Dans ce recueil, nous proposons 20 exercices résolus pas à pas sur le théorème de comparaison pour les suites. L'objectif n'est pas seulement de calculer des limites, mais d'apprendre à reconnaître quelle forme du théorème employer : la comparaison entre suites convergentes, le théorème des gendarmes, ou encore la comparaison avec des suites divergeant vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\).
Dans chaque exercice, nous prêterons attention au sens des inégalités et au fait que celles-ci doivent être vérifiées à partir d'un certain rang, c'est-à-dire à partir d'un certain indice. Ce point est fondamental : pour appliquer correctement un théorème sur les limites, il n'est pas nécessaire qu'une inégalité soit vérifiée pour tous les indices, mais il faut démontrer qu'elle l'est pour tous les indices suffisamment grands.
Les exercices sont classés par difficulté croissante. Dans les premiers, nous utiliserons des encadrements immédiats, tels que \(-1\le \sin n\le 1\) ou \(-1\le \cos n\le 1\). Dans les suivants, en revanche, il faudra construire des estimations plus fines et choisir avec soin les suites à comparer.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Calculer la limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin n}{n}. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin n}{n}=0. \]
Résolution
La difficulté de l'exercice tient au fait que la suite \(\sin n\) n'admet pas de limite. En effet, les valeurs de \(\sin n\) oscillent et ne se rapprochent d'aucun nombre réel unique. Nous savons cependant que le sinus est toujours compris entre \(-1\) et \(1\). Ainsi, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a
\[ -1\le \sin n\le 1. \]
Comme nous voulons étudier \(\displaystyle \frac{\sin n}{n}\), nous divisons tous les membres par \(n\). Pour \(n\ge 1\), le nombre \(n\) est positif, de sorte que le sens des inégalités est conservé :
\[ -\frac{1}{n}\le \frac{\sin n}{n}\le \frac{1}{n}. \]
Étudions à présent les deux suites encadrantes. On a
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
La suite \(\displaystyle \frac{\sin n}{n}\) est donc encadrée, pour tout \(n\ge 1\), par deux suites tendant toutes deux vers \(0\). D'après le théorème des gendarmes, la suite encadrée tend elle aussi vers \(0\). Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin n}{n}=0. \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Calculer la limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(4+\frac{(-1)^n}{n}\right). \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(4+\frac{(-1)^n}{n}\right)=4. \]
Résolution
La suite \(((-1)^n)\) oscille entre \(1\) et \(-1\). En effet, pour tout \(n\), on a
\[ -1\le (-1)^n\le 1. \]
Pour \(n\ge 1\), nous divisons tous les membres de l'inégalité par \(n\). Comme \(n\) est positif, le sens des inégalités est conservé :
\[ -\frac{1}{n}\le \frac{(-1)^n}{n}\le \frac{1}{n}. \]
Ajoutons maintenant \(4\) à tous les membres. L'ajout d'un même nombre ne modifie pas le sens des inégalités, de sorte que nous obtenons
\[ 4-\frac{1}{n}\le 4+\frac{(-1)^n}{n}\le 4+\frac{1}{n}. \]
Étudions les limites des deux suites encadrantes :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(4-\frac{1}{n}\right)=4 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\left(4+\frac{1}{n}\right)=4. \]
La suite donnée est donc encadrée, pour tout \(n\ge 1\), par deux suites tendant toutes deux vers \(4\). D'après le théorème des gendarmes, la suite encadrée tend elle aussi vers \(4\). Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(4+\frac{(-1)^n}{n}\right)=4. \]
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Calculer la limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\cos n}{n+1}. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\cos n}{n+1}=0. \]
Résolution
Ici encore, la suite \(\cos n\) n'a pas de limite, car elle oscille. Elle est toutefois toujours bornée entre \(-1\) et \(1\). En effet, pour tout \(n\in\mathbb{N}\),
\[ -1\le \cos n\le 1. \]
Nous devons diviser par \(n+1\). Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a \(n+1>0\). Nous pouvons donc diviser tous les membres de l'inégalité par \(n+1\) sans changer le sens des inégalités :
\[ -\frac{1}{n+1}\le \frac{\cos n}{n+1}\le \frac{1}{n+1}. \]
Les suites encadrantes ont toutes deux pour limite \(0\) ; en effet,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{n+1}\right)=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n+1}=0. \]
La suite \(\displaystyle \frac{\cos n}{n+1}\) est donc encadrée par deux suites tendant vers la même limite. D'après le théorème des gendarmes, on conclut que
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\cos n}{n+1}=0. \]
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
Calculer la limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{\sin n}{n}\right). \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{\sin n}{n}\right)=1. \]
Résolution
La suite donnée se compose d'une partie constante, égale à \(1\), et d'une partie oscillante, égale à \(\displaystyle \frac{\sin n}{n}\). Pour déterminer la limite, nous devons montrer que la partie oscillante tend vers \(0\).
