Cette page propose 20 exercices résolus pas à pas sur le théorème de conservation du signe pour les suites. L'objectif est d'apprendre à reconnaître quand une suite est positive à partir d'un certain rang ou négative à partir d'un certain rang, d'après le comportement de sa limite.
Ces exercices sont conçus pour clarifier le sens précis de l'expression « à partir d'un certain rang », le rôle fondamental de l'hypothèse \(L\neq 0\) et les cas où le théorème ne s'applique pas, comme les suites de limite nulle ou celles qui n'ont pas de limite.
Dans certains exercices, nous appliquerons directement le théorème de conservation du signe ; dans d'autres, nous déterminerons aussi un rang \(N\) à partir duquel le signe de la suite devient stable. Ainsi, le résultat théorique est concrètement relié à l'étude du signe des termes d'une suite.
Rappelons que si \(\lim_{n\to+\infty}a_n=L\) avec \(L>0\), alors il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N\), on a \(a_n>0\). Si en revanche \(\lim_{n\to+\infty}a_n=L\) avec \(L<0\), alors il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N\), on a \(a_n<0\).
En symboles :
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L>0 \quad\Longrightarrow\quad \exists N\in\mathbb{N}:\forall n\geq N,\ a_n>0, \]
tandis que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L<0 \quad\Longrightarrow\quad \exists N\in\mathbb{N}:\forall n\geq N,\ a_n<0. \]
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=2+\frac{1}{n} \]
est positive à partir d'un certain rang, en justifiant la réponse à l'aide du théorème de conservation du signe.
Résultat
La suite est positive à partir d'un certain rang.
Résolution
Calculons la limite de la suite :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2. \]
La limite existe, elle est réelle et non nulle. De plus, elle est positive, car
\[ 2>0. \]
D'après le théorème de conservation du signe, si une suite converge vers une limite positive, alors ses termes sont positifs à partir d'un certain rang.
Il existe donc un rang \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N\), on a
\[ a_n>0. \]
Ici, de plus, on voit directement que
\[ 2+\frac{1}{n}>0 \]
pour tout \(n\geq1\). Ainsi, la suite n'est pas seulement positive à partir d'un certain rang : elle est positive pour tout rang de son domaine.
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=\frac{3}{n}-5 \]
est négative à partir d'un certain rang.
Résultat
La suite est négative à partir d'un certain rang.
Résolution
Calculons la limite :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{3}{n}-5\right)=-5. \]
La limite est un nombre réel négatif et non nul.
D'après le théorème de conservation du signe, une suite qui converge vers une limite négative est négative à partir d'un certain rang.
Il existe donc \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N\),
\[ a_n<0. \]
On peut aussi vérifier directement à partir de quel rang cela se produit. Résolvons :
\[ \frac{3}{n}-5<0. \]
En passant \(5\) au second membre, on obtient
\[ \frac{3}{n}<5. \]
Comme \(n>0\), on peut multiplier par \(n\) sans changer le sens de l'inégalité :
\[ 3<5n. \]
Donc
\[ n>\frac{3}{5}. \]
Pour tout \(n\geq1\), cette inégalité est vérifiée. La suite est donc négative pour tout \(n\geq1\), et a fortiori négative à partir d'un certain rang.
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=-1+\frac{4}{n} \]
est négative à partir d'un certain rang, et trouver un rang \(N\) possible.
Résultat
La suite est négative à partir d'un certain rang. Un rang possible est \(N=5\).
Résolution
Calculons la limite :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-1+\frac{4}{n}\right)=-1. \]
La limite est négative et non nulle. D'après le théorème de conservation du signe, la suite est donc négative à partir d'un certain rang.
Pour déterminer explicitement un rang \(N\), résolvons l'inégalité
\[ -1+\frac{4}{n}<0. \]
En passant \(-1\) au second membre :
\[ \frac{4}{n}<1. \]
Comme \(n>0\), multiplions par \(n\) :
\[ 4<n. \]
L'inégalité est donc vérifiée pour tout \(n>4\), c'est-à-dire pour tout \(n\geq5\).
