contient un seul point.
Le point \(\sqrt{2}\) appartient à tous les intervalles, car il est toujours compris entre les extrémités \(\sqrt{2}-\displaystyle \frac{1}{n}\) et \(\sqrt{2}+\displaystyle \frac{1}{n}\).
L'unique point commun à tous les intervalles est donc \(\sqrt{2}\), c'est-à-dire
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}\right]=\{\sqrt{2}\}. \]
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Soit \(f(x)=x^2-2\). Considérer l'intervalle initial \([1,2]\), sur lequel \(f(1)\lt0\) et \(f(2)\gt0\). Construire, par dichotomie, une suite d'intervalles fermés et emboîtés contenant toujours une solution de l'équation
\[ x^2=2. \]
Expliquer pourquoi l'intersection contient un unique point.
Résultat
La méthode de dichotomie produit une suite d'intervalles fermés, bornés et emboîtés, dont la longueur tend vers zéro. L'intersection contient un unique point, qui est \(\sqrt{2}\).
Résolution
Partons de l'intervalle
\[ I_1=[1,2]. \]
Comme \(f(1)=1^2-2=-1\) et \(f(2)=2^2-2=2\), la fonction change de signe entre \(1\) et \(2\).
Partageons \(I_1\) en deux parties égales et choisissons l'une des deux moitiés sur laquelle la fonction change encore de signe. Notons cet intervalle \(I_2\). En répétant le procédé, on obtient une suite d'intervalles
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots. \]
Par construction, chaque \(I_n\) est fermé, borné et non vide. De plus, les intervalles sont emboîtés.
À chaque étape, la longueur est divisée par deux. Comme la longueur initiale vaut \(1\), la longueur de \(I_n\) est
\[ \frac{1}{2^{n-1}}. \]
Comme
\[ \frac{1}{2^{n-1}}\to0, \]
le théorème des intervalles emboîtés garantit que l'intersection contient un unique point.
Notons \(x_0\) l'unique point appartenant à tous les intervalles \(I_n\). Par construction, chaque intervalle \(I_n\) contient au moins une solution de l'équation \(x^2=2\).
D'autre part, l'intersection de tous les intervalles est réduite à un seul point. Comme \(f\) est continue et que, par construction, elle change de signe sur chaque intervalle \(I_n\), le point commun est nécessairement une racine de \(f\). Ce point étant compris entre \(1\) et \(2\), il coïncide avec la solution positive de l'équation \(x^2=2\), c'est-à-dire avec \(\sqrt{2}\).
Ainsi,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{\sqrt{2}\}. \]
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites réelles telles que
\[ a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n \]
pour tout \(n\in\mathbb N\). Supposons de plus que
\[ b_n-a_n\to0. \]
Démontrer que les deux suites convergent vers la même limite.
Résultat
Les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) convergent vers la même limite.
Résolution
Considérons les intervalles
\[ I_n=[a_n,b_n]. \]
La condition
\[ a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n \]
entraîne que
\[ I_{n+1}\subseteq I_n \]
pour tout \(n\). La suite \((I_n)\) est donc une suite d'intervalles emboîtés.
De plus, les intervalles sont fermés, bornés et non vides. Comme \(b_n-a_n\to0\), le théorème des intervalles emboîtés garantit qu'il existe un unique point \(x_0\) tel que
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{x_0\}. \]
Comme \(x_0\in I_n\) pour tout \(n\), on a
\[ a_n\leq x_0\leq b_n \]
pour tout \(n\).
De cet encadrement, on déduit
\[ 0\leq x_0-a_n\leq b_n-a_n \]
ainsi que
\[ 0\leq b_n-x_0\leq b_n-a_n. \]
Comme \(b_n-a_n\to0\), le théorème des gendarmes donne
\[ a_n\to x_0 \qquad\text{et}\qquad b_n\to x_0. \]
Les deux suites convergent donc vers la même limite.
Exercice 19 — niveau ★★★★★
Montrer que le théorème des intervalles emboîtés peut être mis en défaut dans \(\mathbb Q\).