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), nous savons que
\[ -1\le \sin n\le 1. \]
Pour \(n\ge 1\), en divisant tous les membres par \(n\), nous obtenons
\[ -\frac{1}{n}\le \frac{\sin n}{n}\le \frac{1}{n}. \]
Ajoutons à présent \(1\) à tous les membres de l'inégalité. L'ajout d'un même nombre à tous les membres ne change pas le sens des inégalités :
\[ 1-\frac{1}{n}\le 1+\frac{\sin n}{n}\le 1+\frac{1}{n}. \]
Étudions les limites des deux suites encadrantes :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)=1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1. \]
La suite donnée est donc encadrée, à partir d'un certain rang, par deux suites tendant toutes deux vers \(1\). D'après le théorème des gendarmes,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{\sin n}{n}\right)=1. \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Calculer la limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n^2+n}}{n}. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n^2+n}}{n}=1. \]
Résolution
Observons tout d'abord que, pour \(n\ge 1\), le dénominateur \(n\) est positif. Nous pouvons donc réécrire la suite en sortant \(n^2\) de la racine :
\[ \frac{\sqrt{n^2+n}}{n} = \frac{\sqrt{n^2\left(1+\frac{1}{n}\right)}}{n}. \]
Comme \(n\ge 1\), on a \(\sqrt{n^2}=n\). Dès lors
\[ \frac{\sqrt{n^2\left(1+\frac{1}{n}\right)}}{n} = \frac{n\sqrt{1+\frac{1}{n}}}{n} = \sqrt{1+\frac{1}{n}}. \]
Nous devons donc étudier la limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\sqrt{1+\frac{1}{n}}. \]
Pour appliquer le théorème des gendarmes, construisons un double encadrement. Comme \(\displaystyle \frac{1}{n}\ge 0\), on a
\[ 1\le 1+\frac{1}{n}. \]
La fonction racine carrée est croissante sur les réels positifs ou nuls, de sorte que
\[ 1\le \sqrt{1+\frac{1}{n}}. \]
De plus, pour tout \(x\ge 0\), l'inégalité
\[ \sqrt{1+x}\le 1+x \]
est vérifiée. En effet, les deux membres sont positifs ou nuls et, en élevant au carré, l'inégalité devient
\[ 1+x\le (1+x)^2. \]
Celle-ci est vraie pour \(x\ge 0\), car
\[ (1+x)^2-(1+x)=x+x^2\ge 0. \]
En appliquant cette inégalité avec \(\displaystyle x=\frac{1}{n}\), nous obtenons
\[ \sqrt{1+\frac{1}{n}}\le 1+\frac{1}{n}. \]
Nous disposons donc du double encadrement
\[ 1\le \sqrt{1+\frac{1}{n}}\le 1+\frac{1}{n}. \]
Or les deux suites encadrantes tendent toutes deux vers \(1\) :
\[ \lim_{n\to+\infty}1=1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1. \]
D'après le théorème des gendarmes, il s'ensuit que
\[ \lim_{n\to+\infty}\sqrt{1+\frac{1}{n}}=1. \]
Comme la suite initiale coïncide avec \(\displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{n}}\) pour \(n\ge 1\), nous obtenons finalement
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n^2+n}}{n}=1. \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Calculer la limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n+\cos n}{n}. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n+\cos n}{n}=1. \]
Résolution
La suite contient le terme oscillant \(\cos n\). À lui seul, \(\cos n\) n'admet pas de limite, mais il est toujours compris entre \(-1\) et \(1\). En effet, pour tout \(n\in\mathbb{N}\),
\[ -1\le \cos n\le 1. \]
Ajoutons \(n\) à tous les membres de l'inégalité. Nous obtenons
\[ n-1\le n+\cos n\le n+1. \]
Divisons à présent tous les membres par \(n\). Pour \(n\ge 1\), le nombre \(n\) est positif, de sorte que le sens des inégalités est conservé :
\[ \frac{n-1}{n}\le \frac{n+\cos n}{n}\le \frac{n+1}{n}. \]
Simplifions les deux suites encadrantes :
\[ \frac{n-1}{n}=1-\frac{1}{n}, \qquad \frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}. \]
Ainsi, pour tout \(n\ge 1\), nous avons
\[ 1-\frac{1}{n}\le \frac{n+\cos n}{n}\le 1+\frac{1}{n}. \]
Les deux suites encadrantes tendent toutes deux vers \(1\) ; en effet,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)=1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1. \]
D'après le théorème des gendarmes, la suite encadrée tend elle aussi vers \(1\). Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n+\cos n}{n}=1. \]
