Le théorème de conservation du signe pour les suites est un résultat fondamental concernant les limites de suites réelles. Il affirme que, si une suite converge vers une limite réelle non nulle, alors ses termes sont, à partir d'un certain rang, du même signe que la limite.
Autrement dit, si une suite \((a_n)\) tend vers un nombre positif, alors, à partir d'un certain rang, tous ses termes sont positifs. Si, au contraire, elle tend vers un nombre négatif, alors, à partir d'un certain rang, tous ses termes sont négatifs.
L'expression à partir d'un certain rang est essentielle : le théorème n'affirme pas que tous les termes de la suite ont le même signe que la limite, mais seulement que cette propriété est vraie pour tous les rangs suffisamment grands.
De manière générale, dire qu'une propriété est vraie à partir d'un certain rang pour une suite signifie qu'il existe un rang \(N\in\mathbb{N}\) tel que la propriété est vraie pour tout \(n\geq N\).
Le cas \(L=0\) doit être exclu. En effet, si la limite est nulle, le théorème ne permet de rien conclure sur le signe des termes de la suite à partir d'un certain rang.
Sommaire
- Théorème de conservation du signe pour les suites
- Démonstration du théorème
- Interprétation du théorème
- Pourquoi le cas \(L=0\) est exclu
- Exemples
Théorème de conservation du signe pour les suites
Soit \((a_n)\) une suite réelle et soit \(L\in\mathbb{R}\) avec \(L\neq0\). Supposons que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L. \]
Alors les termes de la suite \((a_n)\) sont, à partir d'un certain rang, du même signe que \(L\).
Plus précisément :
- si \(L>0\), alors il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N\), on a \(a_n>0\) ;
- si \(L<0\), alors il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N\), on a \(a_n<0\).
Symboliquement, si \(L>0\), alors
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L \quad\Longrightarrow\quad \exists N\in\mathbb{N}\ :\ \forall n\geq N,\ a_n>0. \]
Si, au contraire, \(L<0\), alors
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L \quad\Longrightarrow\quad \exists N\in\mathbb{N}\ :\ \forall n\geq N,\ a_n<0. \]
On peut résumer le théorème en disant que, lorsque la limite est différente de zéro, le signe de la limite se transmet, à partir d'un certain rang, aux termes de la suite.
La condition \(L\neq0\) est indispensable. Si la limite était égale à zéro, on ne pourrait pas choisir un voisinage de \(0\) entièrement contenu dans les nombres positifs ou entièrement contenu dans les nombres négatifs.
Démonstration du théorème
Supposons que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L \]
avec \(L\neq0\). Par définition de la limite, pour tout \(\varepsilon>0\) il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N\), on a
\[ |a_n-L|<\varepsilon. \]
Comme \(L\neq0\), on a \(|L|>0\). On peut donc choisir
\[ \varepsilon=\frac{|L|}{2}. \]
Par définition de la limite, il existe alors \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N\),
\[ |a_n-L|<\frac{|L|}{2}. \]
Cette inégalité revient à dire que
\[ -\frac{|L|}{2}<a_n-L<\frac{|L|}{2}. \]
En ajoutant \(L\) aux trois membres de cette double inégalité, on obtient
\[ L-\frac{|L|}{2}<a_n<L+\frac{|L|}{2}. \]
À ce stade, on distingue les deux cas possibles.
Cas \(L>0\)
Si \(L>0\), alors \(|L|=L\). L'inégalité précédente devient
\[ L-\frac{L}{2}<a_n<L+\frac{L}{2}. \]
Ainsi, pour tout \(n\geq N\),
\[ \frac{L}{2}<a_n<\frac{3L}{2}. \]
En particulier,
\[ a_n>0 \]
pour tout \(n\geq N\). Donc, si la limite \(L\) est positive, alors les termes de la suite sont positifs à partir d'un certain rang.
On observe en outre qu'on a obtenu une estimation plus forte : à partir d'un certain rang, non seulement \(a_n>0\), mais aussi \(a_n>\frac{L}{2}\).
Cas \(L<0\)
Si \(L<0\), alors \(|L|=-L\). L'inégalité
\[ L-\frac{|L|}{2}<a_n<L+\frac{|L|}{2} \]
devient
\[ L-\frac{-L}{2}<a_n<L+\frac{-L}{2}. \]
C'est-à-dire
\[ \frac{3L}{2}<a_n<\frac{L}{2}. \]
Comme \(L<0\), on a
\[ \frac{3L}{2}<\frac{L}{2}<0. \]
De l'inégalité
\[ \frac{3L}{2}<a_n<\frac{L}{2} \]
il découle, en particulier, que
\[ a_n<0 \]
pour tout \(n\geq N\).
Donc, si la limite \(L\) est négative, alors les termes de la suite sont négatifs à partir d'un certain rang.
Dans les deux cas, on a démontré que, si une suite réelle converge vers une limite non nulle, alors ses termes sont, à partir d'un certain rang, du même signe que la limite.
Interprétation du théorème
Le théorème de conservation du signe ne concerne pas nécessairement tous les termes de la suite, mais seulement les termes à partir d'un certain rang.
Dire que \(a_n>0\) à partir d'un certain rang signifie qu'il existe un rang \(N\in\mathbb{N}\) tel que
\[ a_n>0 \]
pour tout \(n\geq N\). Les termes de rang inférieur à \(N\) peuvent, quant à eux, avoir un signe quelconque.