Ainsi, en choisissant \(N=5\), on a
\[ a_n<0 \]
pour tout \(n\geq5\).
Exercice 4 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=7-\frac{10}{n} \]
est positive à partir d'un certain rang, et trouver un rang \(N\) possible.
Résultat
La suite est positive à partir d'un certain rang. Un rang possible est \(N=2\).
Résolution
Calculons la limite :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(7-\frac{10}{n}\right)=7. \]
La limite est positive et non nulle.
D'après le théorème de conservation du signe, la suite est positive à partir d'un certain rang.
Déterminons maintenant un rang explicite. Il faut résoudre :
\[ 7-\frac{10}{n}>0. \]
En passant la fraction au second membre :
\[ 7>\frac{10}{n}. \]
Comme \(n>0\), multiplions par \(n\) :
\[ 7n>10. \]
Donc
\[ n>\frac{10}{7}. \]
Le plus petit entier \(n\geq1\) qui satisfait cette condition est \(n=2\).
Ainsi, en choisissant \(N=2\), on a
\[ a_n>0 \]
pour tout \(n\geq2\).
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=\frac{2n+1}{n+3} \]
est positive à partir d'un certain rang.
Résultat
La suite est positive à partir d'un certain rang.
Résolution
Divisons le numérateur et le dénominateur par \(n\) :
\[ a_n=\frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{1+\displaystyle \frac{3}{n}}. \]
En passant à la limite :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{1+\displaystyle \frac{3}{n}}=\frac{2+0}{1+0}=2. \]
La limite est positive et non nulle.
D'après le théorème de conservation du signe, la suite est positive à partir d'un certain rang.
En réalité, même sans le théorème, on peut observer que, pour tout \(n\geq1\),
\[ 2n+1>0 \qquad \text{et} \qquad n+3>0. \]
Donc
\[ \frac{2n+1}{n+3}>0 \]
pour tout \(n\geq1\).
Cela confirme ce que prévoit le théorème : la suite est assurément positive à partir d'un certain rang.
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=\frac{1-3n}{2n+5} \]
est négative à partir d'un certain rang.
Résultat
La suite est négative à partir d'un certain rang.
Résolution
Divisons le numérateur et le dénominateur par \(n\) :
\[ a_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n}-3}{2+\displaystyle \frac{5}{n}}. \]
Calculons la limite :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}-3}{2+\displaystyle \frac{5}{n}}=\frac{0-3}{2+0}=-\frac{3}{2}. \]
La limite est négative et non nulle.
D'après le théorème de conservation du signe, la suite est négative à partir d'un certain rang.
On peut aussi vérifier le signe directement. Pour \(n\geq1\), le dénominateur \(2n+5\) est positif. Le signe de la fraction dépend donc du numérateur :
\[ 1-3n<0. \]
Cette inégalité équivaut à
\[ 1<3n, \]
c'est-à-dire
\[ n>\frac{1}{3}. \]
Elle est vraie pour tout \(n\geq1\). La suite est donc négative pour tout \(n\geq1\), et par conséquent négative à partir d'un certain rang.
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=\frac{n^2-4n+1}{n^2+1} \]
est positive à partir d'un certain rang.
Résultat
La suite est positive à partir d'un certain rang.
Résolution
Divisons le numérateur et le dénominateur par \(n^2\) :
\[ a_n=\frac{1-\displaystyle \frac{4}{n}+\displaystyle \frac{1}{n^2}}{1+\displaystyle \frac{1}{n^2}}. \]
Calculons la limite :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1-\displaystyle \frac{4}{n}+\displaystyle \frac{1}{n^2}}{1+\displaystyle \frac{1}{n^2}}=\frac{1-0+0}{1+0}=1. \]
La limite est positive et non nulle.
D'après le théorème de conservation du signe, la suite est positive à partir d'un certain rang.
Observons que le théorème n'affirme pas nécessairement que la suite soit positive pour tout \(n\). Il affirme seulement qu'il existe un rang \(N\) à partir duquel tous les termes sont positifs.