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Calculer la limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n+\sin n}{\sqrt{n}}. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n+\sin n}{\sqrt{n}}=0. \]
Résolution
Le numérateur contient deux termes oscillants : \((-1)^n\) et \(\sin n\). Aucun des deux n'admet de limite, mais tous deux sont bornés. En effet, pour tout \(n\),
\[ |(-1)^n|=1 \]
et
\[ |\sin n|\le 1. \]
Utilisons maintenant l'inégalité triangulaire :
\[ |(-1)^n+\sin n|\le |(-1)^n|+|\sin n|. \]
Comme \(|(-1)^n|=1\) et \(|\sin n|\le 1\), nous obtenons
\[ |(-1)^n+\sin n|\le 2. \]
En divisant par \(\sqrt{n}\), qui est positif pour tout \(n\ge 1\), il s'ensuit que
\[ \left|\frac{(-1)^n+\sin n}{\sqrt{n}}\right| = \frac{|(-1)^n+\sin n|}{\sqrt{n}} \le \frac{2}{\sqrt{n}}. \]
De plus, une valeur absolue est toujours positive ou nulle, de sorte que
\[ 0\le \left|\frac{(-1)^n+\sin n}{\sqrt{n}}\right| \le \frac{2}{\sqrt{n}}. \]
Or les deux suites encadrantes tendent vers \(0\) :
\[ \lim_{n\to+\infty}0=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{2}{\sqrt{n}}=0. \]
D'après le théorème des gendarmes,
\[ \lim_{n\to+\infty} \left|\frac{(-1)^n+\sin n}{\sqrt{n}}\right| =0. \]
Si la valeur absolue d'une suite tend vers \(0\), alors la suite elle-même tend vers \(0\). En effet, la distance de la suite à \(0\) tend vers \(0\). Donc
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n+\sin n}{\sqrt{n}}=0. \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Étudier la limite de la suite
\[ a_n=n^2+\sin n. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n^2+\sin n\right)=+\infty. \]
Résolution
La suite \(n^2+\sin n\) est la somme d'un terme tendant vers \(+\infty\), à savoir \(n^2\), et d'un terme oscillant, à savoir \(\sin n\). Comme \(\sin n\) reste toujours compris entre \(-1\) et \(1\), il ne peut compenser la croissance de \(n^2\).
Pour rendre ce raisonnement rigoureux, utilisons la minoration
\[ \sin n\ge -1. \]
En ajoutant \(n^2\) aux deux membres, nous obtenons
\[ n^2+\sin n\ge n^2-1. \]
Observons à présent que
\[ \lim_{n\to+\infty}(n^2-1)=+\infty. \]
Nous avons donc trouvé une suite, \(n^2-1\), qui tend vers \(+\infty\) et qui minore la suite donnée :
\[ n^2-1\le n^2+\sin n. \]
D'après la comparaison avec des suites divergeant vers \(+\infty\), si une suite est minorée à partir d'un certain rang par une suite tendant vers \(+\infty\), alors elle tend elle aussi vers \(+\infty\).
Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n^2+\sin n\right)=+\infty. \]
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
Étudier la limite de la suite
\[ b_n=-n+\cos n. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-n+\cos n\right)=-\infty. \]
Résolution
La suite \(-n+\cos n\) contient le terme \(-n\), qui tend vers \(-\infty\), et le terme \(\cos n\), qui oscille en restant toujours borné entre \(-1\) et \(1\). Intuitivement, l'oscillation de \(\cos n\) ne peut empêcher la suite de descendre vers \(-\infty\).
Pour le démontrer de façon rigoureuse, utilisons la majoration
\[ \cos n\le 1. \]
En ajoutant \(-n\) aux deux membres, nous obtenons
\[ -n+\cos n\le -n+1. \]
Observons à présent que
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n+1)=-\infty. \]
La suite donnée est donc majorée par une suite tendant vers \(-\infty\) :
\[ -n+\cos n\le -n+1. \]
Dans la comparaison avec des suites divergeant vers \(-\infty\), le sens est fondamental : pour conclure qu'une suite tend vers \(-\infty\), il faut la majorer par une suite tendant vers \(-\infty\). Et c'est précisément ce que nous avons fait.
Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-n+\cos n\right)=-\infty. \]
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
Calculer la limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n^2+\sin n}}{n}. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n^2+\sin n}}{n}=1. \]
Résolution
La présence de \(\sin n\) sous la racine peut rendre la limite moins immédiate. Toutefois, \(\sin n\) est un terme borné, tandis que \(n^2\) croît indéfiniment. Nous nous attendons donc à ce que le comportement dominant de la racine soit celui de \(\sqrt{n^2}=n\), et par suite à ce que le quotient tende vers \(1\).
