Le théorème de Heine-Borel est l'un des résultats fondamentaux de l'analyse réelle. Il fournit une caractérisation complète des parties compactes de la droite réelle, en montrant que dans \(\mathbb R\) la compacité coïncide exactement avec deux propriétés bien plus simples à reconnaître : être fermé et être borné.
Autrement dit, une partie de \(\mathbb R\) est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée. Ce résultat rend concrète la définition de la compacité par recouvrements ouverts et explique pourquoi des intervalles tels que \([a,b]\) sont compacts, tandis que des ensembles comme \((a,b)\) ou \([0,+\infty)\) ne le sont pas.
Dans cet exposé, nous énoncerons le théorème de Heine-Borel, en éclaircirons le sens, démontrerons les deux implications et analyserons des exemples fondamentaux ainsi que des contre-exemples.
Sommaire
- Énoncé du théorème de Heine-Borel
- Signification du théorème
- Pourquoi le caractère borné est nécessaire
- Pourquoi le caractère fermé est nécessaire
- Démonstration : toute partie compacte de \(\mathbb R\) est fermée et bornée
- Démonstration : toute partie fermée et bornée de \(\mathbb R\) est compacte
- Exemples de parties compactes via Heine-Borel
- Exemples de parties non compactes via Heine-Borel
- Heine-Borel et suites
- Récapitulatif final
Énoncé du théorème de Heine-Borel
Le théorème de Heine-Borel caractérise complètement les parties compactes de la droite réelle.
Théorème de Heine-Borel. Une partie \(K\subseteq\mathbb R\) est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.
En symboles :
\[ K \subseteq \mathbb R \text{ est compacte} \quad \Longleftrightarrow \quad K \text{ est fermée et bornée}. \]
Le théorème renferme deux assertions distinctes :
- si \(K\subseteq\mathbb R\) est compacte, alors \(K\) est fermée et bornée ;
- si \(K\subseteq\mathbb R\) est fermée et bornée, alors \(K\) est compacte.
La première implication montre que la compacité interdit aussi bien la fuite vers l'infini que l'existence de points d'accumulation n'appartenant pas à la partie considérée. La seconde implication montre, à l'inverse, que sur la droite réelle ces deux conditions suffisent à garantir la compacité.
Signification du théorème
La définition d'une partie compacte se formule au moyen des recouvrements ouverts : une partie \(K\subseteq\mathbb R\) est compacte si tout recouvrement ouvert de \(K\) admet un sous-recouvrement fini.
Cette définition est très générale, mais elle n'est pas toujours immédiate à vérifier. Le théorème de Heine-Borel rend la compacité bien plus concrète dans le cas des parties réelles.
En effet, grâce au théorème, pour déterminer si une partie \(K\subseteq\mathbb R\) est compacte, il n'est pas nécessaire d'examiner directement tous ses recouvrements ouverts. Il suffit de vérifier deux propriétés :
- \(K\) est bornée, c'est-à-dire que ses points ne peuvent pas s'éloigner indéfiniment ;
- \(K\) est fermée, c'est-à-dire qu'elle contient tous ses points d'accumulation.
Par exemple, l'intervalle
\[ [0,1] \]
est fermé et borné, donc compact.
L'intervalle
\[ (0,1) \]
est borné, mais non fermé ; il n'est donc pas compact.
La demi-droite
\[ [0,+\infty) \]
est fermée, mais non bornée ; elle n'est donc pas compacte.
Le théorème de Heine-Borel montre ainsi que, dans \(\mathbb R\), la compacité signifie exactement ceci : aucune fuite vers l'infini et aucun point d'accumulation absent de la partie.
Pourquoi le caractère borné est nécessaire
Voyons tout d'abord pourquoi une partie compacte ne peut pas être non bornée.
Une partie \(K\subseteq\mathbb R\) est dite bornée s'il existe \(M>0\) tel que
\[ K\subseteq [-M,M]. \]
De manière équivalente, tous les points de \(K\) ont une valeur absolue inférieure ou égale à une même constante :
\[ |x|\leq M \qquad \text{pour tout } x\in K. \]
Si, au contraire, \(K\) n'est pas bornée, alors ses points peuvent s'éloigner indéfiniment. Dans ce cas, on peut construire un recouvrement ouvert de \(K\) qui n'admet aucun sous-recouvrement fini.
