Le théorème de comparaison pour les suites est un outil fondamental dans l’étude des limites. Il permet de déduire le comportement d’une suite en la comparant à une ou plusieurs suites dont les limites sont déjà connues.
L’idée de base est simple : si, à partir d’un certain rang, les termes d’une suite conservent une relation d’ordre avec les termes d’une autre suite, alors leurs limites doivent elles aussi respecter cet ordre, lorsqu’elles existent. Sous une forme particulièrement importante, connue sous le nom de théorème des gendarmes, une suite se trouve encadrée par deux suites qui tendent vers la même limite : dans ce cas, la suite intermédiaire est elle aussi contrainte de tendre vers cette limite.
Dans cette page, nous étudierons le théorème de comparaison sous ses formes principales : la comparaison entre suites convergentes, la comparaison avec des suites divergentes vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\), et le théorème des gendarmes. Nous accorderons une attention particulière à la signification de l’expression à partir d’un certain rang, c’est-à-dire au fait que les inégalités requises n’ont pas nécessairement à être vraies pour tous les rangs, mais seulement à partir d’un certain rang.
Sommaire
- Comparaison de suites et signification de l’expression « à partir d’un certain rang »
- Théorème de comparaison pour les suites convergentes
- Démonstration du théorème de comparaison
- Théorème des gendarmes pour les suites
- Démonstration du théorème des gendarmes
- Comparaison avec des suites divergentes vers l’infini
- Exemples résolus sur le théorème de comparaison
- Erreurs fréquentes dans l’application du théorème
Comparaison de suites et signification de l’expression « à partir d’un certain rang »
Le théorème de comparaison concerne des suites réelles dont les termes peuvent être ordonnés entre eux, du moins à partir d’un certain rang. C’est pourquoi, avant d’énoncer le théorème, il importe de préciser exactement ce que signifie comparer deux suites.
Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites réelles. Dire que
\[ a_n \le b_n \]
à partir d’un certain rang signifie qu’il existe un rang \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\ge N\), on ait
\[ a_n \le b_n. \]
En symboles :
\[ \exists N\in\mathbb{N}\ \text{tel que}\ \forall n\ge N,\quad a_n\le b_n. \]
Ainsi, l’inégalité n’a pas nécessairement à être vraie pour tous les rangs \(n\), mais seulement à partir d’un certain point. Les premiers termes des suites peuvent même ne pas respecter la comparaison, car un nombre fini de termes initiaux ne modifie pas la limite.
Par exemple, si \(a_n\le b_n\) pour tout \(n\ge 5\), alors nous pouvons affirmer que \(a_n\le b_n\) à partir d’un certain rang. Peu importe que l’inégalité soit fausse pour \(n=0,1,2,3,4\), car le comportement à la limite dépend des termes de la suite lorsque \(n\) devient arbitrairement grand.
Cette remarque est essentielle : les théorèmes sur les limites de suites ne décrivent pas le comportement des premiers termes, mais le comportement de la suite à l’infini. C’est pourquoi, dans les applications du théorème de comparaison, ce qui compte est d’établir un ordre entre les suites pour tous les rangs suffisamment grands.
De manière analogue, écrire
\[ a_n \le b_n \le c_n \]
à partir d’un certain rang signifie qu’il existe un rang \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\ge N\), les deux inégalités suivantes soient vérifiées simultanément
\[ a_n \le b_n \qquad\text{et}\qquad b_n \le c_n. \]
Dans ce cas, la suite \((b_n)\) est encadrée, à partir d’un certain rang, par \((a_n)\) et \((c_n)\). C’est la situation typique du théorème des gendarmes : si les deux suites encadrantes tendent vers la même limite, alors la suite intermédiaire est contrainte de tendre vers cette limite.
La comparaison entre suites n’est donc pas une simple comparaison terme à terme prise isolément. C’est une comparaison stable à partir d’un certain rang, et c’est précisément cette stabilité qui permet de transférer des informations sur la limite d’une suite à l’autre.
Théorème de comparaison pour les suites convergentes
La première forme du théorème de comparaison concerne deux suites réelles convergentes. Elle affirme qu’un ordre valable à partir d’un certain rang entre les termes des suites se conserve par passage à la limite.
Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites réelles telles que
\[ a_n \le b_n \]
à partir d’un certain rang. Si
\[ \lim_{n\to+\infty} a_n=\ell \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty} b_n=m, \]
alors
\[ \ell \le m. \]
En d’autres termes, si à partir d’un certain rang chaque terme de \((a_n)\) est inférieur ou égal au terme correspondant de \((b_n)\), alors la limite de \((a_n)\) ne peut pas être supérieure à la limite de \((b_n)\).