Pour rendre le raisonnement rigoureux, partons de l'encadrement fondamental
\[ -1\le \sin n\le 1. \]
En ajoutant \(n^2\) à tous les membres, nous obtenons
\[ n^2-1\le n^2+\sin n\le n^2+1. \]
Pour \(n\ge 1\), les termes en jeu sont positifs ou nuls. Comme la fonction racine carrée est croissante sur les réels positifs ou nuls, nous pouvons appliquer la racine carrée à tous les membres :
\[ \sqrt{n^2-1}\le \sqrt{n^2+\sin n}\le \sqrt{n^2+1}. \]
Divisons à présent par \(n\). Pour \(n\ge 1\), le nombre \(n\) est positif, de sorte que le sens des inégalités est conservé :
\[ \frac{\sqrt{n^2-1}}{n} \le \frac{\sqrt{n^2+\sin n}}{n} \le \frac{\sqrt{n^2+1}}{n}. \]
Réécrivons les deux suites encadrantes. Comme \(n\ge 1\), on a \(\sqrt{n^2}=n\), de sorte que
\[ \frac{\sqrt{n^2-1}}{n} = \sqrt{\frac{n^2-1}{n^2}} = \sqrt{1-\frac{1}{n^2}}, \]
et
\[ \frac{\sqrt{n^2+1}}{n} = \sqrt{\frac{n^2+1}{n^2}} = \sqrt{1+\frac{1}{n^2}}. \]
Nous avons donc obtenu l'encadrement
\[ \sqrt{1-\frac{1}{n^2}} \le \frac{\sqrt{n^2+\sin n}}{n} \le \sqrt{1+\frac{1}{n^2}}. \]
Or
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)=1. \]
Comme la racine carrée est continue aux points positifs, il s'ensuit que
\[ \lim_{n\to+\infty}\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}=1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}=1. \]
La suite donnée est donc encadrée, à partir d'un certain rang, par deux suites tendant toutes deux vers \(1\). D'après le théorème des gendarmes,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n^2+\sin n}}{n}=1. \]
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Calculer la limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n+\sin n}{n+\cos n}. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n+\sin n}{n+\cos n}=1. \]
Résolution
La suite contient deux termes oscillants, \(\sin n\) et \(\cos n\). Tous deux sont cependant bornés, tandis que le terme \(n\) croît indéfiniment. C'est pourquoi nous nous attendons à ce que le quotient se comporte comme
\[ \frac{n}{n}=1. \]
Pour le démontrer rigoureusement, étudions la distance de la suite à la limite pressentie \(1\) :
\[ \left|\frac{n+\sin n}{n+\cos n}-1\right|. \]
Réduisons au même dénominateur :
\[ \left|\frac{n+\sin n}{n+\cos n}-1\right| = \left|\frac{n+\sin n-(n+\cos n)}{n+\cos n}\right|. \]
En simplifiant le numérateur, nous obtenons
\[ \left|\frac{n+\sin n}{n+\cos n}-1\right| = \left|\frac{\sin n-\cos n}{n+\cos n}\right|. \]
Nous devons maintenant estimer séparément le numérateur et le dénominateur. Pour le numérateur, à l'aide de l'inégalité triangulaire, on a
\[ |\sin n-\cos n|\le |\sin n|+|\cos n|\le 2. \]
Pour le dénominateur, comme \(\cos n\ge -1\), on a
\[ n+\cos n\ge n-1. \]
En particulier, pour \(n\ge 2\), le dénominateur est positif et
\[ |n+\cos n|=n+\cos n\ge n-1. \]
Ainsi, pour tout \(n\ge 2\),
\[ 0\le \left|\frac{n+\sin n}{n+\cos n}-1\right| \le \frac{2}{n-1}. \]
Comme
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2}{n-1}=0, \]
d'après le théorème des gendarmes nous obtenons
\[ \lim_{n\to+\infty} \left|\frac{n+\sin n}{n+\cos n}-1\right|=0. \]
Cela signifie que la distance entre la suite donnée et \(1\) tend vers \(0\). Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n+\sin n}{n+\cos n}=1. \]
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Calculer la limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+(-1)^n}{3n+\sin n}. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+(-1)^n}{3n+\sin n}=\frac{2}{3}. \]
Résolution
Le terme dominant au numérateur est \(2n\), tandis que le terme dominant au dénominateur est \(3n\). Les termes \((-1)^n\) et \(\sin n\) sont en revanche bornés. C'est pourquoi la limite pressentie est
\[ \frac{2n}{3n}=\frac{2}{3}. \]