En effet, le numérateur
\[ n^2-4n+1 \]
peut prendre des valeurs négatives pour quelques rangs initiaux, mais cela ne contredit pas le théorème.
Comme la limite vaut \(1>0\), à partir d'un certain rang on a assurément
\[ a_n>0. \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=\frac{-2n^2+n+4}{n^2+3} \]
est négative à partir d'un certain rang.
Résultat
La suite est négative à partir d'un certain rang.
Résolution
Divisons le numérateur et le dénominateur par \(n^2\) :
\[ a_n=\frac{-2+\displaystyle \frac{1}{n}+\displaystyle \frac{4}{n^2}}{1+\displaystyle \frac{3}{n^2}}. \]
En passant à la limite :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{-2+\displaystyle \frac{1}{n}+\displaystyle \frac{4}{n^2}}{1+\displaystyle \frac{3}{n^2}}=\frac{-2+0+0}{1+0}=-2. \]
La limite est négative et non nulle.
D'après le théorème de conservation du signe, la suite est négative à partir d'un certain rang.
Il existe donc \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N\),
\[ a_n<0. \]
Même s'il fallait vérifier séparément les premiers termes, cela serait sans importance pour le théorème, car celui-ci porte sur le comportement de la suite à partir d'un certain rang.
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si le théorème de conservation du signe s'applique à la suite
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Déterminer en outre si la suite est positive à partir d'un certain rang ou négative à partir d'un certain rang.
Résultat
Le théorème ne s'applique pas, car la limite est \(0\). La suite n'est ni positive à partir d'un certain rang, ni négative à partir d'un certain rang.
Résolution
Calculons la limite de la suite :
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Comme
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1, \]
en divisant par \(n>0\) on obtient
\[ -\frac{1}{n}\leq \frac{(-1)^n}{n}\leq \frac{1}{n}. \]
Comme
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
le théorème d'encadrement donne
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
La limite existe, mais elle est nulle.
Le théorème de conservation du signe exige que la limite soit réelle et non nulle. Ici, l'hypothèse \(L\neq 0\) n'est pas satisfaite, donc le théorème ne s'applique pas.
Étudions maintenant directement le signe de la suite. Si \(n\) est pair, alors \((-1)^n=1\), donc
\[ a_n=\frac{1}{n}>0. \]
Si en revanche \(n\) est impair, alors \((-1)^n=-1\), donc
\[ a_n=-\frac{1}{n}<0. \]
La suite change donc de signe une infinité de fois.
Rappelons que dire qu'une suite est positive à partir d'un certain rang signifie qu'il existe un rang \(N\in\mathbb{N}\) tel que
\[ a_n>0 \]
pour tout \(n\geq N\). Or ce n'est pas le cas, car au-delà de n'importe quel rang il subsiste une infinité de rangs impairs, pour lesquels \(a_n<0\).
De même, la suite n'est pas négative à partir d'un certain rang, car au-delà de n'importe quel rang il subsiste une infinité de rangs pairs, pour lesquels \(a_n>0\).
Le théorème ne s'applique donc pas, et la suite n'est ni positive à partir d'un certain rang, ni négative à partir d'un certain rang.
Exercice 10 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si le théorème de conservation du signe s'applique à la suite
\[ a_n=(-1)^n+2. \]
Déterminer en outre si la suite est positive à partir d'un certain rang.
Résultat
Le théorème ne s'applique pas, car la suite n'a pas de limite. Toutefois, la suite est positive pour tout \(n\), donc elle est positive à partir d'un certain rang.
Résolution
Observons le comportement de la suite :
\[ a_n=(-1)^n+2. \]
Si \(n\) est pair, alors \((-1)^n=1\), donc
\[ a_n=1+2=3. \]
Si \(n\) est impair, alors \((-1)^n=-1\), donc
\[ a_n=-1+2=1. \]
La suite prend donc alternativement les valeurs \(3\) et \(1\). En particulier, la sous-suite des termes de rang pair tend vers \(3\), tandis que la sous-suite des termes de rang impair tend vers \(1\).
Comme ces deux valeurs sont différentes, la suite ne converge pas vers une limite réelle unique.