Considérons en effet la famille d'ouverts
\[ U_n=(-n,n), \qquad n\in\mathbb N,\ n\geq 1. \]
La réunion de tous ces ouverts est la droite réelle tout entière :
\[ \bigcup_{n=1}^{+\infty}(-n,n)=\mathbb R. \]
Donc, en particulier,
\[ K\subseteq \bigcup_{n=1}^{+\infty}(-n,n). \]
La famille \(\{(-n,n)\}_{n\geq 1}\) est ainsi un recouvrement ouvert de \(K\).
Si l'on choisit dans ce recouvrement un nombre fini d'ouverts seulement, il existe un indice maximal \(N\) parmi ceux choisis. Comme les intervalles \((-n,n)\) croissent lorsque \(n\) croît, la réunion finie des ouverts choisis est contenue dans
\[ (-N,N). \]
Mais, si \(K\) est non bornée, il existe au moins un point \(x\in K\) tel que
\[ |x|>N. \]
Un tel point n'appartient pas à \((-N,N)\). Par conséquent, aucun nombre fini d'ouverts de la famille ne peut recouvrir \(K\) tout entier.
Une partie non bornée ne peut donc pas être compacte.
En conséquence, toute partie compacte de \(\mathbb R\) doit être bornée.
Pourquoi le caractère fermé est nécessaire
Voyons à présent pourquoi une partie compacte de \(\mathbb R\) doit être fermée.
Une partie \(K\subseteq\mathbb R\) est fermée si elle contient tous ses points d'accumulation. Autrement dit, si une suite de points de \(K\) converge vers un nombre réel \(x\), alors la limite \(x\) doit encore appartenir à \(K\).
Si une partie n'est pas fermée, il peut arriver que certains de ses points s'approchent indéfiniment d'un point extérieur à la partie. Ce phénomène est incompatible avec la compacité.
Par exemple, l'intervalle
\[ (0,1) \]
n'est pas fermé, car \(0\) et \(1\) sont des points d'accumulation de l'intervalle, mais n'appartiennent pas à l'intervalle lui-même.
Considérons la suite
\[ x_n=\frac{1}{n}. \]
Pour tout \(n\geq 2\), on a
\[ x_n\in(0,1), \]
mais
\[ x_n\to 0. \]
La limite \(0\) n'appartient pas à \((0,1)\). Ainsi la suite \(\left(\displaystyle \frac{1}{n}\right)\), tout en étant contenue dans l'intervalle ouvert \((0,1)\), converge vers un point extérieur à l'ensemble.
Cela montre pourquoi le caractère fermé est nécessaire : une partie compacte ne peut pas perdre les limites des suites qui vivent en son sein.
Plus précisément, si \(K\) est compacte, toute suite de points de \(K\) admet une sous-suite convergeant vers un point de \(K\). Si \(K\) possédait un point d'accumulation extérieur, on pourrait construire une suite de points de \(K\) convergeant vers ce point extérieur, ce qui contredirait la compacité.
En conséquence, toute partie compacte de \(\mathbb R\) doit être fermée.
Démonstration : toute partie compacte de \(\mathbb R\) est fermée et bornée
Démontrons maintenant la première implication du théorème de Heine-Borel :
\[ K \text{ compacte} \quad \Longrightarrow \quad K \text{ fermée et bornée}. \]
La démonstration se scinde naturellement en deux parties :
- nous prouvons d'abord que \(K\) est bornée ;
- nous prouvons ensuite que \(K\) est fermée.
Une partie compacte de \(\mathbb R\) est bornée
Supposons que \(K\subseteq\mathbb R\) soit compacte.
Considérons la famille d'ouverts
\[ U_n=(-n,n), \qquad n\in\mathbb N,\ n\geq 1. \]
Puisque
\[ \bigcup_{n=1}^{+\infty}(-n,n)=\mathbb R, \]
on a assurément
\[ K\subseteq \bigcup_{n=1}^{+\infty}(-n,n). \]
Ainsi \(\{U_n\}_{n\geq 1}\) est un recouvrement ouvert de \(K\).