Pour le démontrer à l'aide du théorème de comparaison, considérons la distance de la suite à la limite pressentie :
\[ \left|\frac{2n+(-1)^n}{3n+\sin n}-\frac{2}{3}\right|. \]
Réduisons au même dénominateur :
\[ \left|\frac{2n+(-1)^n}{3n+\sin n}-\frac{2}{3}\right| = \left|\frac{3(2n+(-1)^n)-2(3n+\sin n)}{3(3n+\sin n)}\right|. \]
Développons le numérateur :
\[ 3(2n+(-1)^n)-2(3n+\sin n) = 6n+3(-1)^n-6n-2\sin n. \]
D'où
\[ 3(2n+(-1)^n)-2(3n+\sin n) = 3(-1)^n-2\sin n. \]
Nous obtenons donc
\[ \left|\frac{2n+(-1)^n}{3n+\sin n}-\frac{2}{3}\right| = \frac{|3(-1)^n-2\sin n|}{3|3n+\sin n|}. \]
Estimons le numérateur. D'après l'inégalité triangulaire,
\[ |3(-1)^n-2\sin n| \le 3|(-1)^n|+2|\sin n|. \]
Comme \(|(-1)^n|=1\) et \(|\sin n|\le 1\), il s'ensuit que
\[ |3(-1)^n-2\sin n|\le 5. \]
Estimons à présent le dénominateur. Comme \(\sin n\ge -1\), on a
\[ 3n+\sin n\ge 3n-1. \]
Pour tout \(n\ge 1\), le nombre \(3n-1\) est positif, de sorte que \(3n+\sin n\) est positif lui aussi. Par conséquent
\[ |3n+\sin n|=3n+\sin n\ge 3n-1. \]
Ainsi, pour tout \(n\ge 1\),
\[ 0\le \left|\frac{2n+(-1)^n}{3n+\sin n}-\frac{2}{3}\right| \le \frac{5}{3(3n-1)}. \]
Comme
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{5}{3(3n-1)}=0, \]
d'après le théorème des gendarmes on a
\[ \lim_{n\to+\infty} \left|\frac{2n+(-1)^n}{3n+\sin n}-\frac{2}{3}\right|=0. \]
Cela signifie que la suite donnée tend vers \(\displaystyle \frac{2}{3}\). Donc
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+(-1)^n}{3n+\sin n}=\frac{2}{3}. \]
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Étudier la limite de la suite
\[ a_n=n+(-1)^n\sqrt{n}. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n+(-1)^n\sqrt{n}\right)=+\infty. \]
Résolution
La suite contient un terme principal, \(n\), qui tend vers \(+\infty\), et un terme oscillant, \((-1)^n\sqrt{n}\), qui peut être positif ou négatif. Nous ne pouvons donc pas affirmer simplement que tous les termes sont supérieurs à \(n\), car lorsque \((-1)^n=-1\) le second terme retranche \(\sqrt{n}\).
Pour démontrer que la suite tend malgré tout vers \(+\infty\), nous devons trouver une minoration tendant vers \(+\infty\).
Comme \((-1)^n\ge -1\), en multipliant par \(\sqrt{n}\ge 0\) nous obtenons
\[ (-1)^n\sqrt{n}\ge -\sqrt{n}. \]
En ajoutant \(n\) aux deux membres, il s'ensuit que
\[ n+(-1)^n\sqrt{n}\ge n-\sqrt{n}. \]
Nous devons maintenant montrer que \(n-\sqrt{n}\to+\infty\). Pour \(n\ge 4\), on a
\[ \sqrt{n}\le \frac{n}{2}. \]
En effet, comme les deux membres sont positifs ou nuls, nous pouvons les élever au carré et obtenir une inégalité équivalente :
\[ n\le \frac{n^2}{4}. \]
Pour \(n>0\), ceci équivaut à
\[ 4\le n, \]
ce qui est vrai pour \(n\ge 4\).
Ainsi, pour \(n\ge 4\),
\[ n-\sqrt{n}\ge n-\frac{n}{2}=\frac{n}{2}. \]
Comme
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{2}=+\infty, \]
on a aussi \(n-\sqrt{n}\to+\infty\). De plus, nous avons démontré que, à partir d'un certain rang,
\[ n+(-1)^n\sqrt{n}\ge n-\sqrt{n}. \]
D'après la comparaison avec des suites divergeant vers \(+\infty\), la suite donnée tend vers \(+\infty\). Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n+(-1)^n\sqrt{n}\right)=+\infty. \]
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
Étudier la limite de la suite
\[ b_n=-n^2+n\sin n. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-n^2+n\sin n\right)=-\infty. \]
Résolution
La suite contient le terme \(-n^2\), qui tend vers \(-\infty\), et le terme \(n\sin n\), qui peut être positif ou négatif. Bien que \(n\sin n\) ne soit pas borné, il croît tout au plus comme \(n\), tandis que \(n^2\) croît bien plus rapidement.
Pour démontrer rigoureusement que la suite tend vers \(-\infty\), nous devons trouver une majoration tendant vers \(-\infty\).