Le théorème de conservation du signe exige l'existence d'une limite réelle non nulle. Ici, la limite n'existe pas, donc le théorème ne s'applique pas.
On peut toutefois étudier le signe directement. Nous avons vu que, pour tout \(n\), la suite ne prend que les valeurs \(1\) et \(3\). Donc
\[ a_n>0 \]
pour tout \(n\).
Il s'ensuit que la suite est positive à partir d'un certain rang. En effet, on peut choisir par exemple \(N=1\), et pour tout \(n\geq1\) on a \(a_n>0\).
Cet exercice montre qu'une suite peut être positive à partir d'un certain rang même lorsque le théorème de conservation du signe ne s'applique pas. Dans ce cas, cependant, cette positivité doit être démontrée directement, et non déduite du théorème.
Exercice 11 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=\frac{n-5}{n+2} \]
est positive à partir d'un certain rang, et trouver un rang \(N\) possible.
Résultat
La suite est positive à partir d'un certain rang. Un rang possible est \(N=6\).
Résolution
Calculons la limite de la suite :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n-5}{n+2}=1. \]
En effet, le numérateur et le dénominateur ont le même degré, et le rapport des coefficients dominants vaut
\[ \frac{1}{1}=1. \]
La limite est positive et non nulle.
D'après le théorème de conservation du signe, la suite est positive à partir d'un certain rang.
Déterminons maintenant explicitement un rang \(N\). Il faut résoudre :
\[ \frac{n-5}{n+2}>0. \]
Pour \(n\geq1\), le dénominateur est positif, car
\[ n+2>0. \]
Le signe de la fraction dépend donc du numérateur :
\[ n-5>0. \]
On obtient
\[ n>5. \]
Ainsi, pour tout \(n\geq6\), on a
\[ a_n>0. \]
On peut donc choisir \(N=6\).
Exercice 12 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=\frac{4-2n}{n+1} \]
est négative à partir d'un certain rang, et trouver un rang \(N\) possible.
Résultat
La suite est négative à partir d'un certain rang. Un rang possible est \(N=3\).
Résolution
Calculons la limite :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{4-2n}{n+1}=-2. \]
La limite est négative et non nulle.
D'après le théorème de conservation du signe, la suite est négative à partir d'un certain rang.
Déterminons maintenant un rang explicite. Il faut résoudre :
\[ \frac{4-2n}{n+1}<0. \]
Pour \(n\geq1\), le dénominateur est positif :
\[ n+1>0. \]
La fraction est donc négative lorsque le numérateur est négatif :
\[ 4-2n<0. \]
En passant \(2n\) au second membre :
\[ 4<2n. \]
En divisant par \(2\), on obtient
\[ 2<n. \]
Donc
\[ n>2. \]
Pour tout \(n\geq3\), la suite est négative. On peut donc choisir \(N=3\).
Exercice 13 — niveau ★★☆☆☆
Démontrer que la suite
\[ a_n=3-\frac{2}{n} \]
est supérieure à \(1\) à partir d'un certain rang.
Résultat
La suite est supérieure à \(1\) à partir d'un certain rang. Un rang possible est \(N=2\).
Résolution
Le théorème de conservation du signe porte sur le signe d'une suite. Pour étudier l'inégalité
\[ a_n>1, \]
faisons tout passer au premier membre et considérons la suite auxiliaire
\[ b_n=a_n-1. \]
Comme
\[ a_n=3-\frac{2}{n}, \]
on a
\[ b_n=3-\frac{2}{n}-1=2-\frac{2}{n}. \]
Calculons la limite de \(b_n\) :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2-\frac{2}{n}\right)=2. \]
La limite est positive et non nulle. D'après le théorème de conservation du signe, on a donc
\[ b_n>0 \]
à partir d'un certain rang.
Mais \(b_n>0\) signifie exactement
\[ a_n-1>0, \]
c'est-à-dire
\[ a_n>1. \]
Donc la suite \(a_n\) est supérieure à \(1\) à partir d'un certain rang.