Comme \(K\) est compacte, on peut extraire de ce recouvrement ouvert un sous-recouvrement fini. Il existe donc des indices
\[ n_1,n_2,\ldots,n_m \]
tels que
\[ K\subseteq (-n_1,n_1)\cup(-n_2,n_2)\cup\cdots\cup(-n_m,n_m). \]
Posons
\[ N=\max\{n_1,n_2,\ldots,n_m\}. \]
Comme les intervalles \((-n,n)\) croissent lorsque \(n\) croît, on a
\[ (-n_j,n_j)\subseteq (-N,N) \qquad \text{pour tout } j=1,\ldots,m. \]
Par suite
\[ K\subseteq (-N,N). \]
Tout point \(x\in K\) vérifie donc
\[ |x|<N. \]
Nous avons ainsi trouvé une constante \(N>0\) qui borne tous les points de \(K\). Donc \(K\) est bornée.
Une partie compacte de \(\mathbb R\) est fermée
Prouvons à présent que \(K\) est fermée.
Nous utiliserons la caractérisation séquentielle des parties fermées : une partie \(K\subseteq\mathbb R\) est fermée si et seulement si, pour toute suite \((x_n)\subseteq K\) convergeant vers un nombre réel \(x\), on a nécessairement \(x\in K\).
Soit donc \((x_n)\) une suite de points de \(K\) telle que
\[ x_n\to x \qquad \text{avec } x\in\mathbb R. \]
Comme \(K\) est compacte, par la caractérisation séquentielle de la compacité dans \(\mathbb R\), toute suite de points de \(K\) admet une sous-suite convergeant vers un point de \(K\). Il existe donc une sous-suite \((x_{n_k})\) telle que
\[ x_{n_k}\to y \qquad \text{avec } y\in K. \]
Mais \((x_{n_k})\) est une sous-suite de la suite \((x_n)\), et toute sous-suite d'une suite convergente converge vers la même limite. Puisque \(x_n\to x\), il s'ensuit que
\[ x_{n_k}\to x. \]
Nous avons donc
\[ x_{n_k}\to x \qquad \text{et} \qquad x_{n_k}\to y. \]
Par l'unicité de la limite dans \(\mathbb R\), on obtient
\[ x=y. \]
Puisque \(y\in K\), il s'ensuit que \(x\in K\) également.
Nous avons prouvé que toute suite de points de \(K\) convergeant dans \(\mathbb R\) a sa limite dans \(K\). Donc \(K\) est fermée.
Nous avons ainsi établi que toute partie compacte de \(\mathbb R\) est à la fois fermée et bornée.
Démonstration : toute partie fermée et bornée de \(\mathbb R\) est compacte
Démontrons à présent la seconde implication du théorème de Heine-Borel :
\[ K \text{ fermée et bornée} \quad \Longrightarrow \quad K \text{ compacte}. \]
C'est la partie la plus profonde du théorème. En effet, il ne suffit pas de savoir intuitivement qu'une partie fermée et bornée est bien maîtrisée : il faut démontrer que tout recouvrement ouvert de celle-ci admet un sous-recouvrement fini.
Nous procéderons en deux étapes :
- nous démontrerons d'abord que tout intervalle fermé et borné \([a,b]\) est compact ;
- nous utiliserons ensuite ce résultat pour démontrer que toute partie fermée et bornée de \(\mathbb R\) est compacte.
Étape 1 : tout intervalle \([a,b]\) est compact
Soient \(a,b\in\mathbb R\), avec \(a\leq b\). Nous voulons démontrer que l'intervalle
\[ [a,b] \]
est compact.
Considérons un recouvrement ouvert quelconque de \([a,b]\) :
\[ [a,b]\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i, \]
où chaque \(U_i\) est un ouvert de \(\mathbb R\).
Nous devons démontrer qu'il existe \(i_1,\ldots,i_m\in I\) tels que
\[ [a,b]\subseteq U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_m}. \]
Raisonnons par l'absurde. Supposons qu'il existe un recouvrement ouvert de \([a,b]\) dont on ne puisse extraire aucun sous-recouvrement fini.