Comme \(\sin n\le 1\), en multipliant par \(n\ge 0\) nous obtenons
\[ n\sin n\le n. \]
En ajoutant \(-n^2\) aux deux membres, il s'ensuit que
\[ -n^2+n\sin n\le -n^2+n. \]
Montrons à présent que la suite de droite tend vers \(-\infty\). On a
\[ -n^2+n=-n(n-1). \]
Pour \(n\ge 2\), on a \(n-1\ge \frac{n}{2}\). En effet,
\[ n-1\ge \frac{n}{2} \]
équivaut à
\[ \frac{n}{2}\ge 1, \]
c'est-à-dire \(n\ge 2\). Ainsi, pour \(n\ge 2\),
\[ n(n-1)\ge \frac{n^2}{2}. \]
En multipliant par \(-1\), le sens de l'inégalité s'inverse :
\[ -n(n-1)\le -\frac{n^2}{2}. \]
Par conséquent, pour \(n\ge 2\),
\[ -n^2+n\le -\frac{n^2}{2}. \]
Comme
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{n^2}{2}\right)=-\infty, \]
on a aussi
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n^2+n)=-\infty. \]
Nous avons donc trouvé une suite tendant vers \(-\infty\) et qui majore, à partir d'un certain rang, la suite donnée :
\[ -n^2+n\sin n\le -n^2+n. \]
D'après la comparaison avec des suites divergeant vers \(-\infty\), il s'ensuit que
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-n^2+n\sin n\right)=-\infty. \]
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
Calculer la limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+\sin n}-n\right). \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+\sin n}-n\right)=0. \]
Résolution
L'expression contient une différence entre deux quantités toutes deux grandes : \(\sqrt{n^2+\sin n}\) et \(n\). À première vue, le comportement de la différence n'est pas immédiat à saisir. C'est pourquoi il convient de rationaliser.
Multiplions et divisons par la quantité conjuguée :
\[ \sqrt{n^2+\sin n}-n = \frac{\left(\sqrt{n^2+\sin n}-n\right)\left(\sqrt{n^2+\sin n}+n\right)} {\sqrt{n^2+\sin n}+n}. \]
Au numérateur, utilisons la formule
\[ (A-B)(A+B)=A^2-B^2. \]
Avec
\[ A=\sqrt{n^2+\sin n} \qquad\text{et}\qquad B=n, \]
nous obtenons
\[ \left(\sqrt{n^2+\sin n}\right)^2-n^2 = n^2+\sin n-n^2 = \sin n. \]
D'où
\[ \sqrt{n^2+\sin n}-n = \frac{\sin n}{\sqrt{n^2+\sin n}+n}. \]
Estimons à présent la valeur absolue :
\[ \left|\sqrt{n^2+\sin n}-n\right| = \left|\frac{\sin n}{\sqrt{n^2+\sin n}+n}\right|. \]
Comme \(|\sin n|\le 1\), nous avons
\[ \left|\sqrt{n^2+\sin n}-n\right| \le \frac{1}{\sqrt{n^2+\sin n}+n}. \]
Nous devons maintenant minorer le dénominateur. Comme \(\sin n\ge -1\), on a
\[ n^2+\sin n\ge n^2-1. \]
Pour \(n\ge 1\), les deux membres sont positifs ou nuls, de sorte qu'en appliquant la racine carrée,
\[ \sqrt{n^2+\sin n}\ge \sqrt{n^2-1}. \]
Par conséquent
\[ \sqrt{n^2+\sin n}+n \ge \sqrt{n^2-1}+n. \]
En particulier, comme \(\sqrt{n^2-1}\ge 0\), pour \(n\ge 1\) on a
\[ \sqrt{n^2+\sin n}+n\ge n. \]
D'où
\[ 0\le \left|\sqrt{n^2+\sin n}-n\right| \le \frac{1}{n}. \]
Comme
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
d'après le théorème des gendarmes il s'ensuit que
\[ \lim_{n\to+\infty} \left|\sqrt{n^2+\sin n}-n\right|=0. \]
Si la distance de la suite à \(0\) tend vers \(0\), alors la suite elle-même tend vers \(0\). Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+\sin n}-n\right)=0. \]
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
Calculer la limite
\[ \lim_{n\to+\infty} n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\right). \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty} n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\right)=\frac{1}{2}. \]
Résolution
L'expression contient une différence entre deux quantités tendant toutes deux vers \(1\) :
\[ \sqrt{1+\frac{1}{n}} \qquad\text{et}\qquad 1. \]
Pour éviter une forme peu lisible, rationalisons la différence. Multiplions et divisons par la quantité conjuguée :
\[ n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\right) = n\cdot \frac{\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\right)\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right)} {\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}. \]
Au numérateur, utilisons la formule
\[ (A-B)(A+B)=A^2-B^2. \]
Avec
\[ A=\sqrt{1+\frac{1}{n}} \qquad\text{et}\qquad B=1, \]
nous obtenons