Ce résultat est très naturel, mais il doit être interprété avec soin : le théorème ne dit pas que, connaissant seulement \(a_n\le b_n\), on puisse calculer les deux limites. Il dit plutôt que, si les deux limites existent, alors elles doivent respecter le même ordre.
Il importe également d’observer qu’une inégalité stricte entre les termes ne produit pas nécessairement une inégalité stricte entre les limites. Si
\[ a_n < b_n \]
à partir d’un certain rang et que les deux suites convergent respectivement vers \(\ell\) et \(m\), on peut seulement conclure que
\[ \ell \le m, \]
et non nécessairement que \(\ell<m\).
Par exemple, pour tout \(n\ge 1\) on a
\[ 0 < \frac{1}{n}. \]
Cependant,
\[ \lim_{n\to+\infty}0=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Ainsi, l’inégalité stricte entre les termes peut devenir une égalité entre les limites.
Le théorème de comparaison pour les suites convergentes exprime donc une propriété de compatibilité entre l’ordre des nombres réels et le passage à la limite : l’ordre valable à partir d’un certain rang entre suites convergentes ne peut pas être inversé à la limite.
Démonstration du théorème de comparaison
Démontrons le théorème sous la forme énoncée dans la section précédente. Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites réelles telles que
\[ a_n \le b_n \]
à partir d’un certain rang, et supposons que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\ell \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=m. \]
Nous voulons démontrer que
\[ \ell \le m. \]
Raisonnons par l’absurde. Supposons donc que la conclusion soit fausse, c’est-à-dire supposons que
\[ \ell>m. \]
Considérons le point médian entre \(\ell\) et \(m\) :
\[ \alpha=\frac{\ell+m}{2}. \]
Comme \(\ell>m\), on a
\[ m<\alpha<\ell. \]
De la convergence de \((a_n)\) vers \(\ell\), et du fait que \(\alpha<\ell\), il existe un rang \(N_1\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\ge N_1\), on ait
\[ a_n>\alpha. \]
En effet, comme
\[ \varepsilon=\ell-\alpha>0, \]
il résulte de la définition de la limite qu’à partir d’un certain rang,
\[ |a_n-\ell|<\varepsilon, \]
et donc
\[ a_n>\ell-\varepsilon=\alpha. \]
De manière analogue, de la convergence de \((b_n)\) vers \(m\), et du fait que \(m<\alpha\), il existe un rang \(N_2\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\ge N_2\), on ait
\[ b_n<\alpha. \]
En effet, comme
\[ \varepsilon=\alpha-m>0, \]
de la définition de la limite, il résulte que, à partir d’un certain rang,
\[ |b_n-m|<\varepsilon, \]
et donc
\[ b_n<m+\varepsilon=\alpha. \]
De plus, par hypothèse, \(a_n\le b_n\) à partir d’un certain rang. Il existe donc un rang \(N_0\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\ge N_0\),
\[ a_n\le b_n. \]
Prenons maintenant un rang \(n\) supérieur ou égal aux trois rangs \(N_0\), \(N_1\) et \(N_2\). Pour un tel \(n\), les inégalités suivantes sont vérifiées simultanément
\[ \alpha<a_n\le b_n<\alpha. \]
Cela est impossible, car une quantité ne peut pas être à la fois supérieure et inférieure à \(\alpha\). L’absurdité provient de l’hypothèse \(\ell>m\).
Par conséquent, on doit avoir
\[ \ell\le m. \]
Ceci achève la démonstration.
Théorème des gendarmes pour les suites
L’une des formes les plus importantes du théorème de comparaison est le théorème des gendarmes. Il permet de calculer la limite d’une suite lorsque celle-ci est encadrée, à partir d’un certain rang, par deux suites ayant la même limite.
Soient \((a_n)\), \((b_n)\) et \((c_n)\) trois suites réelles telles que
\[ a_n \le b_n \le c_n \]
à partir d’un certain rang. Si
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\ell \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}c_n=\ell, \]
alors la suite intermédiaire \((b_n)\) converge elle aussi vers \(\ell\), c’est-à-dire
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\ell. \]
La signification du théorème est la suivante : si une suite est resserrée, à partir d’un certain rang, entre deux suites qui s’approchent du même nombre réel, alors elle n’a aucune possibilité de tendre vers une limite différente. Les deux suites encadrantes forcent la suite intermédiaire à s’approcher de cette même valeur.