Partageons l'intervalle \([a,b]\) en deux moitiés :
\[ \left[a,\frac{a+b}{2}\right], \qquad \left[\frac{a+b}{2},b\right]. \]
Si ces deux moitiés admettaient toutes deux un sous-recouvrement fini, alors leur réunion, c'est-à-dire \([a,b]\) tout entier, en admettrait également un. Cela contredirait l'hypothèse.
Donc l'une au moins des deux moitiés n'admet pas de sous-recouvrement fini. Désignons-la par \(I_1\).
Partageons maintenant \(I_1\) en deux moitiés. Là encore, l'une au moins des deux moitiés ne peut admettre de sous-recouvrement fini ; sinon \(I_1\) serait recouvert par un nombre fini d'ouverts. Désignons cette moitié par \(I_2\).
En poursuivant de la sorte, nous construisons une suite d'intervalles fermés et bornés
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq \cdots \]
tels que :
- chaque \(I_n\) est un sous-intervalle fermé de \([a,b]\) ;
- aucun \(I_n\) n'admet de sous-recouvrement fini au moyen des ouverts du recouvrement initial ;
- la longueur de \(I_n\) tend vers \(0\).
Plus précisément, si \(I_n=[a_n,b_n]\), alors
\[ b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}. \]
D'après le théorème des intervalles emboîtés, il existe au moins un point
\[ x\in \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Puisque \(x\in[a,b]\) et que la famille \(\{U_i\}_{i\in I}\) recouvre \([a,b]\), il existe un indice \(i_0\in I\) tel que
\[ x\in U_{i_0}. \]
Comme \(U_{i_0}\) est ouvert, il existe \(r>0\) tel que
\[ (x-r,x+r)\subseteq U_{i_0}. \]
Comme la longueur des intervalles \(I_n\) tend vers \(0\), nous pouvons choisir \(N\in\mathbb N\) tel que
\[ b_N-a_N<r. \]
De plus \(x\in I_N\). Ainsi, pour tout \(y\in I_N\), on a
\[ |y-x|\leq b_N-a_N<r. \]
Par conséquent
\[ I_N\subseteq (x-r,x+r)\subseteq U_{i_0}. \]
Mais alors \(I_N\) est recouvert par un seul ouvert du recouvrement initial, à savoir \(U_{i_0}\). En particulier, \(I_N\) admet un sous-recouvrement fini.
Cela contredit la construction des intervalles \(I_n\), selon laquelle aucun \(I_n\) ne devait admettre de sous-recouvrement fini.
L'absurdité provient de l'hypothèse selon laquelle \([a,b]\) ne serait pas compact. Donc tout intervalle fermé et borné \([a,b]\) est compact.
Étape 2 : toute partie fermée et bornée \(K\subseteq\mathbb R\) est compacte
Soit maintenant \(K\subseteq\mathbb R\) une partie fermée et bornée.
Comme \(K\) est bornée, il existe \(M>0\) tel que
\[ K\subseteq [-M,M]. \]
Nous venons de démontrer que l'intervalle \([-M,M]\) est compact.
Considérons à présent un recouvrement ouvert quelconque de \(K\) :
\[ K\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i. \]
Nous voulons démontrer que l'on peut en extraire un sous-recouvrement fini.
Comme \(K\) est fermée, son complémentaire
\[ \mathbb R\setminus K \]
est ouvert.
Ajoutons cet ouvert à la famille \(\{U_i\}_{i\in I}\). Nous obtenons ainsi la famille
\[ \{U_i\}_{i\in I}\cup\{\mathbb R\setminus K\}. \]
Cette nouvelle famille est un recouvrement ouvert de l'intervalle \([-M,M]\) tout entier.
En effet, si \(x\in[-M,M]\), deux cas peuvent se présenter :
- si \(x\in K\), alors \(x\) appartient à au moins l'un des ouverts \(U_i\), car \(\{U_i\}_{i\in I}\) recouvre \(K\) ;
- si \(x\notin K\), alors \(x\in\mathbb R\setminus K\).
Donc
\[ [-M,M]\subseteq \left(\bigcup_{i\in I} U_i\right)\cup(\mathbb R\setminus K). \]
Comme \([-M,M]\) est compact, nous pouvons extraire de ce recouvrement ouvert de \([-M,M]\) un sous-recouvrement fini.