\[ \left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right)^2-1 = 1+\frac{1}{n}-1 = \frac{1}{n}. \]
D'où
\[ n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\right) = n\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}. \]
En simplifiant \(n\) avec \(\displaystyle \frac{1}{n}\), on obtient
\[ n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\right) = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}. \]
Construisons à présent un encadrement. Comme \(\displaystyle \frac{1}{n}\ge 0\), on a
\[ 1\le \sqrt{1+\frac{1}{n}}. \]
De plus, pour tout \(x\ge 0\), on a
\[ \sqrt{1+x}\le 1+x. \]
En appliquant cette inégalité avec \(\displaystyle x=\frac{1}{n}\), nous obtenons
\[ \sqrt{1+\frac{1}{n}}\le 1+\frac{1}{n}. \]
Ainsi
\[ 1\le \sqrt{1+\frac{1}{n}}\le 1+\frac{1}{n}. \]
En ajoutant \(1\) à tous les membres,
\[ 2\le \sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\le 2+\frac{1}{n}. \]
Tous les membres sont positifs. En passant aux inverses, le sens des inégalités s'inverse :
\[ \frac{1}{2+\frac{1}{n}} \le \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} \le \frac{1}{2}. \]
Les deux suites encadrantes tendent toutes deux vers \(\displaystyle \frac{1}{2}\) ; en effet,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{2+\frac{1}{n}}=\frac{1}{2} \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}. \]
D'après le théorème des gendarmes,
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} = \frac{1}{2}. \]
Comme la suite initiale coïncide avec cette expression, nous concluons que
\[ \lim_{n\to+\infty} n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\right)=\frac{1}{2}. \]
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Calculer la limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{n^3+(-1)^n}. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{n^3+(-1)^n}=0. \]
Résolution
Le dénominateur contient le terme dominant \(n^3\) et le terme oscillant \((-1)^n\). Comme \((-1)^n\) ne prend que les valeurs \(1\) et \(-1\), son effet est négligeable devant \(n^3\).
Pour appliquer le théorème de comparaison, nous devons obtenir une majoration adaptée de la suite. Pour tout \(n\), on a
\[ (-1)^n\ge -1. \]
D'où
\[ n^3+(-1)^n\ge n^3-1. \]
Pour \(n\ge 2\), nous avons
\[ n^3-1\ge \frac{n^3}{2}. \]
En effet, cette inégalité équivaut à
\[ \frac{n^3}{2}\ge 1, \]
ce qui est vrai pour \(n\ge 2\). Ainsi, pour \(n\ge 2\),
\[ n^3+(-1)^n\ge \frac{n^3}{2}. \]
En particulier, le dénominateur est positif à partir d'un certain rang. Par conséquent, pour \(n\ge 2\),
\[ 0\le \frac{n^2}{n^3+(-1)^n} \le \frac{n^2}{\frac{n^3}{2}}. \]
En simplifiant le terme de droite,
\[ \frac{n^2}{\frac{n^3}{2}} = \frac{2n^2}{n^3} = \frac{2}{n}. \]
Nous avons donc
\[ 0\le \frac{n^2}{n^3+(-1)^n}\le \frac{2}{n} \]
à partir d'un certain rang. Comme
\[ \lim_{n\to+\infty}0=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{2}{n}=0, \]
d'après le théorème des gendarmes il s'ensuit que
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{n^3+(-1)^n}=0. \]
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Étudier la limite de la suite
\[ a_n=n^2+n(-1)^n. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n^2+n(-1)^n\right)=+\infty. \]
Résolution
La suite contient un terme principal \(n^2\), qui tend vers \(+\infty\), et un terme oscillant \(n(-1)^n\), qui peut être égal à \(n\) ou à \(-n\). Le cas le plus défavorable, pour démontrer la divergence vers \(+\infty\), se présente lorsque le terme oscillant est négatif.
Comme
\[ (-1)^n\ge -1, \]
en multipliant par \(n\ge 0\) nous obtenons
\[ n(-1)^n\ge -n. \]
En ajoutant \(n^2\) aux deux membres,
\[ n^2+n(-1)^n\ge n^2-n. \]
Montrons à présent que la suite \(n^2-n\) tend vers \(+\infty\). On a
\[ n^2-n=n(n-1). \]
Pour \(n\ge 2\), on a
\[ n-1\ge \frac{n}{2}. \]
Ainsi, pour \(n\ge 2\),
\[ n(n-1)\ge \frac{n^2}{2}. \]
Comme
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{2}=+\infty, \]
on a aussi \(n^2-n\to+\infty\). Nous avons donc trouvé une minoration :
\[ n^2+n(-1)^n\ge n^2-n, \]
où la suite de droite tend vers \(+\infty\).
