Le théorème de Stolz-Cesàro fournit un outil fondamental pour le calcul de limites de quotients de suites. Il est particulièrement utile lorsque le dénominateur tend vers \(+\infty\) et que le calcul direct de la limite s’avère difficile ou conduit à une forme indéterminée.
Ce résultat peut être considéré comme une généralisation du théorème de Cesàro sur les moyennes arithmétiques, et il est largement utilisé dans l’étude de la convergence des suites.
Dans tout ce texte, nous supposons que \( \mathbb{N} = \{0,1,2,\dots\} \).
Sommaire
- Théorème de Stolz-Cesàro
- Démonstration
- Corollaire I
- Corollaire II (Théorème de Cesàro)
- Corollaire III
- Corollaire IV
Théorème de Stolz-Cesàro. Soient \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) et \( \{b_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) deux suites de nombres réels. Supposons que :
- \( b_n > 0 \) pour tout \( n \) suffisamment grand ;
- \( b_{n+1} > b_n \) pour tout \( n \) suffisamment grand ;
- \[ \lim_{n \to \infty} b_n = +\infty. \]
Si la limite
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L \in \mathbb{R}, \]
existe, alors la limite
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \]
existe également et vaut \(L\).
Il existe également des variantes du théorème de Stolz-Cesàro pour le cas où la limite du quotient des accroissements vaut \(+\infty\) ou \(-\infty\), ainsi que des versions adaptées à certaines formes indéterminées du type \(\displaystyle \frac{0}{0}\). Dans ce texte, nous nous concentrons sur la forme la plus courante, à savoir celle relative à la forme indéterminée \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\) avec une limite réelle finie.
Démonstration. Supposons que
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L. \]
Nous voulons montrer que
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L. \]
Par définition de la limite, pour tout \( \varepsilon > 0 \) il existe \( n_\varepsilon \in \mathbb{N} \), choisi assez grand pour garantir aussi que \( b_n > 0 \) et \( b_{n+1} > b_n \) pour tout \( n \ge n_\varepsilon \), tel que
\[ \left| \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} - L \right| < \varepsilon, \qquad \forall n \ge n_\varepsilon. \]
De manière équivalente,
\[ L - \varepsilon < \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} < L + \varepsilon. \]
Puisque \( b_{n+1} - b_n > 0 \) pour tout \( n \ge n_\varepsilon \), nous pouvons multiplier tous les membres de l’inégalité, ce qui donne :
\[ (L - \varepsilon) (b_{n+1} - b_n) < a_{n+1} - a_n < (L + \varepsilon) (b_{n+1} - b_n). \]
Sommons membre à membre de \( k = n_\varepsilon \) jusqu’à \( k = n - 1 \) :
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (L - \varepsilon)(b_{k+1} - b_k) < \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) < \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (L + \varepsilon)(b_{k+1} - b_k). \]
Les sommes sont télescopiques. En effet :
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = a_n - a_{n_\varepsilon}, \]
et, de manière analogue,
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = b_n - b_{n_\varepsilon}. \]
Par conséquent :
\[ (L - \varepsilon) (b_n - b_{n_\varepsilon}) < a_n - a_{n_\varepsilon} < (L + \varepsilon) (b_n - b_{n_\varepsilon}). \]
En divisant par \( b_n > 0 \), nous obtenons :
\[ (L - \varepsilon) \left( 1 - \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} \right) + \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n} < \frac{a_n}{b_n} < (L + \varepsilon) \left( 1 - \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} \right) + \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n}. \]
Puisque
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} = 0, \qquad \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n} = 0, \]
en passant à la limite inférieure et à la limite supérieure dans l’inégalité précédente, nous obtenons :
\[ L - \varepsilon \le \liminf_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \le \limsup_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \le L + \varepsilon. \]
Comme \( \varepsilon > 0 \) est arbitraire, il s’ensuit que
\[ \liminf_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \limsup_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L. \]
Donc :
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L. \]
Ceci achève la démonstration du théorème de Stolz-Cesàro.
Corollaire I. Si
\[ \lim_{n \to \infty} (a_{n+1} - a_n) = L, \]
alors
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = L. \]
Démonstration. Il suffit d’appliquer le théorème de Stolz-Cesàro à la suite \( b_n = n \). Le quotient \(a_n/n\) est naturellement considéré pour \(n\ge 1\). En effet :
\[ b_{n+1} - b_n = 1, \]
d’où
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = \lim_{n \to \infty} (a_{n+1} - a_n) = L. \]
Par conséquent :
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = L. \]
Corollaire II (Théorème de Cesàro). Soit \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) une suite convergeant vers \( L \). Pour tout \(n\ge 1\), nous définissons :
\[ \alpha_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} a_k. \]
Alors :
\[ \lim_{n \to \infty} \alpha_n = L. \]
Démonstration. Posons
\[ c_n = \sum_{k=0}^{n-1} a_k, \qquad b_n = n. \]
Alors :
\[ \alpha_n = \frac{c_n}{b_n}. \]
De plus :
\[ \frac{c_{n+1} - c_n}{b_{n+1} - b_n} = \frac{a_n}{1} = a_n. \]
Puisque \( a_n \to L \), le théorème de Stolz-Cesàro implique :
\[ \lim_{n \to \infty} \alpha_n = \lim_{n \to \infty} \frac{c_n}{b_n} = L. \]
Corollaire III. Soit \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) une suite telle que :
- \( a_n > 0 \) pour tout \( n \) ;
- \[ \lim_{n \to \infty} a_n = L > 0. \]
Alors :
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k} = L. \]
Démonstration. Définissons :
\[ u_n = \log a_n. \]
Puisque \( a_n \to L > 0 \), on a :
\[ u_n = \log a_n \longrightarrow \log L. \]
Considérons les moyennes arithmétiques :
\[ \beta_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} u_k, \qquad n\ge 1. \]
En utilisant la définition de \( u_k \), nous obtenons :
\[ \beta_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \log a_k = \log \left( \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k} \right). \]
D’après le Corollaire II :
\[ \lim_{n \to \infty} \beta_n = \log L. \]
En appliquant la fonction exponentielle :
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k} = L. \]
Corollaire IV. Soit \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) une suite de nombres réels strictement positifs.
Si
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L > 0, \]
alors :
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L. \]
Démonstration. Définissons, pour tout \( n \ge 1 \),
\[ b_n = \frac{a_n}{a_{n-1}}. \]
Par hypothèse :
\[ b_n \to L. \]
En appliquant le Corollaire III à la suite \( \{b_n\}_{n \ge 1} \), ou, de manière équivalente, à cette même suite réindexée à partir de \(0\), nous obtenons :
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n} b_k} = L. \]
D’autre part,
\[ \prod_{k=1}^{n} b_k = \prod_{k=1}^{n} \frac{a_k}{a_{k-1}} = \frac{a_n}{a_0}. \]
Ainsi :
\[ \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n} b_k} = \sqrt[n]{\frac{a_n}{a_0}} = \frac{\sqrt[n]{a_n}}{\sqrt[n]{a_0}}. \]
Puisque
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_0} = 1, \]
il s’ensuit que :
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L. \]
Ceci achève la démonstration.