Il existe donc un nombre fini d'ouverts du recouvrement initial, que nous notons
\[ U_{i_1},\ldots,U_{i_m}, \]
et éventuellement aussi l'ouvert \(\mathbb R\setminus K\), tels que
\[ [-M,M]\subseteq U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_m}\cup(\mathbb R\setminus K). \]
Restreignons à présent notre attention aux points de \(K\). Comme aucun point de \(K\) n'appartient à \(\mathbb R\setminus K\), la partie \(\mathbb R\setminus K\) ne contribue pas à recouvrir \(K\).
Par conséquent, les seuls ouverts
\[ U_{i_1},\ldots,U_{i_m} \]
suffisent à recouvrir \(K\) :
\[ K\subseteq U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_m}. \]
Nous avons donc extrait un sous-recouvrement fini du recouvrement ouvert initial de \(K\).
Comme le recouvrement ouvert initial était arbitraire, \(K\) est compacte.
Nous avons ainsi démontré que toute partie fermée et bornée de \(\mathbb R\) est compacte.
Exemples de parties compactes via Heine-Borel
Le théorème de Heine-Borel permet de reconnaître rapidement de nombreuses parties compactes de \(\mathbb R\), sans avoir à vérifier directement la définition au moyen des recouvrements ouverts.
Dans \(\mathbb R\), en effet, il suffit de vérifier deux propriétés :
- la partie doit être fermée ;
- la partie doit être bornée.
Intervalles fermés et bornés
Tout intervalle de la forme
\[ [a,b], \qquad a,b\in\mathbb R,\ a\leq b, \]
est compact.
En effet, \([a,b]\) est fermé, car il contient ses propres extrémités, et borné, car tout point \(x\) qu'il contient vérifie
\[ a\leq x\leq b. \]
Ainsi, d'après le théorème de Heine-Borel, \([a,b]\) est compact.
Parties finies
Toute partie finie de nombres réels est compacte.
Par exemple, considérons
\[ A=\{-2,0,3,7\}. \]
La partie \(A\) est fermée, car tous ses points sont isolés et elle ne possède pas de point d'accumulation extérieur. Elle est en outre bornée, car tous ses éléments appartiennent, par exemple, à l'intervalle \([-2,7]\).
Donc, d'après le théorème de Heine-Borel, \(A\) est compacte.
Une partie infinie contenant un point d'accumulation
Considérons l'ensemble
\[ K=\{0\}\cup\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}. \]
Cet ensemble est borné, car
\[ K\subseteq [0,1]. \]
Il est en outre fermé : l'unique point d'accumulation de la suite \(\displaystyle \frac{1}{n}\) est \(0\), et \(0\) appartient à \(K\).
Donc \(K\) est fermé et borné. D'après le théorème de Heine-Borel, \(K\) est compact.
Réunion finie d'intervalles fermés et bornés
Des ensembles tels que
\[ A=[-2,-1]\cup[0,3]\cup[5,6] \]
sont eux aussi compacts.
En effet, \(A\) est borné, car il est contenu dans l'intervalle \([-2,6]\). Il est en outre fermé, étant une réunion finie d'ensembles fermés.
Donc, d'après le théorème de Heine-Borel, \(A\) est compact.
Exemples de parties non compactes via Heine-Borel
Le théorème de Heine-Borel permet également de reconnaître rapidement quand une partie de nombres réels n'est pas compacte.
Dans \(\mathbb R\), une partie n'est pas compacte s'il lui manque au moins l'une des deux propriétés exigées par le théorème : être fermée ou être bornée.
Intervalles ouverts bornés
L'intervalle
\[ (0,1) \]
n'est pas compact.
En effet, il est borné, mais non fermé. Les points \(0\) et \(1\) sont des points d'accumulation de \((0,1)\), mais n'appartiennent pas à l'intervalle.
Comme \((0,1)\) n'est pas fermé, d'après le théorème de Heine-Borel il n'est pas compact.
Intervalles semi-ouverts
L'intervalle
\[ [0,1) \]
n'est pas compact non plus.
Il est borné, mais non fermé, car \(1\) est un point d'accumulation de l'ensemble et \(1\notin[0,1)\).
Donc \([0,1)\) n'est pas compact.