Déterminons aussi un rang explicite :
\[ 3-\frac{2}{n}>1. \]
En passant \(1\) au premier membre :
\[ 2-\frac{2}{n}>0. \]
Donc
\[ 2>\frac{2}{n}. \]
Comme \(n>0\), multiplions par \(n\) :
\[ 2n>2. \]
En divisant par \(2\), on obtient
\[ n>1. \]
Par conséquent, pour tout \(n\geq2\), on a
\[ a_n>1. \]
Exercice 14 — niveau ★★☆☆☆
Démontrer que la suite
\[ a_n=-3+\frac{5}{n} \]
est inférieure à \(-1\) à partir d'un certain rang.
Résultat
La suite est inférieure à \(-1\) à partir d'un certain rang. Un rang possible est \(N=3\).
Résolution
Nous voulons démontrer que
\[ a_n<-1 \]
à partir d'un certain rang.
Faisons tout passer au premier membre :
\[ a_n+1<0. \]
Considérons donc la suite auxiliaire
\[ b_n=a_n+1. \]
Comme
\[ a_n=-3+\frac{5}{n}, \]
on obtient
\[ b_n=-3+\frac{5}{n}+1=-2+\frac{5}{n}. \]
Calculons la limite :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-2+\frac{5}{n}\right)=-2. \]
La limite est négative et non nulle.
D'après le théorème de conservation du signe, on a
\[ b_n<0 \]
à partir d'un certain rang.
Mais \(b_n<0\) signifie
\[ a_n+1<0, \]
c'est-à-dire
\[ a_n<-1. \]
Donc la suite \(a_n\) est inférieure à \(-1\) à partir d'un certain rang.
Déterminons maintenant un rang explicite :
\[ -3+\frac{5}{n}<-1. \]
Ajoutons \(3\) aux deux membres :
\[ \frac{5}{n}<2. \]
Comme \(n>0\), multiplions par \(n\) :
\[ 5<2n. \]
Donc
\[ n>\frac{5}{2}. \]
Le plus petit entier \(n\geq1\) qui satisfait cette condition est \(n=3\).
Par conséquent, on peut choisir \(N=3\).
Exercice 15 — niveau ★★★☆☆
Démontrer que la suite
\[ a_n=\frac{n^2+2n}{n^2+n+1} \]
est supérieure à \(\displaystyle \frac{1}{2}\) à partir d'un certain rang.
Résultat
La suite est supérieure à \(\displaystyle \frac{1}{2}\) à partir d'un certain rang.
Résolution
Nous voulons démontrer que
\[ a_n>\frac{1}{2} \]
à partir d'un certain rang.
Pour utiliser le théorème de conservation du signe, considérons la différence
\[ b_n=a_n-\frac{1}{2}. \]
Si nous démontrons que \(b_n>0\) à partir d'un certain rang, alors nous aurons démontré que
\[ a_n>\frac{1}{2} \]
à partir d'un certain rang.
Calculons la limite de \(a_n\) :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+2n}{n^2+n+1}=1. \]
Donc
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\lim_{n\to+\infty}\left(a_n-\frac{1}{2}\right)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}. \]
La limite de \(b_n\) est positive et non nulle.
D'après le théorème de conservation du signe, la suite \(b_n\) est positive à partir d'un certain rang.
Donc
\[ a_n-\frac{1}{2}>0 \]
à partir d'un certain rang, c'est-à-dire
\[ a_n>\frac{1}{2} \]
à partir d'un certain rang.
On peut aussi le vérifier directement :
\[ \frac{n^2+2n}{n^2+n+1}>\frac{1}{2}. \]
Comme \(n^2+n+1>0\) pour tout \(n\), on peut multiplier par \(2(n^2+n+1)\), qui est positif :
\[ 2(n^2+2n)>n^2+n+1. \]
En développant :
\[ 2n^2+4n>n^2+n+1. \]
En faisant tout passer au premier membre :
\[ n^2+3n-1>0. \]
Pour \(n\geq1\), on a
\[ n^2+3n-1\geq 1+3-1=3>0. \]
Donc, en réalité,
\[ a_n>\frac{1}{2} \]
pour tout \(n\geq1\).