L’hypothèse fondamentale est que les deux suites encadrantes aient la même limite. Il ne suffit pas de savoir que \((a_n)\) et \((c_n)\) sont convergentes : si leurs limites sont différentes, la suite intermédiaire peut présenter des comportements différents.
Par exemple, de la seule comparaison
\[ 0\le b_n\le 1 \]
on ne peut pas conclure que \((b_n)\) soit convergente. La suite pourrait osciller, comme c’est le cas pour
\[ b_n=\frac{1+(-1)^n}{2}, \]
qui prend alternativement les valeurs \(1\) et \(0\). Dans ce cas, les deux suites encadrantes sont constantes, mais ont des limites différentes :
\[ \lim_{n\to+\infty}0=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}1=1. \]
Une forme très utilisée du théorème des gendarmes est la suivante. Si \((r_n)\) est une suite réelle telle que
\[ r_n\ge 0 \]
à partir d’un certain rang,
\[ \lim_{n\to+\infty}r_n=0 \]
et
\[ |b_n-\ell|\le r_n \]
à partir d’un certain rang, alors
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\ell. \]
En effet, l’inégalité
\[ |b_n-\ell|\le r_n \]
équivaut à dire que
\[ \ell-r_n\le b_n\le \ell+r_n. \]
Comme les deux suites encadrantes \((\ell-r_n)\) et \((\ell+r_n)\) tendent vers \(\ell\), le théorème des gendarmes impose à \((b_n)\) de tendre vers \(\ell\).
Cette formulation est particulièrement utile lorsqu’il n’est pas simple d’étudier directement \(b_n\), mais qu’il est possible d’estimer la distance entre \(b_n\) et la limite candidate \(\ell\) au moyen d’une suite positive tendant vers \(0\).
Démonstration du théorème des gendarmes
Démontrons le théorème des gendarmes. Soient \((a_n)\), \((b_n)\) et \((c_n)\) trois suites réelles telles que
\[ a_n \le b_n \le c_n \]
à partir d’un certain rang. Supposons en outre que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\ell \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}c_n=\ell. \]
Nous voulons démontrer que
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\ell. \]
Par définition de la limite, nous devons prouver que, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un rang \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\ge N\),
\[ |b_n-\ell|<\varepsilon. \]
Soit donc \(\varepsilon>0\). Comme \(a_n\to \ell\), il existe un rang \(N_1\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\ge N_1\),
\[ |a_n-\ell|<\varepsilon. \]
En particulier, pour tout \(n\ge N_1\),
\[ \ell-\varepsilon<a_n. \]
Comme \(c_n\to \ell\), il existe un rang \(N_2\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\ge N_2\),
\[ |c_n-\ell|<\varepsilon. \]
En particulier, pour tout \(n\ge N_2\),
\[ c_n<\ell+\varepsilon. \]
De plus, par hypothèse, \(a_n\le b_n\le c_n\) à partir d’un certain rang. Il existe donc un rang \(N_0\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\ge N_0\),
\[ a_n\le b_n\le c_n. \]
Considérons maintenant
\[ N=\max\{N_0,N_1,N_2\}. \]
Alors, pour tout \(n\ge N\), les inégalités suivantes sont vérifiées simultanément
\[ \ell-\varepsilon<a_n\le b_n\le c_n<\ell+\varepsilon. \]
En particulier,
\[ \ell-\varepsilon<b_n<\ell+\varepsilon. \]
Cette double inégalité équivaut à
\[ |b_n-\ell|<\varepsilon. \]
Nous avons donc montré que, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un rang \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\ge N\),
\[ |b_n-\ell|<\varepsilon. \]
Par définition de la limite, il s’ensuit que
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\ell. \]
Ceci achève la démonstration.
Comparaison avec des suites divergentes vers l’infini
Le théorème de comparaison admet aussi des formes très utiles pour les suites qui divergent vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\). Dans ces cas, la comparaison ne sert pas à établir l’ordre entre deux limites finies, mais à déduire qu’une suite diverge lorsqu’elle est comparée, dans le bon sens, à une autre suite divergente.
La première forme concerne la divergence vers \(+\infty\). Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites réelles telles que
\[ a_n \le b_n \]
à partir d’un certain rang. Si
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty, \]
alors
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=+\infty. \]
En effet, si \((a_n)\) tend vers \(+\infty\), ses termes deviennent, à partir d’un certain rang, supérieurs à tout nombre réel fixé. Comme, à partir d’un certain rang, \(b_n\) est supérieur ou égal à \(a_n\), \(b_n\) doit lui aussi devenir, à partir d’un certain rang, supérieur à tout nombre réel fixé.