Ensembles fermés mais non bornés
La demi-droite
\[ [0,+\infty) \]
n'est pas compacte.
En effet, elle est fermée, mais non bornée : ses points peuvent s'éloigner indéfiniment vers \(+\infty\).
D'après le théorème de Heine-Borel, une partie de \(\mathbb R\) est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée. Comme \([0,+\infty)\) n'est pas bornée, elle n'est pas compacte.
Un ensemble borné mais non fermé
Considérons l'ensemble
\[ A=\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}. \]
L'ensemble \(A\) est borné, car
\[ A\subseteq (0,1]. \]
Cependant, il n'est pas fermé, car la suite
\[ \frac{1}{n} \]
converge vers \(0\), mais \(0\notin A\).
Donc \(A\) n'est pas fermé. D'après le théorème de Heine-Borel, \(A\) n'est pas compact.
Heine-Borel et suites
Le théorème de Heine-Borel est étroitement lié à la caractérisation séquentielle de la compacité.
Dans \(\mathbb R\), dire qu'une partie \(K\) est compacte revient aussi à dire que toute suite de points de \(K\) admet une sous-suite convergeant vers un point de \(K\).
Le théorème de Heine-Borel explique pourquoi cette propriété équivaut au fait d'être fermée et bornée.
Le rôle du caractère borné
Le caractère borné empêche les suites de fuir vers l'infini.
Par exemple, dans l'ensemble
\[ [0,+\infty) \]
la suite
\[ x_n=n \]
est entièrement contenue dans l'ensemble, mais n'admet aucune sous-suite convergente dans \(\mathbb R\). En effet, toute sous-suite qu'on en extrait tend vers \(+\infty\).
Cela montre pourquoi le caractère borné est nécessaire à la compacité.
Le rôle du caractère fermé
Le caractère fermé empêche les suites de converger vers des points extérieurs à l'ensemble.
Par exemple, dans l'intervalle
\[ (0,1) \]
la suite
\[ x_n=\frac{1}{n} \]
est contenue dans \((0,1)\) pour tout \(n\geq 2\), mais converge vers \(0\), qui n'appartient pas à l'intervalle.
Cela montre pourquoi le caractère fermé est nécessaire à la compacité.
Caractères fermé et borné réunis
Si une partie \(K\subseteq\mathbb R\) est bornée, alors toute suite de points de \(K\) est bornée. D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet une sous-suite convergente dans \(\mathbb R\).
Si de plus \(K\) est fermée, la limite de cette sous-suite appartient encore à \(K\).
Donc toute suite de points de \(K\) admet une sous-suite convergeant vers un point de \(K\).
C'est là le contenu séquentiel de la compacité, qui constitue une autre forme du théorème de Heine-Borel sur la droite réelle.
Récapitulatif final
Le théorème de Heine-Borel affirme qu'une partie \(K\subseteq\mathbb R\) est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.
En symboles :
\[ K\subseteq\mathbb R \text{ est compacte} \quad \Longleftrightarrow \quad K \text{ est fermée et bornée}. \]
La compacité se définit au moyen des recouvrements ouverts : tout recouvrement ouvert de \(K\) doit admettre un sous-recouvrement fini.
Le théorème de Heine-Borel rend cette définition concrète dans le cas de la droite réelle. Au lieu d'examiner directement tous les recouvrements ouverts, il suffit de vérifier deux propriétés :
- \(K\) est fermée, donc elle contient tous ses points d'accumulation ;
- \(K\) est bornée, donc ses points ne peuvent pas fuir vers l'infini.
Le caractère borné interdit la fuite vers l'infini, tandis que le caractère fermé garantit que la partie contient tous ses points d'accumulation.
Pour cette raison, dans \(\mathbb R\), les parties compactes sont exactement les parties fermées et bornées.
Le théorème de Heine-Borel est donc le résultat qui relie de manière définitive la définition abstraite de la compacité, fondée sur les recouvrements ouverts, à une caractérisation simple et concrète sur la droite réelle : être fermée et bornée.
Cette caractérisation est à la base de nombreux résultats ultérieurs de l'analyse, parmi lesquels le théorème de Weierstrass, la caractérisation séquentielle de la compacité et l'étude des fonctions continues définies sur des parties compactes.