Résultat
Dans \(\mathbb Q\), il existe des suites d'intervalles rationnels fermés, bornés et emboîtés, de longueur tendant vers zéro, dont l'intersection est vide.
Résolution
Construisons des intervalles rationnels qui encadrent le nombre irrationnel \(\sqrt{2}\).
Soient \(a_n\) et \(b_n\) des nombres rationnels tels que
\[ a_n\lt\sqrt{2}\lt b_n \]
et tels que
\[ b_n-a_n\to0. \]
On peut par exemple choisir \(a_n\) et \(b_n\) comme des approximations décimales rationnelles de \(\sqrt{2}\), respectivement par défaut et par excès.
Choisissons-les en outre de sorte que les intervalles
\[ [a_n,b_n] \]
soient emboîtés.
Considérons maintenant les ensembles
\[ I_n=[a_n,b_n]\cap\mathbb Q. \]
Dans l'espace ordonné \(\mathbb Q\), les ensembles \(I_n\) sont des intervalles fermés et bornés. Ils sont en outre emboîtés et leur longueur tend vers zéro.
Dans \(\mathbb R\), l'intersection des intervalles \([a_n,b_n]\) est réduite au seul point \(\sqrt{2}\) :
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}[a_n,b_n]=\{\sqrt{2}\}. \]
Or
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb Q. \]
Donc, si l'on travaille à l'intérieur de \(\mathbb Q\), aucun nombre rationnel n'appartient à tous les intervalles \(I_n\).
Par conséquent,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\varnothing. \]
Ceci montre que le théorème des intervalles emboîtés repose sur la complétude de \(\mathbb R\) et peut être mis en défaut dans \(\mathbb Q\).
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Démontrer la forme suivante du théorème des intervalles emboîtés : si
\[ I_n=[a_n,b_n], \qquad I_{n+1}\subseteq I_n \]
pour tout \(n\in\mathbb N\), et si
\[ b_n-a_n\to0, \]
alors il existe un unique point appartenant à tous les intervalles \(I_n\).
Résultat
Il existe un unique \(x_0\in\mathbb R\) tel que
\[ x_0\in I_n \]
pour tout \(n\in\mathbb N\).
Résolution
Comme les intervalles sont emboîtés, on a
\[ a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n \]
pour tout \(n\).
La suite \((a_n)\) est donc croissante, tandis que la suite \((b_n)\) est décroissante.
Montrons que chaque \(b_n\) est un majorant de l'ensemble \(\{a_k:k\in\mathbb N\}\). En effet, si \(k\leq n\), alors
\[ a_k\leq a_n\leq b_n. \]
Si en revanche \(k>n\), alors
\[ a_k\leq b_k\leq b_n. \]
Dans tous les cas, \(a_k\leq b_n\). Chaque \(b_n\) est donc un majorant de \(\{a_k:k\in\mathbb N\}\).
Par la complétude de \(\mathbb R\), il existe
\[ x_0=\sup\{a_n:n\in\mathbb N\}. \]
Par conséquent, on a
\[ x_0\leq b_n \]
pour tout \(n\). De plus, par définition de la borne supérieure, on a
\[ a_n\leq x_0 \]
pour tout \(n\).
Ainsi,
\[ a_n\leq x_0\leq b_n \]
pour tout \(n\), et donc \(x_0\in I_n\) pour tout \(n\).
Nous avons ainsi montré que l'intersection est non vide.
Montrons à présent l'unicité. Supposons que \(x\) et \(y\) appartiennent à tous les intervalles \(I_n\), avec \(x\leq y\). Alors, pour tout \(n\),
\[ a_n\leq x\leq y\leq b_n. \]
Il s'ensuit que
\[ 0\leq y-x\leq b_n-a_n. \]
Comme \(b_n-a_n\to0\), on obtient \(y-x=0\), c'est-à-dire \(x=y\).
Le point commun à tous les intervalles est donc unique.