Par exemple, une suite peut avoir quelques premiers termes négatifs, puis devenir positive à partir d'un certain rang. Si sa limite est positive, le théorème garantit qu'à partir d'un certain moment les termes ne peuvent plus être négatifs ni nuls.
De même, si la limite est négative, à partir d'un certain rang tous les termes doivent être négatifs.
L'idée géométrique est simple : si \(L>0\), on peut choisir un voisinage de \(L\) entièrement contenu dans les nombres positifs. Comme \(a_n\to L\), à partir d'un certain rang tous les termes \(a_n\) appartiennent à ce voisinage, et sont donc positifs.
Si, au contraire, \(L<0\), on peut choisir un voisinage de \(L\) entièrement contenu dans les nombres négatifs. À partir d'un certain rang, tous les termes de la suite appartiennent à ce voisinage, et sont donc négatifs.
Pourquoi le cas \(L=0\) est exclu
La condition \(L\neq0\) est essentielle. Si une suite converge vers \(0\), le théorème de conservation du signe ne permet pas de déterminer le signe de ses termes à partir d'un certain rang.
En effet, autour de \(0\) il n'existe aucun intervalle ouvert entièrement contenu dans les nombres positifs ou entièrement contenu dans les nombres négatifs. Tout intervalle ouvert centré en \(0\) contient à la fois des nombres positifs et des nombres négatifs.
C'est pourquoi, si
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=0, \]
on ne peut pas conclure, en général, que \(a_n\) soit, à partir d'un certain rang, positif ou négatif.
Par exemple, la suite
\[ a_n=\frac{1}{n}, \qquad n\geq 1. \]
converge vers \(0\) et est positive pour tout \(n\geq 1\). En revanche, la suite
\[ b_n=-\frac{1}{n}, \qquad n\geq 1. \]
converge elle aussi vers \(0\) et est négative pour tout \(n\geq 1\).
De plus, la suite
\[ c_n=\frac{(-1)^n}{n}, \qquad n\geq 1. \]
converge vers \(0\), mais change de signe une infinité de fois. Ainsi, dans le cas d'une limite nulle, différents comportements sont possibles.
Exemples
Exemple 1. Considérons la suite
\[ a_n=\frac{3}{n}-2. \]
Comme
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{3}{n}-2\right)=-2, \]
et que la limite est négative, le théorème de conservation du signe garantit que \(a_n\) est négative à partir d'un certain rang.
Vérifions-le directement. On cherche un rang \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N\), on ait
\[ \frac{3}{n}-2<0. \]
En résolvant l'inégalité,
\[ \frac{3}{n}<2. \]
Comme \(n>0\), on peut multiplier par \(n\) sans changer le sens de l'inégalité :
\[ 3<2n. \]
Donc
\[ n>\frac{3}{2}. \]
Par conséquent, pour tout \(n\geq2\), on a
\[ a_n<0. \]
La suite est donc négative à partir d'un certain rang, conformément au théorème.
Exemple 2. Considérons la suite
\[ a_n=\frac{5}{n}+1. \]
Comme
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{5}{n}+1\right)=1, \]
et que la limite est positive, le théorème de conservation du signe garantit que \(a_n\) est positive à partir d'un certain rang.
En réalité, dans ce cas la suite est positive pour tout \(n\geq 1\), car
\[ \frac{5}{n}>0 \]
pour tout \(n\geq 1\), et donc
\[ \frac{5}{n}+1>0. \]
Ceci est cohérent avec le théorème : si une propriété est vraie pour tout rang, alors elle l'est certainement aussi à partir d'un certain rang.
Exemple 3. Considérons la suite
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n}. \]
Cette suite ne converge pas. En effet, le terme \((-1)^n\) oscille entre \(-1\) et \(1\), tandis que \(\displaystyle \frac{1}{n}\to0\). Plus précisément, la sous-suite formée par les termes de rang pair tend vers \(1\), tandis que la sous-suite formée par les termes de rang impair tend vers \(-1\).
Par conséquent, on ne peut pas appliquer le théorème de conservation du signe.
Cet exemple montre que le théorème exige réellement l'existence d'une limite réelle non nulle. Si la suite n'a pas de limite, le théorème ne fournit aucune information sur le signe de ses termes à partir d'un certain rang.
Exemple 4. Considérons la suite
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
On a
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
Cependant, la suite change de signe une infinité de fois : elle est positive pour les rangs pairs et négative pour les rangs impairs.
Le théorème de conservation du signe n'est pas applicable, car la limite est égale à \(0\). Cet exemple montre pourquoi l'hypothèse \(L\neq0\) est indispensable.
Une version analogue est valable aussi pour les limites infinies : si \(a_n\to+\infty\), alors \(a_n>0\) à partir d'un certain rang ; si \(a_n\to-\infty\), alors \(a_n<0\) à partir d'un certain rang.
En conclusion, le théorème de conservation du signe pour les suites affirme que le signe d'une limite réelle non nulle se conserve, à partir d'un certain rang, dans les termes de la suite. Les premiers termes peuvent avoir un comportement différent, mais à partir d'un certain rang le signe doit coïncider avec celui de la limite.