Plus explicitement, soit \(M\in\mathbb{R}\). Comme \(a_n\to+\infty\), il existe un rang \(N_1\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\ge N_1\),
\[ a_n>M. \]
De plus, comme \(a_n\le b_n\) à partir d’un certain rang, il existe un rang \(N_0\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\ge N_0\),
\[ a_n\le b_n. \]
Donc, pour tout \(n\ge \max\{N_0,N_1\}\), on a
\[ b_n\ge a_n>M. \]
Par définition de la divergence vers \(+\infty\), il s’ensuit que
\[ b_n\to+\infty. \]
La seconde forme concerne la divergence vers \(-\infty\). Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites réelles telles que
\[ a_n \le b_n \]
à partir d’un certain rang. Si
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=-\infty, \]
alors
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=-\infty. \]
Dans ce cas, le raisonnement est symétrique : si \((b_n)\) tend vers \(-\infty\), ses termes deviennent, à partir d’un certain rang, inférieurs à tout nombre réel fixé. Comme, à partir d’un certain rang, \(a_n\) est inférieur ou égal à \(b_n\), \(a_n\) doit lui aussi tendre vers \(-\infty\).
Plus explicitement, soit \(M\in\mathbb{R}\). Comme \(b_n\to-\infty\), il existe un rang \(N_1\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\ge N_1\),
\[ b_n<M. \]
De plus, comme \(a_n\le b_n\) à partir d’un certain rang, il existe un rang \(N_0\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\ge N_0\),
\[ a_n\le b_n. \]
Donc, pour tout \(n\ge \max\{N_0,N_1\}\), on a
\[ a_n\le b_n<M. \]
Par définition de la divergence vers \(-\infty\), il s’ensuit que
\[ a_n\to-\infty. \]
Il importe de remarquer le sens des inégalités. Pour démontrer qu’une suite tend vers \(+\infty\), il suffit de la minorer par une suite qui tend vers \(+\infty\). De même, pour démontrer qu’une suite tend vers \(-\infty\), il suffit de la majorer par une suite qui tend vers \(-\infty\).
En symboles :
\[ a_n\le b_n,\quad a_n\to+\infty \quad\Longrightarrow\quad b_n\to+\infty, \]
et
\[ a_n\le b_n,\quad b_n\to-\infty \quad\Longrightarrow\quad a_n\to-\infty. \]
Autrement dit, pour \(+\infty\) il faut une minoration, tandis que pour \(-\infty\) il faut une majoration.
Exemples résolus sur le théorème de comparaison
Voyons maintenant quelques exemples typiques. Le but n’est pas seulement de calculer les limites, mais de comprendre quelle forme du théorème de comparaison est utilisée et pourquoi les hypothèses sont satisfaites.
Exemple 1. Calculons la limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin n}{n}. \]
Pour tout \(n\ge 1\), nous savons que
\[ -1\le \sin n\le 1. \]
En divisant tous les membres par \(n\), qui est positif pour tout \(n\ge 1\), nous obtenons
\[ -\frac{1}{n}\le \frac{\sin n}{n}\le \frac{1}{n}. \]
Or,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
La suite \(\displaystyle \frac{\sin n}{n}\) est donc comprise entre deux suites qui tendent toutes les deux vers \(0\). D’après le théorème des gendarmes,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin n}{n}=0. \]
Exemple 2. Calculons la limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{(-1)^n}{n}\right). \]
La partie oscillante est \((-1)^n\), mais elle est multipliée par \(\displaystyle \frac{1}{n}\), qui tend vers \(0\). Pour rendre cette observation rigoureuse, considérons la distance de la suite à la limite candidate \(2\) :
\[ \left|2+\frac{(-1)^n}{n}-2\right| = \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \frac{1}{n}. \]
Comme
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
il s’ensuit que la distance entre \(\displaystyle 2+\frac{(-1)^n}{n}\) et \(2\) tend vers \(0\). D’après la forme du théorème des gendarmes avec valeur absolue,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{(-1)^n}{n}\right)=2. \]
Exemple 3. Étudions la limite de la suite
\[ b_n=n^2+\sin n. \]
Comme
\[ \sin n\ge -1, \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a
\[ n^2+\sin n\ge n^2-1. \]
De plus,
\[ \lim_{n\to+\infty}(n^2-1)=+\infty. \]
Ainsi, \((b_n)\) est minorée par une suite qui tend vers \(+\infty\). D’après la comparaison avec des suites divergentes vers \(+\infty\), nous obtenons
\[ \lim_{n\to+\infty}(n^2+\sin n)=+\infty. \]
Exemple 4. Étudions la limite de la suite
\[ c_n=-n+\cos n. \]
Comme
\[ \cos n\le 1, \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a
\[ -n+\cos n\le -n+1. \]
De plus,
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n+1)=-\infty. \]
Ainsi, \((c_n)\) est majorée par une suite qui tend vers \(-\infty\). D’après la comparaison avec des suites divergentes vers \(-\infty\), nous obtenons
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n+\cos n)=-\infty. \]
Ces exemples montrent que le théorème de comparaison n’est pas utile seulement lorsqu’une suite est explicitement encadrée par deux suites. Souvent, le point décisif est de construire une estimation adaptée : un encadrement pour appliquer le théorème des gendarmes, une minoration pour démontrer la divergence vers \(+\infty\), ou bien une majoration pour démontrer la divergence vers \(-\infty\).