Exercice 16 — niveau ★★★☆☆
Démontrer que la suite
\[ a_n=\frac{-3n^2+n+1}{n^2+4} \]
est inférieure à \(-2\) à partir d'un certain rang.
Résultat
La suite est inférieure à \(-2\) à partir d'un certain rang.
Résolution
Nous voulons démontrer que
\[ a_n<-2 \]
à partir d'un certain rang.
Faisons tout passer au premier membre :
\[ a_n+2<0. \]
Considérons donc la suite auxiliaire
\[ b_n=a_n+2. \]
Si \(b_n<0\) à partir d'un certain rang, alors \(a_n<-2\) à partir d'un certain rang.
Calculons la limite de \(a_n\) :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{-3n^2+n+1}{n^2+4}=-3. \]
Donc
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\lim_{n\to+\infty}(a_n+2)=-3+2=-1. \]
La limite de \(b_n\) est négative et non nulle.
D'après le théorème de conservation du signe, la suite \(b_n\) est négative à partir d'un certain rang.
Donc
\[ a_n+2<0 \]
à partir d'un certain rang, c'est-à-dire
\[ a_n<-2 \]
à partir d'un certain rang.
Vérifions-le aussi directement :
\[ \frac{-3n^2+n+1}{n^2+4}<-2. \]
Comme \(n^2+4>0\), on peut multiplier sans changer le sens de l'inégalité :
\[ -3n^2+n+1<-2(n^2+4). \]
En développant le second membre :
\[ -3n^2+n+1<-2n^2-8. \]
Faisons tout passer au premier membre :
\[ -n^2+n+9<0. \]
En multipliant par \(-1\), ce qui change le sens de l'inégalité :
\[ n^2-n-9>0. \]
Cette inégalité est assurément vraie pour \(n\) suffisamment grand. Par exemple, pour \(n\geq4\) on a
\[ n^2-n-9\geq 16-4-9=3>0. \]
Un rang possible est donc \(N=4\).
Exercice 17 — niveau ★★★☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}+4 \]
est positive à partir d'un certain rang.
Résultat
La suite est positive à partir d'un certain rang.
Résolution
La suite contient le terme oscillant \((-1)^n\), mais cela n'empêche pas nécessairement l'existence de la limite.
En effet,
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1. \]
En divisant par \(n>0\), on obtient
\[ -\frac{1}{n}\leq \frac{(-1)^n}{n}\leq \frac{1}{n}. \]
Comme
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
le théorème d'encadrement donne
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
Donc
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{(-1)^n}{n}+4\right)=4. \]
La limite est positive et non nulle.
D'après le théorème de conservation du signe, la suite est positive à partir d'un certain rang.
En réalité, dans ce cas, on peut aussi observer directement que
\[ \frac{(-1)^n}{n}\geq -\frac{1}{n}\geq -1 \]
pour tout \(n\geq1\). Donc
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}+4\geq -1+4=3>0. \]
Ainsi, la suite est positive pour tout \(n\geq1\), et par conséquent positive à partir d'un certain rang également.
Exercice 18 — niveau ★★★☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}-2 \]
est négative à partir d'un certain rang.
Résultat
La suite est négative à partir d'un certain rang.
Résolution
Étudions d'abord la limite. Comme
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1, \]
en divisant par \(n>0\) on obtient
\[ -\frac{1}{n}\leq \frac{(-1)^n}{n}\leq \frac{1}{n}. \]
Les deux bornes tendent vers \(0\), donc
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{(-1)^n}{n}-2\right)=-2. \]
La limite est négative et non nulle.
D'après le théorème de conservation du signe, la suite est négative à partir d'un certain rang.
Directement aussi, comme
\[ \frac{(-1)^n}{n}\leq \frac{1}{n}\leq 1 \]
pour tout \(n\geq1\), il s'ensuit que
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}-2\leq 1-2=-1<0. \]
Ainsi, la suite est négative pour tout \(n\geq1\), et donc a fortiori négative à partir d'un certain rang.
Exercice 19 — niveau ★★★☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=\frac{n+(-1)^n}{n} \]
est positive à partir d'un certain rang.