D'après la comparaison avec des suites divergeant vers \(+\infty\), nous concluons que
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n^2+n(-1)^n\right)=+\infty. \]
Exercice 19 — niveau ★★★★☆
Calculer la limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n^4+n^2\sin n}}{n^2}. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n^4+n^2\sin n}}{n^2}=1. \]
Résolution
Le terme principal sous la racine est \(n^4\), tandis que \(n^2\sin n\) est un terme oscillant d'ordre inférieur. Nous nous attendons donc à ce que la racine se comporte comme
\[ \sqrt{n^4}=n^2. \]
Pour le démontrer rigoureusement, partons de l'encadrement
\[ -1\le \sin n\le 1. \]
En multipliant tous les membres par \(n^2\), qui est positif ou nul, nous obtenons
\[ -n^2\le n^2\sin n\le n^2. \]
En ajoutant \(n^4\) à tous les membres,
\[ n^4-n^2\le n^4+n^2\sin n\le n^4+n^2. \]
Pour \(n\ge 1\), les trois membres sont positifs ou nuls. Comme la fonction racine carrée est croissante sur les réels positifs ou nuls, nous pouvons appliquer la racine carrée à tous les membres :
\[ \sqrt{n^4-n^2} \le \sqrt{n^4+n^2\sin n} \le \sqrt{n^4+n^2}. \]
Divisons à présent par \(n^2\), qui est positif pour \(n\ge 1\) :
\[ \frac{\sqrt{n^4-n^2}}{n^2} \le \frac{\sqrt{n^4+n^2\sin n}}{n^2} \le \frac{\sqrt{n^4+n^2}}{n^2}. \]
Réécrivons les suites encadrantes :
\[ \frac{\sqrt{n^4-n^2}}{n^2} = \sqrt{\frac{n^4-n^2}{n^4}} = \sqrt{1-\frac{1}{n^2}}, \]
et
\[ \frac{\sqrt{n^4+n^2}}{n^2} = \sqrt{\frac{n^4+n^2}{n^4}} = \sqrt{1+\frac{1}{n^2}}. \]
Dès lors
\[ \sqrt{1-\frac{1}{n^2}} \le \frac{\sqrt{n^4+n^2\sin n}}{n^2} \le \sqrt{1+\frac{1}{n^2}}. \]
Les deux suites encadrantes tendent toutes deux vers \(1\) :
\[ \lim_{n\to+\infty}\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}=1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}=1. \]
D'après le théorème des gendarmes, la suite encadrée tend elle aussi vers \(1\). Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n^4+n^2\sin n}}{n^2}=1. \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Déterminer si, du seul fait qu'une suite \((b_n)\) vérifie, à partir d'un certain rang,
\[ 0\le b_n\le 1, \]
on peut conclure que \((b_n)\) est convergente.
Résultat
Non. Du seul fait que \(0\le b_n\le 1\) à partir d'un certain rang, on ne peut pas conclure que \((b_n)\) est convergente.
Résolution
Le théorème des gendarmes permet de conclure la convergence d'une suite encadrée lorsqu'elle est comprise, à partir d'un certain rang, entre deux suites tendant vers la même limite. Ici, en revanche, nous savons seulement que
\[ 0\le b_n\le 1 \]
à partir d'un certain rang. Les deux suites encadrantes sont les suites constantes \(0\) et \(1\), qui ont des limites différentes :
\[ \lim_{n\to+\infty}0=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}1=1. \]
Comme les deux limites encadrantes ne coïncident pas, le théorème des gendarmes n'est pas applicable. L'inégalité dit seulement que les termes de \((b_n)\) demeurent dans l'intervalle \([0,1]\), mais cela ne suffit pas à garantir l'existence de la limite.
Pour montrer qu'on ne peut pas conclure la convergence, il suffit de fournir un contre-exemple. Considérons la suite
\[ b_n=\frac{1+(-1)^n}{2}. \]
Si \(n\) est pair, alors \((-1)^n=1\), de sorte que
\[ b_n=\frac{1+1}{2}=1. \]
Si \(n\) est impair, alors \((-1)^n=-1\), de sorte que
\[ b_n=\frac{1-1}{2}=0. \]
Ainsi, la suite prend alternativement les valeurs \(1\) et \(0\). En particulier, pour tout \(n\),
\[ 0\le b_n\le 1. \]
Pourtant, \((b_n)\) ne converge pas. En effet, une sous-suite de ses termes vaut toujours \(1\), tandis qu'une autre sous-suite vaut toujours \(0\). Plus précisément,
\[ b_{2k}=1 \qquad\text{et}\qquad b_{2k+1}=0. \]
La sous-suite \((b_{2k})\) tend vers \(1\), tandis que la sous-suite \((b_{2k+1})\) tend vers \(0\). Comme une suite convergente ne peut avoir deux sous-suites de limites différentes, \((b_n)\) n'est pas convergente.
Ainsi, du seul fait qu'une suite soit comprise, à partir d'un certain rang, entre \(0\) et \(1\), on ne peut pas conclure qu'elle est convergente. Pour appliquer le théorème des gendarmes, il est indispensable que les deux suites encadrantes tendent vers la même limite.