Erreurs fréquentes dans l’application du théorème
Le théorème de comparaison est très puissant, mais il doit être appliqué en respectant précisément ses hypothèses. De nombreuses erreurs naissent du fait de négliger le sens des inégalités, la signification de l’expression à partir d’un certain rang ou le rôle des limites des suites comparées.
Confondre une inégalité stricte avec une inégalité stricte entre les limites
Si \(a_n<b_n\) à partir d’un certain rang et que les deux suites convergent respectivement vers \(\ell\) et \(m\), on ne peut pas nécessairement conclure que \(\ell<m\). On peut seulement conclure que
\[ \ell\le m. \]
En effet, une inégalité stricte entre les termes peut devenir une égalité entre les limites. Par exemple, pour tout \(n\ge 1\),
\[ 0<\frac{1}{n}, \]
mais les deux suites tendent vers \(0\).
Utiliser le mauvais sens dans la comparaison à l’infini
Pour démontrer qu’une suite tend vers \(+\infty\), il ne suffit pas d’en trouver une majorante qui tend vers \(+\infty\). Il faut au contraire une minoration au moyen d’une suite qui tend vers \(+\infty\).
De même, pour démontrer qu’une suite tend vers \(-\infty\), il ne suffit pas d’en trouver une minorante qui tend vers \(-\infty\). Il faut au contraire une majoration au moyen d’une suite qui tend vers \(-\infty\).
En symboles :
\[ a_n\le b_n,\quad a_n\to+\infty \quad\Longrightarrow\quad b_n\to+\infty, \]
tandis que
\[ a_n\le b_n,\quad b_n\to-\infty \quad\Longrightarrow\quad a_n\to-\infty. \]
Appliquer le théorème des gendarmes sans que les suites encadrantes aient la même limite
Dans le théorème des gendarmes, il ne suffit pas d’avoir
\[ a_n\le b_n\le c_n \]
à partir d’un certain rang. Il est nécessaire que les deux suites encadrantes tendent vers la même limite :
\[ a_n\to \ell \qquad\text{et}\qquad c_n\to \ell. \]
Si, en revanche, les limites des suites encadrantes sont différentes, la comparaison ne peut fournir qu’une zone où se trouvent les termes de \((b_n)\), mais elle ne détermine pas nécessairement la limite de \((b_n)\).
Oublier que la comparaison doit être vérifiée à partir d’un certain rang
Les inégalités requises par le théorème n’ont pas nécessairement à être vraies pour tous les rangs, mais elles doivent l’être à partir d’un certain rang. Toutefois, il ne suffit pas de les vérifier pour de nombreuses valeurs de \(n\), ni pour quelques exemples numériques : il faut démontrer qu’il existe un rang \(N\in\mathbb{N}\) tel que l’inégalité soit vraie pour tout \(n\ge N\).
Ce point est essentiel, car la limite décrit le comportement de la suite pour des rangs arbitrairement grands. Les premiers termes peuvent être sans importance, mais la comparaison doit se stabiliser à partir d’un certain rang.
Utiliser une estimation trop faible
Une estimation n’est utile que si elle contient suffisamment d’informations pour appliquer le théorème. Par exemple, savoir qu’une suite est bornée ne suffit pas pour conclure qu’elle est convergente. De même, savoir qu’une suite est comprise entre deux suites convergentes ne suffit pas si celles-ci n’ont pas la même limite.
Le théorème de comparaison ne remplace pas l’étude de la limite : il fournit un critère rigoureux lorsque la comparaison est construite dans le bon sens et avec des suites au comportement connu.
En conclusion, appliquer correctement le théorème consiste à identifier trois éléments : une inégalité valable à partir d’un certain rang, le bon sens de la comparaison et la limite des suites utilisées comme référence.