Résultat
La suite est positive à partir d'un certain rang. Un rang possible est \(N=2\).
Résolution
Réécrivons la suite en séparant les deux termes :
\[ a_n=\frac{n}{n}+\frac{(-1)^n}{n}. \]
Donc
\[ a_n=1+\frac{(-1)^n}{n}. \]
Comme
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0, \]
on obtient
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=1+0=1. \]
La limite est positive et non nulle.
D'après le théorème de conservation du signe, la suite est positive à partir d'un certain rang.
Cela signifie qu'il existe un rang \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N\), on a
\[ a_n>0. \]
Attention toutefois : le théorème garantit l'existence d'un tel rang \(N\), mais il n'affirme pas que l'on puisse nécessairement choisir \(N=1\).
En effet, pour \(n=1\), on a
\[ a_1=\frac{1+(-1)^1}{1}=\frac{1-1}{1}=0. \]
La suite n'est donc pas positive pour tout rang de son domaine, car son premier terme est nul.
Cela ne contredit cependant pas le théorème, car celui-ci porte sur le comportement de la suite à partir d'un certain rang, c'est-à-dire sur ce qui se passe au-delà d'un certain rang.
Pour déterminer un rang explicite, observons que, pour tout \(n\),
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1. \]
Donc
\[ n+(-1)^n\geq n-1. \]
Si \(n\geq2\), alors
\[ n-1>0. \]
De plus, \(n>0\). Par conséquent, pour tout \(n\geq2\),
\[ \frac{n+(-1)^n}{n}>0. \]
On peut donc choisir \(N=2\).
Cet exemple illustre bien que l'expression « à partir d'un certain rang » ne signifie pas « dès le premier rang » : une suite peut n'être positive qu'à partir d'un certain rang, sans l'être dès le départ.
Exercice 20 — niveau ★★★★☆
Déterminer si le théorème de conservation du signe s'applique à la suite
\[ a_n=\frac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}. \]
Déterminer en outre si la suite est positive à partir d'un certain rang ou négative à partir d'un certain rang.
Résultat
Le théorème ne s'applique pas, car la limite est \(0\). La suite n'est ni positive à partir d'un certain rang, ni négative à partir d'un certain rang.
Résolution
Étudions d'abord la limite de la suite :
\[ a_n=\frac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}. \]
Pour tout \(n\), on sait que
\[ -1\leq \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\leq 1. \]
Comme \(n>0\), en divisant par \(n\) on obtient
\[ -\frac{1}{n}\leq \frac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}\leq \frac{1}{n}. \]
Comme
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
le théorème d'encadrement donne
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}=0. \]
La limite existe, mais elle vaut \(0\). Le théorème de conservation du signe ne s'applique donc pas, car il exige une limite réelle non nulle.
Étudions maintenant le signe de la suite. Les valeurs de
\[ \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) \]
se répètent cycliquement :
\[ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\dots \]
En effet :
- si \(n=4k+1\), alors \(\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=1\) ;
- si \(n=4k+2\), alors \(\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0\) ;
- si \(n=4k+3\), alors \(\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=-1\) ;
- si \(n=4k\), alors \(\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0\).
Comme le dénominateur \(n\) est toujours positif, le signe de \(a_n\) dépend du numérateur.
La suite prend donc une infinité de fois des valeurs positives, une infinité de fois des valeurs négatives et une infinité de fois la valeur \(0\).
Elle ne peut pas être positive à partir d'un certain rang, car au-delà de n'importe quel rang il subsiste des termes nuls et des termes négatifs.
Elle ne peut pas être négative à partir d'un certain rang, car au-delà de n'importe quel rang il subsiste des termes nuls et des termes positifs.
Par conséquent, la suite n'est ni positive à partir d'un certain rang, ni négative à partir d'un certain rang.
Cet exercice résume bien le rôle de l'hypothèse \(L\neq 0\) : lorsque la limite est \(0\), le théorème ne permet de rien conclure sur le signe de la suite à partir d'un certain rang, et le signe doit être étudié directement.